Theorem iseraltlem1 15607

Description: Lemma for iseralt 15610. A decreasing sequence with limit zero consists of positive terms. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseralt.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
iseralt.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
iseralt.3	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑍⟶ℝ)
iseralt.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐺‘𝑘))
iseralt.5	⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 0)

Assertion

Ref	Expression
iseraltlem1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) → 0 ≤ (𝐺‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑁   𝑘,𝑍

Proof of Theorem iseraltlem1

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. 2 ⊢ (ℤ≥‘𝑁) = (ℤ≥‘𝑁)
2		eluzelz 12763	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		iseralt.1	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4	2, 3	eleq2s 2846	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → 𝑁 ∈ ℤ)
5	4	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) → 𝑁 ∈ ℤ)
6		iseralt.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 0)
7	6	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) → 𝐺 ⇝ 0)
8		iseralt.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑍⟶ℝ)
9	8	ffvelcdmda 7022	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑁) ∈ ℝ)
10	9	recnd 11162	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑁) ∈ ℂ)
11		1z 12523	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
12		uzssz 12774	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘1) ⊆ ℤ
13		zex 12498	. . . 4 ⊢ ℤ ∈ V
14	12, 13	climconst2 15473	. . 3 ⊢ (((𝐺‘𝑁) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℤ × {(𝐺‘𝑁)}) ⇝ (𝐺‘𝑁))
15	10, 11, 14	sylancl 586	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) → (ℤ × {(𝐺‘𝑁)}) ⇝ (𝐺‘𝑁))
16	8	ad2antrr 726	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝐺:𝑍⟶ℝ)
17	3	uztrn2 12772	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑛 ∈ 𝑍)
18	17	adantll 714	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑛 ∈ 𝑍)
19	16, 18	ffvelcdmd 7023	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝐺‘𝑛) ∈ ℝ)
20		eluzelz 12763	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑛 ∈ ℤ)
21	20	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑛 ∈ ℤ)
22		fvex 6839	. . . . 5 ⊢ (𝐺‘𝑁) ∈ V
23	22	fvconst2 7144	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ((ℤ × {(𝐺‘𝑁)})‘𝑛) = (𝐺‘𝑁))
24	21, 23	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((ℤ × {(𝐺‘𝑁)})‘𝑛) = (𝐺‘𝑁))
25	9	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝐺‘𝑁) ∈ ℝ)
26	24, 25	eqeltrd 2828	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((ℤ × {(𝐺‘𝑁)})‘𝑛) ∈ ℝ)
27		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
28	16	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)) → 𝐺:𝑍⟶ℝ)
29		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ 𝑍)
30		elfzuz 13441	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑁...𝑛) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
31	3	uztrn2 12772	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
32	29, 30, 31	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
33	28, 32	ffvelcdmd 7023	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
34		simpl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍))
35		elfzuz 13441	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑛 − 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
36	31	adantll 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
37		iseralt.4	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐺‘𝑘))
38	37	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐺‘𝑘))
39	36, 38	syldan 591	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐺‘𝑘))
40	34, 35, 39	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...(𝑛 − 1))) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐺‘𝑘))
41	27, 33, 40	monoord2 13958	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝐺‘𝑛) ≤ (𝐺‘𝑁))
42	41, 24	breqtrrd 5123	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝐺‘𝑛) ≤ ((ℤ × {(𝐺‘𝑁)})‘𝑛))
43	1, 5, 7, 15, 19, 26, 42	climle 15565	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) → 0 ≤ (𝐺‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {csn 4579   class class class wbr 5095   × cxp 5621  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  ℝcr 11027  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031   ≤ cle 11169   − cmin 11365  ℤcz 12489  ℤ_≥cuz 12753  ...cfz 13428   ⇝ cli 15409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-pm 8763  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9351  df-inf 9352  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-rp 12912  df-fz 13429  df-fl 13714  df-seq 13927  df-exp 13987  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-clim 15413  df-rlim 15414

This theorem is referenced by:  iseraltlem3  15609  iseralt  15610