MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climlec2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climlec2 15611
Description: Comparison of a constant to the limit of a sequence. (Contributed by NM, 28-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
clim2ser.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climlec2.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climlec2.3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
climlec2.4 (𝜑𝐹𝐵)
climlec2.5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
climlec2.6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ≤ (𝐹𝑘))
Assertion
Ref Expression
climlec2 (𝜑𝐴𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Proof of Theorem climlec2
StepHypRef Expression
1 clim2ser.1 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 climlec2.2 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 climlec2.3 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
43recnd 11246 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
5 0z 12573 . . 3 0 ∈ ℤ
6 uzssz 12847 . . . 4 (ℤ‘0) ⊆ ℤ
7 zex 12571 . . . 4 ℤ ∈ V
86, 7climconst2 15498 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℤ) → (ℤ × {𝐴}) ⇝ 𝐴)
94, 5, 8sylancl 585 . 2 (𝜑 → (ℤ × {𝐴}) ⇝ 𝐴)
10 climlec2.4 . 2 (𝜑𝐹𝐵)
11 eluzelz 12836 . . . . 5 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
1211, 1eleq2s 2845 . . . 4 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℤ)
13 fvconst2g 7199 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((ℤ × {𝐴})‘𝑘) = 𝐴)
143, 12, 13syl2an 595 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((ℤ × {𝐴})‘𝑘) = 𝐴)
153adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℝ)
1614, 15eqeltrd 2827 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → ((ℤ × {𝐴})‘𝑘) ∈ ℝ)
17 climlec2.5 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
18 climlec2.6 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ≤ (𝐹𝑘))
1914, 18eqbrtrd 5163 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → ((ℤ × {𝐴})‘𝑘) ≤ (𝐹𝑘))
201, 2, 9, 10, 16, 17, 19climle 15590 1 (𝜑𝐴𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  {csn 4623   class class class wbr 5141   × cxp 5667  cfv 6537  cc 11110  cr 11111  0cc0 11112  cle 11253  cz 12562  cuz 12826  cli 15434
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-rlim 15439
This theorem is referenced by:  climub  15614  climlec3  35237  dvgrat  43644
  Copyright terms: Public domain W3C validator