Theorem lcdvbase 42743

Description: Vector base set of a dual vector space of functionals with closed kernels. (Contributed by NM, 13-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcdvbase.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcdvbase.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcdvbase.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
lcdvbase.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝐶)
lcdvbase.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcdvbase.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcdvbase.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcdvbase.b	⊢ 𝐵 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
lcdvbase.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
lcdvbase	⊢ (𝜑 → 𝑉 = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐾   𝑓,𝑊

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐶(𝑓)   𝑈(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐿(𝑓)   ⊥ (𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem lcdvbase

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcdvbase.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝐶)
2		lcdvbase.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		lcdvbase.o	. . . . 5 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4		lcdvbase.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
5		lcdvbase.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6		lcdvbase.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
7		lcdvbase.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
8		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (LDual‘𝑈) = (LDual‘𝑈)
9		lcdvbase.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10		lcdvbase.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
11	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	lcdval2 42740	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = ((LDual‘𝑈) ↾s 𝐵))
12	11	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐶) = (Base‘((LDual‘𝑈) ↾s 𝐵)))
13	1, 12	eqtrid 2807	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘((LDual‘𝑈) ↾s 𝐵)))
14		ssrab2 4005	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)} ⊆ 𝐹
15	10, 14	eqsstri 3954	. . . 4 ⊢ 𝐵 ⊆ 𝐹
16		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Base‘(LDual‘𝑈)) = (Base‘(LDual‘𝑈))
17	2, 5, 9	dvhlmod 42260	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
18	6, 8, 16, 17	ldualvbase 40276	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘(LDual‘𝑈)) = 𝐹)
19	15, 18	sseqtrrid 3951	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘(LDual‘𝑈)))
20		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ((LDual‘𝑈) ↾s 𝐵) = ((LDual‘𝑈) ↾s 𝐵)
21	20, 16	ressbas2 17421	. . 3 ⊢ (𝐵 ⊆ (Base‘(LDual‘𝑈)) → 𝐵 = (Base‘((LDual‘𝑈) ↾s 𝐵)))
22	19, 21	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘((LDual‘𝑈) ↾s 𝐵)))
23	13, 22	eqtr4d 2798	1 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {crab 3412   ⊆ wss 3895  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17392   ↾_s cress 17413  LModclmod 21140  LFnlclfn 40207  LKerclk 40235  LDualcld 40273  HLchlt 40500  LHypclh 41134  DVecHcdvh 42228  ocHcoch 42497  LCDualclcd 42736

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-riotaBAD 40103

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8246  df-undef 8293  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-er 8720  df-map 8852  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-fz 13643  df-struct 17330  df-sets 17347  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-ress 17414  df-plusg 17446  df-mulr 17447  df-sca 17449  df-vsca 17450  df-0g 17617  df-proset 18473  df-poset 18492  df-plt 18507  df-lub 18523  df-glb 18524  df-join 18525  df-meet 18526  df-p0 18602  df-p1 18603  df-lat 18611  df-clat 18678  df-mgm 18821  df-sgrp 18913  df-mnd 18929  df-grp 19152  df-minusg 19153  df-cmn 20001  df-abl 20002  df-mgp 20366  df-rng 20380  df-ur 20413  df-ring 20466  df-oppr 20572  df-dvdsr 20592  df-unit 20593  df-invr 20623  df-dvr 20636  df-drng 20987  df-lmod 21142  df-lvec 21383  df-ldual 40274  df-oposet 40326  df-ol 40328  df-oml 40329  df-covers 40416  df-ats 40417  df-atl 40448  df-cvlat 40472  df-hlat 40501  df-llines 40648  df-lplanes 40649  df-lvols 40650  df-lines 40651  df-psubsp 40653  df-pmap 40654  df-padd 40946  df-lhyp 41138  df-laut 41139  df-ldil 41254  df-ltrn 41255  df-trl 41309  df-tendo 41905  df-edring 41907  df-dvech 42229  df-lcdual 42737

This theorem is used by:  lcdvbasess  42744  lcdlss2N  42770  lcdlsp  42771  hvmap1o2  42915