MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iseraltlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iseraltlem1 15655
Description: Lemma for iseralt 15658. A decreasing sequence with limit zero consists of positive terms. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iseralt.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
iseralt.2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
iseralt.3 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘βŸΆβ„)
iseralt.4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΊβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΊβ€˜π‘˜))
iseralt.5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ⇝ 0)
Assertion
Ref Expression
iseraltlem1 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) β†’ 0 ≀ (πΊβ€˜π‘))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐺   π‘˜,𝑀   πœ‘,π‘˜   π‘˜,𝑁   π‘˜,𝑍

Proof of Theorem iseraltlem1
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2725 . 2 (β„€β‰₯β€˜π‘) = (β„€β‰₯β€˜π‘)
2 eluzelz 12857 . . . 4 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
3 iseralt.1 . . . 4 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
42, 3eleq2s 2843 . . 3 (𝑁 ∈ 𝑍 β†’ 𝑁 ∈ β„€)
54adantl 480 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
6 iseralt.5 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ⇝ 0)
76adantr 479 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) β†’ 𝐺 ⇝ 0)
8 iseralt.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘βŸΆβ„)
98ffvelcdmda 7087 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) β†’ (πΊβ€˜π‘) ∈ ℝ)
109recnd 11267 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) β†’ (πΊβ€˜π‘) ∈ β„‚)
11 1z 12617 . . 3 1 ∈ β„€
12 uzssz 12868 . . . 4 (β„€β‰₯β€˜1) βŠ† β„€
13 zex 12592 . . . 4 β„€ ∈ V
1412, 13climconst2 15519 . . 3 (((πΊβ€˜π‘) ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„€) β†’ (β„€ Γ— {(πΊβ€˜π‘)}) ⇝ (πΊβ€˜π‘))
1510, 11, 14sylancl 584 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) β†’ (β„€ Γ— {(πΊβ€˜π‘)}) ⇝ (πΊβ€˜π‘))
168ad2antrr 724 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝐺:π‘βŸΆβ„)
173uztrn2 12866 . . . 4 ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝑛 ∈ 𝑍)
1817adantll 712 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝑛 ∈ 𝑍)
1916, 18ffvelcdmd 7088 . 2 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (πΊβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
20 eluzelz 12857 . . . . 5 (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
2120adantl 480 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
22 fvex 6903 . . . . 5 (πΊβ€˜π‘) ∈ V
2322fvconst2 7210 . . . 4 (𝑛 ∈ β„€ β†’ ((β„€ Γ— {(πΊβ€˜π‘)})β€˜π‘›) = (πΊβ€˜π‘))
2421, 23syl 17 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ ((β„€ Γ— {(πΊβ€˜π‘)})β€˜π‘›) = (πΊβ€˜π‘))
259adantr 479 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (πΊβ€˜π‘) ∈ ℝ)
2624, 25eqeltrd 2825 . 2 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ ((β„€ Γ— {(πΊβ€˜π‘)})β€˜π‘›) ∈ ℝ)
27 simpr 483 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘))
2816adantr 479 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)) β†’ 𝐺:π‘βŸΆβ„)
29 simplr 767 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝑁 ∈ 𝑍)
30 elfzuz 13524 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘))
313uztrn2 12866 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
3229, 30, 31syl2an 594 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
3328, 32ffvelcdmd 7088 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
34 simpl 481 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍))
35 elfzuz 13524 . . . . 5 (π‘˜ ∈ (𝑁...(𝑛 βˆ’ 1)) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘))
3631adantll 712 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
37 iseralt.4 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΊβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΊβ€˜π‘˜))
3837adantlr 713 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΊβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΊβ€˜π‘˜))
3936, 38syldan 589 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (πΊβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΊβ€˜π‘˜))
4034, 35, 39syl2an 594 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁...(𝑛 βˆ’ 1))) β†’ (πΊβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΊβ€˜π‘˜))
4127, 33, 40monoord2 14025 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (πΊβ€˜π‘›) ≀ (πΊβ€˜π‘))
4241, 24breqtrrd 5172 . 2 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (πΊβ€˜π‘›) ≀ ((β„€ Γ— {(πΊβ€˜π‘)})β€˜π‘›))
431, 5, 7, 15, 19, 26, 42climle 15611 1 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) β†’ 0 ≀ (πΊβ€˜π‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {csn 4625   class class class wbr 5144   Γ— cxp 5671  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  β„‚cc 11131  β„cr 11132  0cc0 11133  1c1 11134   + caddc 11136   ≀ cle 11274   βˆ’ cmin 11469  β„€cz 12583  β„€β‰₯cuz 12847  ...cfz 13511   ⇝ cli 15455
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-pm 8841  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9460  df-inf 9461  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-rp 13002  df-fz 13512  df-fl 13784  df-seq 13994  df-exp 14054  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-clim 15459  df-rlim 15460
This theorem is referenced by:  iseraltlem3  15657  iseralt  15658
  Copyright terms: Public domain W3C validator