Theorem iseraltlem1 15617

Description: Lemma for iseralt 15620. A decreasing sequence with limit zero consists of positive terms. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseralt.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
iseralt.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
iseralt.3	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑍⟶ℝ)
iseralt.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐺‘𝑘))
iseralt.5	⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 0)

Assertion

Ref	Expression
iseraltlem1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) → 0 ≤ (𝐺‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑁   𝑘,𝑍

Proof of Theorem iseraltlem1

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. 2 ⊢ (ℤ≥‘𝑁) = (ℤ≥‘𝑁)
2		eluzelz 12773	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		iseralt.1	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4	2, 3	eleq2s 2855	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → 𝑁 ∈ ℤ)
5	4	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) → 𝑁 ∈ ℤ)
6		iseralt.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 0)
7	6	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) → 𝐺 ⇝ 0)
8		iseralt.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑍⟶ℝ)
9	8	ffvelcdmda 7038	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑁) ∈ ℝ)
10	9	recnd 11172	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑁) ∈ ℂ)
11		1z 12533	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
12		uzssz 12784	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘1) ⊆ ℤ
13		zex 12509	. . . 4 ⊢ ℤ ∈ V
14	12, 13	climconst2 15483	. . 3 ⊢ (((𝐺‘𝑁) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℤ × {(𝐺‘𝑁)}) ⇝ (𝐺‘𝑁))
15	10, 11, 14	sylancl 587	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) → (ℤ × {(𝐺‘𝑁)}) ⇝ (𝐺‘𝑁))
16	8	ad2antrr 727	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝐺:𝑍⟶ℝ)
17	3	uztrn2 12782	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑛 ∈ 𝑍)
18	17	adantll 715	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑛 ∈ 𝑍)
19	16, 18	ffvelcdmd 7039	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝐺‘𝑛) ∈ ℝ)
20		eluzelz 12773	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑛 ∈ ℤ)
21	20	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑛 ∈ ℤ)
22		fvex 6855	. . . . 5 ⊢ (𝐺‘𝑁) ∈ V
23	22	fvconst2 7160	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ((ℤ × {(𝐺‘𝑁)})‘𝑛) = (𝐺‘𝑁))
24	21, 23	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((ℤ × {(𝐺‘𝑁)})‘𝑛) = (𝐺‘𝑁))
25	9	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝐺‘𝑁) ∈ ℝ)
26	24, 25	eqeltrd 2837	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((ℤ × {(𝐺‘𝑁)})‘𝑛) ∈ ℝ)
27		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
28	16	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)) → 𝐺:𝑍⟶ℝ)
29		simplr 769	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ 𝑍)
30		elfzuz 13448	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑁...𝑛) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
31	3	uztrn2 12782	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
32	29, 30, 31	syl2an 597	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
33	28, 32	ffvelcdmd 7039	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
34		simpl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍))
35		elfzuz 13448	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑛 − 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
36	31	adantll 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
37		iseralt.4	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐺‘𝑘))
38	37	adantlr 716	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐺‘𝑘))
39	36, 38	syldan 592	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐺‘𝑘))
40	34, 35, 39	syl2an 597	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...(𝑛 − 1))) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐺‘𝑘))
41	27, 33, 40	monoord2 13968	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝐺‘𝑛) ≤ (𝐺‘𝑁))
42	41, 24	breqtrrd 5128	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝐺‘𝑛) ≤ ((ℤ × {(𝐺‘𝑁)})‘𝑛))
43	1, 5, 7, 15, 19, 26, 42	climle 15575	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) → 0 ≤ (𝐺‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {csn 4582   class class class wbr 5100   × cxp 5630  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   ≤ cle 11179   − cmin 11376  ℤcz 12500  ℤ_≥cuz 12763  ...cfz 13435   ⇝ cli 15419

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-pm 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9357  df-inf 9358  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fz 13436  df-fl 13724  df-seq 13937  df-exp 13997  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-clim 15423  df-rlim 15424

This theorem is referenced by:  iseraltlem3  15619  iseralt  15620