Theorem mhmcopsr 43006

Description: The composition of a monoid homomorphism and a power series is a power series. (Contributed by SN, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhmcopsr.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mhmcopsr.q	⊢ 𝑄 = (𝐼 mPwSer 𝑆)
mhmcopsr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mhmcopsr.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑄)
mhmcopsr.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
mhmcopsr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mhmcopsr	⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem mhmcopsr

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvexd 6849	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑆) ∈ V)
2		ovex 7393	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
3	2	rabex 5276	. . . 4 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
5		mhmcopsr.h	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
6		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
8	6, 7	mhmf 18748	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆) → 𝐻:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆))
9	5, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆))
10		mhmcopsr.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
11		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
12		mhmcopsr.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
13		mhmcopsr.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
14	10, 6, 11, 12, 13	psrelbas 21924	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
15	9, 14	fcod 6687	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹):{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑆))
16	1, 4, 15	elmapdd 8781	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹) ∈ ((Base‘𝑆) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
17		mhmcopsr.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐼 mPwSer 𝑆)
18		mhmcopsr.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑄)
19		reldmpsr 21904	. . . . . 6 ⊢ Rel dom mPwSer
20	19, 10, 12	elbasov 17177	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
21	13, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
22	21	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
23	17, 7, 11, 18, 22	psrbas 21923	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = ((Base‘𝑆) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
24	16, 23	eleqtrrd 2840	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3390  Vcvv 3430  ^◡ccnv 5623   “ cima 5627   ∘ ccom 5628  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360   ↑_m cmap 8766  Fincfn 8886  ℕcn 12165  ℕ₀cn0 12428  Basecbs 17170   MndHom cmhm 18740   mPwSer cmps 21894

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-map 8768  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-struct 17108  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-tset 17230  df-mhm 18742  df-psr 21899

This theorem is referenced by:  mhmcoaddpsr  43007  rhmcomulpsr  43008  rhmpsr  43009