Theorem mhmcopsr 42537

Description: The composition of a monoid homomorphism and a power series is a power series. (Contributed by SN, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhmcopsr.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mhmcopsr.q	⊢ 𝑄 = (𝐼 mPwSer 𝑆)
mhmcopsr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mhmcopsr.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑄)
mhmcopsr.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
mhmcopsr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mhmcopsr	⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem mhmcopsr

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvexd 6873	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑆) ∈ V)
2		ovex 7420	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
3	2	rabex 5294	. . . 4 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
5		mhmcopsr.h	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
6		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
8	6, 7	mhmf 18716	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆) → 𝐻:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆))
9	5, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆))
10		mhmcopsr.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
11		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
12		mhmcopsr.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
13		mhmcopsr.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
14	10, 6, 11, 12, 13	psrelbas 21843	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
15	9, 14	fcod 6713	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹):{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑆))
16	1, 4, 15	elmapdd 8814	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹) ∈ ((Base‘𝑆) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
17		mhmcopsr.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐼 mPwSer 𝑆)
18		mhmcopsr.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑄)
19		reldmpsr 21823	. . . . . 6 ⊢ Rel dom mPwSer
20	19, 10, 12	elbasov 17186	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
21	13, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
22	21	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
23	17, 7, 11, 18, 22	psrbas 21842	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = ((Base‘𝑆) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
24	16, 23	eleqtrrd 2831	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3405  Vcvv 3447  ^◡ccnv 5637   “ cima 5641   ∘ ccom 5642  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ↑_m cmap 8799  Fincfn 8918  ℕcn 12186  ℕ₀cn0 12442  Basecbs 17179   MndHom cmhm 18708   mPwSer cmps 21813

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-struct 17117  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-tset 17239  df-mhm 18710  df-psr 21818

This theorem is referenced by:  mhmcoaddpsr  42538  rhmcomulpsr  42539  rhmpsr  42540