Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zcld 23414
 Description: The integers are a closed set in the topology on ℝ. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
zcld.1 𝐽 = (topGen‘ran (,))
Assertion
Ref Expression
zcld ℤ ∈ (Clsd‘𝐽)

Proof of Theorem zcld
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eliun 4909 . . . . 5 (𝑦 𝑥 ∈ ℤ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑥 + 1)))
2 elioore 12761 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) → 𝑦 ∈ ℝ)
32adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑥 + 1))) → 𝑦 ∈ ℝ)
4 eliooord 12789 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) → (𝑥 < 𝑦𝑦 < (𝑥 + 1)))
5 btwnnz 12051 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝑦𝑦 < (𝑥 + 1)) → ¬ 𝑦 ∈ ℤ)
653expb 1117 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 < 𝑦𝑦 < (𝑥 + 1))) → ¬ 𝑦 ∈ ℤ)
74, 6sylan2 595 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑥 + 1))) → ¬ 𝑦 ∈ ℤ)
83, 7eldifd 3930 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑥 + 1))) → 𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ))
98rexlimiva 3274 . . . . . 6 (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) → 𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ))
10 eldifi 4088 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → 𝑦 ∈ ℝ)
1110flcld 13168 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → (⌊‘𝑦) ∈ ℤ)
1211zred 12080 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → (⌊‘𝑦) ∈ ℝ)
13 flle 13169 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ → (⌊‘𝑦) ≤ 𝑦)
1410, 13syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → (⌊‘𝑦) ≤ 𝑦)
15 eldifn 4089 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → ¬ 𝑦 ∈ ℤ)
16 nelne2 3111 . . . . . . . . . . 11 (((⌊‘𝑦) ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℤ) → (⌊‘𝑦) ≠ 𝑦)
1711, 15, 16syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → (⌊‘𝑦) ≠ 𝑦)
1817necomd 3069 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → 𝑦 ≠ (⌊‘𝑦))
1912, 10, 14, 18leneltd 10786 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → (⌊‘𝑦) < 𝑦)
20 flltp1 13170 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 < ((⌊‘𝑦) + 1))
2110, 20syl 17 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → 𝑦 < ((⌊‘𝑦) + 1))
2212rexrd 10683 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → (⌊‘𝑦) ∈ ℝ*)
23 peano2re 10805 . . . . . . . . . . 11 ((⌊‘𝑦) ∈ ℝ → ((⌊‘𝑦) + 1) ∈ ℝ)
2412, 23syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → ((⌊‘𝑦) + 1) ∈ ℝ)
2524rexrd 10683 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → ((⌊‘𝑦) + 1) ∈ ℝ*)
26 elioo2 12772 . . . . . . . . 9 (((⌊‘𝑦) ∈ ℝ* ∧ ((⌊‘𝑦) + 1) ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ ((⌊‘𝑦)(,)((⌊‘𝑦) + 1)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝑦) < 𝑦𝑦 < ((⌊‘𝑦) + 1))))
2722, 25, 26syl2anc 587 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → (𝑦 ∈ ((⌊‘𝑦)(,)((⌊‘𝑦) + 1)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝑦) < 𝑦𝑦 < ((⌊‘𝑦) + 1))))
2810, 19, 21, 27mpbir3and 1339 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → 𝑦 ∈ ((⌊‘𝑦)(,)((⌊‘𝑦) + 1)))
29 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (⌊‘𝑦) → 𝑥 = (⌊‘𝑦))
30 oveq1 7152 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (⌊‘𝑦) → (𝑥 + 1) = ((⌊‘𝑦) + 1))
3129, 30oveq12d 7163 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (⌊‘𝑦) → (𝑥(,)(𝑥 + 1)) = ((⌊‘𝑦)(,)((⌊‘𝑦) + 1)))
3231eleq2d 2901 . . . . . . . 8 (𝑥 = (⌊‘𝑦) → (𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) ↔ 𝑦 ∈ ((⌊‘𝑦)(,)((⌊‘𝑦) + 1))))
3332rspcev 3609 . . . . . . 7 (((⌊‘𝑦) ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ((⌊‘𝑦)(,)((⌊‘𝑦) + 1))) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑥 + 1)))
3411, 28, 33syl2anc 587 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑥 + 1)))
359, 34impbii 212 . . . . 5 (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) ↔ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ))
361, 35bitri 278 . . . 4 (𝑦 𝑥 ∈ ℤ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) ↔ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ))
3736eqriv 2821 . . 3 𝑥 ∈ ℤ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) = (ℝ ∖ ℤ)
38 zcld.1 . . . . 5 𝐽 = (topGen‘ran (,))
39 retop 23363 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
4038, 39eqeltri 2912 . . . 4 𝐽 ∈ Top
41 iooretop 23367 . . . . . 6 (𝑥(,)(𝑥 + 1)) ∈ (topGen‘ran (,))
4241, 38eleqtrri 2915 . . . . 5 (𝑥(,)(𝑥 + 1)) ∈ 𝐽
4342rgenw 3145 . . . 4 𝑥 ∈ ℤ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) ∈ 𝐽
44 iunopn 21499 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) ∈ 𝐽) → 𝑥 ∈ ℤ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) ∈ 𝐽)
4540, 43, 44mp2an 691 . . 3 𝑥 ∈ ℤ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) ∈ 𝐽
4637, 45eqeltrri 2913 . 2 (ℝ ∖ ℤ) ∈ 𝐽
47 zssre 11981 . . 3 ℤ ⊆ ℝ
48 uniretop 23364 . . . . 5 ℝ = (topGen‘ran (,))
4938unieqi 4837 . . . . 5 𝐽 = (topGen‘ran (,))
5048, 49eqtr4i 2850 . . . 4 ℝ = 𝐽
5150iscld2 21629 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ ℤ ⊆ ℝ) → (ℤ ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (ℝ ∖ ℤ) ∈ 𝐽))
5240, 47, 51mp2an 691 . 2 (ℤ ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (ℝ ∖ ℤ) ∈ 𝐽)
5346, 52mpbir 234 1 ℤ ∈ (Clsd‘𝐽)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3014  ∀wral 3133  ∃wrex 3134   ∖ cdif 3916   ⊆ wss 3919  ∪ cuni 4824  ∪ ciun 4905   class class class wbr 5052  ran crn 5543  ‘cfv 6343  (class class class)co 7145  ℝcr 10528  1c1 10530   + caddc 10532  ℝ*cxr 10666   < clt 10667   ≤ cle 10668  ℤcz 11974  (,)cioo 12731  ⌊cfl 13160  topGenctg 16707  Topctop 21494  Clsdccld 21617 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7451  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4276  df-if 4450  df-pw 4523  df-sn 4550  df-pr 4552  df-tp 4554  df-op 4556  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7571  df-1st 7679  df-2nd 7680  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-er 8279  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-sup 8897  df-inf 8898  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-n0 11891  df-z 11975  df-uz 12237  df-q 12342  df-ioo 12735  df-fl 13162  df-topgen 16713  df-top 21495  df-bases 21547  df-cld 21620 This theorem is referenced by:  zcld2  23416
 Copyright terms: Public domain W3C validator