MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zcld 22987
Description: The integers are a closed set in the topology on . (Contributed by Mario Carneiro, 17-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
zcld.1 𝐽 = (topGen‘ran (,))
Assertion
Ref Expression
zcld ℤ ∈ (Clsd‘𝐽)

Proof of Theorem zcld
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eliun 4745 . . . . 5 (𝑦 𝑥 ∈ ℤ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑥 + 1)))
2 elioore 12494 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) → 𝑦 ∈ ℝ)
32adantl 475 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑥 + 1))) → 𝑦 ∈ ℝ)
4 eliooord 12522 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) → (𝑥 < 𝑦𝑦 < (𝑥 + 1)))
5 btwnnz 11782 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝑦𝑦 < (𝑥 + 1)) → ¬ 𝑦 ∈ ℤ)
653expb 1155 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 < 𝑦𝑦 < (𝑥 + 1))) → ¬ 𝑦 ∈ ℤ)
74, 6sylan2 588 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑥 + 1))) → ¬ 𝑦 ∈ ℤ)
83, 7eldifd 3810 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑥 + 1))) → 𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ))
98rexlimiva 3238 . . . . . 6 (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) → 𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ))
10 eldifi 3960 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → 𝑦 ∈ ℝ)
1110flcld 12895 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → (⌊‘𝑦) ∈ ℤ)
12 flle 12896 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ → (⌊‘𝑦) ≤ 𝑦)
1310, 12syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → (⌊‘𝑦) ≤ 𝑦)
14 eldifn 3961 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → ¬ 𝑦 ∈ ℤ)
15 nelne2 3097 . . . . . . . . . . 11 (((⌊‘𝑦) ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℤ) → (⌊‘𝑦) ≠ 𝑦)
1611, 14, 15syl2anc 581 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → (⌊‘𝑦) ≠ 𝑦)
1716necomd 3055 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → 𝑦 ≠ (⌊‘𝑦))
1811zred 11811 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → (⌊‘𝑦) ∈ ℝ)
1918, 10ltlend 10502 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → ((⌊‘𝑦) < 𝑦 ↔ ((⌊‘𝑦) ≤ 𝑦𝑦 ≠ (⌊‘𝑦))))
2013, 17, 19mpbir2and 706 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → (⌊‘𝑦) < 𝑦)
21 flltp1 12897 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 < ((⌊‘𝑦) + 1))
2210, 21syl 17 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → 𝑦 < ((⌊‘𝑦) + 1))
2318rexrd 10407 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → (⌊‘𝑦) ∈ ℝ*)
24 peano2re 10529 . . . . . . . . . . 11 ((⌊‘𝑦) ∈ ℝ → ((⌊‘𝑦) + 1) ∈ ℝ)
2518, 24syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → ((⌊‘𝑦) + 1) ∈ ℝ)
2625rexrd 10407 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → ((⌊‘𝑦) + 1) ∈ ℝ*)
27 elioo2 12505 . . . . . . . . 9 (((⌊‘𝑦) ∈ ℝ* ∧ ((⌊‘𝑦) + 1) ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ ((⌊‘𝑦)(,)((⌊‘𝑦) + 1)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝑦) < 𝑦𝑦 < ((⌊‘𝑦) + 1))))
2823, 26, 27syl2anc 581 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → (𝑦 ∈ ((⌊‘𝑦)(,)((⌊‘𝑦) + 1)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝑦) < 𝑦𝑦 < ((⌊‘𝑦) + 1))))
2910, 20, 22, 28mpbir3and 1448 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → 𝑦 ∈ ((⌊‘𝑦)(,)((⌊‘𝑦) + 1)))
30 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (⌊‘𝑦) → 𝑥 = (⌊‘𝑦))
31 oveq1 6913 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (⌊‘𝑦) → (𝑥 + 1) = ((⌊‘𝑦) + 1))
3230, 31oveq12d 6924 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (⌊‘𝑦) → (𝑥(,)(𝑥 + 1)) = ((⌊‘𝑦)(,)((⌊‘𝑦) + 1)))
3332eleq2d 2893 . . . . . . . 8 (𝑥 = (⌊‘𝑦) → (𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) ↔ 𝑦 ∈ ((⌊‘𝑦)(,)((⌊‘𝑦) + 1))))
3433rspcev 3527 . . . . . . 7 (((⌊‘𝑦) ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ((⌊‘𝑦)(,)((⌊‘𝑦) + 1))) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑥 + 1)))
3511, 29, 34syl2anc 581 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑥 + 1)))
369, 35impbii 201 . . . . 5 (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) ↔ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ))
371, 36bitri 267 . . . 4 (𝑦 𝑥 ∈ ℤ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) ↔ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ))
3837eqriv 2823 . . 3 𝑥 ∈ ℤ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) = (ℝ ∖ ℤ)
39 zcld.1 . . . . 5 𝐽 = (topGen‘ran (,))
40 retop 22936 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
4139, 40eqeltri 2903 . . . 4 𝐽 ∈ Top
42 iooretop 22940 . . . . . 6 (𝑥(,)(𝑥 + 1)) ∈ (topGen‘ran (,))
4342, 39eleqtrri 2906 . . . . 5 (𝑥(,)(𝑥 + 1)) ∈ 𝐽
4443rgenw 3134 . . . 4 𝑥 ∈ ℤ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) ∈ 𝐽
45 iunopn 21074 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) ∈ 𝐽) → 𝑥 ∈ ℤ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) ∈ 𝐽)
4641, 44, 45mp2an 685 . . 3 𝑥 ∈ ℤ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) ∈ 𝐽
4738, 46eqeltrri 2904 . 2 (ℝ ∖ ℤ) ∈ 𝐽
48 zssre 11712 . . 3 ℤ ⊆ ℝ
49 uniretop 22937 . . . . 5 ℝ = (topGen‘ran (,))
5039unieqi 4668 . . . . 5 𝐽 = (topGen‘ran (,))
5149, 50eqtr4i 2853 . . . 4 ℝ = 𝐽
5251iscld2 21204 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ ℤ ⊆ ℝ) → (ℤ ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (ℝ ∖ ℤ) ∈ 𝐽))
5341, 48, 52mp2an 685 . 2 (ℤ ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (ℝ ∖ ℤ) ∈ 𝐽)
5447, 53mpbir 223 1 ℤ ∈ (Clsd‘𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 198  wa 386  w3a 1113   = wceq 1658  wcel 2166  wne 3000  wral 3118  wrex 3119  cdif 3796  wss 3799   cuni 4659   ciun 4741   class class class wbr 4874  ran crn 5344  cfv 6124  (class class class)co 6906  cr 10252  1c1 10254   + caddc 10256  *cxr 10391   < clt 10392  cle 10393  cz 11705  (,)cioo 12464  cfl 12887  topGenctg 16452  Topctop 21069  Clsdccld 21192
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330  ax-pre-sup 10331
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-er 8010  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-sup 8618  df-inf 8619  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-div 11011  df-nn 11352  df-n0 11620  df-z 11706  df-uz 11970  df-q 12073  df-ioo 12468  df-fl 12889  df-topgen 16458  df-top 21070  df-bases 21122  df-cld 21195
This theorem is referenced by:  zcld2  22989
  Copyright terms: Public domain W3C validator