MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zcld 23414
Description: The integers are a closed set in the topology on . (Contributed by Mario Carneiro, 17-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
zcld.1 𝐽 = (topGen‘ran (,))
Assertion
Ref Expression
zcld ℤ ∈ (Clsd‘𝐽)

Proof of Theorem zcld
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eliun 4909 . . . . 5 (𝑦 𝑥 ∈ ℤ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑥 + 1)))
2 elioore 12761 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) → 𝑦 ∈ ℝ)
32adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑥 + 1))) → 𝑦 ∈ ℝ)
4 eliooord 12789 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) → (𝑥 < 𝑦𝑦 < (𝑥 + 1)))
5 btwnnz 12051 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝑦𝑦 < (𝑥 + 1)) → ¬ 𝑦 ∈ ℤ)
653expb 1117 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 < 𝑦𝑦 < (𝑥 + 1))) → ¬ 𝑦 ∈ ℤ)
74, 6sylan2 595 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑥 + 1))) → ¬ 𝑦 ∈ ℤ)
83, 7eldifd 3930 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑥 + 1))) → 𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ))
98rexlimiva 3274 . . . . . 6 (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) → 𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ))
10 eldifi 4088 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → 𝑦 ∈ ℝ)
1110flcld 13168 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → (⌊‘𝑦) ∈ ℤ)
1211zred 12080 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → (⌊‘𝑦) ∈ ℝ)
13 flle 13169 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ → (⌊‘𝑦) ≤ 𝑦)
1410, 13syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → (⌊‘𝑦) ≤ 𝑦)
15 eldifn 4089 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → ¬ 𝑦 ∈ ℤ)
16 nelne2 3111 . . . . . . . . . . 11 (((⌊‘𝑦) ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℤ) → (⌊‘𝑦) ≠ 𝑦)
1711, 15, 16syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → (⌊‘𝑦) ≠ 𝑦)
1817necomd 3069 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → 𝑦 ≠ (⌊‘𝑦))
1912, 10, 14, 18leneltd 10786 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → (⌊‘𝑦) < 𝑦)
20 flltp1 13170 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 < ((⌊‘𝑦) + 1))
2110, 20syl 17 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → 𝑦 < ((⌊‘𝑦) + 1))
2212rexrd 10683 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → (⌊‘𝑦) ∈ ℝ*)
23 peano2re 10805 . . . . . . . . . . 11 ((⌊‘𝑦) ∈ ℝ → ((⌊‘𝑦) + 1) ∈ ℝ)
2412, 23syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → ((⌊‘𝑦) + 1) ∈ ℝ)
2524rexrd 10683 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → ((⌊‘𝑦) + 1) ∈ ℝ*)
26 elioo2 12772 . . . . . . . . 9 (((⌊‘𝑦) ∈ ℝ* ∧ ((⌊‘𝑦) + 1) ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ ((⌊‘𝑦)(,)((⌊‘𝑦) + 1)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝑦) < 𝑦𝑦 < ((⌊‘𝑦) + 1))))
2722, 25, 26syl2anc 587 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → (𝑦 ∈ ((⌊‘𝑦)(,)((⌊‘𝑦) + 1)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝑦) < 𝑦𝑦 < ((⌊‘𝑦) + 1))))
2810, 19, 21, 27mpbir3and 1339 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → 𝑦 ∈ ((⌊‘𝑦)(,)((⌊‘𝑦) + 1)))
29 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (⌊‘𝑦) → 𝑥 = (⌊‘𝑦))
30 oveq1 7152 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (⌊‘𝑦) → (𝑥 + 1) = ((⌊‘𝑦) + 1))
3129, 30oveq12d 7163 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (⌊‘𝑦) → (𝑥(,)(𝑥 + 1)) = ((⌊‘𝑦)(,)((⌊‘𝑦) + 1)))
3231eleq2d 2901 . . . . . . . 8 (𝑥 = (⌊‘𝑦) → (𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) ↔ 𝑦 ∈ ((⌊‘𝑦)(,)((⌊‘𝑦) + 1))))
3332rspcev 3609 . . . . . . 7 (((⌊‘𝑦) ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ((⌊‘𝑦)(,)((⌊‘𝑦) + 1))) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑥 + 1)))
3411, 28, 33syl2anc 587 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑥 + 1)))
359, 34impbii 212 . . . . 5 (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) ↔ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ))
361, 35bitri 278 . . . 4 (𝑦 𝑥 ∈ ℤ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) ↔ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ))
3736eqriv 2821 . . 3 𝑥 ∈ ℤ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) = (ℝ ∖ ℤ)
38 zcld.1 . . . . 5 𝐽 = (topGen‘ran (,))
39 retop 23363 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
4038, 39eqeltri 2912 . . . 4 𝐽 ∈ Top
41 iooretop 23367 . . . . . 6 (𝑥(,)(𝑥 + 1)) ∈ (topGen‘ran (,))
4241, 38eleqtrri 2915 . . . . 5 (𝑥(,)(𝑥 + 1)) ∈ 𝐽
4342rgenw 3145 . . . 4 𝑥 ∈ ℤ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) ∈ 𝐽
44 iunopn 21499 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) ∈ 𝐽) → 𝑥 ∈ ℤ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) ∈ 𝐽)
4540, 43, 44mp2an 691 . . 3 𝑥 ∈ ℤ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) ∈ 𝐽
4637, 45eqeltrri 2913 . 2 (ℝ ∖ ℤ) ∈ 𝐽
47 zssre 11981 . . 3 ℤ ⊆ ℝ
48 uniretop 23364 . . . . 5 ℝ = (topGen‘ran (,))
4938unieqi 4837 . . . . 5 𝐽 = (topGen‘ran (,))
5048, 49eqtr4i 2850 . . . 4 ℝ = 𝐽
5150iscld2 21629 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ ℤ ⊆ ℝ) → (ℤ ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (ℝ ∖ ℤ) ∈ 𝐽))
5240, 47, 51mp2an 691 . 2 (ℤ ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (ℝ ∖ ℤ) ∈ 𝐽)
5346, 52mpbir 234 1 ℤ ∈ (Clsd‘𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014  wral 3133  wrex 3134  cdif 3916  wss 3919   cuni 4824   ciun 4905   class class class wbr 5052  ran crn 5543  cfv 6343  (class class class)co 7145  cr 10528  1c1 10530   + caddc 10532  *cxr 10666   < clt 10667  cle 10668  cz 11974  (,)cioo 12731  cfl 13160  topGenctg 16707  Topctop 21494  Clsdccld 21617
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7451  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4276  df-if 4450  df-pw 4523  df-sn 4550  df-pr 4552  df-tp 4554  df-op 4556  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7571  df-1st 7679  df-2nd 7680  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-er 8279  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-sup 8897  df-inf 8898  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-n0 11891  df-z 11975  df-uz 12237  df-q 12342  df-ioo 12735  df-fl 13162  df-topgen 16713  df-top 21495  df-bases 21547  df-cld 21620
This theorem is referenced by:  zcld2  23416
  Copyright terms: Public domain W3C validator