Theorem ldual1dim 39539

Description: Equivalent expressions for a 1-dim subspace (ray) of functionals. (Contributed by NM, 24-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldual1dim.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldual1dim.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑊)
ldual1dim.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldual1dim.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝐷)
ldual1dim.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
ldual1dim.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ldual1dim	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝐺}) = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔)})

Distinct variable groups:   𝐷,𝑔   𝑔,𝐺   𝑔,𝑁   𝜑,𝑔

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑔)   𝐿(𝑔)   𝑊(𝑔)

Proof of Theorem ldual1dim

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
2		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
3		ldual1dim.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
4		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝐷) = (Scalar‘𝐷)
5		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝐷))
6		ldual1dim.w	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ldualsbase 39506	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
8	7	eleq2d 2823	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)) ↔ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
9	8	anbi1d 632	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)) ∧ 𝑔 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺)) ↔ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑔 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺))))
10		ldual1dim.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
11		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
12		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘(Scalar‘𝑊)) = (.r‘(Scalar‘𝑊))
13		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐷) = ( ·𝑠 ‘𝐷)
14	6	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑊 ∈ LVec)
15		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
16		ldual1dim.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
17	16	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → 𝐺 ∈ 𝐹)
18	10, 11, 1, 2, 12, 3, 13, 14, 15, 17	ldualvs 39510	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺) = (𝐺 ∘f (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘})))
19	18	eqeq2d 2748	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑔 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺) ↔ 𝑔 = (𝐺 ∘f (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘}))))
20	19	pm5.32da 579	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑔 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺)) ↔ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑔 = (𝐺 ∘f (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘})))))
21	9, 20	bitrd 279	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)) ∧ 𝑔 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺)) ↔ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑔 = (𝐺 ∘f (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘})))))
22	21	rexbidv2 3158	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))𝑔 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑔 = (𝐺 ∘f (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘}))))
23	22	abbidv 2803	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))𝑔 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺)} = {𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑔 = (𝐺 ∘f (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘}))})
24		lveclmod 21070	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
25	3, 24	lduallmod 39526	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐷 ∈ LMod)
26	6, 25	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LMod)
27		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
28	10, 3, 27, 6, 16	ldualelvbase 39500	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Base‘𝐷))
29		ldual1dim.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝐷)
30	4, 5, 27, 13, 29	lspsn 20965	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (Base‘𝐷)) → (𝑁‘{𝐺}) = {𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))𝑔 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺)})
31	26, 28, 30	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝐺}) = {𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))𝑔 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺)})
32		ldual1dim.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑊)
33	11, 1, 10, 32, 2, 12, 6, 16	lfl1dim 39494	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔)} = {𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑔 = (𝐺 ∘f (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘}))})
34	23, 31, 33	3eqtr4d 2782	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝐺}) = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔)})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {cab 2715  ∃wrex 3062  {crab 3401   ⊆ wss 3903  {csn 4582   × cxp 5630  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ∘_f cof 7630  Basecbs 17148  ._rcmulr 17190  Scalarcsca 17192   ·_𝑠 cvsca 17193  LModclmod 20823  LSpanclspn 20934  LVecclvec 21066  LFnlclfn 39430  LKerclk 39458  LDualcld 39496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-tpos 8178  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-submnd 18721  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-subg 19065  df-cntz 19258  df-lsm 19577  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-oppr 20285  df-dvdsr 20305  df-unit 20306  df-invr 20336  df-nzr 20458  df-rlreg 20639  df-domn 20640  df-drng 20676  df-lmod 20825  df-lss 20895  df-lsp 20935  df-lvec 21067  df-lshyp 39350  df-lfl 39431  df-lkr 39459  df-ldual 39497

This theorem is referenced by:  mapdsn3  42016