Theorem ldual1dim 34976

Description: Equivalent expressions for a 1-dim subspace (ray) of functionals. (Contributed by NM, 24-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldual1dim.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldual1dim.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑊)
ldual1dim.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldual1dim.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝐷)
ldual1dim.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
ldual1dim.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ldual1dim	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝐺}) = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔)})

Distinct variable groups:   𝐷,𝑔   𝑔,𝐺   𝑔,𝑁   𝜑,𝑔

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑔)   𝐿(𝑔)   𝑊(𝑔)

Proof of Theorem ldual1dim

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
2		eqid 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
3		ldual1dim.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
4		eqid 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝐷) = (Scalar‘𝐷)
5		eqid 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝐷))
6		ldual1dim.w	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ldualsbase 34943	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
8	7	eleq2d 2836	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)) ↔ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
9	8	anbi1d 609	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)) ∧ 𝑔 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺)) ↔ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑔 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺))))
10		ldual1dim.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
11		eqid 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
12		eqid 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘(Scalar‘𝑊)) = (.r‘(Scalar‘𝑊))
13		eqid 2771	. . . . . . . 8 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐷) = ( ·𝑠 ‘𝐷)
14	6	adantr 466	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑊 ∈ LVec)
15		simpr 471	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
16		ldual1dim.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
17	16	adantr 466	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → 𝐺 ∈ 𝐹)
18	10, 11, 1, 2, 12, 3, 13, 14, 15, 17	ldualvs 34947	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺) = (𝐺 ∘𝑓 (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘})))
19	18	eqeq2d 2781	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑔 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺) ↔ 𝑔 = (𝐺 ∘𝑓 (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘}))))
20	19	pm5.32da 562	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑔 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺)) ↔ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑔 = (𝐺 ∘𝑓 (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘})))))
21	9, 20	bitrd 268	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)) ∧ 𝑔 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺)) ↔ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑔 = (𝐺 ∘𝑓 (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘})))))
22	21	rexbidv2 3196	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))𝑔 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑔 = (𝐺 ∘𝑓 (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘}))))
23	22	abbidv 2890	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))𝑔 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺)} = {𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑔 = (𝐺 ∘𝑓 (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘}))})
24		lveclmod 19320	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
25	3, 24	lduallmod 34963	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐷 ∈ LMod)
26	6, 25	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LMod)
27		eqid 2771	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
28	10, 3, 27, 6, 16	ldualelvbase 34937	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Base‘𝐷))
29		ldual1dim.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝐷)
30	4, 5, 27, 13, 29	lspsn 19216	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (Base‘𝐷)) → (𝑁‘{𝐺}) = {𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))𝑔 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺)})
31	26, 28, 30	syl2anc 567	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝐺}) = {𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))𝑔 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺)})
32		ldual1dim.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑊)
33	11, 1, 10, 32, 2, 12, 6, 16	lfl1dim 34931	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔)} = {𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑔 = (𝐺 ∘𝑓 (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘}))})
34	23, 31, 33	3eqtr4d 2815	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝐺}) = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔)})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  {cab 2757  ∃wrex 3062  {crab 3065   ⊆ wss 3724  {csn 4317   × cxp 5248  ‘cfv 6032  (class class class)co 6794   ∘_𝑓 cof 7043  Basecbs 16065  ._rcmulr 16151  Scalarcsca 16153   ·_𝑠 cvsca 16154  LModclmod 19074  LSpanclspn 19185  LVecclvec 19316  LFnlclfn 34867  LKerclk 34895  LDualcld 34933

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7097  ax-cnex 10195  ax-resscn 10196  ax-1cn 10197  ax-icn 10198  ax-addcl 10199  ax-addrcl 10200  ax-mulcl 10201  ax-mulrcl 10202  ax-mulcom 10203  ax-addass 10204  ax-mulass 10205  ax-distr 10206  ax-i2m1 10207  ax-1ne0 10208  ax-1rid 10209  ax-rnegex 10210  ax-rrecex 10211  ax-cnre 10212  ax-pre-lttri 10213  ax-pre-lttrn 10214  ax-pre-ltadd 10215  ax-pre-mulgt0 10216

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 829  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3589  df-csb 3684  df-dif 3727  df-un 3729  df-in 3731  df-ss 3738  df-pss 3740  df-nul 4065  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5824  df-ord 5870  df-on 5871  df-lim 5872  df-suc 5873  df-iota 5995  df-fun 6034  df-fn 6035  df-f 6036  df-f1 6037  df-fo 6038  df-f1o 6039  df-fv 6040  df-riota 6755  df-ov 6797  df-oprab 6798  df-mpt2 6799  df-of 7045  df-om 7214  df-1st 7316  df-2nd 7317  df-tpos 7505  df-wrecs 7560  df-recs 7622  df-rdg 7660  df-1o 7714  df-oadd 7718  df-er 7897  df-map 8012  df-en 8111  df-dom 8112  df-sdom 8113  df-fin 8114  df-pnf 10279  df-mnf 10280  df-xr 10281  df-ltxr 10282  df-le 10283  df-sub 10471  df-neg 10472  df-nn 11224  df-2 11282  df-3 11283  df-4 11284  df-5 11285  df-6 11286  df-n0 11496  df-z 11581  df-uz 11890  df-fz 12535  df-struct 16067  df-ndx 16068  df-slot 16069  df-base 16071  df-sets 16072  df-ress 16073  df-plusg 16163  df-mulr 16164  df-sca 16166  df-vsca 16167  df-0g 16311  df-mgm 17451  df-sgrp 17493  df-mnd 17504  df-submnd 17545  df-grp 17634  df-minusg 17635  df-sbg 17636  df-subg 17800  df-cntz 17958  df-lsm 18259  df-cmn 18403  df-abl 18404  df-mgp 18699  df-ur 18711  df-ring 18758  df-oppr 18832  df-dvdsr 18850  df-unit 18851  df-invr 18881  df-drng 18960  df-lmod 19076  df-lss 19144  df-lsp 19186  df-lvec 19317  df-lshyp 34787  df-lfl 34868  df-lkr 34896  df-ldual 34934

This theorem is referenced by:  mapdsn3  37454