Theorem ldualssvscl 38685

Description: Closure of scalar product in a dual subspace.) (Contributed by NM, 5-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualssvscl.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualssvscl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
ldualssvscl.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualssvscl.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
ldualssvscl.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝐷)
ldualssvscl.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
ldualssvscl.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
ldualssvscl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
ldualssvscl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
ldualssvscl	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem ldualssvscl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ldualssvscl.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
2		ldualssvscl.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	lduallmod 38680	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LMod)
4		ldualssvscl.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
5		ldualssvscl.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
6		ldualssvscl.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
7		ldualssvscl.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
8		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝐷) = (Scalar‘𝐷)
9		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝐷))
10	6, 7, 1, 8, 9, 2	ldualsbase 38660	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐷)) = 𝐾)
11	5, 10	eleqtrrd 2828	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)))
12		ldualssvscl.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
13		ldualssvscl.t	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
14		ldualssvscl.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝐷)
15	8, 13, 9, 14	lssvscl 20841	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)) ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈)
16	3, 4, 11, 12, 15	syl22anc 837	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6542  (class class class)co 7415  Basecbs 17177  Scalarcsca 17233   ·_𝑠 cvsca 17234  LModclmod 20745  LSubSpclss 20817  LDualcld 38650

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-tpos 8228  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13515  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-0g 17420  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-sbg 18897  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-rng 20095  df-ur 20124  df-ring 20177  df-oppr 20275  df-lmod 20747  df-lss 20818  df-lfl 38585  df-ldual 38651

This theorem is referenced by:  lcfrlem16  41086  lcfrlem37  41107  mapdrvallem2  41173