Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldualvbase Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldualvbase 35196
 Description: The vectors of a dual space are functionals of the original space. (Contributed by NM, 18-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ldualvbase.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualvbase.d 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualvbase.v 𝑉 = (Base‘𝐷)
ldualvbase.w (𝜑𝑊𝑋)
Assertion
Ref Expression
ldualvbase (𝜑𝑉 = 𝐹)

Proof of Theorem ldualvbase
Dummy variables 𝑓 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2825 . . . 4 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2 eqid 2825 . . . 4 (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊))
3 eqid 2825 . . . 4 ( ∘𝑓 (+g‘(Scalar‘𝑊)) ↾ (𝐹 × 𝐹)) = ( ∘𝑓 (+g‘(Scalar‘𝑊)) ↾ (𝐹 × 𝐹))
4 ldualvbase.f . . . 4 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5 ldualvbase.d . . . 4 𝐷 = (LDual‘𝑊)
6 eqid 2825 . . . 4 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
7 eqid 2825 . . . 4 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
8 eqid 2825 . . . 4 (.r‘(Scalar‘𝑊)) = (.r‘(Scalar‘𝑊))
9 eqid 2825 . . . 4 (oppr‘(Scalar‘𝑊)) = (oppr‘(Scalar‘𝑊))
10 eqid 2825 . . . 4 (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)), 𝑓𝐹 ↦ (𝑓𝑓 (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘}))) = (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)), 𝑓𝐹 ↦ (𝑓𝑓 (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘})))
11 ldualvbase.w . . . 4 (𝜑𝑊𝑋)
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11ldualset 35195 . . 3 (𝜑𝐷 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 (+g‘(Scalar‘𝑊)) ↾ (𝐹 × 𝐹))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr‘(Scalar‘𝑊))⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)), 𝑓𝐹 ↦ (𝑓𝑓 (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩}))
1312fveq2d 6441 . 2 (𝜑 → (Base‘𝐷) = (Base‘({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 (+g‘(Scalar‘𝑊)) ↾ (𝐹 × 𝐹))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr‘(Scalar‘𝑊))⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)), 𝑓𝐹 ↦ (𝑓𝑓 (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩})))
14 ldualvbase.v . 2 𝑉 = (Base‘𝐷)
154fvexi 6451 . . 3 𝐹 ∈ V
16 eqid 2825 . . . 4 ({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 (+g‘(Scalar‘𝑊)) ↾ (𝐹 × 𝐹))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr‘(Scalar‘𝑊))⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)), 𝑓𝐹 ↦ (𝑓𝑓 (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 (+g‘(Scalar‘𝑊)) ↾ (𝐹 × 𝐹))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr‘(Scalar‘𝑊))⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)), 𝑓𝐹 ↦ (𝑓𝑓 (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩})
1716lmodbase 16384 . . 3 (𝐹 ∈ V → 𝐹 = (Base‘({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 (+g‘(Scalar‘𝑊)) ↾ (𝐹 × 𝐹))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr‘(Scalar‘𝑊))⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)), 𝑓𝐹 ↦ (𝑓𝑓 (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩})))
1815, 17ax-mp 5 . 2 𝐹 = (Base‘({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 (+g‘(Scalar‘𝑊)) ↾ (𝐹 × 𝐹))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr‘(Scalar‘𝑊))⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)), 𝑓𝐹 ↦ (𝑓𝑓 (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩}))
1913, 14, 183eqtr4g 2886 1 (𝜑𝑉 = 𝐹)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1656   ∈ wcel 2164  Vcvv 3414   ∪ cun 3796  {csn 4399  {ctp 4403  ⟨cop 4405   × cxp 5344   ↾ cres 5348  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910   ↦ cmpt2 6912   ∘𝑓 cof 7160  ndxcnx 16226  Basecbs 16229  +gcplusg 16312  .rcmulr 16313  Scalarcsca 16315   ·𝑠 cvsca 16316  opprcoppr 18983  LFnlclfn 35127  LDualcld 35193 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-of 7162  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-oadd 7835  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-fz 12627  df-struct 16231  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-plusg 16325  df-sca 16328  df-vsca 16329  df-ldual 35194 This theorem is referenced by:  ldualelvbase  35197  ldualgrplem  35215  lduallmodlem  35222  lclkr  37603  lclkrs  37609  lcfrvalsnN  37611  lcfrlem4  37615  lcfrlem5  37616  lcfrlem6  37617  lcfrlem16  37628  lcfr  37655  lcdvbase  37663  mapdunirnN  37720
 Copyright terms: Public domain W3C validator