Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldual1dim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldual1dim 38666
Description: Equivalent expressions for a 1-dim subspace (ray) of functionals. (Contributed by NM, 24-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ldual1dim.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
ldual1dim.l 𝐿 = (LKerβ€˜π‘Š)
ldual1dim.d 𝐷 = (LDualβ€˜π‘Š)
ldual1dim.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π·)
ldual1dim.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
ldual1dim.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
Assertion
Ref Expression
ldual1dim (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝐺}) = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”)})
Distinct variable groups:   𝐷,𝑔   𝑔,𝐺   𝑔,𝑁   πœ‘,𝑔
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑔)   𝐿(𝑔)   π‘Š(𝑔)

Proof of Theorem ldual1dim
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2725 . . . . . . . 8 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
2 eqid 2725 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
3 ldual1dim.d . . . . . . . 8 𝐷 = (LDualβ€˜π‘Š)
4 eqid 2725 . . . . . . . 8 (Scalarβ€˜π·) = (Scalarβ€˜π·)
5 eqid 2725 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π·)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π·))
6 ldual1dim.w . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
71, 2, 3, 4, 5, 6ldualsbase 38633 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π·)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
87eleq2d 2811 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π·)) ↔ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))))
98anbi1d 629 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π·)) ∧ 𝑔 = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π·)𝐺)) ↔ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑔 = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π·)𝐺))))
10 ldual1dim.f . . . . . . . 8 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
11 eqid 2725 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
12 eqid 2725 . . . . . . . 8 (.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
13 eqid 2725 . . . . . . . 8 ( ·𝑠 β€˜π·) = ( ·𝑠 β€˜π·)
146adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ π‘Š ∈ LVec)
15 simpr 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
16 ldual1dim.g . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
1716adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
1810, 11, 1, 2, 12, 3, 13, 14, 15, 17ldualvs 38637 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π·)𝐺) = (𝐺 ∘f (.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))((Baseβ€˜π‘Š) Γ— {π‘˜})))
1918eqeq2d 2736 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ (𝑔 = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π·)𝐺) ↔ 𝑔 = (𝐺 ∘f (.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))((Baseβ€˜π‘Š) Γ— {π‘˜}))))
2019pm5.32da 577 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑔 = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π·)𝐺)) ↔ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑔 = (𝐺 ∘f (.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))((Baseβ€˜π‘Š) Γ— {π‘˜})))))
219, 20bitrd 278 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π·)) ∧ 𝑔 = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π·)𝐺)) ↔ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑔 = (𝐺 ∘f (.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))((Baseβ€˜π‘Š) Γ— {π‘˜})))))
2221rexbidv2 3165 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π·))𝑔 = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π·)𝐺) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))𝑔 = (𝐺 ∘f (.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))((Baseβ€˜π‘Š) Γ— {π‘˜}))))
2322abbidv 2794 . 2 (πœ‘ β†’ {𝑔 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π·))𝑔 = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π·)𝐺)} = {𝑔 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))𝑔 = (𝐺 ∘f (.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))((Baseβ€˜π‘Š) Γ— {π‘˜}))})
24 lveclmod 20993 . . . . 5 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
253, 24lduallmod 38653 . . . 4 (π‘Š ∈ LVec β†’ 𝐷 ∈ LMod)
266, 25syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ LMod)
27 eqid 2725 . . . 4 (Baseβ€˜π·) = (Baseβ€˜π·)
2810, 3, 27, 6, 16ldualelvbase 38627 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (Baseβ€˜π·))
29 ldual1dim.n . . . 4 𝑁 = (LSpanβ€˜π·)
304, 5, 27, 13, 29lspsn 20888 . . 3 ((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (Baseβ€˜π·)) β†’ (π‘β€˜{𝐺}) = {𝑔 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π·))𝑔 = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π·)𝐺)})
3126, 28, 30syl2anc 582 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝐺}) = {𝑔 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π·))𝑔 = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π·)𝐺)})
32 ldual1dim.l . . 3 𝐿 = (LKerβ€˜π‘Š)
3311, 1, 10, 32, 2, 12, 6, 16lfl1dim 38621 . 2 (πœ‘ β†’ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”)} = {𝑔 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))𝑔 = (𝐺 ∘f (.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))((Baseβ€˜π‘Š) Γ— {π‘˜}))})
3423, 31, 333eqtr4d 2775 1 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝐺}) = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (πΏβ€˜π‘”)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cab 2702  βˆƒwrex 3060  {crab 3419   βŠ† wss 3939  {csn 4622   Γ— cxp 5668  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7414   ∘f cof 7678  Basecbs 17177  .rcmulr 17231  Scalarcsca 17233   ·𝑠 cvsca 17234  LModclmod 20745  LSpanclspn 20857  LVecclvec 20989  LFnlclfn 38557  LKerclk 38585  LDualcld 38623
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7736  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4317  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4943  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7680  df-om 7867  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-tpos 8228  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13515  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-0g 17420  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18738  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-sbg 18897  df-subg 19080  df-cntz 19270  df-lsm 19593  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-rng 20095  df-ur 20124  df-ring 20177  df-oppr 20275  df-dvdsr 20298  df-unit 20299  df-invr 20329  df-drng 20628  df-lmod 20747  df-lss 20818  df-lsp 20858  df-lvec 20990  df-lshyp 38477  df-lfl 38558  df-lkr 38586  df-ldual 38624
This theorem is referenced by:  mapdsn3  41144
  Copyright terms: Public domain W3C validator