Theorem monoord2 13754

Description: Ordering relation for a monotonic sequence, decreasing case. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
monoord2.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
monoord2.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
monoord2.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
monoord2	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ≤ (𝐹‘𝑀))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem monoord2

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		monoord2.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		monoord2.2	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
3	2	renegcld 11402	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → -(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
4	3	fmpttd 6989	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -(𝐹‘𝑘)):(𝑀...𝑁)⟶ℝ)
5	4	ffvelrnda 6961	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -(𝐹‘𝑘))‘𝑛) ∈ ℝ)
6		monoord2.3	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘))
7	6	ralrimiva 3103	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))(𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘))
8		fvoveq1 7298	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
9		fveq2 6774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑛))
10	8, 9	breq12d 5087	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑛)))
11	10	cbvralvw 3383	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))(𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ ∀𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))(𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑛))
12	7, 11	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))(𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑛))
13	12	r19.21bi 3134	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑛))
14		fveq2 6774	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
15	14	eleq1d 2823	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ))
16	2	ralrimiva 3103	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
17	16	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
18		fzp1elp1 13309	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)))
19	18	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)))
20		eluzelz 12592	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
21	1, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
22	21	zcnd 12427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
23		ax-1cn 10929	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
24		npcan 11230	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
25	22, 23, 24	sylancl 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
26	25	oveq2d 7291	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) = (𝑀...𝑁))
27	26	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) = (𝑀...𝑁))
28	19, 27	eleqtrd 2841	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
29	15, 17, 28	rspcdva 3562	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
30	9	eleq1d 2823	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ))
31		fzssp1 13299	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀...(𝑁 − 1)) ⊆ (𝑀...((𝑁 − 1) + 1))
32	31, 26	sseqtrid 3973	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀...(𝑁 − 1)) ⊆ (𝑀...𝑁))
33	32	sselda 3921	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁))
34	30, 17, 33	rspcdva 3562	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ)
35	29, 34	lenegd 11554	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ((𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑛) ↔ -(𝐹‘𝑛) ≤ -(𝐹‘(𝑛 + 1))))
36	13, 35	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → -(𝐹‘𝑛) ≤ -(𝐹‘(𝑛 + 1)))
37	9	negeqd 11215	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → -(𝐹‘𝑘) = -(𝐹‘𝑛))
38		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -(𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -(𝐹‘𝑘))
39		negex 11219	. . . . . . 7 ⊢ -(𝐹‘𝑛) ∈ V
40	37, 38, 39	fvmpt 6875	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -(𝐹‘𝑘))‘𝑛) = -(𝐹‘𝑛))
41	33, 40	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -(𝐹‘𝑘))‘𝑛) = -(𝐹‘𝑛))
42	14	negeqd 11215	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → -(𝐹‘𝑘) = -(𝐹‘(𝑛 + 1)))
43		negex 11219	. . . . . . 7 ⊢ -(𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ V
44	42, 38, 43	fvmpt 6875	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -(𝐹‘𝑘))‘(𝑛 + 1)) = -(𝐹‘(𝑛 + 1)))
45	28, 44	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -(𝐹‘𝑘))‘(𝑛 + 1)) = -(𝐹‘(𝑛 + 1)))
46	36, 41, 45	3brtr4d 5106	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -(𝐹‘𝑘))‘𝑛) ≤ ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -(𝐹‘𝑘))‘(𝑛 + 1)))
47	1, 5, 46	monoord 13753	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -(𝐹‘𝑘))‘𝑀) ≤ ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -(𝐹‘𝑘))‘𝑁))
48		eluzfz1 13263	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
49	1, 48	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
50		fveq2 6774	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑀))
51	50	negeqd 11215	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → -(𝐹‘𝑘) = -(𝐹‘𝑀))
52		negex 11219	. . . . 5 ⊢ -(𝐹‘𝑀) ∈ V
53	51, 38, 52	fvmpt 6875	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -(𝐹‘𝑘))‘𝑀) = -(𝐹‘𝑀))
54	49, 53	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -(𝐹‘𝑘))‘𝑀) = -(𝐹‘𝑀))
55		eluzfz2 13264	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
56	1, 55	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
57		fveq2 6774	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑁))
58	57	negeqd 11215	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → -(𝐹‘𝑘) = -(𝐹‘𝑁))
59		negex 11219	. . . . 5 ⊢ -(𝐹‘𝑁) ∈ V
60	58, 38, 59	fvmpt 6875	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -(𝐹‘𝑘))‘𝑁) = -(𝐹‘𝑁))
61	56, 60	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -(𝐹‘𝑘))‘𝑁) = -(𝐹‘𝑁))
62	47, 54, 61	3brtr3d 5105	. 2 ⊢ (𝜑 → -(𝐹‘𝑀) ≤ -(𝐹‘𝑁))
63	57	eleq1d 2823	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ))
64	63, 16, 56	rspcdva 3562	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ)
65	50	eleq1d 2823	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ))
66	65, 16, 49	rspcdva 3562	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ)
67	64, 66	lenegd 11554	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁) ≤ (𝐹‘𝑀) ↔ -(𝐹‘𝑀) ≤ -(𝐹‘𝑁)))
68	62, 67	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ≤ (𝐹‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  ℝcr 10870  1c1 10872   + caddc 10874   ≤ cle 11010   − cmin 11205  -cneg 11206  ℤcz 12319  ℤ_≥cuz 12582  ...cfz 13239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240

This theorem is referenced by:  iseraltlem1  15393  climcndslem1  15561  climcndslem2  15562  dvfsumlem3  25192  emcllem7  26151  climinf  43147