Theorem mhmcoaddpsr 43010

Description: Show that the ring homomorphism in rhmpsr 43012 preserves addition. (Contributed by SN, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhmcoaddpsr.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mhmcoaddpsr.q	⊢ 𝑄 = (𝐼 mPwSer 𝑆)
mhmcoaddpsr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mhmcoaddpsr.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑄)
mhmcoaddpsr.1	⊢ + = (+g‘𝑃)
mhmcoaddpsr.2	⊢ ✚ = (+g‘𝑄)
mhmcoaddpsr.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
mhmcoaddpsr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
mhmcoaddpsr.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mhmcoaddpsr	⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ (𝐹 + 𝐺)) = ((𝐻 ∘ 𝐹) ✚ (𝐻 ∘ 𝐺)))

Proof of Theorem mhmcoaddpsr

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhmcoaddpsr.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
2		fvexd 6850	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
3		ovex 7394	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
4	3	rabex 5277	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
6		mhmcoaddpsr.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
7		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
9		mhmcoaddpsr.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
10		mhmcoaddpsr.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
11	6, 7, 8, 9, 10	psrelbas 21927	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
12	2, 5, 11	elmapdd 8782	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
13		mhmcoaddpsr.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
14	6, 7, 8, 9, 13	psrelbas 21927	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
15	2, 5, 14	elmapdd 8782	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
16		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
17		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
18	7, 16, 17	mhmvlin 18763	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝐺 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})) → (𝐻 ∘ (𝐹 ∘f (+g‘𝑅)𝐺)) = ((𝐻 ∘ 𝐹) ∘f (+g‘𝑆)(𝐻 ∘ 𝐺)))
19	1, 12, 15, 18	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ (𝐹 ∘f (+g‘𝑅)𝐺)) = ((𝐻 ∘ 𝐹) ∘f (+g‘𝑆)(𝐻 ∘ 𝐺)))
20		mhmcoaddpsr.1	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑃)
21	6, 9, 16, 20, 10, 13	psradd 21930	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 + 𝐺) = (𝐹 ∘f (+g‘𝑅)𝐺))
22	21	coeq2d 5812	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ (𝐹 + 𝐺)) = (𝐻 ∘ (𝐹 ∘f (+g‘𝑅)𝐺)))
23		mhmcoaddpsr.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐼 mPwSer 𝑆)
24		mhmcoaddpsr.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑄)
25		mhmcoaddpsr.2	. . 3 ⊢ ✚ = (+g‘𝑄)
26	6, 23, 9, 24, 1, 10	mhmcopsr 43009	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹) ∈ 𝐶)
27	6, 23, 9, 24, 1, 13	mhmcopsr 43009	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐺) ∈ 𝐶)
28	23, 24, 17, 25, 26, 27	psradd 21930	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 ∘ 𝐹) ✚ (𝐻 ∘ 𝐺)) = ((𝐻 ∘ 𝐹) ∘f (+g‘𝑆)(𝐻 ∘ 𝐺)))
29	19, 22, 28	3eqtr4d 2782	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ (𝐹 + 𝐺)) = ((𝐻 ∘ 𝐹) ✚ (𝐻 ∘ 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3390  Vcvv 3430  ^◡ccnv 5624   “ cima 5628   ∘ ccom 5629  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361   ∘_f cof 7623   ↑_m cmap 8767  Fincfn 8887  ℕcn 12168  ℕ₀cn0 12431  Basecbs 17173  +_gcplusg 17214   MndHom cmhm 18743   mPwSer cmps 21897

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7625  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-fz 13456  df-struct 17111  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-sca 17230  df-vsca 17231  df-tset 17233  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-mhm 18745  df-psr 21902

This theorem is referenced by:  rhmpsr  43012