Theorem mhmcoaddpsr 43749

Description: Show that the ring homomorphism in rhmpsr 43751 preserves addition. (Contributed by SN, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhmcoaddpsr.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mhmcoaddpsr.q	⊢ 𝑄 = (𝐼 mPwSer 𝑆)
mhmcoaddpsr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mhmcoaddpsr.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑄)
mhmcoaddpsr.1	⊢ + = (+g‘𝑃)
mhmcoaddpsr.2	⊢ + = (+g‘𝑄)
mhmcoaddpsr.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
mhmcoaddpsr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
mhmcoaddpsr.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mhmcoaddpsr	⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ (𝐹 + 𝐺)) = ((𝐻 ∘ 𝐹) + (𝐻 ∘ 𝐺)))

Proof of Theorem mhmcoaddpsr

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhmcoaddpsr.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
2		fvexd 6908	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
3		ovex 7460	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
4	3	rabex 5303	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
6		mhmcoaddpsr.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
7		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
9		mhmcoaddpsr.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
10		mhmcoaddpsr.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
11	6, 7, 8, 9, 10	psrelbas 22255	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
12	2, 5, 11	elmapdd 8872	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
13		mhmcoaddpsr.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
14	6, 7, 8, 9, 13	psrelbas 22255	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
15	2, 5, 14	elmapdd 8872	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
16		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
17		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
18	7, 16, 17	mhmvlin 19008	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝐺 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})) → (𝐻 ∘ (𝐹 ∘f (+g‘𝑅)𝐺)) = ((𝐻 ∘ 𝐹) ∘f (+g‘𝑆)(𝐻 ∘ 𝐺)))
19	1, 12, 15, 18	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ (𝐹 ∘f (+g‘𝑅)𝐺)) = ((𝐻 ∘ 𝐹) ∘f (+g‘𝑆)(𝐻 ∘ 𝐺)))
20		mhmcoaddpsr.1	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑃)
21	6, 9, 16, 20, 10, 13	psradd 22258	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 + 𝐺) = (𝐹 ∘f (+g‘𝑅)𝐺))
22	21	coeq2d 5844	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ (𝐹 + 𝐺)) = (𝐻 ∘ (𝐹 ∘f (+g‘𝑅)𝐺)))
23		mhmcoaddpsr.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐼 mPwSer 𝑆)
24		mhmcoaddpsr.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑄)
25		mhmcoaddpsr.2	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑄)
26	6, 23, 9, 24, 1, 10	mhmcopsr 43748	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹) ∈ 𝐶)
27	6, 23, 9, 24, 1, 13	mhmcopsr 43748	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐺) ∈ 𝐶)
28	23, 24, 17, 25, 26, 27	psradd 22258	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 ∘ 𝐹) + (𝐻 ∘ 𝐺)) = ((𝐻 ∘ 𝐹) ∘f (+g‘𝑆)(𝐻 ∘ 𝐺)))
29	19, 22, 28	3eqtr4d 2808	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ (𝐹 + 𝐺)) = ((𝐻 ∘ 𝐹) + (𝐻 ∘ 𝐺)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  {crab 3415  Vcvv 3453  ^◡ccnv 5653   “ cima 5657   ∘ ccom 5658  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427   ∘_f cof 7698   ↑_m cmap 8858  Fincfn 8984  ℕcn 12345  ℕ₀cn0 12616  Basecbs 17399  +_gcplusg 17440   MndHom cmhm 18988   mPwSer cmps 22224

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-of 7700  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-supp 8188  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8487  df-er 8728  df-map 8860  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9365  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-4 12417  df-5 12418  df-6 12419  df-7 12420  df-8 12421  df-9 12422  df-n0 12617  df-z 12704  df-uz 12976  df-fz 13650  df-struct 17337  df-slot 17372  df-ndx 17384  df-base 17400  df-plusg 17453  df-mulr 17454  df-sca 17456  df-vsca 17457  df-tset 17459  df-mgm 18828  df-sgrp 18920  df-mnd 18936  df-mhm 18990  df-psr 22229

This theorem is used by:  rhmpsr  43751