Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isumle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isumle 15190
 Description: Comparison of two infinite sums. (Contributed by Paul Chapman, 13-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumle.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
isumle.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
isumle.3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
isumle.4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℝ)
isumle.5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = 𝐵)
isumle.6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
isumle.7 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴𝐵)
isumle.8 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
isumle.9 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
isumle (𝜑 → Σ𝑘𝑍 𝐴 ≤ Σ𝑘𝑍 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem isumle
StepHypRef Expression
1 isumle.1 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 isumle.2 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 isumle.8 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
4 climdm 14902 . . . 4 (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)))
53, 4sylib 221 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)))
6 isumle.9 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
7 climdm 14902 . . . 4 (seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑀( + , 𝐺) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐺)))
86, 7sylib 221 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐺)))
9 isumle.3 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
10 isumle.4 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℝ)
119, 10eqeltrd 2914 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
12 isumle.5 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = 𝐵)
13 isumle.6 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
1412, 13eqeltrd 2914 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
15 isumle.7 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴𝐵)
1615, 9, 123brtr4d 5074 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐺𝑘))
171, 2, 5, 8, 11, 14, 16iserle 15007 . 2 (𝜑 → ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)) ≤ ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐺)))
1810recnd 10658 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
191, 2, 9, 18isum 15067 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝑍 𝐴 = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)))
2013recnd 10658 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
211, 2, 12, 20isum 15067 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝑍 𝐵 = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐺)))
2217, 19, 213brtr4d 5074 1 (𝜑 → Σ𝑘𝑍 𝐴 ≤ Σ𝑘𝑍 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5042  dom cdm 5532  ‘cfv 6334  ℝcr 10525   + caddc 10529   ≤ cle 10665  ℤcz 11969  ℤ≥cuz 12231  seqcseq 13364   ⇝ cli 14832  Σcsu 15033 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-inf2 9092  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-se 5492  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-isom 6343  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-pm 8396  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-clim 14836  df-rlim 14837  df-sum 15034 This theorem is referenced by:  isumless  15191  eftlub  15453  eflegeo  15465  rpnnen2lem7  15564  aaliou3lem3  24938  abelthlem7  25031  log2tlbnd  25529
 Copyright terms: Public domain W3C validator