Theorem zcld 24684

Description: The integers are a closed set in the topology on ℝ. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
zcld.1	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))

Assertion

Ref	Expression
zcld	⊢ ℤ ∈ (Clsd‘𝐽)

Proof of Theorem zcld

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliun 4994	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ ℤ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑥 + 1)))
2		elioore 13360	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) → 𝑦 ∈ ℝ)
3	2	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑥 + 1))) → 𝑦 ∈ ℝ)
4		eliooord 13389	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) → (𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < (𝑥 + 1)))
5		btwnnz 12642	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < (𝑥 + 1)) → ¬ 𝑦 ∈ ℤ)
6	5	3expb 1117	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < (𝑥 + 1))) → ¬ 𝑦 ∈ ℤ)
7	4, 6	sylan2 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑥 + 1))) → ¬ 𝑦 ∈ ℤ)
8	3, 7	eldifd 3954	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑥 + 1))) → 𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ))
9	8	rexlimiva 3141	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) → 𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ))
10		eldifi 4121	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → 𝑦 ∈ ℝ)
11	10	flcld 13769	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → (⌊‘𝑦) ∈ ℤ)
12	11	zred 12670	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → (⌊‘𝑦) ∈ ℝ)
13		flle 13770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (⌊‘𝑦) ≤ 𝑦)
14	10, 13	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → (⌊‘𝑦) ≤ 𝑦)
15		eldifn 4122	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → ¬ 𝑦 ∈ ℤ)
16		nelne2 3034	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((⌊‘𝑦) ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℤ) → (⌊‘𝑦) ≠ 𝑦)
17	11, 15, 16	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → (⌊‘𝑦) ≠ 𝑦)
18	17	necomd 2990	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → 𝑦 ≠ (⌊‘𝑦))
19	12, 10, 14, 18	leneltd 11372	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → (⌊‘𝑦) < 𝑦)
20		flltp1 13771	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 < ((⌊‘𝑦) + 1))
21	10, 20	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → 𝑦 < ((⌊‘𝑦) + 1))
22	12	rexrd 11268	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → (⌊‘𝑦) ∈ ℝ*)
23		peano2re 11391	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⌊‘𝑦) ∈ ℝ → ((⌊‘𝑦) + 1) ∈ ℝ)
24	12, 23	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → ((⌊‘𝑦) + 1) ∈ ℝ)
25	24	rexrd 11268	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → ((⌊‘𝑦) + 1) ∈ ℝ*)
26		elioo2 13371	. . . . . . . . 9 ⊢ (((⌊‘𝑦) ∈ ℝ* ∧ ((⌊‘𝑦) + 1) ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ ((⌊‘𝑦)(,)((⌊‘𝑦) + 1)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝑦) < 𝑦 ∧ 𝑦 < ((⌊‘𝑦) + 1))))
27	22, 25, 26	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → (𝑦 ∈ ((⌊‘𝑦)(,)((⌊‘𝑦) + 1)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝑦) < 𝑦 ∧ 𝑦 < ((⌊‘𝑦) + 1))))
28	10, 19, 21, 27	mpbir3and 1339	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → 𝑦 ∈ ((⌊‘𝑦)(,)((⌊‘𝑦) + 1)))
29		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (⌊‘𝑦) → 𝑥 = (⌊‘𝑦))
30		oveq1 7412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (⌊‘𝑦) → (𝑥 + 1) = ((⌊‘𝑦) + 1))
31	29, 30	oveq12d 7423	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (⌊‘𝑦) → (𝑥(,)(𝑥 + 1)) = ((⌊‘𝑦)(,)((⌊‘𝑦) + 1)))
32	31	eleq2d 2813	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (⌊‘𝑦) → (𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) ↔ 𝑦 ∈ ((⌊‘𝑦)(,)((⌊‘𝑦) + 1))))
33	32	rspcev 3606	. . . . . . 7 ⊢ (((⌊‘𝑦) ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ((⌊‘𝑦)(,)((⌊‘𝑦) + 1))) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑥 + 1)))
34	11, 28, 33	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑥 + 1)))
35	9, 34	impbii 208	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) ↔ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ))
36	1, 35	bitri 275	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ ℤ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) ↔ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ))
37	36	eqriv 2723	. . 3 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ ℤ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) = (ℝ ∖ ℤ)
38		zcld.1	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
39		retop 24633	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
40	38, 39	eqeltri 2823	. . . 4 ⊢ 𝐽 ∈ Top
41		iooretop 24637	. . . . . 6 ⊢ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) ∈ (topGen‘ran (,))
42	41, 38	eleqtrri 2826	. . . . 5 ⊢ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) ∈ 𝐽
43	42	rgenw 3059	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℤ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) ∈ 𝐽
44		iunopn 22755	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) ∈ 𝐽) → ∪ 𝑥 ∈ ℤ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) ∈ 𝐽)
45	40, 43, 44	mp2an 689	. . 3 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ ℤ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) ∈ 𝐽
46	37, 45	eqeltrri 2824	. 2 ⊢ (ℝ ∖ ℤ) ∈ 𝐽
47		zssre 12569	. . 3 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
48		uniretop 24634	. . . . 5 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
49	38	unieqi 4914	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ (topGen‘ran (,))
50	48, 49	eqtr4i 2757	. . . 4 ⊢ ℝ = ∪ 𝐽
51	50	iscld2 22887	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ℤ ⊆ ℝ) → (ℤ ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (ℝ ∖ ℤ) ∈ 𝐽))
52	40, 47, 51	mp2an 689	. 2 ⊢ (ℤ ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (ℝ ∖ ℤ) ∈ 𝐽)
53	46, 52	mpbir 230	1 ⊢ ℤ ∈ (Clsd‘𝐽)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934  ∀wral 3055  ∃wrex 3064   ∖ cdif 3940   ⊆ wss 3943  ∪ cuni 4902  ∪ ciun 4990   class class class wbr 5141  ran crn 5670  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  ℝcr 11111  1c1 11113   + caddc 11115  ℝ^*cxr 11251   < clt 11252   ≤ cle 11253  ℤcz 12562  (,)cioo 13330  ⌊cfl 13761  topGenctg 17392  Topctop 22750  Clsdccld 22875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-ioo 13334  df-fl 13763  df-topgen 17398  df-top 22751  df-bases 22804  df-cld 22878

This theorem is referenced by:  zcld2  24686