Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldual1dim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldual1dim 38549
Description: Equivalent expressions for a 1-dim subspace (ray) of functionals. (Contributed by NM, 24-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ldual1dim.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
ldual1dim.l 𝐿 = (LKerβ€˜π‘Š)
ldual1dim.d 𝐷 = (LDualβ€˜π‘Š)
ldual1dim.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π·)
ldual1dim.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
ldual1dim.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
Assertion
Ref Expression
ldual1dim (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝐺}) = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”)})
Distinct variable groups:   𝐷,𝑔   𝑔,𝐺   𝑔,𝑁   πœ‘,𝑔
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑔)   𝐿(𝑔)   π‘Š(𝑔)

Proof of Theorem ldual1dim
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . . . . . . 8 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
2 eqid 2726 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
3 ldual1dim.d . . . . . . . 8 𝐷 = (LDualβ€˜π‘Š)
4 eqid 2726 . . . . . . . 8 (Scalarβ€˜π·) = (Scalarβ€˜π·)
5 eqid 2726 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π·)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π·))
6 ldual1dim.w . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
71, 2, 3, 4, 5, 6ldualsbase 38516 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π·)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
87eleq2d 2813 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π·)) ↔ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))))
98anbi1d 629 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π·)) ∧ 𝑔 = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π·)𝐺)) ↔ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑔 = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π·)𝐺))))
10 ldual1dim.f . . . . . . . 8 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
11 eqid 2726 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
12 eqid 2726 . . . . . . . 8 (.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
13 eqid 2726 . . . . . . . 8 ( ·𝑠 β€˜π·) = ( ·𝑠 β€˜π·)
146adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ π‘Š ∈ LVec)
15 simpr 484 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
16 ldual1dim.g . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
1716adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
1810, 11, 1, 2, 12, 3, 13, 14, 15, 17ldualvs 38520 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π·)𝐺) = (𝐺 ∘f (.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))((Baseβ€˜π‘Š) Γ— {π‘˜})))
1918eqeq2d 2737 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ (𝑔 = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π·)𝐺) ↔ 𝑔 = (𝐺 ∘f (.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))((Baseβ€˜π‘Š) Γ— {π‘˜}))))
2019pm5.32da 578 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑔 = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π·)𝐺)) ↔ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑔 = (𝐺 ∘f (.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))((Baseβ€˜π‘Š) Γ— {π‘˜})))))
219, 20bitrd 279 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π·)) ∧ 𝑔 = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π·)𝐺)) ↔ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑔 = (𝐺 ∘f (.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))((Baseβ€˜π‘Š) Γ— {π‘˜})))))
2221rexbidv2 3168 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π·))𝑔 = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π·)𝐺) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))𝑔 = (𝐺 ∘f (.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))((Baseβ€˜π‘Š) Γ— {π‘˜}))))
2322abbidv 2795 . 2 (πœ‘ β†’ {𝑔 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π·))𝑔 = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π·)𝐺)} = {𝑔 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))𝑔 = (𝐺 ∘f (.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))((Baseβ€˜π‘Š) Γ— {π‘˜}))})
24 lveclmod 20954 . . . . 5 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
253, 24lduallmod 38536 . . . 4 (π‘Š ∈ LVec β†’ 𝐷 ∈ LMod)
266, 25syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ LMod)
27 eqid 2726 . . . 4 (Baseβ€˜π·) = (Baseβ€˜π·)
2810, 3, 27, 6, 16ldualelvbase 38510 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (Baseβ€˜π·))
29 ldual1dim.n . . . 4 𝑁 = (LSpanβ€˜π·)
304, 5, 27, 13, 29lspsn 20849 . . 3 ((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (Baseβ€˜π·)) β†’ (π‘β€˜{𝐺}) = {𝑔 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π·))𝑔 = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π·)𝐺)})
3126, 28, 30syl2anc 583 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝐺}) = {𝑔 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π·))𝑔 = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π·)𝐺)})
32 ldual1dim.l . . 3 𝐿 = (LKerβ€˜π‘Š)
3311, 1, 10, 32, 2, 12, 6, 16lfl1dim 38504 . 2 (πœ‘ β†’ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”)} = {𝑔 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))𝑔 = (𝐺 ∘f (.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))((Baseβ€˜π‘Š) Γ— {π‘˜}))})
3423, 31, 333eqtr4d 2776 1 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝐺}) = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cab 2703  βˆƒwrex 3064  {crab 3426   βŠ† wss 3943  {csn 4623   Γ— cxp 5667  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ∘f cof 7665  Basecbs 17153  .rcmulr 17207  Scalarcsca 17209   ·𝑠 cvsca 17210  LModclmod 20706  LSpanclspn 20818  LVecclvec 20950  LFnlclfn 38440  LKerclk 38468  LDualcld 38506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19050  df-cntz 19233  df-lsm 19556  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-drng 20589  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-lvec 20951  df-lshyp 38360  df-lfl 38441  df-lkr 38469  df-ldual 38507
This theorem is referenced by:  mapdsn3  41027
  Copyright terms: Public domain W3C validator