MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zcld 24329
Description: The integers are a closed set in the topology on ℝ. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
zcld.1 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
Assertion
Ref Expression
zcld β„€ ∈ (Clsdβ€˜π½)

Proof of Theorem zcld
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eliun 5002 . . . . 5 (𝑦 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ β„€ (π‘₯(,)(π‘₯ + 1)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ 𝑦 ∈ (π‘₯(,)(π‘₯ + 1)))
2 elioore 13354 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (π‘₯(,)(π‘₯ + 1)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
32adantl 483 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯(,)(π‘₯ + 1))) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
4 eliooord 13383 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (π‘₯(,)(π‘₯ + 1)) β†’ (π‘₯ < 𝑦 ∧ 𝑦 < (π‘₯ + 1)))
5 btwnnz 12638 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ π‘₯ < 𝑦 ∧ 𝑦 < (π‘₯ + 1)) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ β„€)
653expb 1121 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ (π‘₯ < 𝑦 ∧ 𝑦 < (π‘₯ + 1))) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ β„€)
74, 6sylan2 594 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯(,)(π‘₯ + 1))) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ β„€)
83, 7eldifd 3960 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯(,)(π‘₯ + 1))) β†’ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– β„€))
98rexlimiva 3148 . . . . . 6 (βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ 𝑦 ∈ (π‘₯(,)(π‘₯ + 1)) β†’ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– β„€))
10 eldifi 4127 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (ℝ βˆ– β„€) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
1110flcld 13763 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (ℝ βˆ– β„€) β†’ (βŒŠβ€˜π‘¦) ∈ β„€)
1211zred 12666 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (ℝ βˆ– β„€) β†’ (βŒŠβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
13 flle 13764 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ β†’ (βŒŠβ€˜π‘¦) ≀ 𝑦)
1410, 13syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (ℝ βˆ– β„€) β†’ (βŒŠβ€˜π‘¦) ≀ 𝑦)
15 eldifn 4128 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (ℝ βˆ– β„€) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ β„€)
16 nelne2 3041 . . . . . . . . . . 11 (((βŒŠβ€˜π‘¦) ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑦 ∈ β„€) β†’ (βŒŠβ€˜π‘¦) β‰  𝑦)
1711, 15, 16syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (ℝ βˆ– β„€) β†’ (βŒŠβ€˜π‘¦) β‰  𝑦)
1817necomd 2997 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (ℝ βˆ– β„€) β†’ 𝑦 β‰  (βŒŠβ€˜π‘¦))
1912, 10, 14, 18leneltd 11368 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (ℝ βˆ– β„€) β†’ (βŒŠβ€˜π‘¦) < 𝑦)
20 flltp1 13765 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ β†’ 𝑦 < ((βŒŠβ€˜π‘¦) + 1))
2110, 20syl 17 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (ℝ βˆ– β„€) β†’ 𝑦 < ((βŒŠβ€˜π‘¦) + 1))
2212rexrd 11264 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (ℝ βˆ– β„€) β†’ (βŒŠβ€˜π‘¦) ∈ ℝ*)
23 peano2re 11387 . . . . . . . . . . 11 ((βŒŠβ€˜π‘¦) ∈ ℝ β†’ ((βŒŠβ€˜π‘¦) + 1) ∈ ℝ)
2412, 23syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (ℝ βˆ– β„€) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘¦) + 1) ∈ ℝ)
2524rexrd 11264 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (ℝ βˆ– β„€) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘¦) + 1) ∈ ℝ*)
26 elioo2 13365 . . . . . . . . 9 (((βŒŠβ€˜π‘¦) ∈ ℝ* ∧ ((βŒŠβ€˜π‘¦) + 1) ∈ ℝ*) β†’ (𝑦 ∈ ((βŒŠβ€˜π‘¦)(,)((βŒŠβ€˜π‘¦) + 1)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (βŒŠβ€˜π‘¦) < 𝑦 ∧ 𝑦 < ((βŒŠβ€˜π‘¦) + 1))))
2722, 25, 26syl2anc 585 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (ℝ βˆ– β„€) β†’ (𝑦 ∈ ((βŒŠβ€˜π‘¦)(,)((βŒŠβ€˜π‘¦) + 1)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (βŒŠβ€˜π‘¦) < 𝑦 ∧ 𝑦 < ((βŒŠβ€˜π‘¦) + 1))))
2810, 19, 21, 27mpbir3and 1343 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (ℝ βˆ– β„€) β†’ 𝑦 ∈ ((βŒŠβ€˜π‘¦)(,)((βŒŠβ€˜π‘¦) + 1)))
29 id 22 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = (βŒŠβ€˜π‘¦) β†’ π‘₯ = (βŒŠβ€˜π‘¦))
30 oveq1 7416 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = (βŒŠβ€˜π‘¦) β†’ (π‘₯ + 1) = ((βŒŠβ€˜π‘¦) + 1))
3129, 30oveq12d 7427 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (βŒŠβ€˜π‘¦) β†’ (π‘₯(,)(π‘₯ + 1)) = ((βŒŠβ€˜π‘¦)(,)((βŒŠβ€˜π‘¦) + 1)))
3231eleq2d 2820 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (βŒŠβ€˜π‘¦) β†’ (𝑦 ∈ (π‘₯(,)(π‘₯ + 1)) ↔ 𝑦 ∈ ((βŒŠβ€˜π‘¦)(,)((βŒŠβ€˜π‘¦) + 1))))
3332rspcev 3613 . . . . . . 7 (((βŒŠβ€˜π‘¦) ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ ((βŒŠβ€˜π‘¦)(,)((βŒŠβ€˜π‘¦) + 1))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ 𝑦 ∈ (π‘₯(,)(π‘₯ + 1)))
3411, 28, 33syl2anc 585 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (ℝ βˆ– β„€) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ 𝑦 ∈ (π‘₯(,)(π‘₯ + 1)))
359, 34impbii 208 . . . . 5 (βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ 𝑦 ∈ (π‘₯(,)(π‘₯ + 1)) ↔ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– β„€))
361, 35bitri 275 . . . 4 (𝑦 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ β„€ (π‘₯(,)(π‘₯ + 1)) ↔ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– β„€))
3736eqriv 2730 . . 3 βˆͺ π‘₯ ∈ β„€ (π‘₯(,)(π‘₯ + 1)) = (ℝ βˆ– β„€)
38 zcld.1 . . . . 5 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
39 retop 24278 . . . . 5 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top
4038, 39eqeltri 2830 . . . 4 𝐽 ∈ Top
41 iooretop 24282 . . . . . 6 (π‘₯(,)(π‘₯ + 1)) ∈ (topGenβ€˜ran (,))
4241, 38eleqtrri 2833 . . . . 5 (π‘₯(,)(π‘₯ + 1)) ∈ 𝐽
4342rgenw 3066 . . . 4 βˆ€π‘₯ ∈ β„€ (π‘₯(,)(π‘₯ + 1)) ∈ 𝐽
44 iunopn 22400 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„€ (π‘₯(,)(π‘₯ + 1)) ∈ 𝐽) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ β„€ (π‘₯(,)(π‘₯ + 1)) ∈ 𝐽)
4540, 43, 44mp2an 691 . . 3 βˆͺ π‘₯ ∈ β„€ (π‘₯(,)(π‘₯ + 1)) ∈ 𝐽
4637, 45eqeltrri 2831 . 2 (ℝ βˆ– β„€) ∈ 𝐽
47 zssre 12565 . . 3 β„€ βŠ† ℝ
48 uniretop 24279 . . . . 5 ℝ = βˆͺ (topGenβ€˜ran (,))
4938unieqi 4922 . . . . 5 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ (topGenβ€˜ran (,))
5048, 49eqtr4i 2764 . . . 4 ℝ = βˆͺ 𝐽
5150iscld2 22532 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ β„€ βŠ† ℝ) β†’ (β„€ ∈ (Clsdβ€˜π½) ↔ (ℝ βˆ– β„€) ∈ 𝐽))
5240, 47, 51mp2an 691 . 2 (β„€ ∈ (Clsdβ€˜π½) ↔ (ℝ βˆ– β„€) ∈ 𝐽)
5346, 52mpbir 230 1 β„€ ∈ (Clsdβ€˜π½)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949  βˆͺ cuni 4909  βˆͺ ciun 4998   class class class wbr 5149  ran crn 5678  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„cr 11109  1c1 11111   + caddc 11113  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249  β„€cz 12558  (,)cioo 13324  βŒŠcfl 13755  topGenctg 17383  Topctop 22395  Clsdccld 22520
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-ioo 13328  df-fl 13757  df-topgen 17389  df-top 22396  df-bases 22449  df-cld 22523
This theorem is referenced by:  zcld2  24331
  Copyright terms: Public domain W3C validator