Theorem mhmcoaddpsr 42589

Description: Show that the ring homomorphism in rhmpsr 42591 preserves addition. (Contributed by SN, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhmcoaddpsr.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mhmcoaddpsr.q	⊢ 𝑄 = (𝐼 mPwSer 𝑆)
mhmcoaddpsr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mhmcoaddpsr.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑄)
mhmcoaddpsr.1	⊢ + = (+g‘𝑃)
mhmcoaddpsr.2	⊢ ✚ = (+g‘𝑄)
mhmcoaddpsr.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
mhmcoaddpsr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
mhmcoaddpsr.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mhmcoaddpsr	⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ (𝐹 + 𝐺)) = ((𝐻 ∘ 𝐹) ✚ (𝐻 ∘ 𝐺)))

Proof of Theorem mhmcoaddpsr

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhmcoaddpsr.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
2		fvexd 6837	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
3		ovex 7379	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
4	3	rabex 5277	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
6		mhmcoaddpsr.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
7		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
9		mhmcoaddpsr.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
10		mhmcoaddpsr.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
11	6, 7, 8, 9, 10	psrelbas 21872	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
12	2, 5, 11	elmapdd 8765	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
13		mhmcoaddpsr.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
14	6, 7, 8, 9, 13	psrelbas 21872	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
15	2, 5, 14	elmapdd 8765	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
16		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
17		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
18	7, 16, 17	mhmvlin 18709	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝐺 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})) → (𝐻 ∘ (𝐹 ∘f (+g‘𝑅)𝐺)) = ((𝐻 ∘ 𝐹) ∘f (+g‘𝑆)(𝐻 ∘ 𝐺)))
19	1, 12, 15, 18	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ (𝐹 ∘f (+g‘𝑅)𝐺)) = ((𝐻 ∘ 𝐹) ∘f (+g‘𝑆)(𝐻 ∘ 𝐺)))
20		mhmcoaddpsr.1	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑃)
21	6, 9, 16, 20, 10, 13	psradd 21875	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 + 𝐺) = (𝐹 ∘f (+g‘𝑅)𝐺))
22	21	coeq2d 5802	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ (𝐹 + 𝐺)) = (𝐻 ∘ (𝐹 ∘f (+g‘𝑅)𝐺)))
23		mhmcoaddpsr.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐼 mPwSer 𝑆)
24		mhmcoaddpsr.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑄)
25		mhmcoaddpsr.2	. . 3 ⊢ ✚ = (+g‘𝑄)
26	6, 23, 9, 24, 1, 10	mhmcopsr 42588	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹) ∈ 𝐶)
27	6, 23, 9, 24, 1, 13	mhmcopsr 42588	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐺) ∈ 𝐶)
28	23, 24, 17, 25, 26, 27	psradd 21875	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 ∘ 𝐹) ✚ (𝐻 ∘ 𝐺)) = ((𝐻 ∘ 𝐹) ∘f (+g‘𝑆)(𝐻 ∘ 𝐺)))
29	19, 22, 28	3eqtr4d 2776	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ (𝐹 + 𝐺)) = ((𝐻 ∘ 𝐹) ✚ (𝐻 ∘ 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {crab 3395  Vcvv 3436  ^◡ccnv 5615   “ cima 5619   ∘ ccom 5620  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ∘_f cof 7608   ↑_m cmap 8750  Fincfn 8869  ℕcn 12125  ℕ₀cn0 12381  Basecbs 17120  +_gcplusg 17161   MndHom cmhm 18689   mPwSer cmps 21842

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-struct 17058  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-tset 17180  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-mhm 18691  df-psr 21847

This theorem is referenced by:  rhmpsr  42591