Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldualvbase Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldualvbase 37638
Description: The vectors of a dual space are functionals of the original space. (Contributed by NM, 18-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ldualvbase.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualvbase.d 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualvbase.v 𝑉 = (Base‘𝐷)
ldualvbase.w (𝜑𝑊𝑋)
Assertion
Ref Expression
ldualvbase (𝜑𝑉 = 𝐹)

Proof of Theorem ldualvbase
Dummy variables 𝑓 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . 4 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2 eqid 2733 . . . 4 (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊))
3 eqid 2733 . . . 4 ( ∘f (+g‘(Scalar‘𝑊)) ↾ (𝐹 × 𝐹)) = ( ∘f (+g‘(Scalar‘𝑊)) ↾ (𝐹 × 𝐹))
4 ldualvbase.f . . . 4 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5 ldualvbase.d . . . 4 𝐷 = (LDual‘𝑊)
6 eqid 2733 . . . 4 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
7 eqid 2733 . . . 4 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
8 eqid 2733 . . . 4 (.r‘(Scalar‘𝑊)) = (.r‘(Scalar‘𝑊))
9 eqid 2733 . . . 4 (oppr‘(Scalar‘𝑊)) = (oppr‘(Scalar‘𝑊))
10 eqid 2733 . . . 4 (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)), 𝑓𝐹 ↦ (𝑓f (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘}))) = (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)), 𝑓𝐹 ↦ (𝑓f (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘})))
11 ldualvbase.w . . . 4 (𝜑𝑊𝑋)
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11ldualset 37637 . . 3 (𝜑𝐷 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘(Scalar‘𝑊)) ↾ (𝐹 × 𝐹))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr‘(Scalar‘𝑊))⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)), 𝑓𝐹 ↦ (𝑓f (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩}))
1312fveq2d 6850 . 2 (𝜑 → (Base‘𝐷) = (Base‘({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘(Scalar‘𝑊)) ↾ (𝐹 × 𝐹))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr‘(Scalar‘𝑊))⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)), 𝑓𝐹 ↦ (𝑓f (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩})))
14 ldualvbase.v . 2 𝑉 = (Base‘𝐷)
154fvexi 6860 . . 3 𝐹 ∈ V
16 eqid 2733 . . . 4 ({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘(Scalar‘𝑊)) ↾ (𝐹 × 𝐹))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr‘(Scalar‘𝑊))⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)), 𝑓𝐹 ↦ (𝑓f (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘(Scalar‘𝑊)) ↾ (𝐹 × 𝐹))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr‘(Scalar‘𝑊))⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)), 𝑓𝐹 ↦ (𝑓f (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩})
1716lmodbase 17215 . . 3 (𝐹 ∈ V → 𝐹 = (Base‘({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘(Scalar‘𝑊)) ↾ (𝐹 × 𝐹))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr‘(Scalar‘𝑊))⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)), 𝑓𝐹 ↦ (𝑓f (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩})))
1815, 17ax-mp 5 . 2 𝐹 = (Base‘({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘(Scalar‘𝑊)) ↾ (𝐹 × 𝐹))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr‘(Scalar‘𝑊))⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)), 𝑓𝐹 ↦ (𝑓f (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩}))
1913, 14, 183eqtr4g 2798 1 (𝜑𝑉 = 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3447  cun 3912  {csn 4590  {ctp 4594  cop 4596   × cxp 5635  cres 5639  cfv 6500  (class class class)co 7361  cmpo 7363  f cof 7619  ndxcnx 17073  Basecbs 17091  +gcplusg 17141  .rcmulr 17142  Scalarcsca 17144   ·𝑠 cvsca 17145  opprcoppr 20056  LFnlclfn 37569  LDualcld 37635
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-struct 17027  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-plusg 17154  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ldual 37636
This theorem is referenced by:  ldualelvbase  37639  ldualgrplem  37657  lduallmodlem  37664  lclkr  40046  lclkrs  40052  lcfrvalsnN  40054  lcfrlem4  40058  lcfrlem5  40059  lcfrlem6  40060  lcfrlem16  40071  lcfr  40098  lcdvbase  40106  mapdunirnN  40163
  Copyright terms: Public domain W3C validator