MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  monoord2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem monoord2 13948
Description: Ordering relation for a monotonic sequence, decreasing case. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
monoord2.1 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
monoord2.2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
monoord2.3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
Assertion
Ref Expression
monoord2 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘€))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹   π‘˜,𝑀   π‘˜,𝑁   πœ‘,π‘˜

Proof of Theorem monoord2
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 monoord2.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
2 monoord2.2 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
32renegcld 11590 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ -(πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
43fmpttd 7067 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -(πΉβ€˜π‘˜)):(𝑀...𝑁)βŸΆβ„)
54ffvelcdmda 7039 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ ((π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -(πΉβ€˜π‘˜))β€˜π‘›) ∈ ℝ)
6 monoord2.3 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
76ralrimiva 3140 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))(πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
8 fvoveq1 7384 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) = (πΉβ€˜(𝑛 + 1)))
9 fveq2 6846 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘›))
108, 9breq12d 5122 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘˜) ↔ (πΉβ€˜(𝑛 + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘›)))
1110cbvralvw 3224 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))(πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘˜) ↔ βˆ€π‘› ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))(πΉβ€˜(𝑛 + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘›))
127, 11sylib 217 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))(πΉβ€˜(𝑛 + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘›))
1312r19.21bi 3233 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (πΉβ€˜(𝑛 + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘›))
14 fveq2 6846 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = (𝑛 + 1) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜(𝑛 + 1)))
1514eleq1d 2819 . . . . . . . 8 (π‘˜ = (𝑛 + 1) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ ↔ (πΉβ€˜(𝑛 + 1)) ∈ ℝ))
162ralrimiva 3140 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
1716adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
18 fzp1elp1 13503 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...((𝑁 βˆ’ 1) + 1)))
1918adantl 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...((𝑁 βˆ’ 1) + 1)))
20 eluzelz 12781 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
211, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
2221zcnd 12616 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
23 ax-1cn 11117 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ β„‚
24 npcan 11418 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) + 1) = 𝑁)
2522, 23, 24sylancl 587 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) + 1) = 𝑁)
2625oveq2d 7377 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑀...((𝑁 βˆ’ 1) + 1)) = (𝑀...𝑁))
2726adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (𝑀...((𝑁 βˆ’ 1) + 1)) = (𝑀...𝑁))
2819, 27eleqtrd 2836 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
2915, 17, 28rspcdva 3584 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (πΉβ€˜(𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
309eleq1d 2819 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ ↔ (πΉβ€˜π‘›) ∈ ℝ))
31 fzssp1 13493 . . . . . . . . . 10 (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1)) βŠ† (𝑀...((𝑁 βˆ’ 1) + 1))
3231, 26sseqtrid 4000 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1)) βŠ† (𝑀...𝑁))
3332sselda 3948 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁))
3430, 17, 33rspcdva 3584 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
3529, 34lenegd 11742 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ ((πΉβ€˜(𝑛 + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘›) ↔ -(πΉβ€˜π‘›) ≀ -(πΉβ€˜(𝑛 + 1))))
3613, 35mpbid 231 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ -(πΉβ€˜π‘›) ≀ -(πΉβ€˜(𝑛 + 1)))
379negeqd 11403 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑛 β†’ -(πΉβ€˜π‘˜) = -(πΉβ€˜π‘›))
38 eqid 2733 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -(πΉβ€˜π‘˜)) = (π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -(πΉβ€˜π‘˜))
39 negex 11407 . . . . . . 7 -(πΉβ€˜π‘›) ∈ V
4037, 38, 39fvmpt 6952 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) β†’ ((π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -(πΉβ€˜π‘˜))β€˜π‘›) = -(πΉβ€˜π‘›))
4133, 40syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ ((π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -(πΉβ€˜π‘˜))β€˜π‘›) = -(πΉβ€˜π‘›))
4214negeqd 11403 . . . . . . 7 (π‘˜ = (𝑛 + 1) β†’ -(πΉβ€˜π‘˜) = -(πΉβ€˜(𝑛 + 1)))
43 negex 11407 . . . . . . 7 -(πΉβ€˜(𝑛 + 1)) ∈ V
4442, 38, 43fvmpt 6952 . . . . . 6 ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) β†’ ((π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -(πΉβ€˜π‘˜))β€˜(𝑛 + 1)) = -(πΉβ€˜(𝑛 + 1)))
4528, 44syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ ((π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -(πΉβ€˜π‘˜))β€˜(𝑛 + 1)) = -(πΉβ€˜(𝑛 + 1)))
4636, 41, 453brtr4d 5141 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ ((π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -(πΉβ€˜π‘˜))β€˜π‘›) ≀ ((π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -(πΉβ€˜π‘˜))β€˜(𝑛 + 1)))
471, 5, 46monoord 13947 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -(πΉβ€˜π‘˜))β€˜π‘€) ≀ ((π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -(πΉβ€˜π‘˜))β€˜π‘))
48 eluzfz1 13457 . . . . 5 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
491, 48syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
50 fveq2 6846 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑀 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘€))
5150negeqd 11403 . . . . 5 (π‘˜ = 𝑀 β†’ -(πΉβ€˜π‘˜) = -(πΉβ€˜π‘€))
52 negex 11407 . . . . 5 -(πΉβ€˜π‘€) ∈ V
5351, 38, 52fvmpt 6952 . . . 4 (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) β†’ ((π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -(πΉβ€˜π‘˜))β€˜π‘€) = -(πΉβ€˜π‘€))
5449, 53syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -(πΉβ€˜π‘˜))β€˜π‘€) = -(πΉβ€˜π‘€))
55 eluzfz2 13458 . . . . 5 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
561, 55syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
57 fveq2 6846 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑁 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘))
5857negeqd 11403 . . . . 5 (π‘˜ = 𝑁 β†’ -(πΉβ€˜π‘˜) = -(πΉβ€˜π‘))
59 negex 11407 . . . . 5 -(πΉβ€˜π‘) ∈ V
6058, 38, 59fvmpt 6952 . . . 4 (𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) β†’ ((π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -(πΉβ€˜π‘˜))β€˜π‘) = -(πΉβ€˜π‘))
6156, 60syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -(πΉβ€˜π‘˜))β€˜π‘) = -(πΉβ€˜π‘))
6247, 54, 613brtr3d 5140 . 2 (πœ‘ β†’ -(πΉβ€˜π‘€) ≀ -(πΉβ€˜π‘))
6357eleq1d 2819 . . . 4 (π‘˜ = 𝑁 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ ↔ (πΉβ€˜π‘) ∈ ℝ))
6463, 16, 56rspcdva 3584 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ ℝ)
6550eleq1d 2819 . . . 4 (π‘˜ = 𝑀 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ ↔ (πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ))
6665, 16, 49rspcdva 3584 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ)
6764, 66lenegd 11742 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘€) ↔ -(πΉβ€˜π‘€) ≀ -(πΉβ€˜π‘)))
6862, 67mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘€))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„‚cc 11057  β„cr 11058  1c1 11060   + caddc 11062   ≀ cle 11198   βˆ’ cmin 11393  -cneg 11394  β„€cz 12507  β„€β‰₯cuz 12771  ...cfz 13433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434
This theorem is referenced by:  iseraltlem1  15575  climcndslem1  15742  climcndslem2  15743  dvfsumlem3  25415  emcllem7  26374  climinf  43937
  Copyright terms: Public domain W3C validator