Theorem ldual1dim 39426

Description: Equivalent expressions for a 1-dim subspace (ray) of functionals. (Contributed by NM, 24-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldual1dim.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldual1dim.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑊)
ldual1dim.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldual1dim.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝐷)
ldual1dim.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
ldual1dim.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ldual1dim	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝐺}) = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔)})

Distinct variable groups:   𝐷,𝑔   𝑔,𝐺   𝑔,𝑁   𝜑,𝑔

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑔)   𝐿(𝑔)   𝑊(𝑔)

Proof of Theorem ldual1dim

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
2		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
3		ldual1dim.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
4		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝐷) = (Scalar‘𝐷)
5		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝐷))
6		ldual1dim.w	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ldualsbase 39393	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
8	7	eleq2d 2822	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)) ↔ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
9	8	anbi1d 631	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)) ∧ 𝑔 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺)) ↔ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑔 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺))))
10		ldual1dim.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
11		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
12		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘(Scalar‘𝑊)) = (.r‘(Scalar‘𝑊))
13		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐷) = ( ·𝑠 ‘𝐷)
14	6	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑊 ∈ LVec)
15		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
16		ldual1dim.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
17	16	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → 𝐺 ∈ 𝐹)
18	10, 11, 1, 2, 12, 3, 13, 14, 15, 17	ldualvs 39397	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺) = (𝐺 ∘f (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘})))
19	18	eqeq2d 2747	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑔 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺) ↔ 𝑔 = (𝐺 ∘f (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘}))))
20	19	pm5.32da 579	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑔 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺)) ↔ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑔 = (𝐺 ∘f (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘})))))
21	9, 20	bitrd 279	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)) ∧ 𝑔 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺)) ↔ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑔 = (𝐺 ∘f (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘})))))
22	21	rexbidv2 3156	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))𝑔 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑔 = (𝐺 ∘f (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘}))))
23	22	abbidv 2802	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))𝑔 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺)} = {𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑔 = (𝐺 ∘f (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘}))})
24		lveclmod 21058	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
25	3, 24	lduallmod 39413	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐷 ∈ LMod)
26	6, 25	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LMod)
27		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
28	10, 3, 27, 6, 16	ldualelvbase 39387	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Base‘𝐷))
29		ldual1dim.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝐷)
30	4, 5, 27, 13, 29	lspsn 20953	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (Base‘𝐷)) → (𝑁‘{𝐺}) = {𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))𝑔 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺)})
31	26, 28, 30	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝐺}) = {𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))𝑔 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺)})
32		ldual1dim.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑊)
33	11, 1, 10, 32, 2, 12, 6, 16	lfl1dim 39381	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔)} = {𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑔 = (𝐺 ∘f (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘}))})
34	23, 31, 33	3eqtr4d 2781	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝐺}) = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔)})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {cab 2714  ∃wrex 3060  {crab 3399   ⊆ wss 3901  {csn 4580   × cxp 5622  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ∘_f cof 7620  Basecbs 17136  ._rcmulr 17178  Scalarcsca 17180   ·_𝑠 cvsca 17181  LModclmod 20811  LSpanclspn 20922  LVecclvec 21054  LFnlclfn 39317  LKerclk 39345  LDualcld 39383

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8168  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-0g 17361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18709  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19053  df-cntz 19246  df-lsm 19565  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-oppr 20273  df-dvdsr 20293  df-unit 20294  df-invr 20324  df-nzr 20446  df-rlreg 20627  df-domn 20628  df-drng 20664  df-lmod 20813  df-lss 20883  df-lsp 20923  df-lvec 21055  df-lshyp 39237  df-lfl 39318  df-lkr 39346  df-ldual 39384

This theorem is referenced by:  mapdsn3  41903