Theorem isprimroot2 42089

Description: Alternative way of creating primitive roots. (Contributed by metakunt, 14-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
isprimroot2.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
isprimroot2.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
isprimroot2.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (Base‘𝑅))
isprimroot2.4	⊢ (𝜑 → ((od‘𝑅)‘𝑀) = 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
isprimroot2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾))

Proof of Theorem isprimroot2

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isprimroot2.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (Base‘𝑅))
2		isprimroot2.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((od‘𝑅)‘𝑀) = 𝐾)
3	2	eqcomd 2736	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = ((od‘𝑅)‘𝑀))
4	3	oveq1d 7405	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾(.g‘𝑅)𝑀) = (((od‘𝑅)‘𝑀)(.g‘𝑅)𝑀))
5		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (od‘𝑅) = (od‘𝑅)
7		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (.g‘𝑅) = (.g‘𝑅)
8		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
9	5, 6, 7, 8	odid 19475	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (Base‘𝑅) → (((od‘𝑅)‘𝑀)(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅))
10	1, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((od‘𝑅)‘𝑀)(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅))
11	4, 10	eqtrd 2765	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅))
12	2	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅)) → ((od‘𝑅)‘𝑀) = 𝐾)
13	12	eqcomd 2736	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅)) → 𝐾 = ((od‘𝑅)‘𝑀))
14		isprimroot2.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
15	14	cmnmndd 19741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
16	15	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Mnd)
17	1	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ (Base‘𝑅))
18		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → 𝑙 ∈ ℕ0)
19	5, 6, 7, 8	oddvdsnn0 19481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → (((od‘𝑅)‘𝑀) ∥ 𝑙 ↔ (𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅)))
20	16, 17, 18, 19	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → (((od‘𝑅)‘𝑀) ∥ 𝑙 ↔ (𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅)))
21	20	bicomd 223	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ((𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) ↔ ((od‘𝑅)‘𝑀) ∥ 𝑙))
22	21	biimpd 229	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ((𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) → ((od‘𝑅)‘𝑀) ∥ 𝑙))
23	22	imp 406	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅)) → ((od‘𝑅)‘𝑀) ∥ 𝑙)
24	13, 23	eqbrtrd 5132	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅)) → 𝐾 ∥ 𝑙)
25	24	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ((𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) → 𝐾 ∥ 𝑙))
26	25	ralrimiva 3126	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) → 𝐾 ∥ 𝑙))
27	1, 11, 26	3jca 1128	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐾(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) → 𝐾 ∥ 𝑙)))
28		isprimroot2.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
29	28	nnnn0d 12510	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
30	14, 29, 7	isprimroot 42088	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾) ↔ (𝑀 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐾(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) → 𝐾 ∥ 𝑙))))
31	27, 30	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℕcn 12193  ℕ₀cn0 12449   ∥ cdvds 16229  Basecbs 17186  0_gc0g 17409  Mndcmnd 18668  ._gcmg 19006  odcod 19461  CMndccmn 19717   PrimRoots cprimroots 42086

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-fz 13476  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13974  df-dvds 16230  df-0g 17411  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-mulg 19007  df-od 19465  df-cmn 19719  df-primroots 42087

This theorem is referenced by:  unitscyglem5  42194