Theorem ldualvbase 39149

Description: The vectors of a dual space are functionals of the original space. (Contributed by NM, 18-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualvbase.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualvbase.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualvbase.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝐷)
ldualvbase.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
ldualvbase	⊢ (𝜑 → 𝑉 = 𝐹)

Proof of Theorem ldualvbase

Dummy variables 𝑓 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊))
3		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ( ∘f (+g‘(Scalar‘𝑊)) ↾ (𝐹 × 𝐹)) = ( ∘f (+g‘(Scalar‘𝑊)) ↾ (𝐹 × 𝐹))
4		ldualvbase.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5		ldualvbase.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
6		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
7		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
8		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (.r‘(Scalar‘𝑊)) = (.r‘(Scalar‘𝑊))
9		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (oppr‘(Scalar‘𝑊)) = (oppr‘(Scalar‘𝑊))
10		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)), 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘}))) = (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)), 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘})))
11		ldualvbase.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	ldualset 39148	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘(Scalar‘𝑊)) ↾ (𝐹 × 𝐹))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr‘(Scalar‘𝑊))⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)), 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩}))
13	12	fveq2d 6885	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐷) = (Base‘({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘(Scalar‘𝑊)) ↾ (𝐹 × 𝐹))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr‘(Scalar‘𝑊))⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)), 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩})))
14		ldualvbase.v	. 2 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝐷)
15	4	fvexi 6895	. . 3 ⊢ 𝐹 ∈ V
16		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘(Scalar‘𝑊)) ↾ (𝐹 × 𝐹))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr‘(Scalar‘𝑊))⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)), 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘(Scalar‘𝑊)) ↾ (𝐹 × 𝐹))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr‘(Scalar‘𝑊))⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)), 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩})
17	16	lmodbase 17345	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ V → 𝐹 = (Base‘({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘(Scalar‘𝑊)) ↾ (𝐹 × 𝐹))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr‘(Scalar‘𝑊))⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)), 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩})))
18	15, 17	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝐹 = (Base‘({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘(Scalar‘𝑊)) ↾ (𝐹 × 𝐹))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr‘(Scalar‘𝑊))⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)), 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f (.r‘(Scalar‘𝑊))((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩}))
19	13, 14, 18	3eqtr4g 2796	1 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3464   ∪ cun 3929  {csn 4606  {ctp 4610  ⟨cop 4612   × cxp 5657   ↾ cres 5661  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ∈ cmpo 7412   ∘_f cof 7674  ndxcnx 17217  Basecbs 17233  +_gcplusg 17276  ._rcmulr 17277  Scalarcsca 17279   ·_𝑠 cvsca 17280  opp_rcoppr 20301  LFnlclfn 39080  LDualcld 39146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7676  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530  df-struct 17171  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-plusg 17289  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ldual 39147

This theorem is referenced by:  ldualelvbase  39150  ldualgrplem  39168  lduallmodlem  39175  lclkr  41557  lclkrs  41563  lcfrvalsnN  41565  lcfrlem4  41569  lcfrlem5  41570  lcfrlem6  41571  lcfrlem16  41582  lcfr  41609  lcdvbase  41617  mapdunirnN  41674