Theorem ldual1dim 38024

Description: Equivalent expressions for a 1-dim subspace (ray) of functionals. (Contributed by NM, 24-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldual1dim.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldual1dim.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑊)
ldual1dim.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldual1dim.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝐷)
ldual1dim.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
ldual1dim.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ldual1dim	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝐺}) = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔)})

Distinct variable groups:   𝐷,𝑔   𝑔,𝐺   𝑔,𝑁   𝜑,𝑔

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑔)   𝐿(𝑔)   𝑊(𝑔)

Proof of Theorem ldual1dim

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
2		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
3		ldual1dim.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
4		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝐷) = (Scalar‘𝐷)
5		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝐷))
6		ldual1dim.w	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ldualsbase 37991	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
8	7	eleq2d 2819	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)) ↔ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
9	8	anbi1d 630	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)) ∧ 𝑔 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺)) ↔ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑔 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺))))
10		ldual1dim.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
11		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
12		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘(Scalar‘𝑊)) = (.r‘(Scalar‘𝑊))
13		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐷) = ( ·𝑠 ‘𝐷)
14	6	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑊 ∈ LVec)
15		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
16		ldual1dim.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
17	16	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → 𝐺 ∈ 𝐹)
18	10, 11, 1, 2, 12, 3, 13, 14, 15, 17	ldualvs 37995	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺) = (𝐺 ∘f (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘})))
19	18	eqeq2d 2743	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑔 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺) ↔ 𝑔 = (𝐺 ∘f (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘}))))
20	19	pm5.32da 579	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑔 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺)) ↔ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑔 = (𝐺 ∘f (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘})))))
21	9, 20	bitrd 278	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)) ∧ 𝑔 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺)) ↔ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑔 = (𝐺 ∘f (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘})))))
22	21	rexbidv2 3174	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))𝑔 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑔 = (𝐺 ∘f (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘}))))
23	22	abbidv 2801	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))𝑔 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺)} = {𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑔 = (𝐺 ∘f (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘}))})
24		lveclmod 20709	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
25	3, 24	lduallmod 38011	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐷 ∈ LMod)
26	6, 25	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LMod)
27		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
28	10, 3, 27, 6, 16	ldualelvbase 37985	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Base‘𝐷))
29		ldual1dim.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝐷)
30	4, 5, 27, 13, 29	lspsn 20605	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (Base‘𝐷)) → (𝑁‘{𝐺}) = {𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))𝑔 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺)})
31	26, 28, 30	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝐺}) = {𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))𝑔 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺)})
32		ldual1dim.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑊)
33	11, 1, 10, 32, 2, 12, 6, 16	lfl1dim 37979	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔)} = {𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑔 = (𝐺 ∘f (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘}))})
34	23, 31, 33	3eqtr4d 2782	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝐺}) = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑔)})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {cab 2709  ∃wrex 3070  {crab 3432   ⊆ wss 3947  {csn 4627   × cxp 5673  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405   ∘_f cof 7664  Basecbs 17140  ._rcmulr 17194  Scalarcsca 17196   ·_𝑠 cvsca 17197  LModclmod 20463  LSpanclspn 20574  LVecclvec 20705  LFnlclfn 37915  LKerclk 37943  LDualcld 37981

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-cntz 19175  df-lsm 19498  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194  df-drng 20309  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-lvec 20706  df-lshyp 37835  df-lfl 37916  df-lkr 37944  df-ldual 37982

This theorem is referenced by:  mapdsn3  40502