MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iseraltlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iseraltlem1 15646
Description: Lemma for iseralt 15649. A decreasing sequence with limit zero consists of positive terms. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iseralt.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
iseralt.2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
iseralt.3 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘βŸΆβ„)
iseralt.4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΊβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΊβ€˜π‘˜))
iseralt.5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ⇝ 0)
Assertion
Ref Expression
iseraltlem1 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) β†’ 0 ≀ (πΊβ€˜π‘))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐺   π‘˜,𝑀   πœ‘,π‘˜   π‘˜,𝑁   π‘˜,𝑍

Proof of Theorem iseraltlem1
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2727 . 2 (β„€β‰₯β€˜π‘) = (β„€β‰₯β€˜π‘)
2 eluzelz 12848 . . . 4 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
3 iseralt.1 . . . 4 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
42, 3eleq2s 2846 . . 3 (𝑁 ∈ 𝑍 β†’ 𝑁 ∈ β„€)
54adantl 481 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
6 iseralt.5 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ⇝ 0)
76adantr 480 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) β†’ 𝐺 ⇝ 0)
8 iseralt.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘βŸΆβ„)
98ffvelcdmda 7088 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) β†’ (πΊβ€˜π‘) ∈ ℝ)
109recnd 11258 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) β†’ (πΊβ€˜π‘) ∈ β„‚)
11 1z 12608 . . 3 1 ∈ β„€
12 uzssz 12859 . . . 4 (β„€β‰₯β€˜1) βŠ† β„€
13 zex 12583 . . . 4 β„€ ∈ V
1412, 13climconst2 15510 . . 3 (((πΊβ€˜π‘) ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„€) β†’ (β„€ Γ— {(πΊβ€˜π‘)}) ⇝ (πΊβ€˜π‘))
1510, 11, 14sylancl 585 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) β†’ (β„€ Γ— {(πΊβ€˜π‘)}) ⇝ (πΊβ€˜π‘))
168ad2antrr 725 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝐺:π‘βŸΆβ„)
173uztrn2 12857 . . . 4 ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝑛 ∈ 𝑍)
1817adantll 713 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝑛 ∈ 𝑍)
1916, 18ffvelcdmd 7089 . 2 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (πΊβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
20 eluzelz 12848 . . . . 5 (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
2120adantl 481 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
22 fvex 6904 . . . . 5 (πΊβ€˜π‘) ∈ V
2322fvconst2 7210 . . . 4 (𝑛 ∈ β„€ β†’ ((β„€ Γ— {(πΊβ€˜π‘)})β€˜π‘›) = (πΊβ€˜π‘))
2421, 23syl 17 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ ((β„€ Γ— {(πΊβ€˜π‘)})β€˜π‘›) = (πΊβ€˜π‘))
259adantr 480 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (πΊβ€˜π‘) ∈ ℝ)
2624, 25eqeltrd 2828 . 2 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ ((β„€ Γ— {(πΊβ€˜π‘)})β€˜π‘›) ∈ ℝ)
27 simpr 484 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘))
2816adantr 480 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)) β†’ 𝐺:π‘βŸΆβ„)
29 simplr 768 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝑁 ∈ 𝑍)
30 elfzuz 13515 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘))
313uztrn2 12857 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
3229, 30, 31syl2an 595 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
3328, 32ffvelcdmd 7089 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
34 simpl 482 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍))
35 elfzuz 13515 . . . . 5 (π‘˜ ∈ (𝑁...(𝑛 βˆ’ 1)) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘))
3631adantll 713 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
37 iseralt.4 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΊβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΊβ€˜π‘˜))
3837adantlr 714 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΊβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΊβ€˜π‘˜))
3936, 38syldan 590 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (πΊβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΊβ€˜π‘˜))
4034, 35, 39syl2an 595 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁...(𝑛 βˆ’ 1))) β†’ (πΊβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΊβ€˜π‘˜))
4127, 33, 40monoord2 14016 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (πΊβ€˜π‘›) ≀ (πΊβ€˜π‘))
4241, 24breqtrrd 5170 . 2 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (πΊβ€˜π‘›) ≀ ((β„€ Γ— {(πΊβ€˜π‘)})β€˜π‘›))
431, 5, 7, 15, 19, 26, 42climle 15602 1 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) β†’ 0 ≀ (πΊβ€˜π‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {csn 4624   class class class wbr 5142   Γ— cxp 5670  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„‚cc 11122  β„cr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   ≀ cle 11265   βˆ’ cmin 11460  β„€cz 12574  β„€β‰₯cuz 12838  ...cfz 13502   ⇝ cli 15446
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8716  df-pm 8837  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-sup 9451  df-inf 9452  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-rp 12993  df-fz 13503  df-fl 13775  df-seq 13985  df-exp 14045  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-clim 15450  df-rlim 15451
This theorem is referenced by:  iseraltlem3  15648  iseralt  15649
  Copyright terms: Public domain W3C validator