Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iseraltlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iseraltlem1 15099
 Description: Lemma for iseralt 15102. A decreasing sequence with limit zero consists of positive terms. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iseralt.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
iseralt.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
iseralt.3 (𝜑𝐺:𝑍⟶ℝ)
iseralt.4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐺𝑘))
iseralt.5 (𝜑𝐺 ⇝ 0)
Assertion
Ref Expression
iseraltlem1 ((𝜑𝑁𝑍) → 0 ≤ (𝐺𝑁))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑁   𝑘,𝑍

Proof of Theorem iseraltlem1
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2758 . 2 (ℤ𝑁) = (ℤ𝑁)
2 eluzelz 12305 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
3 iseralt.1 . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
42, 3eleq2s 2870 . . 3 (𝑁𝑍𝑁 ∈ ℤ)
54adantl 485 . 2 ((𝜑𝑁𝑍) → 𝑁 ∈ ℤ)
6 iseralt.5 . . 3 (𝜑𝐺 ⇝ 0)
76adantr 484 . 2 ((𝜑𝑁𝑍) → 𝐺 ⇝ 0)
8 iseralt.3 . . . . 5 (𝜑𝐺:𝑍⟶ℝ)
98ffvelrnda 6848 . . . 4 ((𝜑𝑁𝑍) → (𝐺𝑁) ∈ ℝ)
109recnd 10720 . . 3 ((𝜑𝑁𝑍) → (𝐺𝑁) ∈ ℂ)
11 1z 12064 . . 3 1 ∈ ℤ
12 uzssz 12316 . . . 4 (ℤ‘1) ⊆ ℤ
13 zex 12042 . . . 4 ℤ ∈ V
1412, 13climconst2 14966 . . 3 (((𝐺𝑁) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℤ × {(𝐺𝑁)}) ⇝ (𝐺𝑁))
1510, 11, 14sylancl 589 . 2 ((𝜑𝑁𝑍) → (ℤ × {(𝐺𝑁)}) ⇝ (𝐺𝑁))
168ad2antrr 725 . . 3 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝐺:𝑍⟶ℝ)
173uztrn2 12314 . . . 4 ((𝑁𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑛𝑍)
1817adantll 713 . . 3 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑛𝑍)
1916, 18ffvelrnd 6849 . 2 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐺𝑛) ∈ ℝ)
20 eluzelz 12305 . . . . 5 (𝑛 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑛 ∈ ℤ)
2120adantl 485 . . . 4 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑛 ∈ ℤ)
22 fvex 6676 . . . . 5 (𝐺𝑁) ∈ V
2322fvconst2 6963 . . . 4 (𝑛 ∈ ℤ → ((ℤ × {(𝐺𝑁)})‘𝑛) = (𝐺𝑁))
2421, 23syl 17 . . 3 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((ℤ × {(𝐺𝑁)})‘𝑛) = (𝐺𝑁))
259adantr 484 . . 3 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐺𝑁) ∈ ℝ)
2624, 25eqeltrd 2852 . 2 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((ℤ × {(𝐺𝑁)})‘𝑛) ∈ ℝ)
27 simpr 488 . . . 4 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑁))
2816adantr 484 . . . . 5 ((((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)) → 𝐺:𝑍⟶ℝ)
29 simplr 768 . . . . . 6 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁𝑍)
30 elfzuz 12965 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑁...𝑛) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑁))
313uztrn2 12314 . . . . . 6 ((𝑁𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑘𝑍)
3229, 30, 31syl2an 598 . . . . 5 ((((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)) → 𝑘𝑍)
3328, 32ffvelrnd 6849 . . . 4 ((((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
34 simpl 486 . . . . 5 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝜑𝑁𝑍))
35 elfzuz 12965 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑛 − 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑁))
3631adantll 713 . . . . . 6 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑘𝑍)
37 iseralt.4 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐺𝑘))
3837adantlr 714 . . . . . 6 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐺𝑘))
3936, 38syldan 594 . . . . 5 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐺𝑘))
4034, 35, 39syl2an 598 . . . 4 ((((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...(𝑛 − 1))) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐺𝑘))
4127, 33, 40monoord2 13464 . . 3 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐺𝑛) ≤ (𝐺𝑁))
4241, 24breqtrrd 5064 . 2 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐺𝑛) ≤ ((ℤ × {(𝐺𝑁)})‘𝑛))
431, 5, 7, 15, 19, 26, 42climle 15057 1 ((𝜑𝑁𝑍) → 0 ≤ (𝐺𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {csn 4525   class class class wbr 5036   × cxp 5526  ⟶wf 6336  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  ℂcc 10586  ℝcr 10587  0cc0 10588  1c1 10589   + caddc 10591   ≤ cle 10727   − cmin 10921  ℤcz 12033  ℤ≥cuz 12295  ...cfz 12952   ⇝ cli 14902 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-pre-sup 10666 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-er 8305  df-pm 8425  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-sup 8952  df-inf 8953  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-div 11349  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-n0 11948  df-z 12034  df-uz 12296  df-rp 12444  df-fz 12953  df-fl 13224  df-seq 13432  df-exp 13493  df-cj 14519  df-re 14520  df-im 14521  df-sqrt 14655  df-abs 14656  df-clim 14906  df-rlim 14907 This theorem is referenced by:  iseraltlem3  15101  iseralt  15102
 Copyright terms: Public domain W3C validator