Theorem ldualssvscl 36909

Description: Closure of scalar product in a dual subspace.) (Contributed by NM, 5-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualssvscl.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualssvscl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
ldualssvscl.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualssvscl.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
ldualssvscl.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝐷)
ldualssvscl.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
ldualssvscl.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
ldualssvscl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
ldualssvscl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
ldualssvscl	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem ldualssvscl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ldualssvscl.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
2		ldualssvscl.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	lduallmod 36904	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LMod)
4		ldualssvscl.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
5		ldualssvscl.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
6		ldualssvscl.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
7		ldualssvscl.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
8		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝐷) = (Scalar‘𝐷)
9		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝐷))
10	6, 7, 1, 8, 9, 2	ldualsbase 36884	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐷)) = 𝐾)
11	5, 10	eleqtrrd 2841	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)))
12		ldualssvscl.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
13		ldualssvscl.t	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
14		ldualssvscl.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝐷)
15	8, 13, 9, 14	lssvscl 19992	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)) ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈)
16	3, 4, 11, 12, 15	syl22anc 839	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  Basecbs 16760  Scalarcsca 16805   ·_𝑠 cvsca 16806  LModclmod 19899  LSubSpclss 19968  LDualcld 36874

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-tpos 7968  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-fz 13096  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-sca 16818  df-vsca 16819  df-0g 16946  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-grp 18368  df-minusg 18369  df-sbg 18370  df-cmn 19172  df-abl 19173  df-mgp 19505  df-ur 19517  df-ring 19564  df-oppr 19641  df-lmod 19901  df-lss 19969  df-lfl 36809  df-ldual 36875

This theorem is referenced by:  lcfrlem16  39309  lcfrlem37  39330  mapdrvallem2  39396