Theorem zcld 24735

Description: The integers are a closed set in the topology on ℝ. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
zcld.1	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))

Assertion

Ref	Expression
zcld	⊢ ℤ ∈ (Clsd‘𝐽)

Proof of Theorem zcld

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliun 4955	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ ℤ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑥 + 1)))
2		elioore 13312	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) → 𝑦 ∈ ℝ)
3	2	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑥 + 1))) → 𝑦 ∈ ℝ)
4		eliooord 13342	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) → (𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < (𝑥 + 1)))
5		btwnnz 12586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < (𝑥 + 1)) → ¬ 𝑦 ∈ ℤ)
6	5	3expb 1120	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < (𝑥 + 1))) → ¬ 𝑦 ∈ ℤ)
7	4, 6	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑥 + 1))) → ¬ 𝑦 ∈ ℤ)
8	3, 7	eldifd 3922	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑥 + 1))) → 𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ))
9	8	rexlimiva 3126	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) → 𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ))
10		eldifi 4090	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → 𝑦 ∈ ℝ)
11	10	flcld 13736	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → (⌊‘𝑦) ∈ ℤ)
12	11	zred 12614	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → (⌊‘𝑦) ∈ ℝ)
13		flle 13737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (⌊‘𝑦) ≤ 𝑦)
14	10, 13	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → (⌊‘𝑦) ≤ 𝑦)
15		eldifn 4091	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → ¬ 𝑦 ∈ ℤ)
16		nelne2 3023	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((⌊‘𝑦) ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℤ) → (⌊‘𝑦) ≠ 𝑦)
17	11, 15, 16	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → (⌊‘𝑦) ≠ 𝑦)
18	17	necomd 2980	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → 𝑦 ≠ (⌊‘𝑦))
19	12, 10, 14, 18	leneltd 11304	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → (⌊‘𝑦) < 𝑦)
20		flltp1 13738	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 < ((⌊‘𝑦) + 1))
21	10, 20	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → 𝑦 < ((⌊‘𝑦) + 1))
22	12	rexrd 11200	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → (⌊‘𝑦) ∈ ℝ*)
23		peano2re 11323	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⌊‘𝑦) ∈ ℝ → ((⌊‘𝑦) + 1) ∈ ℝ)
24	12, 23	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → ((⌊‘𝑦) + 1) ∈ ℝ)
25	24	rexrd 11200	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → ((⌊‘𝑦) + 1) ∈ ℝ*)
26		elioo2 13323	. . . . . . . . 9 ⊢ (((⌊‘𝑦) ∈ ℝ* ∧ ((⌊‘𝑦) + 1) ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ ((⌊‘𝑦)(,)((⌊‘𝑦) + 1)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝑦) < 𝑦 ∧ 𝑦 < ((⌊‘𝑦) + 1))))
27	22, 25, 26	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → (𝑦 ∈ ((⌊‘𝑦)(,)((⌊‘𝑦) + 1)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝑦) < 𝑦 ∧ 𝑦 < ((⌊‘𝑦) + 1))))
28	10, 19, 21, 27	mpbir3and 1343	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → 𝑦 ∈ ((⌊‘𝑦)(,)((⌊‘𝑦) + 1)))
29		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (⌊‘𝑦) → 𝑥 = (⌊‘𝑦))
30		oveq1 7376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (⌊‘𝑦) → (𝑥 + 1) = ((⌊‘𝑦) + 1))
31	29, 30	oveq12d 7387	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (⌊‘𝑦) → (𝑥(,)(𝑥 + 1)) = ((⌊‘𝑦)(,)((⌊‘𝑦) + 1)))
32	31	eleq2d 2814	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (⌊‘𝑦) → (𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) ↔ 𝑦 ∈ ((⌊‘𝑦)(,)((⌊‘𝑦) + 1))))
33	32	rspcev 3585	. . . . . . 7 ⊢ (((⌊‘𝑦) ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ((⌊‘𝑦)(,)((⌊‘𝑦) + 1))) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑥 + 1)))
34	11, 28, 33	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑥 + 1)))
35	9, 34	impbii 209	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) ↔ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ))
36	1, 35	bitri 275	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ ℤ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) ↔ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ))
37	36	eqriv 2726	. . 3 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ ℤ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) = (ℝ ∖ ℤ)
38		zcld.1	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
39		retop 24682	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
40	38, 39	eqeltri 2824	. . . 4 ⊢ 𝐽 ∈ Top
41		iooretop 24686	. . . . . 6 ⊢ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) ∈ (topGen‘ran (,))
42	41, 38	eleqtrri 2827	. . . . 5 ⊢ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) ∈ 𝐽
43	42	rgenw 3048	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℤ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) ∈ 𝐽
44		iunopn 22818	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) ∈ 𝐽) → ∪ 𝑥 ∈ ℤ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) ∈ 𝐽)
45	40, 43, 44	mp2an 692	. . 3 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ ℤ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) ∈ 𝐽
46	37, 45	eqeltrri 2825	. 2 ⊢ (ℝ ∖ ℤ) ∈ 𝐽
47		zssre 12512	. . 3 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
48		uniretop 24683	. . . . 5 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
49	38	unieqi 4879	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ (topGen‘ran (,))
50	48, 49	eqtr4i 2755	. . . 4 ⊢ ℝ = ∪ 𝐽
51	50	iscld2 22948	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ℤ ⊆ ℝ) → (ℤ ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (ℝ ∖ ℤ) ∈ 𝐽))
52	40, 47, 51	mp2an 692	. 2 ⊢ (ℤ ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (ℝ ∖ ℤ) ∈ 𝐽)
53	46, 52	mpbir 231	1 ⊢ ℤ ∈ (Clsd‘𝐽)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   ∖ cdif 3908   ⊆ wss 3911  ∪ cuni 4867  ∪ ciun 4951   class class class wbr 5102  ran crn 5632  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℝcr 11043  1c1 11045   + caddc 11047  ℝ^*cxr 11183   < clt 11184   ≤ cle 11185  ℤcz 12505  (,)cioo 13282  ⌊cfl 13728  topGenctg 17376  Topctop 22813  Clsdccld 22936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9369  df-inf 9370  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-q 12884  df-ioo 13286  df-fl 13730  df-topgen 17382  df-top 22814  df-bases 22866  df-cld 22939

This theorem is referenced by:  zcld2  24737