Theorem lcfrlem5 41047

Description: Lemma for lcfr 41086. The set of functionals having closed kernels and majorizing the orthocomplement of a given subspace 𝑄 is closed under scalar product. TODO: share hypotheses with others. Use more consistent variable names here or elsewhere when possible. (Contributed by NM, 5-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcfrlem5.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfrlem5.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem5.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem5.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcfrlem5.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcfrlem5.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfrlem5.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcfrlem5.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝐷)
lcfrlem5.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lcfrlem5.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑆)
lcfrlem5.q	⊢ 𝑄 = ∪ 𝑓 ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))
lcfrlem5.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑄)
lcfrlem5.c	⊢ 𝐶 = (Scalar‘𝑈)
lcfrlem5.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
lcfrlem5.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
lcfrlem5.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lcfrlem5	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑄)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   · ,𝑓   𝑓,𝑋   𝜑,𝑓

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑓)   𝐶(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑄(𝑓)   𝑅(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝑈(𝑓)   𝐹(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝐿(𝑓)   ⊥ (𝑓)   𝑉(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem lcfrlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcfrlem5.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑄)
2		lcfrlem5.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = ∪ 𝑓 ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))
3	1, 2	eleqtrdi 2835	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ∪ 𝑓 ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)))
4		eliun 4993	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ∪ 𝑓 ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) ↔ ∃𝑓 ∈ 𝑅 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)))
5	3, 4	sylib 217	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ 𝑅 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)))
6		lcfrlem5.h	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7		lcfrlem5.u	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
8		lcfrlem5.k	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9	6, 7, 8	dvhlmod 40611	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
10	9	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑅) ∧ 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) → 𝑈 ∈ LMod)
11	8	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑅) ∧ 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
12		lcfrlem5.v	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
13		lcfrlem5.f	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
14		lcfrlem5.l	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
15		lcfrlem5.r	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑆)
16		eqid 2725	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
17		lcfrlem5.s	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝐷)
18	16, 17	lssss 20822	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑆 → 𝑅 ⊆ (Base‘𝐷))
19	15, 18	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ (Base‘𝐷))
20		lcfrlem5.d	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
21	13, 20, 16, 9	ldualvbase 38626	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐷) = 𝐹)
22	19, 21	sseqtrd 4012	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝐹)
23	22	sselda 3972	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑅) → 𝑓 ∈ 𝐹)
24	23	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑅) ∧ 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) → 𝑓 ∈ 𝐹)
25	12, 13, 14, 10, 24	lkrssv 38596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑅) ∧ 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) → (𝐿‘𝑓) ⊆ 𝑉)
26		eqid 2725	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
27		lcfrlem5.o	. . . . . . . . 9 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
28	6, 7, 12, 26, 27	dochlss 40855	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐿‘𝑓) ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
29	11, 25, 28	syl2anc 582	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑅) ∧ 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
30		lcfrlem5.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
31	30	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑅) ∧ 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) → 𝐴 ∈ 𝐵)
32		simpr 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑅) ∧ 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) → 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)))
33		lcfrlem5.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (Scalar‘𝑈)
34		lcfrlem5.t	. . . . . . . 8 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
35		lcfrlem5.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
36	33, 34, 35, 26	lssvscl 20841	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑈 ∈ LMod ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) ∈ (LSubSp‘𝑈)) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)))) → (𝐴 · 𝑋) ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)))
37	10, 29, 31, 32, 36	syl22anc 837	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑅) ∧ 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) → (𝐴 · 𝑋) ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)))
38	37	ex 411	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑅) → (𝑋 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) → (𝐴 · 𝑋) ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))))
39	38	reximdva 3158	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓 ∈ 𝑅 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) → ∃𝑓 ∈ 𝑅 (𝐴 · 𝑋) ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))))
40	5, 39	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ 𝑅 (𝐴 · 𝑋) ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)))
41		eliun 4993	. . 3 ⊢ ((𝐴 · 𝑋) ∈ ∪ 𝑓 ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) ↔ ∃𝑓 ∈ 𝑅 (𝐴 · 𝑋) ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)))
42	40, 41	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ ∪ 𝑓 ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)))
43	42, 2	eleqtrrdi 2836	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑄)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3060   ⊆ wss 3939  ∪ ciun 4989  ‘cfv 6541  (class class class)co 7414  Basecbs 17177  Scalarcsca 17233   ·_𝑠 cvsca 17234  LModclmod 20745  LSubSpclss 20817  LFnlclfn 38557  LKerclk 38585  LDualcld 38623  HLchlt 38850  LHypclh 39485  DVecHcdvh 40579  ocHcoch 40848

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7736  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-riotaBAD 38453

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4317  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4943  df-iun 4991  df-iin 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7680  df-om 7867  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-tpos 8228  df-undef 8275  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13515  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-0g 17420  df-proset 18284  df-poset 18302  df-plt 18319  df-lub 18335  df-glb 18336  df-join 18337  df-meet 18338  df-p0 18414  df-p1 18415  df-lat 18421  df-clat 18488  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18738  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-sbg 18897  df-subg 19080  df-cntz 19270  df-lsm 19593  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-rng 20095  df-ur 20124  df-ring 20177  df-oppr 20275  df-dvdsr 20298  df-unit 20299  df-invr 20329  df-dvr 20342  df-drng 20628  df-lmod 20747  df-lss 20818  df-lsp 20858  df-lvec 20990  df-lfl 38558  df-lkr 38586  df-ldual 38624  df-oposet 38676  df-ol 38678  df-oml 38679  df-covers 38766  df-ats 38767  df-atl 38798  df-cvlat 38822  df-hlat 38851  df-llines 38999  df-lplanes 39000  df-lvols 39001  df-lines 39002  df-psubsp 39004  df-pmap 39005  df-padd 39297  df-lhyp 39489  df-laut 39490  df-ldil 39605  df-ltrn 39606  df-trl 39660  df-tendo 40256  df-edring 40258  df-disoa 40530  df-dvech 40580  df-dib 40640  df-dic 40674  df-dih 40730  df-doch 40849

This theorem is referenced by:  lcfr  41086