Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mhmcopsr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mhmcopsr 42564
Description: The composition of a monoid homomorphism and a power series is a power series. (Contributed by SN, 18-May-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
mhmcopsr.p 𝑃 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mhmcopsr.q 𝑄 = (𝐼 mPwSer 𝑆)
mhmcopsr.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
mhmcopsr.c 𝐶 = (Base‘𝑄)
mhmcopsr.h (𝜑𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
mhmcopsr.f (𝜑𝐹𝐵)
Assertion
Ref Expression
mhmcopsr (𝜑 → (𝐻𝐹) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem mhmcopsr
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvexd 6920 . . 3 (𝜑 → (Base‘𝑆) ∈ V)
2 ovex 7465 . . . . 5 (ℕ0m 𝐼) ∈ V
32rabex 5338 . . . 4 {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
43a1i 11 . . 3 (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
5 mhmcopsr.h . . . . 5 (𝜑𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
6 eqid 2736 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7 eqid 2736 . . . . . 6 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
86, 7mhmf 18803 . . . . 5 (𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆) → 𝐻:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆))
95, 8syl 17 . . . 4 (𝜑𝐻:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆))
10 mhmcopsr.p . . . . 5 𝑃 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
11 eqid 2736 . . . . 5 {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
12 mhmcopsr.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑃)
13 mhmcopsr.f . . . . 5 (𝜑𝐹𝐵)
1410, 6, 11, 12, 13psrelbas 21955 . . . 4 (𝜑𝐹:{𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
159, 14fcod 6760 . . 3 (𝜑 → (𝐻𝐹):{𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑆))
161, 4, 15elmapdd 8882 . 2 (𝜑 → (𝐻𝐹) ∈ ((Base‘𝑆) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
17 mhmcopsr.q . . 3 𝑄 = (𝐼 mPwSer 𝑆)
18 mhmcopsr.c . . 3 𝐶 = (Base‘𝑄)
19 reldmpsr 21935 . . . . . 6 Rel dom mPwSer
2019, 10, 12elbasov 17255 . . . . 5 (𝐹𝐵 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
2113, 20syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
2221simpld 494 . . 3 (𝜑𝐼 ∈ V)
2317, 7, 11, 18, 22psrbas 21954 . 2 (𝜑𝐶 = ((Base‘𝑆) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
2416, 23eleqtrrd 2843 1 (𝜑 → (𝐻𝐹) ∈ 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  {crab 3435  Vcvv 3479  ccnv 5683  cima 5687  ccom 5688  wf 6556  cfv 6560  (class class class)co 7432  m cmap 8867  Fincfn 8986  cn 12267  0cn0 12528  Basecbs 17248   MndHom cmhm 18795   mPwSer cmps 21925
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-fz 13549  df-struct 17185  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-tset 17317  df-mhm 18797  df-psr 21930
This theorem is referenced by:  mhmcoaddpsr  42565  rhmcomulpsr  42566  rhmpsr  42567
  Copyright terms: Public domain W3C validator