Theorem isprimroot2 42344

Description: Alternative way of creating primitive roots. (Contributed by metakunt, 14-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
isprimroot2.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
isprimroot2.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
isprimroot2.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (Base‘𝑅))
isprimroot2.4	⊢ (𝜑 → ((od‘𝑅)‘𝑀) = 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
isprimroot2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾))

Proof of Theorem isprimroot2

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isprimroot2.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (Base‘𝑅))
2		isprimroot2.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((od‘𝑅)‘𝑀) = 𝐾)
3	2	eqcomd 2742	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = ((od‘𝑅)‘𝑀))
4	3	oveq1d 7373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾(.g‘𝑅)𝑀) = (((od‘𝑅)‘𝑀)(.g‘𝑅)𝑀))
5		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (od‘𝑅) = (od‘𝑅)
7		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (.g‘𝑅) = (.g‘𝑅)
8		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
9	5, 6, 7, 8	odid 19467	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (Base‘𝑅) → (((od‘𝑅)‘𝑀)(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅))
10	1, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((od‘𝑅)‘𝑀)(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅))
11	4, 10	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅))
12	2	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅)) → ((od‘𝑅)‘𝑀) = 𝐾)
13	12	eqcomd 2742	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅)) → 𝐾 = ((od‘𝑅)‘𝑀))
14		isprimroot2.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
15	14	cmnmndd 19733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
16	15	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Mnd)
17	1	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ (Base‘𝑅))
18		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → 𝑙 ∈ ℕ0)
19	5, 6, 7, 8	oddvdsnn0 19473	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → (((od‘𝑅)‘𝑀) ∥ 𝑙 ↔ (𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅)))
20	16, 17, 18, 19	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → (((od‘𝑅)‘𝑀) ∥ 𝑙 ↔ (𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅)))
21	20	bicomd 223	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ((𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) ↔ ((od‘𝑅)‘𝑀) ∥ 𝑙))
22	21	biimpd 229	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ((𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) → ((od‘𝑅)‘𝑀) ∥ 𝑙))
23	22	imp 406	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅)) → ((od‘𝑅)‘𝑀) ∥ 𝑙)
24	13, 23	eqbrtrd 5120	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅)) → 𝐾 ∥ 𝑙)
25	24	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ((𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) → 𝐾 ∥ 𝑙))
26	25	ralrimiva 3128	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) → 𝐾 ∥ 𝑙))
27	1, 11, 26	3jca 1128	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐾(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) → 𝐾 ∥ 𝑙)))
28		isprimroot2.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
29	28	nnnn0d 12462	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
30	14, 29, 7	isprimroot 42343	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾) ↔ (𝑀 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐾(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) → 𝐾 ∥ 𝑙))))
31	27, 30	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℕcn 12145  ℕ₀cn0 12401   ∥ cdvds 16179  Basecbs 17136  0_gc0g 17359  Mndcmnd 18659  ._gcmg 18997  odcod 19453  CMndccmn 19709   PrimRoots cprimroots 42341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fz 13424  df-fl 13712  df-mod 13790  df-seq 13925  df-dvds 16180  df-0g 17361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mulg 18998  df-od 19457  df-cmn 19711  df-primroots 42342

This theorem is referenced by:  unitscyglem5  42449