Theorem ldualvbase 40007

Description: The vectors of a dual space are functionals of the original space. (Contributed by NM, 18-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualvbase.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualvbase.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualvbase.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝐷)
ldualvbase.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
ldualvbase	⊢ (𝜑 → 𝑉 = 𝐹)

Proof of Theorem ldualvbase

Dummy variables 𝑓 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊))
3		eqid 2762	. . . 4 ⊢ ( ∘f (+g‘(Scalar‘𝑊)) ↾ (𝐹 × 𝐹)) = ( ∘f (+g‘(Scalar‘𝑊)) ↾ (𝐹 × 𝐹))
4		ldualvbase.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5		ldualvbase.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
6		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
7		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
8		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (.r‘(Scalar‘𝑊)) = (.r‘(Scalar‘𝑊))
9		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (oppr‘(Scalar‘𝑊)) = (oppr‘(Scalar‘𝑊))
10		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)), 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘}))) = (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)), 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘})))
11		ldualvbase.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	ldualset 40006	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘(Scalar‘𝑊)) ↾ (𝐹 × 𝐹))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr‘(Scalar‘𝑊))⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)), 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩}))
13	12	fveq2d 6886	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐷) = (Base‘({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘(Scalar‘𝑊)) ↾ (𝐹 × 𝐹))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr‘(Scalar‘𝑊))⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)), 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩})))
14		ldualvbase.v	. 2 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝐷)
15	4	fvexi 6896	. . 3 ⊢ 𝐹 ∈ V
16		eqid 2762	. . . 4 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘(Scalar‘𝑊)) ↾ (𝐹 × 𝐹))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr‘(Scalar‘𝑊))⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)), 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘(Scalar‘𝑊)) ↾ (𝐹 × 𝐹))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr‘(Scalar‘𝑊))⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)), 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩})
17	16	lmodbase 17417	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ V → 𝐹 = (Base‘({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘(Scalar‘𝑊)) ↾ (𝐹 × 𝐹))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr‘(Scalar‘𝑊))⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)), 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩})))
18	15, 17	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝐹 = (Base‘({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘(Scalar‘𝑊)) ↾ (𝐹 × 𝐹))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr‘(Scalar‘𝑊))⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)), 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩}))
19	13, 14, 18	3eqtr4g 2822	1 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = 𝐹)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453   ∪ cun 3900  {csn 4587  {ctp 4591  ⟨cop 4593   × cxp 5657   ↾ cres 5661  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417   ∈ cmpo 7419   ∘_f cof 7680  ndxcnx 17291  Basecbs 17307  +_gcplusg 17348  ._rcmulr 17349  Scalarcsca 17351   ·_𝑠 cvsca 17352  opp_rcoppr 20483  LFnlclfn 39938  LDualcld 40004

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-fz 13566  df-struct 17245  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-plusg 17361  df-sca 17364  df-vsca 17365  df-ldual 40005

This theorem is used by:  ldualelvbase  40008  ldualgrplem  40026  lduallmodlem  40033  lclkr  42414  lclkrs  42420  lcfrvalsnN  42422  lcfrlem4  42426  lcfrlem5  42427  lcfrlem6  42428  lcfrlem16  42439  lcfr  42466  lcdvbase  42474  mapdunirnN  42531