Theorem zcld 24729

Description: The integers are a closed set in the topology on ℝ. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
zcld.1	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))

Assertion

Ref	Expression
zcld	⊢ ℤ ∈ (Clsd‘𝐽)

Proof of Theorem zcld

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliun 4943	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ ℤ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑥 + 1)))
2		elioore 13275	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) → 𝑦 ∈ ℝ)
3	2	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑥 + 1))) → 𝑦 ∈ ℝ)
4		eliooord 13305	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) → (𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < (𝑥 + 1)))
5		btwnnz 12549	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < (𝑥 + 1)) → ¬ 𝑦 ∈ ℤ)
6	5	3expb 1120	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < (𝑥 + 1))) → ¬ 𝑦 ∈ ℤ)
7	4, 6	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑥 + 1))) → ¬ 𝑦 ∈ ℤ)
8	3, 7	eldifd 3908	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑥 + 1))) → 𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ))
9	8	rexlimiva 3125	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) → 𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ))
10		eldifi 4078	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → 𝑦 ∈ ℝ)
11	10	flcld 13702	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → (⌊‘𝑦) ∈ ℤ)
12	11	zred 12577	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → (⌊‘𝑦) ∈ ℝ)
13		flle 13703	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (⌊‘𝑦) ≤ 𝑦)
14	10, 13	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → (⌊‘𝑦) ≤ 𝑦)
15		eldifn 4079	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → ¬ 𝑦 ∈ ℤ)
16		nelne2 3026	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((⌊‘𝑦) ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℤ) → (⌊‘𝑦) ≠ 𝑦)
17	11, 15, 16	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → (⌊‘𝑦) ≠ 𝑦)
18	17	necomd 2983	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → 𝑦 ≠ (⌊‘𝑦))
19	12, 10, 14, 18	leneltd 11267	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → (⌊‘𝑦) < 𝑦)
20		flltp1 13704	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 < ((⌊‘𝑦) + 1))
21	10, 20	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → 𝑦 < ((⌊‘𝑦) + 1))
22	12	rexrd 11162	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → (⌊‘𝑦) ∈ ℝ*)
23		peano2re 11286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⌊‘𝑦) ∈ ℝ → ((⌊‘𝑦) + 1) ∈ ℝ)
24	12, 23	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → ((⌊‘𝑦) + 1) ∈ ℝ)
25	24	rexrd 11162	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → ((⌊‘𝑦) + 1) ∈ ℝ*)
26		elioo2 13286	. . . . . . . . 9 ⊢ (((⌊‘𝑦) ∈ ℝ* ∧ ((⌊‘𝑦) + 1) ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ ((⌊‘𝑦)(,)((⌊‘𝑦) + 1)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝑦) < 𝑦 ∧ 𝑦 < ((⌊‘𝑦) + 1))))
27	22, 25, 26	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → (𝑦 ∈ ((⌊‘𝑦)(,)((⌊‘𝑦) + 1)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝑦) < 𝑦 ∧ 𝑦 < ((⌊‘𝑦) + 1))))
28	10, 19, 21, 27	mpbir3and 1343	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → 𝑦 ∈ ((⌊‘𝑦)(,)((⌊‘𝑦) + 1)))
29		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (⌊‘𝑦) → 𝑥 = (⌊‘𝑦))
30		oveq1 7353	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (⌊‘𝑦) → (𝑥 + 1) = ((⌊‘𝑦) + 1))
31	29, 30	oveq12d 7364	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (⌊‘𝑦) → (𝑥(,)(𝑥 + 1)) = ((⌊‘𝑦)(,)((⌊‘𝑦) + 1)))
32	31	eleq2d 2817	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (⌊‘𝑦) → (𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) ↔ 𝑦 ∈ ((⌊‘𝑦)(,)((⌊‘𝑦) + 1))))
33	32	rspcev 3572	. . . . . . 7 ⊢ (((⌊‘𝑦) ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ((⌊‘𝑦)(,)((⌊‘𝑦) + 1))) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑥 + 1)))
34	11, 28, 33	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑥 + 1)))
35	9, 34	impbii 209	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) ↔ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ))
36	1, 35	bitri 275	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ ℤ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) ↔ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ ℤ))
37	36	eqriv 2728	. . 3 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ ℤ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) = (ℝ ∖ ℤ)
38		zcld.1	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
39		retop 24676	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
40	38, 39	eqeltri 2827	. . . 4 ⊢ 𝐽 ∈ Top
41		iooretop 24680	. . . . . 6 ⊢ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) ∈ (topGen‘ran (,))
42	41, 38	eleqtrri 2830	. . . . 5 ⊢ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) ∈ 𝐽
43	42	rgenw 3051	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℤ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) ∈ 𝐽
44		iunopn 22813	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) ∈ 𝐽) → ∪ 𝑥 ∈ ℤ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) ∈ 𝐽)
45	40, 43, 44	mp2an 692	. . 3 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ ℤ (𝑥(,)(𝑥 + 1)) ∈ 𝐽
46	37, 45	eqeltrri 2828	. 2 ⊢ (ℝ ∖ ℤ) ∈ 𝐽
47		zssre 12475	. . 3 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
48		uniretop 24677	. . . . 5 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
49	38	unieqi 4868	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ (topGen‘ran (,))
50	48, 49	eqtr4i 2757	. . . 4 ⊢ ℝ = ∪ 𝐽
51	50	iscld2 22943	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ℤ ⊆ ℝ) → (ℤ ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (ℝ ∖ ℤ) ∈ 𝐽))
52	40, 47, 51	mp2an 692	. 2 ⊢ (ℤ ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (ℝ ∖ ℤ) ∈ 𝐽)
53	46, 52	mpbir 231	1 ⊢ ℤ ∈ (Clsd‘𝐽)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∀wral 3047  ∃wrex 3056   ∖ cdif 3894   ⊆ wss 3897  ∪ cuni 4856  ∪ ciun 4939   class class class wbr 5089  ran crn 5615  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℝcr 11005  1c1 11007   + caddc 11009  ℝ^*cxr 11145   < clt 11146   ≤ cle 11147  ℤcz 12468  (,)cioo 13245  ⌊cfl 13694  topGenctg 17341  Topctop 22808  Clsdccld 22931

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-q 12847  df-ioo 13249  df-fl 13696  df-topgen 17347  df-top 22809  df-bases 22861  df-cld 22934

This theorem is referenced by:  zcld2  24731