Theorem ldualssvscl 39659

Description: Closure of scalar product in a dual subspace.) (Contributed by NM, 5-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualssvscl.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualssvscl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
ldualssvscl.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualssvscl.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
ldualssvscl.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝐷)
ldualssvscl.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
ldualssvscl.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
ldualssvscl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
ldualssvscl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
ldualssvscl	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem ldualssvscl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ldualssvscl.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
2		ldualssvscl.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	lduallmod 39654	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LMod)
4		ldualssvscl.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
5		ldualssvscl.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
6		ldualssvscl.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
7		ldualssvscl.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
8		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝐷) = (Scalar‘𝐷)
9		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝐷))
10	6, 7, 1, 8, 9, 2	ldualsbase 39634	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐷)) = 𝐾)
11	5, 10	eleqtrrd 2842	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)))
12		ldualssvscl.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
13		ldualssvscl.t	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
14		ldualssvscl.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝐷)
15	8, 13, 9, 14	lssvscl 20946	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)) ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈)
16	3, 4, 11, 12, 15	syl22anc 844	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357  Basecbs 17171  Scalarcsca 17215   ·_𝑠 cvsca 17216  LModclmod 20851  LSubSpclss 20922  LDualcld 39624

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-tp 4561  df-op 4563  df-uni 4840  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7621  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-tpos 8167  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-er 8634  df-map 8766  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12167  df-2 12236  df-3 12237  df-4 12238  df-5 12239  df-6 12240  df-n0 12430  df-z 12517  df-uz 12781  df-fz 13454  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17172  df-plusg 17225  df-mulr 17226  df-sca 17228  df-vsca 17229  df-0g 17396  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-grp 18904  df-minusg 18905  df-sbg 18906  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20114  df-rng 20126  df-ur 20155  df-ring 20208  df-oppr 20309  df-lmod 20853  df-lss 20923  df-lfl 39559  df-ldual 39625

This theorem is referenced by:  lcfrlem16  42059  lcfrlem37  42080  mapdrvallem2  42146