Theorem ldualssvscl 40358

Description: Closure of scalar product in a dual subspace.) (Contributed by NM, 5-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualssvscl.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualssvscl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
ldualssvscl.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualssvscl.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
ldualssvscl.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝐷)
ldualssvscl.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
ldualssvscl.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
ldualssvscl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
ldualssvscl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
ldualssvscl	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem ldualssvscl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ldualssvscl.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
2		ldualssvscl.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	lduallmod 40353	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LMod)
4		ldualssvscl.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
5		ldualssvscl.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
6		ldualssvscl.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
7		ldualssvscl.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
8		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝐷) = (Scalar‘𝐷)
9		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝐷))
10	6, 7, 1, 8, 9, 2	ldualsbase 40333	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐷)) = 𝐾)
11	5, 10	eleqtrrd 2867	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)))
12		ldualssvscl.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
13		ldualssvscl.t	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
14		ldualssvscl.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝐷)
15	8, 13, 9, 14	lssvscl 21245	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)) ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈)
16	3, 4, 11, 12, 15	syl22anc 852	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  Basecbs 17402  Scalarcsca 17446   ·_𝑠 cvsca 17447  LModclmod 21150  LSubSpclss 21221  LDualcld 40323

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7703  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-tpos 8257  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-er 8731  df-map 8863  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-4 12420  df-5 12421  df-6 12422  df-n0 12620  df-z 12707  df-uz 12979  df-fz 13653  df-struct 17340  df-sets 17357  df-slot 17375  df-ndx 17387  df-base 17403  df-plusg 17456  df-mulr 17457  df-sca 17459  df-vsca 17460  df-0g 17627  df-mgm 18831  df-sgrp 18923  df-mnd 18939  df-grp 19162  df-minusg 19163  df-sbg 19164  df-cmn 20011  df-abl 20012  df-mgp 20376  df-rng 20390  df-ur 20423  df-ring 20476  df-oppr 20582  df-lmod 21152  df-lss 21222  df-lfl 40258  df-ldual 40324

This theorem is used by:  lcfrlem16  42758  lcfrlem37  42779  mapdrvallem2  42845