Theorem ldualssvscl 38522

Description: Closure of scalar product in a dual subspace.) (Contributed by NM, 5-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualssvscl.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualssvscl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
ldualssvscl.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualssvscl.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
ldualssvscl.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝐷)
ldualssvscl.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
ldualssvscl.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
ldualssvscl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
ldualssvscl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
ldualssvscl	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem ldualssvscl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ldualssvscl.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
2		ldualssvscl.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	lduallmod 38517	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LMod)
4		ldualssvscl.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
5		ldualssvscl.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
6		ldualssvscl.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
7		ldualssvscl.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
8		eqid 2724	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝐷) = (Scalar‘𝐷)
9		eqid 2724	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝐷))
10	6, 7, 1, 8, 9, 2	ldualsbase 38497	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐷)) = 𝐾)
11	5, 10	eleqtrrd 2828	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)))
12		ldualssvscl.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
13		ldualssvscl.t	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
14		ldualssvscl.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝐷)
15	8, 13, 9, 14	lssvscl 20794	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)) ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈)
16	3, 4, 11, 12, 15	syl22anc 836	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402  Basecbs 17145  Scalarcsca 17201   ·_𝑠 cvsca 17202  LModclmod 20698  LSubSpclss 20770  LDualcld 38487

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-n0 12471  df-z 12557  df-uz 12821  df-fz 13483  df-struct 17081  df-sets 17098  df-slot 17116  df-ndx 17128  df-base 17146  df-plusg 17211  df-mulr 17212  df-sca 17214  df-vsca 17215  df-0g 17388  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20032  df-rng 20050  df-ur 20079  df-ring 20132  df-oppr 20228  df-lmod 20700  df-lss 20771  df-lfl 38422  df-ldual 38488

This theorem is referenced by:  lcfrlem16  40923  lcfrlem37  40944  mapdrvallem2  41010