Theorem isprimroot2 43336

Description: Alternative way of creating primitive roots. (Contributed by metakunt, 14-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
isprimroot2.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
isprimroot2.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
isprimroot2.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (Base‘𝑅))
isprimroot2.4	⊢ (𝜑 → ((od‘𝑅)‘𝑀) = 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
isprimroot2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾))

Proof of Theorem isprimroot2

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isprimroot2.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (Base‘𝑅))
2		isprimroot2.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((od‘𝑅)‘𝑀) = 𝐾)
3	2	eqcomd 2769	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = ((od‘𝑅)‘𝑀))
4	3	oveq1d 7458	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾(.g‘𝑅)𝑀) = (((od‘𝑅)‘𝑀)(.g‘𝑅)𝑀))
5		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (od‘𝑅) = (od‘𝑅)
7		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (.g‘𝑅) = (.g‘𝑅)
8		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
9	5, 6, 7, 8	odid 19782	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (Base‘𝑅) → (((od‘𝑅)‘𝑀)(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅))
10	1, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((od‘𝑅)‘𝑀)(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅))
11	4, 10	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅))
12	2	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅)) → ((od‘𝑅)‘𝑀) = 𝐾)
13	12	eqcomd 2769	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅)) → 𝐾 = ((od‘𝑅)‘𝑀))
14		isprimroot2.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
15	14	cmnmndd 20048	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
16	15	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Mnd)
17	1	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ (Base‘𝑅))
18		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → 𝑙 ∈ ℕ0)
19	5, 6, 7, 8	oddvdsnn0 19788	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → (((od‘𝑅)‘𝑀) ∥ 𝑙 ↔ (𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅)))
20	16, 17, 18, 19	syl3anc 1399	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → (((od‘𝑅)‘𝑀) ∥ 𝑙 ↔ (𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅)))
21	20	bicomd 226	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ((𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) ↔ ((od‘𝑅)‘𝑀) ∥ 𝑙))
22	21	biimpd 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ((𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) → ((od‘𝑅)‘𝑀) ∥ 𝑙))
23	22	imp 412	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅)) → ((od‘𝑅)‘𝑀) ∥ 𝑙)
24	13, 23	eqbrtrd 5130	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅)) → 𝐾 ∥ 𝑙)
25	24	ex 418	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ((𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) → 𝐾 ∥ 𝑙))
26	25	ralrimiva 3158	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) → 𝐾 ∥ 𝑙))
27	1, 11, 26	3jca 1146	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐾(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) → 𝐾 ∥ 𝑙)))
28		isprimroot2.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
29	28	nnnn0d 12694	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
30	14, 29, 7	isprimroot 43335	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾) ↔ (𝑀 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐾(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) → 𝐾 ∥ 𝑙))))
31	27, 30	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080   class class class wbr 5106  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  ℕcn 12362  ℕ₀cn0 12633   ∥ cdvds 16451  Basecbs 17416  0_gc0g 17639  Mndcmnd 18952  ._gcmg 19306  odcod 19768  CMndccmn 20024   PrimRoots cprimroots 43333

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-sup 9461  df-inf 9462  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-rp 13148  df-fz 13667  df-fl 13959  df-mod 14037  df-seq 14172  df-dvds 16452  df-0g 17641  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-mulg 19307  df-od 19772  df-cmn 20026  df-primroots 43334

This theorem is used by:  unitscyglem5  43441