Theorem ldualvbase 39941

Description: The vectors of a dual space are functionals of the original space. (Contributed by NM, 18-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualvbase.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualvbase.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualvbase.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝐷)
ldualvbase.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
ldualvbase	⊢ (𝜑 → 𝑉 = 𝐹)

Proof of Theorem ldualvbase

Dummy variables 𝑓 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊))
3		eqid 2766	. . . 4 ⊢ ( ∘f (+g‘(Scalar‘𝑊)) ↾ (𝐹 × 𝐹)) = ( ∘f (+g‘(Scalar‘𝑊)) ↾ (𝐹 × 𝐹))
4		ldualvbase.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5		ldualvbase.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
6		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
7		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
8		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (.r‘(Scalar‘𝑊)) = (.r‘(Scalar‘𝑊))
9		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (oppr‘(Scalar‘𝑊)) = (oppr‘(Scalar‘𝑊))
10		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)), 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘}))) = (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)), 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘})))
11		ldualvbase.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	ldualset 39940	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘(Scalar‘𝑊)) ↾ (𝐹 × 𝐹))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr‘(Scalar‘𝑊))⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)), 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩}))
13	12	fveq2d 6892	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐷) = (Base‘({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘(Scalar‘𝑊)) ↾ (𝐹 × 𝐹))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr‘(Scalar‘𝑊))⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)), 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩})))
14		ldualvbase.v	. 2 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝐷)
15	4	fvexi 6902	. . 3 ⊢ 𝐹 ∈ V
16		eqid 2766	. . . 4 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘(Scalar‘𝑊)) ↾ (𝐹 × 𝐹))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr‘(Scalar‘𝑊))⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)), 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘(Scalar‘𝑊)) ↾ (𝐹 × 𝐹))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr‘(Scalar‘𝑊))⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)), 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩})
17	16	lmodbase 17404	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ V → 𝐹 = (Base‘({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘(Scalar‘𝑊)) ↾ (𝐹 × 𝐹))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr‘(Scalar‘𝑊))⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)), 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩})))
18	15, 17	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝐹 = (Base‘({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘(Scalar‘𝑊)) ↾ (𝐹 × 𝐹))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr‘(Scalar‘𝑊))⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)), 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩}))
19	13, 14, 18	3eqtr4g 2826	1 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = 𝐹)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3458   ∪ cun 3906  {csn 4594  {ctp 4598  ⟨cop 4600   × cxp 5664   ↾ cres 5668  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423   ∈ cmpo 7425   ∘_f cof 7685  ndxcnx 17278  Basecbs 17294  +_gcplusg 17335  ._rcmulr 17336  Scalarcsca 17338   ·_𝑠 cvsca 17339  opp_rcoppr 20451  LFnlclfn 39872  LDualcld 39938

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-struct 17232  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-plusg 17348  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-ldual 39939

This theorem is used by:  ldualelvbase  39942  ldualgrplem  39960  lduallmodlem  39967  lclkr  42348  lclkrs  42354  lcfrvalsnN  42356  lcfrlem4  42360  lcfrlem5  42361  lcfrlem6  42362  lcfrlem16  42373  lcfr  42400  lcdvbase  42408  mapdunirnN  42465