MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climlec2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climlec2 15602
Description: Comparison of a constant to the limit of a sequence. (Contributed by NM, 28-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
clim2ser.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climlec2.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climlec2.3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
climlec2.4 (𝜑𝐹𝐵)
climlec2.5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
climlec2.6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ≤ (𝐹𝑘))
Assertion
Ref Expression
climlec2 (𝜑𝐴𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Proof of Theorem climlec2
StepHypRef Expression
1 clim2ser.1 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 climlec2.2 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 climlec2.3 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
43recnd 11239 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
5 0z 12566 . . 3 0 ∈ ℤ
6 uzssz 12840 . . . 4 (ℤ‘0) ⊆ ℤ
7 zex 12564 . . . 4 ℤ ∈ V
86, 7climconst2 15489 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℤ) → (ℤ × {𝐴}) ⇝ 𝐴)
94, 5, 8sylancl 585 . 2 (𝜑 → (ℤ × {𝐴}) ⇝ 𝐴)
10 climlec2.4 . 2 (𝜑𝐹𝐵)
11 eluzelz 12829 . . . . 5 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
1211, 1eleq2s 2843 . . . 4 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℤ)
13 fvconst2g 7195 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((ℤ × {𝐴})‘𝑘) = 𝐴)
143, 12, 13syl2an 595 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((ℤ × {𝐴})‘𝑘) = 𝐴)
153adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℝ)
1614, 15eqeltrd 2825 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → ((ℤ × {𝐴})‘𝑘) ∈ ℝ)
17 climlec2.5 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
18 climlec2.6 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ≤ (𝐹𝑘))
1914, 18eqbrtrd 5160 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → ((ℤ × {𝐴})‘𝑘) ≤ (𝐹𝑘))
201, 2, 9, 10, 16, 17, 19climle 15581 1 (𝜑𝐴𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  {csn 4620   class class class wbr 5138   × cxp 5664  cfv 6533  cc 11104  cr 11105  0cc0 11106  cle 11246  cz 12555  cuz 12819  cli 15425
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-rp 12972  df-fl 13754  df-seq 13964  df-exp 14025  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-clim 15429  df-rlim 15430
This theorem is referenced by:  climub  15605  climlec3  35198  dvgrat  43560
  Copyright terms: Public domain W3C validator