Theorem lspexchn2 20982

Description: Exchange property for span of a pair with negated membership. TODO: look at uses of lspexch 20980 to see if this will shorten proofs. (Contributed by NM, 24-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspexchn2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspexchn2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspexchn2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lspexchn2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspexchn2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lspexchn2.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
lspexchn2.q	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍}))
lspexchn2.e	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑌}))

Assertion

Ref	Expression
lspexchn2	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑋}))

Proof of Theorem lspexchn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspexchn2.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lspexchn2.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
3		lspexchn2.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
4		lspexchn2.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
5		lspexchn2.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
6		lspexchn2.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
7		lspexchn2.q	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍}))
8		lspexchn2.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑌}))
9		prcom 4731	. . . . . 6 ⊢ {𝑍, 𝑌} = {𝑌, 𝑍}
10	9	fveq2i 6888	. . . . 5 ⊢ (𝑁‘{𝑍, 𝑌}) = (𝑁‘{𝑌, 𝑍})
11	10	eleq2i 2819	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑌}) ↔ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
12	8, 11	sylnib 328	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 12	lspexchn1 20981	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))
14		prcom 4731	. . . 4 ⊢ {𝑋, 𝑍} = {𝑍, 𝑋}
15	14	fveq2i 6888	. . 3 ⊢ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}) = (𝑁‘{𝑍, 𝑋})
16	15	eleq2i 2819	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}) ↔ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑋}))
17	13, 16	sylnib 328	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑋}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {csn 4623  {cpr 4625  ‘cfv 6537  Basecbs 17153  LSpanclspn 20818  LVecclvec 20950

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19050  df-cntz 19233  df-lsm 19556  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-drng 20589  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-lvec 20951

This theorem is referenced by:  baerlem5amN  41100  baerlem5bmN  41101  baerlem5abmN  41102