Theorem digit1 14385

Description: Two ways to express the 𝐾 th digit in the decimal expansion of a number 𝐴 (when base 𝐵 = 10). 𝐾 = 1 corresponds to the first digit after the decimal point. (Contributed by NM, 3-Jan-2009.)

Assertion

Ref	Expression
digit1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) = (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod (𝐵↑𝐾)) − ((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵↑𝐾))))

Proof of Theorem digit1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		digit2 14384	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) = ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) − (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))))
2	1	3coml 1145	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) = ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) − (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))))
3	2	3expa 1136	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) = ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) − (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))))
4	3	oveq1d 7436	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) mod (𝐵↑𝐾)) = (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) − (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))) mod (𝐵↑𝐾)))
5		nnre 12346	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
6		nnnn0 12617	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0)
7		reexpcl 14225	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝐾) ∈ ℝ)
8	5, 6, 7	syl2an 608	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝐾) ∈ ℝ)
9		remulcl 11289	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵↑𝐾) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵↑𝐾) · 𝐴) ∈ ℝ)
10	8, 9	sylan 592	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵↑𝐾) · 𝐴) ∈ ℝ)
11		reflcl 13940	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵↑𝐾) · 𝐴) ∈ ℝ → (⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) ∈ ℝ)
12	10, 11	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) ∈ ℝ)
13		nnrp 13136	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ+)
14	13	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ+)
15	12, 14	modcld 14019	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) ∈ ℝ)
16		nnexpcl 14221	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝐾) ∈ ℕ)
17	6, 16	sylan2 605	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝐾) ∈ ℕ)
18	17	nnrpd 13166	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝐾) ∈ ℝ+)
19	18	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵↑𝐾) ∈ ℝ+)
20		modge0 14023	. . . . . 6 ⊢ (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 0 ≤ ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵))
21	12, 14, 20	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 0 ≤ ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵))
22	5	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
23	8	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵↑𝐾) ∈ ℝ)
24		modlt 14024	. . . . . . 7 ⊢ (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) < 𝐵)
25	12, 14, 24	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) < 𝐵)
26		nncn 12347	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
27		exp1 14214	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵↑1) = 𝐵)
28	26, 27	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵↑1) = 𝐵)
29	28	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑1) = 𝐵)
30	5	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
31		nnge1 12370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐵)
32	31	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 1 ≤ 𝐵)
33		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℕ)
34		nnuz 13008	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
35	33, 34	eleqtrdi 2870	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘1))
36		leexp2a 14319	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘1)) → (𝐵↑1) ≤ (𝐵↑𝐾))
37	30, 32, 35, 36	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑1) ≤ (𝐵↑𝐾))
38	29, 37	eqbrtrrd 5128	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐵 ≤ (𝐵↑𝐾))
39	38	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ (𝐵↑𝐾))
40	15, 22, 23, 25, 39	ltletrd 11474	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) < (𝐵↑𝐾))
41		modid 14040	. . . . 5 ⊢ (((((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐵↑𝐾) ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) ∧ ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) < (𝐵↑𝐾))) → (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) mod (𝐵↑𝐾)) = ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵))
42	15, 19, 21, 40, 41	syl22anc 852	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) mod (𝐵↑𝐾)) = ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵))
43		simpll 779	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℕ)
44		nnm1nn0 12651	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
45		reexpcl 14225	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ0) → (𝐵↑(𝐾 − 1)) ∈ ℝ)
46	5, 44, 45	syl2an 608	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑(𝐾 − 1)) ∈ ℝ)
47		remulcl 11289	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵↑(𝐾 − 1)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴) ∈ ℝ)
48	46, 47	sylan 592	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴) ∈ ℝ)
49		nnexpcl 14221	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ0) → (𝐵↑(𝐾 − 1)) ∈ ℕ)
50	44, 49	sylan2 605	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑(𝐾 − 1)) ∈ ℕ)
51	50	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵↑(𝐾 − 1)) ∈ ℕ)
52		modmulnn 14033	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐵↑(𝐾 − 1)) ∈ ℕ) → ((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵 · (𝐵↑(𝐾 − 1)))) ≤ ((⌊‘(𝐵 · ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵 · (𝐵↑(𝐾 − 1)))))
53	43, 48, 51, 52	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵 · (𝐵↑(𝐾 − 1)))) ≤ ((⌊‘(𝐵 · ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵 · (𝐵↑(𝐾 − 1)))))
54		expm1t 14237	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝐾) = ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐵))
55		expcl 14226	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ0) → (𝐵↑(𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
56	44, 55	sylan2 605	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑(𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
57		simpl 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
58	56, 57	mulcomd 11334	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐵) = (𝐵 · (𝐵↑(𝐾 − 1))))
59	54, 58	eqtrd 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝐾) = (𝐵 · (𝐵↑(𝐾 − 1))))
60	26, 59	sylan 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝐾) = (𝐵 · (𝐵↑(𝐾 − 1))))
61	60	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵↑𝐾) = (𝐵 · (𝐵↑(𝐾 − 1))))
62	61	oveq2d 7437	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵↑𝐾)) = ((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵 · (𝐵↑(𝐾 − 1)))))
63	61	oveq1d 7436	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵↑𝐾) · 𝐴) = ((𝐵 · (𝐵↑(𝐾 − 1))) · 𝐴))
64	26	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
65	26, 44, 55	syl2an 608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑(𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
66	65	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵↑(𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
67		recn 11294	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
68	67	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
69	64, 66, 68	mulassd 11336	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 · (𝐵↑(𝐾 − 1))) · 𝐴) = (𝐵 · ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))
70	63, 69	eqtrd 2795	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵↑𝐾) · 𝐴) = (𝐵 · ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))
71	70	fveq2d 6890	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))))
72	71, 61	oveq12d 7439	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod (𝐵↑𝐾)) = ((⌊‘(𝐵 · ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵 · (𝐵↑(𝐾 − 1)))))
73	53, 62, 72	3brtr4d 5136	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵↑𝐾)) ≤ ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod (𝐵↑𝐾)))
74		reflcl 13940	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴) ∈ ℝ → (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)) ∈ ℝ)
75	48, 74	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)) ∈ ℝ)
76		remulcl 11289	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)) ∈ ℝ) → (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) ∈ ℝ)
77	22, 75, 76	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) ∈ ℝ)
78		modsubdir 14087	. . . . . 6 ⊢ (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) ∈ ℝ ∧ (𝐵↑𝐾) ∈ ℝ+) → (((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵↑𝐾)) ≤ ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod (𝐵↑𝐾)) ↔ (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) − (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))) mod (𝐵↑𝐾)) = (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod (𝐵↑𝐾)) − ((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵↑𝐾)))))
79	12, 77, 19, 78	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵↑𝐾)) ≤ ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod (𝐵↑𝐾)) ↔ (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) − (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))) mod (𝐵↑𝐾)) = (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod (𝐵↑𝐾)) − ((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵↑𝐾)))))
80	73, 79	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) − (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))) mod (𝐵↑𝐾)) = (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod (𝐵↑𝐾)) − ((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵↑𝐾))))
81	4, 42, 80	3eqtr3d 2803	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) = (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod (𝐵↑𝐾)) − ((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵↑𝐾))))
82	81	3impa 1127	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) = (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod (𝐵↑𝐾)) − ((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵↑𝐾))))
83	82	3comr 1143	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) = (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod (𝐵↑𝐾)) − ((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵↑𝐾))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  ℂcc 11202  ℝcr 11203  0cc0 11204  1c1 11205   · cmul 11209   < clt 11347   ≤ cle 11348   − cmin 11545  ℕcn 12339  ℕ₀cn0 12610  ℤ_≥cuz 12969  ℝ⁺crp 13124  ⌊cfl 13934   mod cmo 14013  ↑cexp 14208

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-sup 9438  df-inf 9439  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-rp 13125  df-fl 13936  df-mod 14014  df-seq 14149  df-exp 14209

This theorem is used by: (None)