Theorem digit1 14266

Description: Two ways to express the 𝐾 th digit in the decimal expansion of a number 𝐴 (when base 𝐵 = 10). 𝐾 = 1 corresponds to the first digit after the decimal point. (Contributed by NM, 3-Jan-2009.)

Assertion

Ref	Expression
digit1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) = (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod (𝐵↑𝐾)) − ((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵↑𝐾))))

Proof of Theorem digit1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		digit2 14265	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) = ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) − (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))))
2	1	3coml 1124	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) = ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) − (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))))
3	2	3expa 1115	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) = ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) − (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))))
4	3	oveq1d 7445	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) mod (𝐵↑𝐾)) = (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) − (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))) mod (𝐵↑𝐾)))
5		nnre 12281	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
6		nnnn0 12541	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0)
7		reexpcl 14109	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝐾) ∈ ℝ)
8	5, 6, 7	syl2an 594	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝐾) ∈ ℝ)
9		remulcl 11250	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵↑𝐾) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵↑𝐾) · 𝐴) ∈ ℝ)
10	8, 9	sylan 578	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵↑𝐾) · 𝐴) ∈ ℝ)
11		reflcl 13827	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵↑𝐾) · 𝐴) ∈ ℝ → (⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) ∈ ℝ)
12	10, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) ∈ ℝ)
13		nnrp 13049	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ+)
14	13	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ+)
15	12, 14	modcld 13906	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) ∈ ℝ)
16		nnexpcl 14105	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝐾) ∈ ℕ)
17	6, 16	sylan2 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝐾) ∈ ℕ)
18	17	nnrpd 13078	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝐾) ∈ ℝ+)
19	18	adantr 479	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵↑𝐾) ∈ ℝ+)
20		modge0 13910	. . . . . 6 ⊢ (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 0 ≤ ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵))
21	12, 14, 20	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 0 ≤ ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵))
22	5	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
23	8	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵↑𝐾) ∈ ℝ)
24		modlt 13911	. . . . . . 7 ⊢ (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) < 𝐵)
25	12, 14, 24	syl2anc 582	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) < 𝐵)
26		nncn 12282	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
27		exp1 14098	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵↑1) = 𝐵)
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵↑1) = 𝐵)
29	28	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑1) = 𝐵)
30	5	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
31		nnge1 12302	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐵)
32	31	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 1 ≤ 𝐵)
33		simpr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℕ)
34		nnuz 12927	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
35	33, 34	eleqtrdi 2839	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘1))
36		leexp2a 14202	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘1)) → (𝐵↑1) ≤ (𝐵↑𝐾))
37	30, 32, 35, 36	syl3anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑1) ≤ (𝐵↑𝐾))
38	29, 37	eqbrtrrd 5180	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐵 ≤ (𝐵↑𝐾))
39	38	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ (𝐵↑𝐾))
40	15, 22, 23, 25, 39	ltletrd 11431	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) < (𝐵↑𝐾))
41		modid 13927	. . . . 5 ⊢ (((((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐵↑𝐾) ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) ∧ ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) < (𝐵↑𝐾))) → (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) mod (𝐵↑𝐾)) = ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵))
42	15, 19, 21, 40, 41	syl22anc 837	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) mod (𝐵↑𝐾)) = ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵))
43		simpll 765	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℕ)
44		nnm1nn0 12575	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
45		reexpcl 14109	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ0) → (𝐵↑(𝐾 − 1)) ∈ ℝ)
46	5, 44, 45	syl2an 594	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑(𝐾 − 1)) ∈ ℝ)
47		remulcl 11250	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵↑(𝐾 − 1)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴) ∈ ℝ)
48	46, 47	sylan 578	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴) ∈ ℝ)
49		nnexpcl 14105	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ0) → (𝐵↑(𝐾 − 1)) ∈ ℕ)
50	44, 49	sylan2 591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑(𝐾 − 1)) ∈ ℕ)
51	50	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵↑(𝐾 − 1)) ∈ ℕ)
52		modmulnn 13920	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐵↑(𝐾 − 1)) ∈ ℕ) → ((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵 · (𝐵↑(𝐾 − 1)))) ≤ ((⌊‘(𝐵 · ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵 · (𝐵↑(𝐾 − 1)))))
53	43, 48, 51, 52	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵 · (𝐵↑(𝐾 − 1)))) ≤ ((⌊‘(𝐵 · ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵 · (𝐵↑(𝐾 − 1)))))
54		expm1t 14121	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝐾) = ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐵))
55		expcl 14110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ0) → (𝐵↑(𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
56	44, 55	sylan2 591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑(𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
57		simpl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
58	56, 57	mulcomd 11292	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐵) = (𝐵 · (𝐵↑(𝐾 − 1))))
59	54, 58	eqtrd 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝐾) = (𝐵 · (𝐵↑(𝐾 − 1))))
60	26, 59	sylan 578	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝐾) = (𝐵 · (𝐵↑(𝐾 − 1))))
61	60	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵↑𝐾) = (𝐵 · (𝐵↑(𝐾 − 1))))
62	61	oveq2d 7446	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵↑𝐾)) = ((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵 · (𝐵↑(𝐾 − 1)))))
63	61	oveq1d 7445	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵↑𝐾) · 𝐴) = ((𝐵 · (𝐵↑(𝐾 − 1))) · 𝐴))
64	26	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
65	26, 44, 55	syl2an 594	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑(𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
66	65	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵↑(𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
67		recn 11255	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
68	67	adantl 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
69	64, 66, 68	mulassd 11294	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 · (𝐵↑(𝐾 − 1))) · 𝐴) = (𝐵 · ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))
70	63, 69	eqtrd 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵↑𝐾) · 𝐴) = (𝐵 · ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))
71	70	fveq2d 6909	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))))
72	71, 61	oveq12d 7448	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod (𝐵↑𝐾)) = ((⌊‘(𝐵 · ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵 · (𝐵↑(𝐾 − 1)))))
73	53, 62, 72	3brtr4d 5188	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵↑𝐾)) ≤ ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod (𝐵↑𝐾)))
74		reflcl 13827	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴) ∈ ℝ → (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)) ∈ ℝ)
75	48, 74	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)) ∈ ℝ)
76		remulcl 11250	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)) ∈ ℝ) → (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) ∈ ℝ)
77	22, 75, 76	syl2anc 582	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) ∈ ℝ)
78		modsubdir 13971	. . . . . 6 ⊢ (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) ∈ ℝ ∧ (𝐵↑𝐾) ∈ ℝ+) → (((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵↑𝐾)) ≤ ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod (𝐵↑𝐾)) ↔ (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) − (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))) mod (𝐵↑𝐾)) = (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod (𝐵↑𝐾)) − ((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵↑𝐾)))))
79	12, 77, 19, 78	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵↑𝐾)) ≤ ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod (𝐵↑𝐾)) ↔ (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) − (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))) mod (𝐵↑𝐾)) = (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod (𝐵↑𝐾)) − ((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵↑𝐾)))))
80	73, 79	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) − (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))) mod (𝐵↑𝐾)) = (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod (𝐵↑𝐾)) − ((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵↑𝐾))))
81	4, 42, 80	3eqtr3d 2777	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) = (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod (𝐵↑𝐾)) − ((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵↑𝐾))))
82	81	3impa 1107	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) = (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod (𝐵↑𝐾)) − ((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵↑𝐾))))
83	82	3comr 1122	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) = (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod (𝐵↑𝐾)) − ((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵↑𝐾))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2100   class class class wbr 5156  ‘cfv 6558  (class class class)co 7430  ℂcc 11163  ℝcr 11164  0cc0 11165  1c1 11166   · cmul 11170   < clt 11305   ≤ cle 11306   − cmin 11501  ℕcn 12274  ℕ₀cn0 12534  ℤ_≥cuz 12884  ℝ⁺crp 13038  ⌊cfl 13821   mod cmo 13900  ↑cexp 14092

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2102  ax-9 2110  ax-10 2133  ax-11 2150  ax-12 2170  ax-ext 2700  ax-sep 5307  ax-nul 5314  ax-pow 5373  ax-pr 5437  ax-un 7751  ax-cnex 11221  ax-resscn 11222  ax-1cn 11223  ax-icn 11224  ax-addcl 11225  ax-addrcl 11226  ax-mulcl 11227  ax-mulrcl 11228  ax-mulcom 11229  ax-addass 11230  ax-mulass 11231  ax-distr 11232  ax-i2m1 11233  ax-1ne0 11234  ax-1rid 11235  ax-rnegex 11236  ax-rrecex 11237  ax-cnre 11238  ax-pre-lttri 11239  ax-pre-lttrn 11240  ax-pre-ltadd 11241  ax-pre-mulgt0 11242  ax-pre-sup 11243

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2062  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2707  df-cleq 2721  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2934  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3064  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3429  df-v 3474  df-sbc 3789  df-csb 3905  df-dif 3962  df-un 3964  df-in 3966  df-ss 3976  df-pss 3979  df-nul 4336  df-if 4537  df-pw 4612  df-sn 4637  df-pr 4639  df-op 4643  df-uni 4919  df-iun 5008  df-br 5157  df-opab 5219  df-mpt 5240  df-tr 5274  df-id 5584  df-eprel 5590  df-po 5598  df-so 5599  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5692  df-rel 5693  df-cnv 5694  df-co 5695  df-dm 5696  df-rn 5697  df-res 5698  df-ima 5699  df-pred 6317  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6510  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7386  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7885  df-2nd 8012  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8742  df-en 8983  df-dom 8984  df-sdom 8985  df-sup 9492  df-inf 9493  df-pnf 11307  df-mnf 11308  df-xr 11309  df-ltxr 11310  df-le 11311  df-sub 11503  df-neg 11504  df-div 11929  df-nn 12275  df-n0 12535  df-z 12621  df-uz 12885  df-rp 13039  df-fl 13823  df-mod 13901  df-seq 14033  df-exp 14093

This theorem is referenced by: (None)