Theorem digit1 14148

Description: Two ways to express the 𝐾 th digit in the decimal expansion of a number 𝐴 (when base 𝐵 = 10). 𝐾 = 1 corresponds to the first digit after the decimal point. (Contributed by NM, 3-Jan-2009.)

Assertion

Ref	Expression
digit1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) = (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod (𝐵↑𝐾)) − ((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵↑𝐾))))

Proof of Theorem digit1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		digit2 14147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) = ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) − (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))))
2	1	3coml 1127	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) = ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) − (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))))
3	2	3expa 1118	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) = ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) − (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))))
4	3	oveq1d 7369	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) mod (𝐵↑𝐾)) = (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) − (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))) mod (𝐵↑𝐾)))
5		nnre 12141	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
6		nnnn0 12397	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0)
7		reexpcl 13989	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝐾) ∈ ℝ)
8	5, 6, 7	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝐾) ∈ ℝ)
9		remulcl 11100	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵↑𝐾) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵↑𝐾) · 𝐴) ∈ ℝ)
10	8, 9	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵↑𝐾) · 𝐴) ∈ ℝ)
11		reflcl 13704	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵↑𝐾) · 𝐴) ∈ ℝ → (⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) ∈ ℝ)
12	10, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) ∈ ℝ)
13		nnrp 12906	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ+)
14	13	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ+)
15	12, 14	modcld 13783	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) ∈ ℝ)
16		nnexpcl 13985	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝐾) ∈ ℕ)
17	6, 16	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝐾) ∈ ℕ)
18	17	nnrpd 12936	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝐾) ∈ ℝ+)
19	18	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵↑𝐾) ∈ ℝ+)
20		modge0 13787	. . . . . 6 ⊢ (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 0 ≤ ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵))
21	12, 14, 20	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 0 ≤ ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵))
22	5	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
23	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵↑𝐾) ∈ ℝ)
24		modlt 13788	. . . . . . 7 ⊢ (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) < 𝐵)
25	12, 14, 24	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) < 𝐵)
26		nncn 12142	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
27		exp1 13978	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵↑1) = 𝐵)
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵↑1) = 𝐵)
29	28	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑1) = 𝐵)
30	5	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
31		nnge1 12162	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐵)
32	31	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 1 ≤ 𝐵)
33		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℕ)
34		nnuz 12779	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
35	33, 34	eleqtrdi 2843	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘1))
36		leexp2a 14083	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘1)) → (𝐵↑1) ≤ (𝐵↑𝐾))
37	30, 32, 35, 36	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑1) ≤ (𝐵↑𝐾))
38	29, 37	eqbrtrrd 5119	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐵 ≤ (𝐵↑𝐾))
39	38	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ (𝐵↑𝐾))
40	15, 22, 23, 25, 39	ltletrd 11282	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) < (𝐵↑𝐾))
41		modid 13804	. . . . 5 ⊢ (((((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐵↑𝐾) ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) ∧ ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) < (𝐵↑𝐾))) → (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) mod (𝐵↑𝐾)) = ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵))
42	15, 19, 21, 40, 41	syl22anc 838	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) mod (𝐵↑𝐾)) = ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵))
43		simpll 766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℕ)
44		nnm1nn0 12431	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
45		reexpcl 13989	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ0) → (𝐵↑(𝐾 − 1)) ∈ ℝ)
46	5, 44, 45	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑(𝐾 − 1)) ∈ ℝ)
47		remulcl 11100	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵↑(𝐾 − 1)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴) ∈ ℝ)
48	46, 47	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴) ∈ ℝ)
49		nnexpcl 13985	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ0) → (𝐵↑(𝐾 − 1)) ∈ ℕ)
50	44, 49	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑(𝐾 − 1)) ∈ ℕ)
51	50	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵↑(𝐾 − 1)) ∈ ℕ)
52		modmulnn 13797	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐵↑(𝐾 − 1)) ∈ ℕ) → ((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵 · (𝐵↑(𝐾 − 1)))) ≤ ((⌊‘(𝐵 · ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵 · (𝐵↑(𝐾 − 1)))))
53	43, 48, 51, 52	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵 · (𝐵↑(𝐾 − 1)))) ≤ ((⌊‘(𝐵 · ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵 · (𝐵↑(𝐾 − 1)))))
54		expm1t 14001	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝐾) = ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐵))
55		expcl 13990	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ0) → (𝐵↑(𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
56	44, 55	sylan2 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑(𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
57		simpl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
58	56, 57	mulcomd 11142	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐵) = (𝐵 · (𝐵↑(𝐾 − 1))))
59	54, 58	eqtrd 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝐾) = (𝐵 · (𝐵↑(𝐾 − 1))))
60	26, 59	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝐾) = (𝐵 · (𝐵↑(𝐾 − 1))))
61	60	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵↑𝐾) = (𝐵 · (𝐵↑(𝐾 − 1))))
62	61	oveq2d 7370	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵↑𝐾)) = ((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵 · (𝐵↑(𝐾 − 1)))))
63	61	oveq1d 7369	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵↑𝐾) · 𝐴) = ((𝐵 · (𝐵↑(𝐾 − 1))) · 𝐴))
64	26	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
65	26, 44, 55	syl2an 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑(𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
66	65	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵↑(𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
67		recn 11105	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
68	67	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
69	64, 66, 68	mulassd 11144	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 · (𝐵↑(𝐾 − 1))) · 𝐴) = (𝐵 · ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))
70	63, 69	eqtrd 2768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵↑𝐾) · 𝐴) = (𝐵 · ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))
71	70	fveq2d 6834	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))))
72	71, 61	oveq12d 7372	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod (𝐵↑𝐾)) = ((⌊‘(𝐵 · ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵 · (𝐵↑(𝐾 − 1)))))
73	53, 62, 72	3brtr4d 5127	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵↑𝐾)) ≤ ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod (𝐵↑𝐾)))
74		reflcl 13704	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴) ∈ ℝ → (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)) ∈ ℝ)
75	48, 74	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)) ∈ ℝ)
76		remulcl 11100	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)) ∈ ℝ) → (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) ∈ ℝ)
77	22, 75, 76	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) ∈ ℝ)
78		modsubdir 13851	. . . . . 6 ⊢ (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) ∈ ℝ ∧ (𝐵↑𝐾) ∈ ℝ+) → (((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵↑𝐾)) ≤ ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod (𝐵↑𝐾)) ↔ (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) − (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))) mod (𝐵↑𝐾)) = (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod (𝐵↑𝐾)) − ((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵↑𝐾)))))
79	12, 77, 19, 78	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵↑𝐾)) ≤ ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod (𝐵↑𝐾)) ↔ (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) − (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))) mod (𝐵↑𝐾)) = (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod (𝐵↑𝐾)) − ((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵↑𝐾)))))
80	73, 79	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) − (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))) mod (𝐵↑𝐾)) = (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod (𝐵↑𝐾)) − ((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵↑𝐾))))
81	4, 42, 80	3eqtr3d 2776	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) = (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod (𝐵↑𝐾)) − ((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵↑𝐾))))
82	81	3impa 1109	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) = (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod (𝐵↑𝐾)) − ((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵↑𝐾))))
83	82	3comr 1125	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) = (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod (𝐵↑𝐾)) − ((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵↑𝐾))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5095  ‘cfv 6488  (class class class)co 7354  ℂcc 11013  ℝcr 11014  0cc0 11015  1c1 11016   · cmul 11020   < clt 11155   ≤ cle 11156   − cmin 11353  ℕcn 12134  ℕ₀cn0 12390  ℤ_≥cuz 12740  ℝ⁺crp 12894  ⌊cfl 13698   mod cmo 13777  ↑cexp 13972

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092  ax-pre-sup 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7805  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-er 8630  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-sup 9335  df-inf 9336  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-div 11784  df-nn 12135  df-n0 12391  df-z 12478  df-uz 12741  df-rp 12895  df-fl 13700  df-mod 13778  df-seq 13913  df-exp 13973

This theorem is referenced by: (None)