Theorem lcfrlem5 42177

Description: Lemma for lcfr 42216. The set of functionals having closed kernels and majorizing the orthocomplement of a given subspace 𝑄 is closed under scalar product. TODO: share hypotheses with others. Use more consistent variable names here or elsewhere when possible. (Contributed by NM, 5-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcfrlem5.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfrlem5.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem5.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem5.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcfrlem5.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcfrlem5.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfrlem5.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcfrlem5.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝐷)
lcfrlem5.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lcfrlem5.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑆)
lcfrlem5.q	⊢ 𝑄 = ∪ 𝑓 ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))
lcfrlem5.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑄)
lcfrlem5.c	⊢ 𝐶 = (Scalar‘𝑈)
lcfrlem5.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
lcfrlem5.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
lcfrlem5.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lcfrlem5	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑄)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   · ,𝑓   𝑓,𝑋   𝜑,𝑓

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑓)   𝐶(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑄(𝑓)   𝑅(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝑈(𝑓)   𝐹(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝐿(𝑓)   ⊥ (𝑓)   𝑉(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem lcfrlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcfrlem5.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑄)
2		lcfrlem5.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = ∪ 𝑓 ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))
3	1, 2	eleqtrdi 2875	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ∪ 𝑓 ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)))
4		eliun 4955	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ∪ 𝑓 ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) ↔ ∃𝑓 ∈ 𝑅 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)))
5	3, 4	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ 𝑅 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)))
6		lcfrlem5.h	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7		lcfrlem5.u	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
8		lcfrlem5.k	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9	6, 7, 8	dvhlmod 41741	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
10	9	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑅) ∧ 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) → 𝑈 ∈ LMod)
11	8	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑅) ∧ 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
12		lcfrlem5.v	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
13		lcfrlem5.f	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
14		lcfrlem5.l	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
15		lcfrlem5.r	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑆)
16		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
17		lcfrlem5.s	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝐷)
18	16, 17	lssss 21023	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑆 → 𝑅 ⊆ (Base‘𝐷))
19	15, 18	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ (Base‘𝐷))
20		lcfrlem5.d	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
21	13, 20, 16, 9	ldualvbase 39757	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐷) = 𝐹)
22	19, 21	sseqtrd 3975	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝐹)
23	22	sselda 3939	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑅) → 𝑓 ∈ 𝐹)
24	23	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑅) ∧ 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) → 𝑓 ∈ 𝐹)
25	12, 13, 14, 10, 24	lkrssv 39727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑅) ∧ 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) → (𝐿‘𝑓) ⊆ 𝑉)
26		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
27		lcfrlem5.o	. . . . . . . . 9 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
28	6, 7, 12, 26, 27	dochlss 41985	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐿‘𝑓) ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
29	11, 25, 28	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑅) ∧ 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
30		lcfrlem5.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
31	30	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑅) ∧ 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) → 𝐴 ∈ 𝐵)
32		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑅) ∧ 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) → 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)))
33		lcfrlem5.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (Scalar‘𝑈)
34		lcfrlem5.t	. . . . . . . 8 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
35		lcfrlem5.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
36	33, 34, 35, 26	lssvscl 21042	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑈 ∈ LMod ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) ∈ (LSubSp‘𝑈)) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)))) → (𝐴 · 𝑋) ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)))
37	10, 29, 31, 32, 36	syl22anc 851	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑅) ∧ 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) → (𝐴 · 𝑋) ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)))
38	37	ex 417	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑅) → (𝑋 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) → (𝐴 · 𝑋) ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))))
39	38	reximdva 3178	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓 ∈ 𝑅 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) → ∃𝑓 ∈ 𝑅 (𝐴 · 𝑋) ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))))
40	5, 39	mpd 16	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ 𝑅 (𝐴 · 𝑋) ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)))
41		eliun 4955	. . 3 ⊢ ((𝐴 · 𝑋) ∈ ∪ 𝑓 ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) ↔ ∃𝑓 ∈ 𝑅 (𝐴 · 𝑋) ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)))
42	40, 41	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ ∪ 𝑓 ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)))
43	42, 2	eleqtrrdi 2876	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑄)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3089   ⊆ wss 3907  ∪ ciun 4951  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Basecbs 17257  Scalarcsca 17301   ·_𝑠 cvsca 17302  LModclmod 20947  LSubSpclss 21018  LFnlclfn 39688  LKerclk 39716  LDualcld 39754  HLchlt 39981  LHypclh 40615  DVecHcdvh 41709  ocHcoch 41978

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-riotaBAD 39584

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-undef 8257  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-n0 12493  df-z 12580  df-uz 12851  df-fz 13524  df-struct 17195  df-sets 17212  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-ress 17279  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-0g 17482  df-proset 18338  df-poset 18357  df-plt 18372  df-lub 18388  df-glb 18389  df-join 18390  df-meet 18391  df-p0 18467  df-p1 18468  df-lat 18476  df-clat 18543  df-mgm 18686  df-sgrp 18765  df-mnd 18781  df-submnd 18830  df-grp 18991  df-minusg 18992  df-sbg 18993  df-subg 19177  df-cntz 19375  df-lsm 19694  df-cmn 19840  df-abl 19841  df-mgp 20205  df-rng 20219  df-ur 20252  df-ring 20305  df-oppr 20407  df-dvdsr 20427  df-unit 20428  df-invr 20458  df-dvr 20471  df-drng 20803  df-lmod 20949  df-lss 21019  df-lsp 21059  df-lvec 21190  df-lfl 39689  df-lkr 39717  df-ldual 39755  df-oposet 39807  df-ol 39809  df-oml 39810  df-covers 39897  df-ats 39898  df-atl 39929  df-cvlat 39953  df-hlat 39982  df-llines 40129  df-lplanes 40130  df-lvols 40131  df-lines 40132  df-psubsp 40134  df-pmap 40135  df-padd 40427  df-lhyp 40619  df-laut 40620  df-ldil 40735  df-ltrn 40736  df-trl 40790  df-tendo 41386  df-edring 41388  df-disoa 41660  df-dvech 41710  df-dib 41770  df-dic 41804  df-dih 41860  df-doch 41979

This theorem is referenced by:  lcfr  42216