Theorem isumle 15790

Description: Comparison of two infinite sums. (Contributed by Paul Chapman, 13-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isumle.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
isumle.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
isumle.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
isumle.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℝ)
isumle.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) = 𝐵)
isumle.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
isumle.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ≤ 𝐵)
isumle.8	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
isumle.9	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )

Assertion

Ref	Expression
isumle	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem isumle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumle.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		isumle.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		isumle.8	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
4		climdm 15498	. . . 4 ⊢ (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)))
5	3, 4	sylib 217	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)))
6		isumle.9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
7		climdm 15498	. . . 4 ⊢ (seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑀( + , 𝐺) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐺)))
8	6, 7	sylib 217	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐺)))
9		isumle.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
10		isumle.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℝ)
11	9, 10	eqeltrd 2834	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
12		isumle.5	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) = 𝐵)
13		isumle.6	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
14	12, 13	eqeltrd 2834	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
15		isumle.7	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ≤ 𝐵)
16	15, 9, 12	3brtr4d 5181	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐺‘𝑘))
17	1, 2, 5, 8, 11, 14, 16	iserle 15606	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)) ≤ ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐺)))
18	10	recnd 11242	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
19	1, 2, 9, 18	isum 15665	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)))
20	13	recnd 11242	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
21	1, 2, 12, 20	isum 15665	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐵 = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐺)))
22	17, 19, 21	3brtr4d 5181	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  dom cdm 5677  ‘cfv 6544  ℝcr 11109   + caddc 11113   ≤ cle 11249  ℤcz 12558  ℤ_≥cuz 12822  seqcseq 13966   ⇝ cli 15428  Σcsu 15632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633

This theorem is referenced by:  isumless  15791  eftlub  16052  eflegeo  16064  rpnnen2lem7  16163  aaliou3lem3  25857  abelthlem7  25950  log2tlbnd  26450