Theorem ldual1dim 39797

Description: Equivalent expressions for a 1-dim subspace (ray) of functionals. (Contributed by NM, 24-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldual1dim.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldual1dim.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑊)
ldual1dim.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldual1dim.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝐷)
ldual1dim.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
ldual1dim.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ldual1dim	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝐺}) = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔)})

Distinct variable groups:   𝐷,𝑔   𝑔,𝐺   𝑔,𝑁   𝜑,𝑔

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑔)   𝐿(𝑔)   𝑊(𝑔)

Proof of Theorem ldual1dim

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
2		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
3		ldual1dim.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
4		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝐷) = (Scalar‘𝐷)
5		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝐷))
6		ldual1dim.w	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ldualsbase 39764	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
8	7	eleq2d 2851	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)) ↔ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
9	8	anbi1d 642	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)) ∧ 𝑔 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺)) ↔ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑔 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺))))
10		ldual1dim.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
11		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
12		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘(Scalar‘𝑊)) = (.r‘(Scalar‘𝑊))
13		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐷) = ( ·𝑠 ‘𝐷)
14	6	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑊 ∈ LVec)
15		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
16		ldual1dim.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
17	16	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → 𝐺 ∈ 𝐹)
18	10, 11, 1, 2, 12, 3, 13, 14, 15, 17	ldualvs 39768	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺) = (𝐺 ∘f (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘})))
19	18	eqeq2d 2776	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑔 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺) ↔ 𝑔 = (𝐺 ∘f (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘}))))
20	19	pm5.32da 589	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑔 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺)) ↔ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑔 = (𝐺 ∘f (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘})))))
21	9, 20	bitrd 282	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)) ∧ 𝑔 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺)) ↔ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑔 = (𝐺 ∘f (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘})))))
22	21	rexbidv2 3185	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))𝑔 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑔 = (𝐺 ∘f (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘}))))
23	22	abbidv 2831	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))𝑔 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺)} = {𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑔 = (𝐺 ∘f (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘}))})
24		lveclmod 21193	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
25	3, 24	lduallmod 39784	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐷 ∈ LMod)
26	6, 25	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LMod)
27		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
28	10, 3, 27, 6, 16	ldualelvbase 39758	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Base‘𝐷))
29		ldual1dim.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝐷)
30	4, 5, 27, 13, 29	lspsn 21089	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (Base‘𝐷)) → (𝑁‘{𝐺}) = {𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))𝑔 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺)})
31	26, 28, 30	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝐺}) = {𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))𝑔 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺)})
32		ldual1dim.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑊)
33	11, 1, 10, 32, 2, 12, 6, 16	lfl1dim 39752	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔)} = {𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑔 = (𝐺 ∘f (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘}))})
34	23, 31, 33	3eqtr4d 2810	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝐺}) = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔)})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  {cab 2743  ∃wrex 3089  {crab 3417   ⊆ wss 3907  {csn 4585   × cxp 5649  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   ∘_f cof 7662  Basecbs 17257  ._rcmulr 17299  Scalarcsca 17301   ·_𝑠 cvsca 17302  LModclmod 20947  LSpanclspn 21058  LVecclvec 21189  LFnlclfn 39688  LKerclk 39716  LDualcld 39754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-n0 12493  df-z 12580  df-uz 12851  df-fz 13524  df-struct 17195  df-sets 17212  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-ress 17279  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-0g 17482  df-mgm 18686  df-sgrp 18765  df-mnd 18781  df-submnd 18830  df-grp 18991  df-minusg 18992  df-sbg 18993  df-subg 19177  df-cntz 19375  df-lsm 19694  df-cmn 19840  df-abl 19841  df-mgp 20205  df-rng 20219  df-ur 20252  df-ring 20305  df-oppr 20407  df-dvdsr 20427  df-unit 20428  df-invr 20458  df-nzr 20584  df-rlreg 20767  df-domn 20768  df-drng 20803  df-lmod 20949  df-lss 21019  df-lsp 21059  df-lvec 21190  df-lshyp 39608  df-lfl 39689  df-lkr 39717  df-ldual 39755

This theorem is referenced by:  mapdsn3  42274