Theorem isprimroot2 42960

Description: Alternative way of creating primitive roots. (Contributed by metakunt, 14-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
isprimroot2.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
isprimroot2.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
isprimroot2.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (Base‘𝑅))
isprimroot2.4	⊢ (𝜑 → ((od‘𝑅)‘𝑀) = 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
isprimroot2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾))

Proof of Theorem isprimroot2

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isprimroot2.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (Base‘𝑅))
2		isprimroot2.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((od‘𝑅)‘𝑀) = 𝐾)
3	2	eqcomd 2766	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = ((od‘𝑅)‘𝑀))
4	3	oveq1d 7428	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾(.g‘𝑅)𝑀) = (((od‘𝑅)‘𝑀)(.g‘𝑅)𝑀))
5		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (od‘𝑅) = (od‘𝑅)
7		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (.g‘𝑅) = (.g‘𝑅)
8		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
9	5, 6, 7, 8	odid 19665	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (Base‘𝑅) → (((od‘𝑅)‘𝑀)(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅))
10	1, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((od‘𝑅)‘𝑀)(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅))
11	4, 10	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅))
12	2	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅)) → ((od‘𝑅)‘𝑀) = 𝐾)
13	12	eqcomd 2766	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅)) → 𝐾 = ((od‘𝑅)‘𝑀))
14		isprimroot2.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
15	14	cmnmndd 19931	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
16	15	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Mnd)
17	1	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ (Base‘𝑅))
18		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → 𝑙 ∈ ℕ0)
19	5, 6, 7, 8	oddvdsnn0 19671	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → (((od‘𝑅)‘𝑀) ∥ 𝑙 ↔ (𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅)))
20	16, 17, 18, 19	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → (((od‘𝑅)‘𝑀) ∥ 𝑙 ↔ (𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅)))
21	20	bicomd 226	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ((𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) ↔ ((od‘𝑅)‘𝑀) ∥ 𝑙))
22	21	biimpd 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ((𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) → ((od‘𝑅)‘𝑀) ∥ 𝑙))
23	22	imp 412	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅)) → ((od‘𝑅)‘𝑀) ∥ 𝑙)
24	13, 23	eqbrtrd 5127	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅)) → 𝐾 ∥ 𝑙)
25	24	ex 418	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ((𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) → 𝐾 ∥ 𝑙))
26	25	ralrimiva 3154	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) → 𝐾 ∥ 𝑙))
27	1, 11, 26	3jca 1146	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐾(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) → 𝐾 ∥ 𝑙)))
28		isprimroot2.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
29	28	nnnn0d 12589	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
30	14, 29, 7	isprimroot 42959	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾) ↔ (𝑀 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐾(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) → 𝐾 ∥ 𝑙))))
31	27, 30	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  ℕcn 12257  ℕ₀cn0 12528   ∥ cdvds 16342  Basecbs 17301  0_gc0g 17524  Mndcmnd 18836  ._gcmg 19190  odcod 19651  CMndccmn 19907   PrimRoots cprimroots 42957

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-rp 13043  df-fz 13562  df-fl 13853  df-mod 13931  df-seq 14066  df-dvds 16343  df-0g 17526  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-mulg 19191  df-od 19655  df-cmn 19909  df-primroots 42958

This theorem is used by:  unitscyglem5  43065