MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspexchn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspexchn2 21059
Description: Exchange property for span of a pair with negated membership. TODO: look at uses of lspexch 21057 to see if this will shorten proofs. (Contributed by NM, 24-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspexchn2.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspexchn2.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspexchn2.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lspexchn2.x (𝜑𝑋𝑉)
lspexchn2.y (𝜑𝑌𝑉)
lspexchn2.z (𝜑𝑍𝑉)
lspexchn2.q (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍}))
lspexchn2.e (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑌}))
Assertion
Ref Expression
lspexchn2 (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑋}))

Proof of Theorem lspexchn2
StepHypRef Expression
1 lspexchn2.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 lspexchn2.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
3 lspexchn2.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
4 lspexchn2.x . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
5 lspexchn2.y . . 3 (𝜑𝑌𝑉)
6 lspexchn2.z . . 3 (𝜑𝑍𝑉)
7 lspexchn2.q . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍}))
8 lspexchn2.e . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑌}))
9 prcom 4740 . . . . . 6 {𝑍, 𝑌} = {𝑌, 𝑍}
109fveq2i 6903 . . . . 5 (𝑁‘{𝑍, 𝑌}) = (𝑁‘{𝑌, 𝑍})
1110eleq2i 2817 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑌}) ↔ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
128, 11sylnib 327 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 12lspexchn1 21058 . 2 (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))
14 prcom 4740 . . . 4 {𝑋, 𝑍} = {𝑍, 𝑋}
1514fveq2i 6903 . . 3 (𝑁‘{𝑋, 𝑍}) = (𝑁‘{𝑍, 𝑋})
1615eleq2i 2817 . 2 (𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}) ↔ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑋}))
1713, 16sylnib 327 1 (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑋}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  {csn 4632  {cpr 4634  cfv 6553  Basecbs 17208  LSpanclspn 20895  LVecclvec 21027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5368  ax-pr 5432  ax-un 7745  ax-cnex 11210  ax-resscn 11211  ax-1cn 11212  ax-icn 11213  ax-addcl 11214  ax-addrcl 11215  ax-mulcl 11216  ax-mulrcl 11217  ax-mulcom 11218  ax-addass 11219  ax-mulass 11220  ax-distr 11221  ax-i2m1 11222  ax-1ne0 11223  ax-1rid 11224  ax-rnegex 11225  ax-rrecex 11226  ax-cnre 11227  ax-pre-lttri 11228  ax-pre-lttrn 11229  ax-pre-ltadd 11230  ax-pre-mulgt0 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5579  df-eprel 5585  df-po 5593  df-so 5594  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5687  df-rel 5688  df-cnv 5689  df-co 5690  df-dm 5691  df-rn 5692  df-res 5693  df-ima 5694  df-pred 6311  df-ord 6378  df-on 6379  df-lim 6380  df-suc 6381  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7379  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7876  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-tpos 8240  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11296  df-mnf 11297  df-xr 11298  df-ltxr 11299  df-le 11300  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12260  df-2 12322  df-3 12323  df-sets 17161  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-ress 17238  df-plusg 17274  df-mulr 17275  df-0g 17451  df-mgm 18628  df-sgrp 18707  df-mnd 18723  df-submnd 18769  df-grp 18926  df-minusg 18927  df-sbg 18928  df-subg 19112  df-cntz 19306  df-lsm 19629  df-cmn 19775  df-abl 19776  df-mgp 20113  df-rng 20131  df-ur 20160  df-ring 20213  df-oppr 20311  df-dvdsr 20334  df-unit 20335  df-invr 20365  df-drng 20666  df-lmod 20785  df-lss 20856  df-lsp 20896  df-lvec 21028
This theorem is referenced by:  baerlem5amN  41363  baerlem5bmN  41364  baerlem5abmN  41365
  Copyright terms: Public domain W3C validator