MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspexchn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspexchn2 19902
Description: Exchange property for span of a pair with negated membership. TODO: look at uses of lspexch 19900 to see if this will shorten proofs. (Contributed by NM, 24-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspexchn2.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspexchn2.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspexchn2.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lspexchn2.x (𝜑𝑋𝑉)
lspexchn2.y (𝜑𝑌𝑉)
lspexchn2.z (𝜑𝑍𝑉)
lspexchn2.q (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍}))
lspexchn2.e (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑌}))
Assertion
Ref Expression
lspexchn2 (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑋}))

Proof of Theorem lspexchn2
StepHypRef Expression
1 lspexchn2.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 lspexchn2.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
3 lspexchn2.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
4 lspexchn2.x . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
5 lspexchn2.y . . 3 (𝜑𝑌𝑉)
6 lspexchn2.z . . 3 (𝜑𝑍𝑉)
7 lspexchn2.q . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍}))
8 lspexchn2.e . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑌}))
9 prcom 4667 . . . . . 6 {𝑍, 𝑌} = {𝑌, 𝑍}
109fveq2i 6672 . . . . 5 (𝑁‘{𝑍, 𝑌}) = (𝑁‘{𝑌, 𝑍})
1110eleq2i 2904 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑌}) ↔ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
128, 11sylnib 330 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 12lspexchn1 19901 . 2 (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))
14 prcom 4667 . . . 4 {𝑋, 𝑍} = {𝑍, 𝑋}
1514fveq2i 6672 . . 3 (𝑁‘{𝑋, 𝑍}) = (𝑁‘{𝑍, 𝑋})
1615eleq2i 2904 . 2 (𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}) ↔ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑋}))
1713, 16sylnib 330 1 (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑋}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1533  wcel 2110  {csn 4566  {cpr 4568  cfv 6354  Basecbs 16482  LSpanclspn 19742  LVecclvec 19873
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-tpos 7891  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-ress 16490  df-plusg 16577  df-mulr 16578  df-0g 16714  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-submnd 17956  df-grp 18105  df-minusg 18106  df-sbg 18107  df-subg 18275  df-cntz 18446  df-lsm 18760  df-cmn 18907  df-abl 18908  df-mgp 19239  df-ur 19251  df-ring 19298  df-oppr 19372  df-dvdsr 19390  df-unit 19391  df-invr 19421  df-drng 19503  df-lmod 19635  df-lss 19703  df-lsp 19743  df-lvec 19874
This theorem is referenced by:  baerlem5amN  38851  baerlem5bmN  38852  baerlem5abmN  38853
  Copyright terms: Public domain W3C validator