Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldual1dim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldual1dim 36182
Description: Equivalent expressions for a 1-dim subspace (ray) of functionals. (Contributed by NM, 24-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ldual1dim.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldual1dim.l 𝐿 = (LKer‘𝑊)
ldual1dim.d 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldual1dim.n 𝑁 = (LSpan‘𝐷)
ldual1dim.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
ldual1dim.g (𝜑𝐺𝐹)
Assertion
Ref Expression
ldual1dim (𝜑 → (𝑁‘{𝐺}) = {𝑔𝐹 ∣ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)})
Distinct variable groups:   𝐷,𝑔   𝑔,𝐺   𝑔,𝑁   𝜑,𝑔
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑔)   𝐿(𝑔)   𝑊(𝑔)

Proof of Theorem ldual1dim
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2818 . . . . . . . 8 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
2 eqid 2818 . . . . . . . 8 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
3 ldual1dim.d . . . . . . . 8 𝐷 = (LDual‘𝑊)
4 eqid 2818 . . . . . . . 8 (Scalar‘𝐷) = (Scalar‘𝐷)
5 eqid 2818 . . . . . . . 8 (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝐷))
6 ldual1dim.w . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
71, 2, 3, 4, 5, 6ldualsbase 36149 . . . . . . 7 (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
87eleq2d 2895 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)) ↔ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
98anbi1d 629 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)) ∧ 𝑔 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐺)) ↔ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑔 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐺))))
10 ldual1dim.f . . . . . . . 8 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
11 eqid 2818 . . . . . . . 8 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
12 eqid 2818 . . . . . . . 8 (.r‘(Scalar‘𝑊)) = (.r‘(Scalar‘𝑊))
13 eqid 2818 . . . . . . . 8 ( ·𝑠𝐷) = ( ·𝑠𝐷)
146adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑊 ∈ LVec)
15 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
16 ldual1dim.g . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺𝐹)
1716adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → 𝐺𝐹)
1810, 11, 1, 2, 12, 3, 13, 14, 15, 17ldualvs 36153 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐺) = (𝐺f (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘})))
1918eqeq2d 2829 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑔 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐺) ↔ 𝑔 = (𝐺f (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘}))))
2019pm5.32da 579 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑔 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐺)) ↔ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑔 = (𝐺f (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘})))))
219, 20bitrd 280 . . . 4 (𝜑 → ((𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)) ∧ 𝑔 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐺)) ↔ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑔 = (𝐺f (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘})))))
2221rexbidv2 3292 . . 3 (𝜑 → (∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))𝑔 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐺) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑔 = (𝐺f (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘}))))
2322abbidv 2882 . 2 (𝜑 → {𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))𝑔 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐺)} = {𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑔 = (𝐺f (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘}))})
24 lveclmod 19807 . . . . 5 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
253, 24lduallmod 36169 . . . 4 (𝑊 ∈ LVec → 𝐷 ∈ LMod)
266, 25syl 17 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ LMod)
27 eqid 2818 . . . 4 (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
2810, 3, 27, 6, 16ldualelvbase 36143 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ (Base‘𝐷))
29 ldual1dim.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝐷)
304, 5, 27, 13, 29lspsn 19703 . . 3 ((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (Base‘𝐷)) → (𝑁‘{𝐺}) = {𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))𝑔 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐺)})
3126, 28, 30syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (𝑁‘{𝐺}) = {𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))𝑔 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐺)})
32 ldual1dim.l . . 3 𝐿 = (LKer‘𝑊)
3311, 1, 10, 32, 2, 12, 6, 16lfl1dim 36137 . 2 (𝜑 → {𝑔𝐹 ∣ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)} = {𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑔 = (𝐺f (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘}))})
3423, 31, 333eqtr4d 2863 1 (𝜑 → (𝑁‘{𝐺}) = {𝑔𝐹 ∣ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  {cab 2796  wrex 3136  {crab 3139  wss 3933  {csn 4557   × cxp 5546  cfv 6348  (class class class)co 7145  f cof 7396  Basecbs 16471  .rcmulr 16554  Scalarcsca 16556   ·𝑠 cvsca 16557  LModclmod 19563  LSpanclspn 19672  LVecclvec 19803  LFnlclfn 36073  LKerclk 36101  LDualcld 36139
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-tpos 7881  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-0g 16703  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-subg 18214  df-cntz 18385  df-lsm 18690  df-cmn 18837  df-abl 18838  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-oppr 19302  df-dvdsr 19320  df-unit 19321  df-invr 19351  df-drng 19433  df-lmod 19565  df-lss 19633  df-lsp 19673  df-lvec 19804  df-lshyp 35993  df-lfl 36074  df-lkr 36102  df-ldual 36140
This theorem is referenced by:  mapdsn3  38659
  Copyright terms: Public domain W3C validator