Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldual1dim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldual1dim 39148
Description: Equivalent expressions for a 1-dim subspace (ray) of functionals. (Contributed by NM, 24-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ldual1dim.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldual1dim.l 𝐿 = (LKer‘𝑊)
ldual1dim.d 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldual1dim.n 𝑁 = (LSpan‘𝐷)
ldual1dim.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
ldual1dim.g (𝜑𝐺𝐹)
Assertion
Ref Expression
ldual1dim (𝜑 → (𝑁‘{𝐺}) = {𝑔𝐹 ∣ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)})
Distinct variable groups:   𝐷,𝑔   𝑔,𝐺   𝑔,𝑁   𝜑,𝑔
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑔)   𝐿(𝑔)   𝑊(𝑔)

Proof of Theorem ldual1dim
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2735 . . . . . . . 8 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
2 eqid 2735 . . . . . . . 8 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
3 ldual1dim.d . . . . . . . 8 𝐷 = (LDual‘𝑊)
4 eqid 2735 . . . . . . . 8 (Scalar‘𝐷) = (Scalar‘𝐷)
5 eqid 2735 . . . . . . . 8 (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝐷))
6 ldual1dim.w . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
71, 2, 3, 4, 5, 6ldualsbase 39115 . . . . . . 7 (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
87eleq2d 2825 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)) ↔ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
98anbi1d 631 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)) ∧ 𝑔 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐺)) ↔ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑔 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐺))))
10 ldual1dim.f . . . . . . . 8 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
11 eqid 2735 . . . . . . . 8 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
12 eqid 2735 . . . . . . . 8 (.r‘(Scalar‘𝑊)) = (.r‘(Scalar‘𝑊))
13 eqid 2735 . . . . . . . 8 ( ·𝑠𝐷) = ( ·𝑠𝐷)
146adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑊 ∈ LVec)
15 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
16 ldual1dim.g . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺𝐹)
1716adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → 𝐺𝐹)
1810, 11, 1, 2, 12, 3, 13, 14, 15, 17ldualvs 39119 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐺) = (𝐺f (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘})))
1918eqeq2d 2746 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑔 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐺) ↔ 𝑔 = (𝐺f (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘}))))
2019pm5.32da 579 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑔 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐺)) ↔ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑔 = (𝐺f (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘})))))
219, 20bitrd 279 . . . 4 (𝜑 → ((𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)) ∧ 𝑔 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐺)) ↔ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑔 = (𝐺f (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘})))))
2221rexbidv2 3173 . . 3 (𝜑 → (∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))𝑔 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐺) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑔 = (𝐺f (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘}))))
2322abbidv 2806 . 2 (𝜑 → {𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))𝑔 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐺)} = {𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑔 = (𝐺f (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘}))})
24 lveclmod 21123 . . . . 5 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
253, 24lduallmod 39135 . . . 4 (𝑊 ∈ LVec → 𝐷 ∈ LMod)
266, 25syl 17 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ LMod)
27 eqid 2735 . . . 4 (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
2810, 3, 27, 6, 16ldualelvbase 39109 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ (Base‘𝐷))
29 ldual1dim.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝐷)
304, 5, 27, 13, 29lspsn 21018 . . 3 ((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (Base‘𝐷)) → (𝑁‘{𝐺}) = {𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))𝑔 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐺)})
3126, 28, 30syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (𝑁‘{𝐺}) = {𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))𝑔 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐺)})
32 ldual1dim.l . . 3 𝐿 = (LKer‘𝑊)
3311, 1, 10, 32, 2, 12, 6, 16lfl1dim 39103 . 2 (𝜑 → {𝑔𝐹 ∣ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)} = {𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑔 = (𝐺f (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘}))})
3423, 31, 333eqtr4d 2785 1 (𝜑 → (𝑁‘{𝐺}) = {𝑔𝐹 ∣ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  {cab 2712  wrex 3068  {crab 3433  wss 3963  {csn 4631   × cxp 5687  cfv 6563  (class class class)co 7431  f cof 7695  Basecbs 17245  .rcmulr 17299  Scalarcsca 17301   ·𝑠 cvsca 17302  LModclmod 20875  LSpanclspn 20987  LVecclvec 21119  LFnlclfn 39039  LKerclk 39067  LDualcld 39105
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-cntz 19348  df-lsm 19669  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-nzr 20530  df-rlreg 20711  df-domn 20712  df-drng 20748  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-lvec 21120  df-lshyp 38959  df-lfl 39040  df-lkr 39068  df-ldual 39106
This theorem is referenced by:  mapdsn3  41626
  Copyright terms: Public domain W3C validator