Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldual1dim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldual1dim 37631
Description: Equivalent expressions for a 1-dim subspace (ray) of functionals. (Contributed by NM, 24-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ldual1dim.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
ldual1dim.l 𝐿 = (LKerβ€˜π‘Š)
ldual1dim.d 𝐷 = (LDualβ€˜π‘Š)
ldual1dim.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π·)
ldual1dim.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
ldual1dim.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
Assertion
Ref Expression
ldual1dim (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝐺}) = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”)})
Distinct variable groups:   𝐷,𝑔   𝑔,𝐺   𝑔,𝑁   πœ‘,𝑔
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑔)   𝐿(𝑔)   π‘Š(𝑔)

Proof of Theorem ldual1dim
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . . . . . . 8 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
2 eqid 2737 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
3 ldual1dim.d . . . . . . . 8 𝐷 = (LDualβ€˜π‘Š)
4 eqid 2737 . . . . . . . 8 (Scalarβ€˜π·) = (Scalarβ€˜π·)
5 eqid 2737 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π·)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π·))
6 ldual1dim.w . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
71, 2, 3, 4, 5, 6ldualsbase 37598 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π·)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
87eleq2d 2824 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π·)) ↔ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))))
98anbi1d 631 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π·)) ∧ 𝑔 = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π·)𝐺)) ↔ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑔 = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π·)𝐺))))
10 ldual1dim.f . . . . . . . 8 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
11 eqid 2737 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
12 eqid 2737 . . . . . . . 8 (.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
13 eqid 2737 . . . . . . . 8 ( ·𝑠 β€˜π·) = ( ·𝑠 β€˜π·)
146adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ π‘Š ∈ LVec)
15 simpr 486 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
16 ldual1dim.g . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
1716adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
1810, 11, 1, 2, 12, 3, 13, 14, 15, 17ldualvs 37602 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π·)𝐺) = (𝐺 ∘f (.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))((Baseβ€˜π‘Š) Γ— {π‘˜})))
1918eqeq2d 2748 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ (𝑔 = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π·)𝐺) ↔ 𝑔 = (𝐺 ∘f (.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))((Baseβ€˜π‘Š) Γ— {π‘˜}))))
2019pm5.32da 580 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑔 = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π·)𝐺)) ↔ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑔 = (𝐺 ∘f (.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))((Baseβ€˜π‘Š) Γ— {π‘˜})))))
219, 20bitrd 279 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π·)) ∧ 𝑔 = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π·)𝐺)) ↔ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑔 = (𝐺 ∘f (.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))((Baseβ€˜π‘Š) Γ— {π‘˜})))))
2221rexbidv2 3172 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π·))𝑔 = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π·)𝐺) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))𝑔 = (𝐺 ∘f (.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))((Baseβ€˜π‘Š) Γ— {π‘˜}))))
2322abbidv 2806 . 2 (πœ‘ β†’ {𝑔 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π·))𝑔 = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π·)𝐺)} = {𝑔 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))𝑔 = (𝐺 ∘f (.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))((Baseβ€˜π‘Š) Γ— {π‘˜}))})
24 lveclmod 20570 . . . . 5 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
253, 24lduallmod 37618 . . . 4 (π‘Š ∈ LVec β†’ 𝐷 ∈ LMod)
266, 25syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ LMod)
27 eqid 2737 . . . 4 (Baseβ€˜π·) = (Baseβ€˜π·)
2810, 3, 27, 6, 16ldualelvbase 37592 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (Baseβ€˜π·))
29 ldual1dim.n . . . 4 𝑁 = (LSpanβ€˜π·)
304, 5, 27, 13, 29lspsn 20466 . . 3 ((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (Baseβ€˜π·)) β†’ (π‘β€˜{𝐺}) = {𝑔 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π·))𝑔 = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π·)𝐺)})
3126, 28, 30syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝐺}) = {𝑔 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π·))𝑔 = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π·)𝐺)})
32 ldual1dim.l . . 3 𝐿 = (LKerβ€˜π‘Š)
3311, 1, 10, 32, 2, 12, 6, 16lfl1dim 37586 . 2 (πœ‘ β†’ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”)} = {𝑔 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))𝑔 = (𝐺 ∘f (.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))((Baseβ€˜π‘Š) Γ— {π‘˜}))})
3423, 31, 333eqtr4d 2787 1 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝐺}) = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {cab 2714  βˆƒwrex 3074  {crab 3408   βŠ† wss 3911  {csn 4587   Γ— cxp 5632  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ∘f cof 7616  Basecbs 17084  .rcmulr 17135  Scalarcsca 17137   ·𝑠 cvsca 17138  LModclmod 20325  LSpanclspn 20435  LVecclvec 20566  LFnlclfn 37522  LKerclk 37550  LDualcld 37588
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-tpos 8158  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8649  df-map 8768  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-fz 13426  df-struct 17020  df-sets 17037  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-ress 17114  df-plusg 17147  df-mulr 17148  df-sca 17150  df-vsca 17151  df-0g 17324  df-mgm 18498  df-sgrp 18547  df-mnd 18558  df-submnd 18603  df-grp 18752  df-minusg 18753  df-sbg 18754  df-subg 18926  df-cntz 19098  df-lsm 19419  df-cmn 19565  df-abl 19566  df-mgp 19898  df-ur 19915  df-ring 19967  df-oppr 20050  df-dvdsr 20071  df-unit 20072  df-invr 20102  df-drng 20188  df-lmod 20327  df-lss 20396  df-lsp 20436  df-lvec 20567  df-lshyp 37442  df-lfl 37523  df-lkr 37551  df-ldual 37589
This theorem is referenced by:  mapdsn3  40109
  Copyright terms: Public domain W3C validator