Theorem mhmcoaddpsr 42993

Description: Show that the ring homomorphism in rhmpsr 42995 preserves addition. (Contributed by SN, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhmcoaddpsr.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mhmcoaddpsr.q	⊢ 𝑄 = (𝐼 mPwSer 𝑆)
mhmcoaddpsr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mhmcoaddpsr.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑄)
mhmcoaddpsr.1	⊢ + = (+g‘𝑃)
mhmcoaddpsr.2	⊢ ✚ = (+g‘𝑄)
mhmcoaddpsr.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
mhmcoaddpsr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
mhmcoaddpsr.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mhmcoaddpsr	⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ (𝐹 + 𝐺)) = ((𝐻 ∘ 𝐹) ✚ (𝐻 ∘ 𝐺)))

Proof of Theorem mhmcoaddpsr

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhmcoaddpsr.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
2		fvexd 6855	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
3		ovex 7400	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
4	3	rabex 5280	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
6		mhmcoaddpsr.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
7		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
9		mhmcoaddpsr.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
10		mhmcoaddpsr.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
11	6, 7, 8, 9, 10	psrelbas 21914	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
12	2, 5, 11	elmapdd 8788	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
13		mhmcoaddpsr.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
14	6, 7, 8, 9, 13	psrelbas 21914	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
15	2, 5, 14	elmapdd 8788	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
16		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
17		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
18	7, 16, 17	mhmvlin 18769	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝐺 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})) → (𝐻 ∘ (𝐹 ∘f (+g‘𝑅)𝐺)) = ((𝐻 ∘ 𝐹) ∘f (+g‘𝑆)(𝐻 ∘ 𝐺)))
19	1, 12, 15, 18	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ (𝐹 ∘f (+g‘𝑅)𝐺)) = ((𝐻 ∘ 𝐹) ∘f (+g‘𝑆)(𝐻 ∘ 𝐺)))
20		mhmcoaddpsr.1	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑃)
21	6, 9, 16, 20, 10, 13	psradd 21917	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 + 𝐺) = (𝐹 ∘f (+g‘𝑅)𝐺))
22	21	coeq2d 5817	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ (𝐹 + 𝐺)) = (𝐻 ∘ (𝐹 ∘f (+g‘𝑅)𝐺)))
23		mhmcoaddpsr.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐼 mPwSer 𝑆)
24		mhmcoaddpsr.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑄)
25		mhmcoaddpsr.2	. . 3 ⊢ ✚ = (+g‘𝑄)
26	6, 23, 9, 24, 1, 10	mhmcopsr 42992	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹) ∈ 𝐶)
27	6, 23, 9, 24, 1, 13	mhmcopsr 42992	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐺) ∈ 𝐶)
28	23, 24, 17, 25, 26, 27	psradd 21917	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 ∘ 𝐹) ✚ (𝐻 ∘ 𝐺)) = ((𝐻 ∘ 𝐹) ∘f (+g‘𝑆)(𝐻 ∘ 𝐺)))
29	19, 22, 28	3eqtr4d 2781	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ (𝐹 + 𝐺)) = ((𝐻 ∘ 𝐹) ✚ (𝐻 ∘ 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3389  Vcvv 3429  ^◡ccnv 5630   “ cima 5634   ∘ ccom 5635  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ∘_f cof 7629   ↑_m cmap 8773  Fincfn 8893  ℕcn 12174  ℕ₀cn0 12437  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220   MndHom cmhm 18749   mPwSer cmps 21884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-struct 17117  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-tset 17239  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-mhm 18751  df-psr 21889

This theorem is referenced by:  rhmpsr  42995