Theorem rescfth 17841

Description: The inclusion functor from a subcategory is a faithful functor. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
rescfth.d	⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐽)
rescfth.i	⊢ 𝐼 = (idfunc‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
rescfth	⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → 𝐼 ∈ (𝐷 Faith 𝐶))

Proof of Theorem rescfth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rescfth.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐽)
2	1	oveq2i 7352	. . 3 ⊢ (𝐷 Faith 𝐷) = (𝐷 Faith (𝐶 ↾cat 𝐽))
3		fthres2 17836	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → (𝐷 Faith (𝐶 ↾cat 𝐽)) ⊆ (𝐷 Faith 𝐶))
4	2, 3	eqsstrid 3968	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → (𝐷 Faith 𝐷) ⊆ (𝐷 Faith 𝐶))
5		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → 𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
6	1, 5	subccat 17750	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → 𝐷 ∈ Cat)
7		rescfth.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (idfunc‘𝐷)
8	7	idffth 17837	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ Cat → 𝐼 ∈ ((𝐷 Full 𝐷) ∩ (𝐷 Faith 𝐷)))
9	6, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → 𝐼 ∈ ((𝐷 Full 𝐷) ∩ (𝐷 Faith 𝐷)))
10	9	elin2d 4150	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → 𝐼 ∈ (𝐷 Faith 𝐷))
11	4, 10	sseldd 3930	1 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → 𝐼 ∈ (𝐷 Faith 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ∩ cin 3896  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  Catccat 17565   ↾_cat cresc 17710  Subcatcsubc 17711  id_funccidfu 17757   Full cful 17806   Faith cfth 17807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-map 8747  df-pm 8748  df-ixp 8817  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-7 12188  df-8 12189  df-9 12190  df-n0 12377  df-z 12464  df-dec 12584  df-sets 17070  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-ress 17137  df-hom 17180  df-cco 17181  df-cat 17569  df-cid 17570  df-homf 17571  df-ssc 17712  df-resc 17713  df-subc 17714  df-func 17760  df-idfu 17761  df-full 17808  df-fth 17809

This theorem is referenced by:  inclfusubc  17845