Theorem isumle 15937

Description: Comparison of two infinite sums. (Contributed by Paul Chapman, 13-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isumle.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
isumle.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
isumle.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
isumle.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℝ)
isumle.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) = 𝐵)
isumle.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
isumle.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ≤ 𝐵)
isumle.8	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
isumle.9	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )

Assertion

Ref	Expression
isumle	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem isumle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumle.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		isumle.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		isumle.8	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
4		climdm 15645	. . . 4 ⊢ (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)))
5	3, 4	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)))
6		isumle.9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
7		climdm 15645	. . . 4 ⊢ (seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑀( + , 𝐺) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐺)))
8	6, 7	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐺)))
9		isumle.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
10		isumle.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℝ)
11	9, 10	eqeltrd 2862	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
12		isumle.5	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) = 𝐵)
13		isumle.6	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
14	12, 13	eqeltrd 2862	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
15		isumle.7	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ≤ 𝐵)
16	15, 9, 12	3brtr4d 5141	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐺‘𝑘))
17	1, 2, 5, 8, 11, 14, 16	iserle 15751	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)) ≤ ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐺)))
18	10	recnd 11265	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
19	1, 2, 9, 18	isum 15809	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)))
20	13	recnd 11265	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
21	1, 2, 12, 20	isum 15809	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐵 = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐺)))
22	17, 19, 21	3brtr4d 5141	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  dom cdm 5659  ‘cfv 6537  ℝcr 11127   + caddc 11131   ≤ cle 11272  ℤcz 12619  ℤ_≥cuz 12891  seqcseq 14069   ⇝ cli 15575  Σcsu 15777

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-inf2 9624  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-pm 8833  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-sup 9416  df-inf 9417  df-oi 9486  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-rp 13047  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-fl 13857  df-seq 14070  df-exp 14130  df-hash 14399  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-clim 15579  df-rlim 15580  df-sum 15778

This theorem is used by:  isumless  15938  eftlub  16203  eflegeo  16215  rpnnen2lem7  16314  aaliou3lem3  26587  abelthlem7  26681  log2tlbnd  27190