Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldual1dim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldual1dim 39167
Description: Equivalent expressions for a 1-dim subspace (ray) of functionals. (Contributed by NM, 24-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ldual1dim.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldual1dim.l 𝐿 = (LKer‘𝑊)
ldual1dim.d 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldual1dim.n 𝑁 = (LSpan‘𝐷)
ldual1dim.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
ldual1dim.g (𝜑𝐺𝐹)
Assertion
Ref Expression
ldual1dim (𝜑 → (𝑁‘{𝐺}) = {𝑔𝐹 ∣ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)})
Distinct variable groups:   𝐷,𝑔   𝑔,𝐺   𝑔,𝑁   𝜑,𝑔
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑔)   𝐿(𝑔)   𝑊(𝑔)

Proof of Theorem ldual1dim
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . . . . . . 8 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
2 eqid 2737 . . . . . . . 8 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
3 ldual1dim.d . . . . . . . 8 𝐷 = (LDual‘𝑊)
4 eqid 2737 . . . . . . . 8 (Scalar‘𝐷) = (Scalar‘𝐷)
5 eqid 2737 . . . . . . . 8 (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝐷))
6 ldual1dim.w . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
71, 2, 3, 4, 5, 6ldualsbase 39134 . . . . . . 7 (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
87eleq2d 2827 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)) ↔ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
98anbi1d 631 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)) ∧ 𝑔 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐺)) ↔ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑔 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐺))))
10 ldual1dim.f . . . . . . . 8 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
11 eqid 2737 . . . . . . . 8 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
12 eqid 2737 . . . . . . . 8 (.r‘(Scalar‘𝑊)) = (.r‘(Scalar‘𝑊))
13 eqid 2737 . . . . . . . 8 ( ·𝑠𝐷) = ( ·𝑠𝐷)
146adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑊 ∈ LVec)
15 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
16 ldual1dim.g . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺𝐹)
1716adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → 𝐺𝐹)
1810, 11, 1, 2, 12, 3, 13, 14, 15, 17ldualvs 39138 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐺) = (𝐺f (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘})))
1918eqeq2d 2748 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑔 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐺) ↔ 𝑔 = (𝐺f (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘}))))
2019pm5.32da 579 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑔 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐺)) ↔ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑔 = (𝐺f (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘})))))
219, 20bitrd 279 . . . 4 (𝜑 → ((𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)) ∧ 𝑔 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐺)) ↔ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑔 = (𝐺f (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘})))))
2221rexbidv2 3175 . . 3 (𝜑 → (∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))𝑔 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐺) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑔 = (𝐺f (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘}))))
2322abbidv 2808 . 2 (𝜑 → {𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))𝑔 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐺)} = {𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑔 = (𝐺f (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘}))})
24 lveclmod 21105 . . . . 5 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
253, 24lduallmod 39154 . . . 4 (𝑊 ∈ LVec → 𝐷 ∈ LMod)
266, 25syl 17 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ LMod)
27 eqid 2737 . . . 4 (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
2810, 3, 27, 6, 16ldualelvbase 39128 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ (Base‘𝐷))
29 ldual1dim.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝐷)
304, 5, 27, 13, 29lspsn 21000 . . 3 ((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (Base‘𝐷)) → (𝑁‘{𝐺}) = {𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))𝑔 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐺)})
3126, 28, 30syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (𝑁‘{𝐺}) = {𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))𝑔 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐺)})
32 ldual1dim.l . . 3 𝐿 = (LKer‘𝑊)
3311, 1, 10, 32, 2, 12, 6, 16lfl1dim 39122 . 2 (𝜑 → {𝑔𝐹 ∣ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)} = {𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑔 = (𝐺f (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘}))})
3423, 31, 333eqtr4d 2787 1 (𝜑 → (𝑁‘{𝐺}) = {𝑔𝐹 ∣ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  {cab 2714  wrex 3070  {crab 3436  wss 3951  {csn 4626   × cxp 5683  cfv 6561  (class class class)co 7431  f cof 7695  Basecbs 17247  .rcmulr 17298  Scalarcsca 17300   ·𝑠 cvsca 17301  LModclmod 20858  LSpanclspn 20969  LVecclvec 21101  LFnlclfn 39058  LKerclk 39086  LDualcld 39124
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-cntz 19335  df-lsm 19654  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-nzr 20513  df-rlreg 20694  df-domn 20695  df-drng 20731  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-lvec 21102  df-lshyp 38978  df-lfl 39059  df-lkr 39087  df-ldual 39125
This theorem is referenced by:  mapdsn3  41645
  Copyright terms: Public domain W3C validator