Theorem isprimroot2 42533

Description: Alternative way of creating primitive roots. (Contributed by metakunt, 14-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
isprimroot2.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
isprimroot2.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
isprimroot2.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (Base‘𝑅))
isprimroot2.4	⊢ (𝜑 → ((od‘𝑅)‘𝑀) = 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
isprimroot2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾))

Proof of Theorem isprimroot2

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isprimroot2.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (Base‘𝑅))
2		isprimroot2.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((od‘𝑅)‘𝑀) = 𝐾)
3	2	eqcomd 2742	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = ((od‘𝑅)‘𝑀))
4	3	oveq1d 7382	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾(.g‘𝑅)𝑀) = (((od‘𝑅)‘𝑀)(.g‘𝑅)𝑀))
5		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (od‘𝑅) = (od‘𝑅)
7		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (.g‘𝑅) = (.g‘𝑅)
8		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
9	5, 6, 7, 8	odid 19513	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (Base‘𝑅) → (((od‘𝑅)‘𝑀)(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅))
10	1, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((od‘𝑅)‘𝑀)(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅))
11	4, 10	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅))
12	2	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅)) → ((od‘𝑅)‘𝑀) = 𝐾)
13	12	eqcomd 2742	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅)) → 𝐾 = ((od‘𝑅)‘𝑀))
14		isprimroot2.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
15	14	cmnmndd 19779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
16	15	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Mnd)
17	1	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ (Base‘𝑅))
18		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → 𝑙 ∈ ℕ0)
19	5, 6, 7, 8	oddvdsnn0 19519	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → (((od‘𝑅)‘𝑀) ∥ 𝑙 ↔ (𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅)))
20	16, 17, 18, 19	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → (((od‘𝑅)‘𝑀) ∥ 𝑙 ↔ (𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅)))
21	20	bicomd 223	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ((𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) ↔ ((od‘𝑅)‘𝑀) ∥ 𝑙))
22	21	biimpd 229	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ((𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) → ((od‘𝑅)‘𝑀) ∥ 𝑙))
23	22	imp 406	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅)) → ((od‘𝑅)‘𝑀) ∥ 𝑙)
24	13, 23	eqbrtrd 5107	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅)) → 𝐾 ∥ 𝑙)
25	24	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ((𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) → 𝐾 ∥ 𝑙))
26	25	ralrimiva 3129	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) → 𝐾 ∥ 𝑙))
27	1, 11, 26	3jca 1129	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐾(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) → 𝐾 ∥ 𝑙)))
28		isprimroot2.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
29	28	nnnn0d 12498	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
30	14, 29, 7	isprimroot 42532	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾) ↔ (𝑀 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐾(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) → 𝐾 ∥ 𝑙))))
31	27, 30	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℕcn 12174  ℕ₀cn0 12437   ∥ cdvds 16221  Basecbs 17179  0_gc0g 17402  Mndcmnd 18702  ._gcmg 19043  odcod 19499  CMndccmn 19755   PrimRoots cprimroots 42530

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fz 13462  df-fl 13751  df-mod 13829  df-seq 13964  df-dvds 16222  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-mulg 19044  df-od 19503  df-cmn 19757  df-primroots 42531

This theorem is referenced by:  unitscyglem5  42638