Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcdvbase Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcdvbase 40954
Description: Vector base set of a dual vector space of functionals with closed kernels. (Contributed by NM, 13-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcdvbase.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcdvbase.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcdvbase.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
lcdvbase.v 𝑉 = (Base‘𝐶)
lcdvbase.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcdvbase.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcdvbase.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcdvbase.b 𝐵 = {𝑓𝐹 ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)}
lcdvbase.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
Assertion
Ref Expression
lcdvbase (𝜑𝑉 = 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐾   𝑓,𝑊
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐶(𝑓)   𝑈(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐿(𝑓)   (𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem lcdvbase
StepHypRef Expression
1 lcdvbase.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝐶)
2 lcdvbase.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 lcdvbase.o . . . . 5 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4 lcdvbase.c . . . . 5 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
5 lcdvbase.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6 lcdvbase.f . . . . 5 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
7 lcdvbase.l . . . . 5 𝐿 = (LKer‘𝑈)
8 eqid 2724 . . . . 5 (LDual‘𝑈) = (LDual‘𝑈)
9 lcdvbase.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
10 lcdvbase.b . . . . 5 𝐵 = {𝑓𝐹 ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)}
112, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10lcdval2 40951 . . . 4 (𝜑𝐶 = ((LDual‘𝑈) ↾s 𝐵))
1211fveq2d 6885 . . 3 (𝜑 → (Base‘𝐶) = (Base‘((LDual‘𝑈) ↾s 𝐵)))
131, 12eqtrid 2776 . 2 (𝜑𝑉 = (Base‘((LDual‘𝑈) ↾s 𝐵)))
14 ssrab2 4069 . . . . 5 {𝑓𝐹 ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)} ⊆ 𝐹
1510, 14eqsstri 4008 . . . 4 𝐵𝐹
16 eqid 2724 . . . . 5 (Base‘(LDual‘𝑈)) = (Base‘(LDual‘𝑈))
172, 5, 9dvhlmod 40471 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
186, 8, 16, 17ldualvbase 38486 . . . 4 (𝜑 → (Base‘(LDual‘𝑈)) = 𝐹)
1915, 18sseqtrrid 4027 . . 3 (𝜑𝐵 ⊆ (Base‘(LDual‘𝑈)))
20 eqid 2724 . . . 4 ((LDual‘𝑈) ↾s 𝐵) = ((LDual‘𝑈) ↾s 𝐵)
2120, 16ressbas2 17181 . . 3 (𝐵 ⊆ (Base‘(LDual‘𝑈)) → 𝐵 = (Base‘((LDual‘𝑈) ↾s 𝐵)))
2219, 21syl 17 . 2 (𝜑𝐵 = (Base‘((LDual‘𝑈) ↾s 𝐵)))
2313, 22eqtr4d 2767 1 (𝜑𝑉 = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  {crab 3424  wss 3940  cfv 6533  (class class class)co 7401  Basecbs 17143  s cress 17172  LModclmod 20696  LFnlclfn 38417  LKerclk 38445  LDualcld 38483  HLchlt 38710  LHypclh 39345  DVecHcdvh 40439  ocHcoch 40708  LCDualclcd 40947
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-riotaBAD 38313
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-tpos 8206  df-undef 8253  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-0g 17386  df-proset 18250  df-poset 18268  df-plt 18285  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-p0 18380  df-p1 18381  df-lat 18387  df-clat 18454  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-grp 18856  df-minusg 18857  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-oppr 20226  df-dvdsr 20249  df-unit 20250  df-invr 20280  df-dvr 20293  df-drng 20579  df-lmod 20698  df-lvec 20941  df-ldual 38484  df-oposet 38536  df-ol 38538  df-oml 38539  df-covers 38626  df-ats 38627  df-atl 38658  df-cvlat 38682  df-hlat 38711  df-llines 38859  df-lplanes 38860  df-lvols 38861  df-lines 38862  df-psubsp 38864  df-pmap 38865  df-padd 39157  df-lhyp 39349  df-laut 39350  df-ldil 39465  df-ltrn 39466  df-trl 39520  df-tendo 40116  df-edring 40118  df-dvech 40440  df-lcdual 40948
This theorem is referenced by:  lcdvbasess  40955  lcdlss2N  40981  lcdlsp  40982  hvmap1o2  41126
  Copyright terms: Public domain W3C validator