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Theorem digit1 14286
Description: Two ways to express the 𝐾 th digit in the decimal expansion of a number 𝐴 (when base 𝐵 = 10). 𝐾 = 1 corresponds to the first digit after the decimal point. (Contributed by NM, 3-Jan-2009.)
Assertion
Ref Expression
digit1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) = (((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) mod (𝐵𝐾)) − ((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵𝐾))))

Proof of Theorem digit1
StepHypRef Expression
1 digit2 14285 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) = ((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) − (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))))
213coml 1127 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) = ((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) − (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))))
323expa 1118 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) = ((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) − (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))))
43oveq1d 7463 . . . 4 (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) mod (𝐵𝐾)) = (((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) − (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))) mod (𝐵𝐾)))
5 nnre 12300 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
6 nnnn0 12560 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0)
7 reexpcl 14129 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐵𝐾) ∈ ℝ)
85, 6, 7syl2an 595 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵𝐾) ∈ ℝ)
9 remulcl 11269 . . . . . . . 8 (((𝐵𝐾) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵𝐾) · 𝐴) ∈ ℝ)
108, 9sylan 579 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵𝐾) · 𝐴) ∈ ℝ)
11 reflcl 13847 . . . . . . 7 (((𝐵𝐾) · 𝐴) ∈ ℝ → (⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) ∈ ℝ)
1210, 11syl 17 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) ∈ ℝ)
13 nnrp 13068 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ+)
1413ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ+)
1512, 14modcld 13926 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) ∈ ℝ)
16 nnexpcl 14125 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐵𝐾) ∈ ℕ)
176, 16sylan2 592 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵𝐾) ∈ ℕ)
1817nnrpd 13097 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵𝐾) ∈ ℝ+)
1918adantr 480 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵𝐾) ∈ ℝ+)
20 modge0 13930 . . . . . 6 (((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 0 ≤ ((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵))
2112, 14, 20syl2anc 583 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 0 ≤ ((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵))
225ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
238adantr 480 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵𝐾) ∈ ℝ)
24 modlt 13931 . . . . . . 7 (((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) < 𝐵)
2512, 14, 24syl2anc 583 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) < 𝐵)
26 nncn 12301 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
27 exp1 14118 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵↑1) = 𝐵)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵↑1) = 𝐵)
2928adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑1) = 𝐵)
305adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
31 nnge1 12321 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐵)
3231adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 1 ≤ 𝐵)
33 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℕ)
34 nnuz 12946 . . . . . . . . . 10 ℕ = (ℤ‘1)
3533, 34eleqtrdi 2854 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ (ℤ‘1))
36 leexp2a 14222 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐵𝐾 ∈ (ℤ‘1)) → (𝐵↑1) ≤ (𝐵𝐾))
3730, 32, 35, 36syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑1) ≤ (𝐵𝐾))
3829, 37eqbrtrrd 5190 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐵 ≤ (𝐵𝐾))
3938adantr 480 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ (𝐵𝐾))
4015, 22, 23, 25, 39ltletrd 11450 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) < (𝐵𝐾))
41 modid 13947 . . . . 5 (((((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝐾) ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ ((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) ∧ ((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) < (𝐵𝐾))) → (((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) mod (𝐵𝐾)) = ((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵))
4215, 19, 21, 40, 41syl22anc 838 . . . 4 (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) mod (𝐵𝐾)) = ((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵))
43 simpll 766 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℕ)
44 nnm1nn0 12594 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
45 reexpcl 14129 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ0) → (𝐵↑(𝐾 − 1)) ∈ ℝ)
465, 44, 45syl2an 595 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑(𝐾 − 1)) ∈ ℝ)
47 remulcl 11269 . . . . . . . 8 (((𝐵↑(𝐾 − 1)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴) ∈ ℝ)
4846, 47sylan 579 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴) ∈ ℝ)
49 nnexpcl 14125 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ0) → (𝐵↑(𝐾 − 1)) ∈ ℕ)
5044, 49sylan2 592 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑(𝐾 − 1)) ∈ ℕ)
5150adantr 480 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵↑(𝐾 − 1)) ∈ ℕ)
52 modmulnn 13940 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐵↑(𝐾 − 1)) ∈ ℕ) → ((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵 · (𝐵↑(𝐾 − 1)))) ≤ ((⌊‘(𝐵 · ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵 · (𝐵↑(𝐾 − 1)))))
5343, 48, 51, 52syl3anc 1371 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵 · (𝐵↑(𝐾 − 1)))) ≤ ((⌊‘(𝐵 · ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵 · (𝐵↑(𝐾 − 1)))))
54 expm1t 14141 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵𝐾) = ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐵))
55 expcl 14130 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ0) → (𝐵↑(𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
5644, 55sylan2 592 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑(𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
57 simpl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
5856, 57mulcomd 11311 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐵) = (𝐵 · (𝐵↑(𝐾 − 1))))
5954, 58eqtrd 2780 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵𝐾) = (𝐵 · (𝐵↑(𝐾 − 1))))
6026, 59sylan 579 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵𝐾) = (𝐵 · (𝐵↑(𝐾 − 1))))
6160adantr 480 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵𝐾) = (𝐵 · (𝐵↑(𝐾 − 1))))
6261oveq2d 7464 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵𝐾)) = ((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵 · (𝐵↑(𝐾 − 1)))))
6361oveq1d 7463 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵𝐾) · 𝐴) = ((𝐵 · (𝐵↑(𝐾 − 1))) · 𝐴))
6426ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
6526, 44, 55syl2an 595 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑(𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
6665adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵↑(𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
67 recn 11274 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
6867adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
6964, 66, 68mulassd 11313 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 · (𝐵↑(𝐾 − 1))) · 𝐴) = (𝐵 · ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))
7063, 69eqtrd 2780 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵𝐾) · 𝐴) = (𝐵 · ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))
7170fveq2d 6924 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))))
7271, 61oveq12d 7466 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) mod (𝐵𝐾)) = ((⌊‘(𝐵 · ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵 · (𝐵↑(𝐾 − 1)))))
7353, 62, 723brtr4d 5198 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵𝐾)) ≤ ((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) mod (𝐵𝐾)))
74 reflcl 13847 . . . . . . . 8 (((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴) ∈ ℝ → (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)) ∈ ℝ)
7548, 74syl 17 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)) ∈ ℝ)
76 remulcl 11269 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)) ∈ ℝ) → (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) ∈ ℝ)
7722, 75, 76syl2anc 583 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) ∈ ℝ)
78 modsubdir 13991 . . . . . 6 (((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝐾) ∈ ℝ+) → (((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵𝐾)) ≤ ((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) mod (𝐵𝐾)) ↔ (((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) − (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))) mod (𝐵𝐾)) = (((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) mod (𝐵𝐾)) − ((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵𝐾)))))
7912, 77, 19, 78syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵𝐾)) ≤ ((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) mod (𝐵𝐾)) ↔ (((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) − (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))) mod (𝐵𝐾)) = (((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) mod (𝐵𝐾)) − ((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵𝐾)))))
8073, 79mpbid 232 . . . 4 (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) − (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))) mod (𝐵𝐾)) = (((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) mod (𝐵𝐾)) − ((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵𝐾))))
814, 42, 803eqtr3d 2788 . . 3 (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) = (((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) mod (𝐵𝐾)) − ((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵𝐾))))
82813impa 1110 . 2 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) = (((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) mod (𝐵𝐾)) − ((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵𝐾))))
83823comr 1125 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) = (((⌊‘((𝐵𝐾) · 𝐴)) mod (𝐵𝐾)) − ((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵𝐾))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1537  wcel 2108   class class class wbr 5166  cfv 6573  (class class class)co 7448  cc 11182  cr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   · cmul 11189   < clt 11324  cle 11325  cmin 11520  cn 12293  0cn0 12553  cuz 12903  +crp 13057  cfl 13841   mod cmo 13920  cexp 14112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14053  df-exp 14113
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