Theorem mhmcopsr 43812

Description: The composition of a monoid homomorphism and a power series is a power series. (Contributed by SN, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhmcopsr.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mhmcopsr.q	⊢ 𝑄 = (𝐼 mPwSer 𝑆)
mhmcopsr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mhmcopsr.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑄)
mhmcopsr.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
mhmcopsr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mhmcopsr	⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem mhmcopsr

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvexd 6926	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑆) ∈ V)
2		ovex 7479	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
3	2	rabex 5305	. . . 4 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
5		mhmcopsr.h	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
6		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
8	6, 7	mhmf 19016	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆) → 𝐻:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆))
9	5, 8	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆))
10		mhmcopsr.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
11		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
12		mhmcopsr.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
13		mhmcopsr.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
14	10, 6, 11, 12, 13	psrelbas 22276	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
15	9, 14	fcod 6760	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹):{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑆))
16	1, 4, 15	elmapdd 8892	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹) ∈ ((Base‘𝑆) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
17		mhmcopsr.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐼 mPwSer 𝑆)
18		mhmcopsr.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑄)
19		reldmpsr 22255	. . . . . 6 ⊢ Rel dom mPwSer
20	19, 10, 12	elbasov 17426	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
21	13, 20	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
22	21	simpld 500	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
23	17, 7, 11, 18, 22	psrbas 22275	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = ((Base‘𝑆) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
24	16, 23	eleqtrrd 2867	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹) ∈ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {crab 3416  Vcvv 3454  ^◡ccnv 5655   “ cima 5659   ∘ ccom 5660  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446   ↑_m cmap 8878  Fincfn 9004  ℕcn 12365  ℕ₀cn0 12636  Basecbs 17419   MndHom cmhm 19008   mPwSer cmps 22245

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-of 7720  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-supp 8208  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-er 8748  df-map 8880  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-fsupp 9385  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-8 12441  df-9 12442  df-n0 12637  df-z 12724  df-uz 12996  df-fz 13670  df-struct 17357  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-plusg 17473  df-mulr 17474  df-sca 17476  df-vsca 17477  df-tset 17479  df-mhm 19010  df-psr 22250

This theorem is used by:  mhmcoaddpsr  43813  rhmcomulpsr  43814  rhmpsr  43815