Theorem digit1 14269

Description: Two ways to express the 𝐾 th digit in the decimal expansion of a number 𝐴 (when base 𝐵 = 10). 𝐾 = 1 corresponds to the first digit after the decimal point. (Contributed by NM, 3-Jan-2009.)

Assertion

Ref	Expression
digit1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) = (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod (𝐵↑𝐾)) − ((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵↑𝐾))))

Proof of Theorem digit1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		digit2 14268	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) = ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) − (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))))
2	1	3coml 1143	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) = ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) − (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))))
3	2	3expa 1134	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) = ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) − (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))))
4	3	oveq1d 7423	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) mod (𝐵↑𝐾)) = (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) − (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))) mod (𝐵↑𝐾)))
5		nnre 12236	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
6		nnnn0 12507	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0)
7		reexpcl 14110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝐾) ∈ ℝ)
8	5, 6, 7	syl2an 607	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝐾) ∈ ℝ)
9		remulcl 11181	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵↑𝐾) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵↑𝐾) · 𝐴) ∈ ℝ)
10	8, 9	sylan 591	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵↑𝐾) · 𝐴) ∈ ℝ)
11		reflcl 13825	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵↑𝐾) · 𝐴) ∈ ℝ → (⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) ∈ ℝ)
12	10, 11	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) ∈ ℝ)
13		nnrp 13024	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ+)
14	13	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ+)
15	12, 14	modcld 13904	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) ∈ ℝ)
16		nnexpcl 14106	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝐾) ∈ ℕ)
17	6, 16	sylan2 604	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝐾) ∈ ℕ)
18	17	nnrpd 13054	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝐾) ∈ ℝ+)
19	18	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵↑𝐾) ∈ ℝ+)
20		modge0 13908	. . . . . 6 ⊢ (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 0 ≤ ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵))
21	12, 14, 20	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 0 ≤ ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵))
22	5	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
23	8	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵↑𝐾) ∈ ℝ)
24		modlt 13909	. . . . . . 7 ⊢ (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) < 𝐵)
25	12, 14, 24	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) < 𝐵)
26		nncn 12237	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
27		exp1 14099	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵↑1) = 𝐵)
28	26, 27	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵↑1) = 𝐵)
29	28	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑1) = 𝐵)
30	5	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
31		nnge1 12260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐵)
32	31	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 1 ≤ 𝐵)
33		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℕ)
34		nnuz 12897	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
35	33, 34	eleqtrdi 2879	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘1))
36		leexp2a 14204	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘1)) → (𝐵↑1) ≤ (𝐵↑𝐾))
37	30, 32, 35, 36	syl3anc 1396	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑1) ≤ (𝐵↑𝐾))
38	29, 37	eqbrtrrd 5136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐵 ≤ (𝐵↑𝐾))
39	38	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ (𝐵↑𝐾))
40	15, 22, 23, 25, 39	ltletrd 11366	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) < (𝐵↑𝐾))
41		modid 13925	. . . . 5 ⊢ (((((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐵↑𝐾) ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) ∧ ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) < (𝐵↑𝐾))) → (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) mod (𝐵↑𝐾)) = ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵))
42	15, 19, 21, 40, 41	syl22anc 851	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) mod (𝐵↑𝐾)) = ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵))
43		simpll 778	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℕ)
44		nnm1nn0 12541	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
45		reexpcl 14110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ0) → (𝐵↑(𝐾 − 1)) ∈ ℝ)
46	5, 44, 45	syl2an 607	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑(𝐾 − 1)) ∈ ℝ)
47		remulcl 11181	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵↑(𝐾 − 1)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴) ∈ ℝ)
48	46, 47	sylan 591	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴) ∈ ℝ)
49		nnexpcl 14106	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ0) → (𝐵↑(𝐾 − 1)) ∈ ℕ)
50	44, 49	sylan2 604	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑(𝐾 − 1)) ∈ ℕ)
51	50	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵↑(𝐾 − 1)) ∈ ℕ)
52		modmulnn 13918	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐵↑(𝐾 − 1)) ∈ ℕ) → ((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵 · (𝐵↑(𝐾 − 1)))) ≤ ((⌊‘(𝐵 · ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵 · (𝐵↑(𝐾 − 1)))))
53	43, 48, 51, 52	syl3anc 1396	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵 · (𝐵↑(𝐾 − 1)))) ≤ ((⌊‘(𝐵 · ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵 · (𝐵↑(𝐾 − 1)))))
54		expm1t 14122	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝐾) = ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐵))
55		expcl 14111	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ0) → (𝐵↑(𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
56	44, 55	sylan2 604	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑(𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
57		simpl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
58	56, 57	mulcomd 11226	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐵) = (𝐵 · (𝐵↑(𝐾 − 1))))
59	54, 58	eqtrd 2804	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝐾) = (𝐵 · (𝐵↑(𝐾 − 1))))
60	26, 59	sylan 591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝐾) = (𝐵 · (𝐵↑(𝐾 − 1))))
61	60	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵↑𝐾) = (𝐵 · (𝐵↑(𝐾 − 1))))
62	61	oveq2d 7424	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵↑𝐾)) = ((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵 · (𝐵↑(𝐾 − 1)))))
63	61	oveq1d 7423	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵↑𝐾) · 𝐴) = ((𝐵 · (𝐵↑(𝐾 − 1))) · 𝐴))
64	26	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
65	26, 44, 55	syl2an 607	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐵↑(𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
66	65	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵↑(𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
67		recn 11186	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
68	67	adantl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
69	64, 66, 68	mulassd 11228	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 · (𝐵↑(𝐾 − 1))) · 𝐴) = (𝐵 · ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))
70	63, 69	eqtrd 2804	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵↑𝐾) · 𝐴) = (𝐵 · ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))
71	70	fveq2d 6883	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))))
72	71, 61	oveq12d 7426	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod (𝐵↑𝐾)) = ((⌊‘(𝐵 · ((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵 · (𝐵↑(𝐾 − 1)))))
73	53, 62, 72	3brtr4d 5144	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵↑𝐾)) ≤ ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod (𝐵↑𝐾)))
74		reflcl 13825	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴) ∈ ℝ → (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)) ∈ ℝ)
75	48, 74	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)) ∈ ℝ)
76		remulcl 11181	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)) ∈ ℝ) → (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) ∈ ℝ)
77	22, 75, 76	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) ∈ ℝ)
78		modsubdir 13972	. . . . . 6 ⊢ (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) ∈ ℝ ∧ (𝐵↑𝐾) ∈ ℝ+) → (((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵↑𝐾)) ≤ ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod (𝐵↑𝐾)) ↔ (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) − (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))) mod (𝐵↑𝐾)) = (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod (𝐵↑𝐾)) − ((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵↑𝐾)))))
79	12, 77, 19, 78	syl3anc 1396	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵↑𝐾)) ≤ ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod (𝐵↑𝐾)) ↔ (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) − (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))) mod (𝐵↑𝐾)) = (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod (𝐵↑𝐾)) − ((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵↑𝐾)))))
80	73, 79	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) − (𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴)))) mod (𝐵↑𝐾)) = (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod (𝐵↑𝐾)) − ((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵↑𝐾))))
81	4, 42, 80	3eqtr3d 2812	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) = (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod (𝐵↑𝐾)) − ((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵↑𝐾))))
82	81	3impa 1125	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) = (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod (𝐵↑𝐾)) − ((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵↑𝐾))))
83	82	3comr 1141	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod 𝐵) = (((⌊‘((𝐵↑𝐾) · 𝐴)) mod (𝐵↑𝐾)) − ((𝐵 · (⌊‘((𝐵↑(𝐾 − 1)) · 𝐴))) mod (𝐵↑𝐾))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5110  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  ℂcc 11094  ℝcr 11095  0cc0 11096  1c1 11097   · cmul 11101   < clt 11239   ≤ cle 11240   − cmin 11437  ℕcn 12229  ℕ₀cn0 12500  ℤ_≥cuz 12858  ℝ⁺crp 13012  ⌊cfl 13819   mod cmo 13898  ↑cexp 14093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-rp 13013  df-fl 13821  df-mod 13899  df-seq 14034  df-exp 14094

This theorem is referenced by: (None)