MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  monoord2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem monoord2 14006
Description: Ordering relation for a monotonic sequence, decreasing case. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
monoord2.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
monoord2.2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
monoord2.3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘))
Assertion
Ref Expression
monoord2 (𝜑 → (𝐹𝑁) ≤ (𝐹𝑀))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem monoord2
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 monoord2.1 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
2 monoord2.2 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
32renegcld 11648 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → -(𝐹𝑘) ∈ ℝ)
43fmpttd 7116 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -(𝐹𝑘)):(𝑀...𝑁)⟶ℝ)
54ffvelcdmda 7086 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -(𝐹𝑘))‘𝑛) ∈ ℝ)
6 monoord2.3 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘))
76ralrimiva 3145 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))(𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘))
8 fvoveq1 7435 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑛 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
9 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑛 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑛))
108, 9breq12d 5161 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝐹𝑛)))
1110cbvralvw 3233 . . . . . . . 8 (∀𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))(𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘) ↔ ∀𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))(𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝐹𝑛))
127, 11sylib 217 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))(𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝐹𝑛))
1312r19.21bi 3247 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝐹𝑛))
14 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝐹𝑘) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
1514eleq1d 2817 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ))
162ralrimiva 3145 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℝ)
1716adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℝ)
18 fzp1elp1 13561 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)))
1918adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)))
20 eluzelz 12839 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
211, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
2221zcnd 12674 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
23 ax-1cn 11174 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
24 npcan 11476 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
2522, 23, 24sylancl 585 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
2625oveq2d 7428 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) = (𝑀...𝑁))
2726adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) = (𝑀...𝑁))
2819, 27eleqtrd 2834 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
2915, 17, 28rspcdva 3613 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
309eleq1d 2817 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝑛) ∈ ℝ))
31 fzssp1 13551 . . . . . . . . . 10 (𝑀...(𝑁 − 1)) ⊆ (𝑀...((𝑁 − 1) + 1))
3231, 26sseqtrid 4034 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀...(𝑁 − 1)) ⊆ (𝑀...𝑁))
3332sselda 3982 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁))
3430, 17, 33rspcdva 3613 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ)
3529, 34lenegd 11800 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ((𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝐹𝑛) ↔ -(𝐹𝑛) ≤ -(𝐹‘(𝑛 + 1))))
3613, 35mpbid 231 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → -(𝐹𝑛) ≤ -(𝐹‘(𝑛 + 1)))
379negeqd 11461 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → -(𝐹𝑘) = -(𝐹𝑛))
38 eqid 2731 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -(𝐹𝑘)) = (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -(𝐹𝑘))
39 negex 11465 . . . . . . 7 -(𝐹𝑛) ∈ V
4037, 38, 39fvmpt 6998 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -(𝐹𝑘))‘𝑛) = -(𝐹𝑛))
4133, 40syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -(𝐹𝑘))‘𝑛) = -(𝐹𝑛))
4214negeqd 11461 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑛 + 1) → -(𝐹𝑘) = -(𝐹‘(𝑛 + 1)))
43 negex 11465 . . . . . . 7 -(𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ V
4442, 38, 43fvmpt 6998 . . . . . 6 ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -(𝐹𝑘))‘(𝑛 + 1)) = -(𝐹‘(𝑛 + 1)))
4528, 44syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -(𝐹𝑘))‘(𝑛 + 1)) = -(𝐹‘(𝑛 + 1)))
4636, 41, 453brtr4d 5180 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -(𝐹𝑘))‘𝑛) ≤ ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -(𝐹𝑘))‘(𝑛 + 1)))
471, 5, 46monoord 14005 . . 3 (𝜑 → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -(𝐹𝑘))‘𝑀) ≤ ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -(𝐹𝑘))‘𝑁))
48 eluzfz1 13515 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
491, 48syl 17 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
50 fveq2 6891 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑀 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑀))
5150negeqd 11461 . . . . 5 (𝑘 = 𝑀 → -(𝐹𝑘) = -(𝐹𝑀))
52 negex 11465 . . . . 5 -(𝐹𝑀) ∈ V
5351, 38, 52fvmpt 6998 . . . 4 (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -(𝐹𝑘))‘𝑀) = -(𝐹𝑀))
5449, 53syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -(𝐹𝑘))‘𝑀) = -(𝐹𝑀))
55 eluzfz2 13516 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
561, 55syl 17 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
57 fveq2 6891 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑁 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑁))
5857negeqd 11461 . . . . 5 (𝑘 = 𝑁 → -(𝐹𝑘) = -(𝐹𝑁))
59 negex 11465 . . . . 5 -(𝐹𝑁) ∈ V
6058, 38, 59fvmpt 6998 . . . 4 (𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -(𝐹𝑘))‘𝑁) = -(𝐹𝑁))
6156, 60syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -(𝐹𝑘))‘𝑁) = -(𝐹𝑁))
6247, 54, 613brtr3d 5179 . 2 (𝜑 → -(𝐹𝑀) ≤ -(𝐹𝑁))
6357eleq1d 2817 . . . 4 (𝑘 = 𝑁 → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝑁) ∈ ℝ))
6463, 16, 56rspcdva 3613 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ ℝ)
6550eleq1d 2817 . . . 4 (𝑘 = 𝑀 → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝑀) ∈ ℝ))
6665, 16, 49rspcdva 3613 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ ℝ)
6764, 66lenegd 11800 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝑁) ≤ (𝐹𝑀) ↔ -(𝐹𝑀) ≤ -(𝐹𝑁)))
6862, 67mpbird 257 1 (𝜑 → (𝐹𝑁) ≤ (𝐹𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3060   class class class wbr 5148  cmpt 5231  cfv 6543  (class class class)co 7412  cc 11114  cr 11115  1c1 11117   + caddc 11119  cle 11256  cmin 11451  -cneg 11452  cz 12565  cuz 12829  ...cfz 13491
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-fz 13492
This theorem is referenced by:  iseraltlem1  15635  climcndslem1  15802  climcndslem2  15803  dvfsumlem3  25882  emcllem7  26846  climinf  44780
  Copyright terms: Public domain W3C validator