Theorem imasdsfn 17604

Description: The distance function is a function on the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.) (Proof shortened by AV, 6-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasbas.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
imasbas.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
imasbas.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
imasbas.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑍)
imasds.e	⊢ 𝐸 = (dist‘𝑅)
imasds.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
imasdsfn	⊢ (𝜑 → 𝐷 Fn (𝐵 × 𝐵))

Proof of Theorem imasdsfn

Dummy variables 𝑔 ℎ 𝑖 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ inf(∪ 𝑛 ∈ ℕ ran (𝑔 ∈ {ℎ ∈ ((𝑉 × 𝑉) ↑m (1...𝑛)) ∣ ((𝐹‘(1st ‘(ℎ‘1))) = 𝑥 ∧ (𝐹‘(2nd ‘(ℎ‘𝑛))) = 𝑦 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝐹‘(2nd ‘(ℎ‘𝑖))) = (𝐹‘(1st ‘(ℎ‘(𝑖 + 1)))))} ↦ (ℝ*𝑠 Σg (𝐸 ∘ 𝑔))), ℝ*, < )) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ inf(∪ 𝑛 ∈ ℕ ran (𝑔 ∈ {ℎ ∈ ((𝑉 × 𝑉) ↑m (1...𝑛)) ∣ ((𝐹‘(1st ‘(ℎ‘1))) = 𝑥 ∧ (𝐹‘(2nd ‘(ℎ‘𝑛))) = 𝑦 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝐹‘(2nd ‘(ℎ‘𝑖))) = (𝐹‘(1st ‘(ℎ‘(𝑖 + 1)))))} ↦ (ℝ*𝑠 Σg (𝐸 ∘ 𝑔))), ℝ*, < ))
2		xrltso 13194	. . . 4 ⊢ < Or ℝ*
3	2	infex 9468	. . 3 ⊢ inf(∪ 𝑛 ∈ ℕ ran (𝑔 ∈ {ℎ ∈ ((𝑉 × 𝑉) ↑m (1...𝑛)) ∣ ((𝐹‘(1st ‘(ℎ‘1))) = 𝑥 ∧ (𝐹‘(2nd ‘(ℎ‘𝑛))) = 𝑦 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝐹‘(2nd ‘(ℎ‘𝑖))) = (𝐹‘(1st ‘(ℎ‘(𝑖 + 1)))))} ↦ (ℝ*𝑠 Σg (𝐸 ∘ 𝑔))), ℝ*, < ) ∈ V
4	1, 3	fnmpoi 8070	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ inf(∪ 𝑛 ∈ ℕ ran (𝑔 ∈ {ℎ ∈ ((𝑉 × 𝑉) ↑m (1...𝑛)) ∣ ((𝐹‘(1st ‘(ℎ‘1))) = 𝑥 ∧ (𝐹‘(2nd ‘(ℎ‘𝑛))) = 𝑦 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝐹‘(2nd ‘(ℎ‘𝑖))) = (𝐹‘(1st ‘(ℎ‘(𝑖 + 1)))))} ↦ (ℝ*𝑠 Σg (𝐸 ∘ 𝑔))), ℝ*, < )) Fn (𝐵 × 𝐵)
5		imasbas.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
6		imasbas.v	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
7		imasbas.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
8		imasbas.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑍)
9		imasds.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (dist‘𝑅)
10		imasds.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑈)
11	5, 6, 7, 8, 9, 10	imasds 17603	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ inf(∪ 𝑛 ∈ ℕ ran (𝑔 ∈ {ℎ ∈ ((𝑉 × 𝑉) ↑m (1...𝑛)) ∣ ((𝐹‘(1st ‘(ℎ‘1))) = 𝑥 ∧ (𝐹‘(2nd ‘(ℎ‘𝑛))) = 𝑦 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝐹‘(2nd ‘(ℎ‘𝑖))) = (𝐹‘(1st ‘(ℎ‘(𝑖 + 1)))))} ↦ (ℝ*𝑠 Σg (𝐸 ∘ 𝑔))), ℝ*, < )))
12	11	fneq1d 6629	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 Fn (𝐵 × 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ inf(∪ 𝑛 ∈ ℕ ran (𝑔 ∈ {ℎ ∈ ((𝑉 × 𝑉) ↑m (1...𝑛)) ∣ ((𝐹‘(1st ‘(ℎ‘1))) = 𝑥 ∧ (𝐹‘(2nd ‘(ℎ‘𝑛))) = 𝑦 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝐹‘(2nd ‘(ℎ‘𝑖))) = (𝐹‘(1st ‘(ℎ‘(𝑖 + 1)))))} ↦ (ℝ*𝑠 Σg (𝐸 ∘ 𝑔))), ℝ*, < )) Fn (𝐵 × 𝐵)))
13	4, 12	mpbiri 261	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 Fn (𝐵 × 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  {crab 3414  ∪ ciun 4954   ↦ cmpt 5190   × cxp 5657  ran crn 5660   ∘ ccom 5663   Fn wfn 6532  –onto→wfo 6535  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   ∈ cmpo 7418  1^st c1st 7987  2^nd c2nd 7988   ↑_m cmap 8829  infcinf 9414  1c1 11128   + caddc 11130  ℝ^*cxr 11269   < clt 11270   − cmin 11468  ℕcn 12260  ...cfz 13563  Basecbs 17305  distcds 17355   Σ_g cgsu 17529  ℝ^*_𝑠cxrs 17590   “_s cimas 17594

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-inf 9416  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-fz 13564  df-struct 17243  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-ip 17364  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ds 17368  df-imas 17598

This theorem is used by:  imasf1oxmet  24602  imasf1omet  24603  xpsdsfn  24604