Theorem mhmcopsr 43126

Description: The composition of a monoid homomorphism and a power series is a power series. (Contributed by SN, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhmcopsr.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mhmcopsr.q	⊢ 𝑄 = (𝐼 mPwSer 𝑆)
mhmcopsr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mhmcopsr.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑄)
mhmcopsr.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
mhmcopsr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mhmcopsr	⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem mhmcopsr

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvexd 6878	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑆) ∈ V)
2		ovex 7425	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
3	2	rabex 5294	. . . 4 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
5		mhmcopsr.h	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
6		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
8	6, 7	mhmf 18806	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆) → 𝐻:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆))
9	5, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆))
10		mhmcopsr.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
11		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
12		mhmcopsr.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
13		mhmcopsr.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
14	10, 6, 11, 12, 13	psrelbas 21967	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
15	9, 14	fcod 6713	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹):{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑆))
16	1, 4, 15	elmapdd 8818	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹) ∈ ((Base‘𝑆) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
17		mhmcopsr.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐼 mPwSer 𝑆)
18		mhmcopsr.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑄)
19		reldmpsr 21946	. . . . . 6 ⊢ Rel dom mPwSer
20	19, 10, 12	elbasov 17235	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
21	13, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
22	21	simpld 498	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
23	17, 7, 11, 18, 22	psrbas 21966	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = ((Base‘𝑆) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
24	16, 23	eleqtrrd 2864	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  {crab 3413  Vcvv 3453  ^◡ccnv 5644   “ cima 5648   ∘ ccom 5649  ⟶wf 6513  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392   ↑_m cmap 8803  Fincfn 8923  ℕcn 12207  ℕ₀cn0 12478  Basecbs 17228   MndHom cmhm 18798   mPwSer cmps 21936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-of 7656  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-supp 8136  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8673  df-map 8805  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-fsupp 9305  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-fz 13510  df-struct 17166  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-tset 17288  df-mhm 18800  df-psr 21941

This theorem is referenced by:  mhmcoaddpsr  43127  rhmcomulpsr  43128  rhmpsr  43129