Theorem zcld 23421

Description: The integers are a closed set in the topology on ℝ. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
zcld.1	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))

Assertion

Ref	Expression
zcld	⊢ ℤ ∈ (Clsd‘𝐽)

Proof of Theorem zcld

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliun 4923	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ ℤ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑥 + 1)))
2		elioore 12769	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) → 𝑦 ∈ ℝ)
3	2	adantl 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑥 + 1))) → 𝑦 ∈ ℝ)
4		eliooord 12797	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) → (𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < (𝑥 + 1)))
5		btwnnz 12059	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < (𝑥 + 1)) → ¬ 𝑦 ∈ ℤ)
6	5	3expb 1116	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < (𝑥 + 1))) → ¬ 𝑦 ∈ ℤ)
7	4, 6	sylan2 594	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑥 + 1))) → ¬ 𝑦 ∈ ℤ)
8	3, 7	eldifd 3947	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑥 + 1))) → 𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ))
9	8	rexlimiva 3281	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) → 𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ))
10		eldifi 4103	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → 𝑦 ∈ ℝ)
11	10	flcld 13169	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → (⌊‘𝑦) ∈ ℤ)
12	11	zred 12088	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → (⌊‘𝑦) ∈ ℝ)
13		flle 13170	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (⌊‘𝑦) ≤ 𝑦)
14	10, 13	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → (⌊‘𝑦) ≤ 𝑦)
15		eldifn 4104	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → ¬ 𝑦 ∈ ℤ)
16		nelne2 3115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((⌊‘𝑦) ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℤ) → (⌊‘𝑦) ≠ 𝑦)
17	11, 15, 16	syl2anc 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → (⌊‘𝑦) ≠ 𝑦)
18	17	necomd 3071	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → 𝑦 ≠ (⌊‘𝑦))
19	12, 10, 14, 18	leneltd 10794	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → (⌊‘𝑦) < 𝑦)
20		flltp1 13171	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 < ((⌊‘𝑦) + 1))
21	10, 20	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → 𝑦 < ((⌊‘𝑦) + 1))
22	12	rexrd 10691	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → (⌊‘𝑦) ∈ ℝ*)
23		peano2re 10813	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⌊‘𝑦) ∈ ℝ → ((⌊‘𝑦) + 1) ∈ ℝ)
24	12, 23	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → ((⌊‘𝑦) + 1) ∈ ℝ)
25	24	rexrd 10691	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → ((⌊‘𝑦) + 1) ∈ ℝ*)
26		elioo2 12780	. . . . . . . . 9 ⊢ (((⌊‘𝑦) ∈ ℝ* ∧ ((⌊‘𝑦) + 1) ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ ((⌊‘𝑦)(,)((⌊‘𝑦) + 1)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝑦) < 𝑦 ∧ 𝑦 < ((⌊‘𝑦) + 1))))
27	22, 25, 26	syl2anc 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → (𝑦 ∈ ((⌊‘𝑦)(,)((⌊‘𝑦) + 1)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝑦) < 𝑦 ∧ 𝑦 < ((⌊‘𝑦) + 1))))
28	10, 19, 21, 27	mpbir3and 1338	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → 𝑦 ∈ ((⌊‘𝑦)(,)((⌊‘𝑦) + 1)))
29		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (⌊‘𝑦) → 𝑥 = (⌊‘𝑦))
30		oveq1 7163	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (⌊‘𝑦) → (𝑥 + 1) = ((⌊‘𝑦) + 1))
31	29, 30	oveq12d 7174	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (⌊‘𝑦) → (𝑥(,)(𝑥 + 1)) = ((⌊‘𝑦)(,)((⌊‘𝑦) + 1)))
32	31	eleq2d 2898	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (⌊‘𝑦) → (𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) ↔ 𝑦 ∈ ((⌊‘𝑦)(,)((⌊‘𝑦) + 1))))
33	32	rspcev 3623	. . . . . . 7 ⊢ (((⌊‘𝑦) ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ((⌊‘𝑦)(,)((⌊‘𝑦) + 1))) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑥 + 1)))
34	11, 28, 33	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑥 + 1)))
35	9, 34	impbii 211	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) ↔ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ))
36	1, 35	bitri 277	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ ℤ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) ↔ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ))
37	36	eqriv 2818	. . 3 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ ℤ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) = (ℝ ∖ ℤ)
38		zcld.1	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
39		retop 23370	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
40	38, 39	eqeltri 2909	. . . 4 ⊢ 𝐽 ∈ Top
41		iooretop 23374	. . . . . 6 ⊢ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) ∈ (topGen‘ran (,))
42	41, 38	eleqtrri 2912	. . . . 5 ⊢ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) ∈ 𝐽
43	42	rgenw 3150	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℤ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) ∈ 𝐽
44		iunopn 21506	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) ∈ 𝐽) → ∪ 𝑥 ∈ ℤ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) ∈ 𝐽)
45	40, 43, 44	mp2an 690	. . 3 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ ℤ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) ∈ 𝐽
46	37, 45	eqeltrri 2910	. 2 ⊢ (ℝ ∖ ℤ) ∈ 𝐽
47		zssre 11989	. . 3 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
48		uniretop 23371	. . . . 5 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
49	38	unieqi 4851	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ (topGen‘ran (,))
50	48, 49	eqtr4i 2847	. . . 4 ⊢ ℝ = ∪ 𝐽
51	50	iscld2 21636	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ℤ ⊆ ℝ) → (ℤ ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (ℝ ∖ ℤ) ∈ 𝐽))
52	40, 47, 51	mp2an 690	. 2 ⊢ (ℤ ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (ℝ ∖ ℤ) ∈ 𝐽)
53	46, 52	mpbir 233	1 ⊢ ℤ ∈ (Clsd‘𝐽)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  ∀wral 3138  ∃wrex 3139   ∖ cdif 3933   ⊆ wss 3936  ∪ cuni 4838  ∪ ciun 4919   class class class wbr 5066  ran crn 5556  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  ℝcr 10536  1c1 10538   + caddc 10540  ℝ^*cxr 10674   < clt 10675   ≤ cle 10676  ℤcz 11982  (,)cioo 12739  ⌊cfl 13161  topGenctg 16711  Topctop 21501  Clsdccld 21624

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-sup 8906  df-inf 8907  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-q 12350  df-ioo 12743  df-fl 13163  df-topgen 16717  df-top 21502  df-bases 21554  df-cld 21627

This theorem is referenced by:  zcld2  23423