Theorem lcdvbase 40967

Description: Vector base set of a dual vector space of functionals with closed kernels. (Contributed by NM, 13-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcdvbase.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcdvbase.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcdvbase.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
lcdvbase.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝐶)
lcdvbase.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcdvbase.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcdvbase.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcdvbase.b	⊢ 𝐵 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
lcdvbase.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
lcdvbase	⊢ (𝜑 → 𝑉 = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐾   𝑓,𝑊

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐶(𝑓)   𝑈(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐿(𝑓)   ⊥ (𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem lcdvbase

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcdvbase.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝐶)
2		lcdvbase.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		lcdvbase.o	. . . . 5 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4		lcdvbase.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
5		lcdvbase.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6		lcdvbase.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
7		lcdvbase.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
8		eqid 2724	. . . . 5 ⊢ (LDual‘𝑈) = (LDual‘𝑈)
9		lcdvbase.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10		lcdvbase.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
11	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	lcdval2 40964	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = ((LDual‘𝑈) ↾s 𝐵))
12	11	fveq2d 6886	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐶) = (Base‘((LDual‘𝑈) ↾s 𝐵)))
13	1, 12	eqtrid 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘((LDual‘𝑈) ↾s 𝐵)))
14		ssrab2 4070	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)} ⊆ 𝐹
15	10, 14	eqsstri 4009	. . . 4 ⊢ 𝐵 ⊆ 𝐹
16		eqid 2724	. . . . 5 ⊢ (Base‘(LDual‘𝑈)) = (Base‘(LDual‘𝑈))
17	2, 5, 9	dvhlmod 40484	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
18	6, 8, 16, 17	ldualvbase 38499	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘(LDual‘𝑈)) = 𝐹)
19	15, 18	sseqtrrid 4028	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘(LDual‘𝑈)))
20		eqid 2724	. . . 4 ⊢ ((LDual‘𝑈) ↾s 𝐵) = ((LDual‘𝑈) ↾s 𝐵)
21	20, 16	ressbas2 17187	. . 3 ⊢ (𝐵 ⊆ (Base‘(LDual‘𝑈)) → 𝐵 = (Base‘((LDual‘𝑈) ↾s 𝐵)))
22	19, 21	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘((LDual‘𝑈) ↾s 𝐵)))
23	13, 22	eqtr4d 2767	1 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3424   ⊆ wss 3941  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402  Basecbs 17149   ↾_s cress 17178  LModclmod 20702  LFnlclfn 38430  LKerclk 38458  LDualcld 38496  HLchlt 38723  LHypclh 39358  DVecHcdvh 40452  ocHcoch 40721  LCDualclcd 40960

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-riotaBAD 38326

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-tpos 8207  df-undef 8254  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13486  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-0g 17392  df-proset 18256  df-poset 18274  df-plt 18291  df-lub 18307  df-glb 18308  df-join 18309  df-meet 18310  df-p0 18386  df-p1 18387  df-lat 18393  df-clat 18460  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-grp 18862  df-minusg 18863  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-oppr 20232  df-dvdsr 20255  df-unit 20256  df-invr 20286  df-dvr 20299  df-drng 20585  df-lmod 20704  df-lvec 20947  df-ldual 38497  df-oposet 38549  df-ol 38551  df-oml 38552  df-covers 38639  df-ats 38640  df-atl 38671  df-cvlat 38695  df-hlat 38724  df-llines 38872  df-lplanes 38873  df-lvols 38874  df-lines 38875  df-psubsp 38877  df-pmap 38878  df-padd 39170  df-lhyp 39362  df-laut 39363  df-ldil 39478  df-ltrn 39479  df-trl 39533  df-tendo 40129  df-edring 40131  df-dvech 40453  df-lcdual 40961

This theorem is referenced by:  lcdvbasess  40968  lcdlss2N  40994  lcdlsp  40995  hvmap1o2  41139