Theorem lcdvbase 39191

Description: Vector base set of a dual vector space of functionals with closed kernels. (Contributed by NM, 13-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcdvbase.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcdvbase.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcdvbase.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
lcdvbase.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝐶)
lcdvbase.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcdvbase.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcdvbase.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcdvbase.b	⊢ 𝐵 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
lcdvbase.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
lcdvbase	⊢ (𝜑 → 𝑉 = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐾   𝑓,𝑊

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐶(𝑓)   𝑈(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐿(𝑓)   ⊥ (𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem lcdvbase

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcdvbase.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝐶)
2		lcdvbase.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		lcdvbase.o	. . . . 5 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4		lcdvbase.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
5		lcdvbase.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6		lcdvbase.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
7		lcdvbase.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
8		eqid 2758	. . . . 5 ⊢ (LDual‘𝑈) = (LDual‘𝑈)
9		lcdvbase.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10		lcdvbase.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
11	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	lcdval2 39188	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = ((LDual‘𝑈) ↾s 𝐵))
12	11	fveq2d 6662	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐶) = (Base‘((LDual‘𝑈) ↾s 𝐵)))
13	1, 12	syl5eq 2805	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘((LDual‘𝑈) ↾s 𝐵)))
14		ssrab2 3984	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)} ⊆ 𝐹
15	10, 14	eqsstri 3926	. . . 4 ⊢ 𝐵 ⊆ 𝐹
16		eqid 2758	. . . . 5 ⊢ (Base‘(LDual‘𝑈)) = (Base‘(LDual‘𝑈))
17	2, 5, 9	dvhlmod 38708	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
18	6, 8, 16, 17	ldualvbase 36724	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘(LDual‘𝑈)) = 𝐹)
19	15, 18	sseqtrrid 3945	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘(LDual‘𝑈)))
20		eqid 2758	. . . 4 ⊢ ((LDual‘𝑈) ↾s 𝐵) = ((LDual‘𝑈) ↾s 𝐵)
21	20, 16	ressbas2 16613	. . 3 ⊢ (𝐵 ⊆ (Base‘(LDual‘𝑈)) → 𝐵 = (Base‘((LDual‘𝑈) ↾s 𝐵)))
22	19, 21	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘((LDual‘𝑈) ↾s 𝐵)))
23	13, 22	eqtr4d 2796	1 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {crab 3074   ⊆ wss 3858  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  Basecbs 16541   ↾_s cress 16542  LModclmod 19702  LFnlclfn 36655  LKerclk 36683  LDualcld 36721  HLchlt 36948  LHypclh 37582  DVecHcdvh 38676  ocHcoch 38945  LCDualclcd 39184

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-riotaBAD 36551

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-iin 4886  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7405  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-tpos 7902  df-undef 7949  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-er 8299  df-map 8418  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-4 11739  df-5 11740  df-6 11741  df-n0 11935  df-z 12021  df-uz 12283  df-fz 12940  df-struct 16543  df-ndx 16544  df-slot 16545  df-base 16547  df-sets 16548  df-ress 16549  df-plusg 16636  df-mulr 16637  df-sca 16639  df-vsca 16640  df-0g 16773  df-proset 17604  df-poset 17622  df-plt 17634  df-lub 17650  df-glb 17651  df-join 17652  df-meet 17653  df-p0 17715  df-p1 17716  df-lat 17722  df-clat 17784  df-mgm 17918  df-sgrp 17967  df-mnd 17978  df-grp 18172  df-minusg 18173  df-mgp 19308  df-ur 19320  df-ring 19367  df-oppr 19444  df-dvdsr 19462  df-unit 19463  df-invr 19493  df-dvr 19504  df-drng 19572  df-lmod 19704  df-lvec 19943  df-ldual 36722  df-oposet 36774  df-ol 36776  df-oml 36777  df-covers 36864  df-ats 36865  df-atl 36896  df-cvlat 36920  df-hlat 36949  df-llines 37096  df-lplanes 37097  df-lvols 37098  df-lines 37099  df-psubsp 37101  df-pmap 37102  df-padd 37394  df-lhyp 37586  df-laut 37587  df-ldil 37702  df-ltrn 37703  df-trl 37757  df-tendo 38353  df-edring 38355  df-dvech 38677  df-lcdual 39185

This theorem is referenced by:  lcdvbasess  39192  lcdlss2N  39218  lcdlsp  39219  hvmap1o2  39363