Theorem digit1 14420

Description: Two ways to express the 𝐾 th digit in the decimal expansion of a number 𝐴 (when base 𝐵 = 10). 𝐾 = 1 corresponds to the first digit after the decimal point. (Contributed by NM, 3-Jan-2009.)

Assertion

Ref	Expression
digit1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) = (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod (𝐵↑𝐾)) − ((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵↑𝐾))))

Proof of Theorem digit1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		digit2 14419	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) = ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) − (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))))
2	1	3coml 1145	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) = ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) − (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))))
3	2	3expa 1136	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) = ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) − (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))))
4	3	oveq1d 7464	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) mod (𝐵↑𝐾)) = (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) − (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))) mod (𝐵↑𝐾)))
5		nnre 12380	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
6		nnnn0 12651	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0)
7		reexpcl 14259	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝐾) ∈ ℝ)
8	5, 6, 7	syl2an 608	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝐾) ∈ ℝ)
9		remulcl 11322	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵↑𝐾) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵↑𝐾) · 𝐴) ∈ ℝ)
10	8, 9	sylan 592	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵↑𝐾) · 𝐴) ∈ ℝ)
11		reflcl 13974	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵↑𝐾) · 𝐴) ∈ ℝ → (⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) ∈ ℝ)
12	10, 11	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) ∈ ℝ)
13		nnrp 13170	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ+)
14	13	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ+)
15	12, 14	modcld 14053	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) ∈ ℝ)
16		nnexpcl 14255	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝐾) ∈ ℕ)
17	6, 16	sylan2 605	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝐾) ∈ ℕ)
18	17	nnrpd 13200	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝐾) ∈ ℝ+)
19	18	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵↑𝐾) ∈ ℝ+)
20		modge0 14057	. . . . . 6 ⊢ (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 0 ≤ ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵))
21	12, 14, 20	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 0 ≤ ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵))
22	5	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
23	8	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵↑𝐾) ∈ ℝ)
24		modlt 14058	. . . . . . 7 ⊢ (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) < 𝐵)
25	12, 14, 24	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) < 𝐵)
26		nncn 12381	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
27		exp1 14248	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵↑1) = 𝐵)
28	26, 27	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵↑1) = 𝐵)
29	28	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑1) = 𝐵)
30	5	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
31		nnge1 12404	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐵)
32	31	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 1 ≤ 𝐵)
33		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℕ)
34		nnuz 13042	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
35	33, 34	eleqtrdi 2874	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘1))
36		leexp2a 14353	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘1)) → (𝐵↑1) ≤ (𝐵↑𝐾))
37	30, 32, 35, 36	syl3anc 1399	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑1) ≤ (𝐵↑𝐾))
38	29, 37	eqbrtrrd 5133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐵 ≤ (𝐵↑𝐾))
39	38	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ (𝐵↑𝐾))
40	15, 22, 23, 25, 39	ltletrd 11507	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) < (𝐵↑𝐾))
41		modid 14074	. . . . 5 ⊢ (((((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐵↑𝐾) ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) ∧ ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) < (𝐵↑𝐾))) → (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) mod (𝐵↑𝐾)) = ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵))
42	15, 19, 21, 40, 41	syl22anc 852	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) mod (𝐵↑𝐾)) = ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵))
43		simpll 779	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℕ)
44		nnm1nn0 12685	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
45		reexpcl 14259	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ0) → (𝐵↑(𝐾 − 1)) ∈ ℝ)
46	5, 44, 45	syl2an 608	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑(𝐾 − 1)) ∈ ℝ)
47		remulcl 11322	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵↑(𝐾 − 1)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴) ∈ ℝ)
48	46, 47	sylan 592	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴) ∈ ℝ)
49		nnexpcl 14255	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ0) → (𝐵↑(𝐾 − 1)) ∈ ℕ)
50	44, 49	sylan2 605	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑(𝐾 − 1)) ∈ ℕ)
51	50	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵↑(𝐾 − 1)) ∈ ℕ)
52		modmulnn 14067	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐵↑(𝐾 − 1)) ∈ ℕ) → ((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵 · (𝐵↑(𝐾 − 1)))) ≤ ((⌊‘(𝐵 · ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵 · (𝐵↑(𝐾 − 1)))))
53	43, 48, 51, 52	syl3anc 1399	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵 · (𝐵↑(𝐾 − 1)))) ≤ ((⌊‘(𝐵 · ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵 · (𝐵↑(𝐾 − 1)))))
54		expm1t 14271	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝐾) = ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐵))
55		expcl 14260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ0) → (𝐵↑(𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
56	44, 55	sylan2 605	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑(𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
57		simpl 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
58	56, 57	mulcomd 11367	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐵) = (𝐵 · (𝐵↑(𝐾 − 1))))
59	54, 58	eqtrd 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝐾) = (𝐵 · (𝐵↑(𝐾 − 1))))
60	26, 59	sylan 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝐾) = (𝐵 · (𝐵↑(𝐾 − 1))))
61	60	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵↑𝐾) = (𝐵 · (𝐵↑(𝐾 − 1))))
62	61	oveq2d 7465	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵↑𝐾)) = ((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵 · (𝐵↑(𝐾 − 1)))))
63	61	oveq1d 7464	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵↑𝐾) · 𝐴) = ((𝐵 · (𝐵↑(𝐾 − 1))) · 𝐴))
64	26	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
65	26, 44, 55	syl2an 608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑(𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
66	65	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵↑(𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
67		recn 11327	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
68	67	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
69	64, 66, 68	mulassd 11369	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 · (𝐵↑(𝐾 − 1))) · 𝐴) = (𝐵 · ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))
70	63, 69	eqtrd 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵↑𝐾) · 𝐴) = (𝐵 · ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))
71	70	fveq2d 6918	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))))
72	71, 61	oveq12d 7467	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod (𝐵↑𝐾)) = ((⌊‘(𝐵 · ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵 · (𝐵↑(𝐾 − 1)))))
73	53, 62, 72	3brtr4d 5141	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵↑𝐾)) ≤ ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod (𝐵↑𝐾)))
74		reflcl 13974	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴) ∈ ℝ → (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)) ∈ ℝ)
75	48, 74	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)) ∈ ℝ)
76		remulcl 11322	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)) ∈ ℝ) → (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) ∈ ℝ)
77	22, 75, 76	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) ∈ ℝ)
78		modsubdir 14121	. . . . . 6 ⊢ (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) ∈ ℝ ∧ (𝐵↑𝐾) ∈ ℝ+) → (((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵↑𝐾)) ≤ ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod (𝐵↑𝐾)) ↔ (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) − (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))) mod (𝐵↑𝐾)) = (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod (𝐵↑𝐾)) − ((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵↑𝐾)))))
79	12, 77, 19, 78	syl3anc 1399	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵↑𝐾)) ≤ ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod (𝐵↑𝐾)) ↔ (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) − (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))) mod (𝐵↑𝐾)) = (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod (𝐵↑𝐾)) − ((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵↑𝐾)))))
80	73, 79	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) − (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))) mod (𝐵↑𝐾)) = (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod (𝐵↑𝐾)) − ((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵↑𝐾))))
81	4, 42, 80	3eqtr3d 2806	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) = (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod (𝐵↑𝐾)) − ((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵↑𝐾))))
82	81	3impa 1127	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) = (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod (𝐵↑𝐾)) − ((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵↑𝐾))))
83	82	3comr 1143	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) = (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod (𝐵↑𝐾)) − ((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵↑𝐾))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  ‘cfv 6564  (class class class)co 7449  ℂcc 11235  ℝcr 11236  0cc0 11237  1c1 11238   · cmul 11242   < clt 11380   ≤ cle 11381   − cmin 11578  ℕcn 12373  ℕ₀cn0 12644  ℤ_≥cuz 13003  ℝ⁺crp 13158  ⌊cfl 13968   mod cmo 14047  ↑cexp 14242

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314  ax-pre-sup 11315

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-om 7910  df-2nd 8034  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-er 8753  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-sup 9469  df-inf 9470  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-div 12012  df-nn 12374  df-n0 12645  df-z 12732  df-uz 13004  df-rp 13159  df-fl 13970  df-mod 14048  df-seq 14183  df-exp 14243

This theorem is used by: (None)