Theorem iseraltlem1 15699

Description: Lemma for iseralt 15702. A decreasing sequence with limit zero consists of positive terms. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseralt.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
iseralt.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
iseralt.3	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑍⟶ℝ)
iseralt.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐺‘𝑘))
iseralt.5	⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 0)

Assertion

Ref	Expression
iseraltlem1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) → 0 ≤ (𝐺‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑁   𝑘,𝑍

Proof of Theorem iseraltlem1

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. 2 ⊢ (ℤ≥‘𝑁) = (ℤ≥‘𝑁)
2		eluzelz 12888	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		iseralt.1	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4	2, 3	eleq2s 2847	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → 𝑁 ∈ ℤ)
5	4	adantl 480	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) → 𝑁 ∈ ℤ)
6		iseralt.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 0)
7	6	adantr 479	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) → 𝐺 ⇝ 0)
8		iseralt.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑍⟶ℝ)
9	8	ffvelcdmda 7100	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑁) ∈ ℝ)
10	9	recnd 11293	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑁) ∈ ℂ)
11		1z 12648	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
12		uzssz 12899	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘1) ⊆ ℤ
13		zex 12623	. . . 4 ⊢ ℤ ∈ V
14	12, 13	climconst2 15563	. . 3 ⊢ (((𝐺‘𝑁) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℤ × {(𝐺‘𝑁)}) ⇝ (𝐺‘𝑁))
15	10, 11, 14	sylancl 584	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) → (ℤ × {(𝐺‘𝑁)}) ⇝ (𝐺‘𝑁))
16	8	ad2antrr 724	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝐺:𝑍⟶ℝ)
17	3	uztrn2 12897	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑛 ∈ 𝑍)
18	17	adantll 712	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑛 ∈ 𝑍)
19	16, 18	ffvelcdmd 7101	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝐺‘𝑛) ∈ ℝ)
20		eluzelz 12888	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑛 ∈ ℤ)
21	20	adantl 480	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑛 ∈ ℤ)
22		fvex 6916	. . . . 5 ⊢ (𝐺‘𝑁) ∈ V
23	22	fvconst2 7223	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ((ℤ × {(𝐺‘𝑁)})‘𝑛) = (𝐺‘𝑁))
24	21, 23	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((ℤ × {(𝐺‘𝑁)})‘𝑛) = (𝐺‘𝑁))
25	9	adantr 479	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝐺‘𝑁) ∈ ℝ)
26	24, 25	eqeltrd 2829	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((ℤ × {(𝐺‘𝑁)})‘𝑛) ∈ ℝ)
27		simpr 483	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
28	16	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)) → 𝐺:𝑍⟶ℝ)
29		simplr 767	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ 𝑍)
30		elfzuz 13555	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑁...𝑛) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
31	3	uztrn2 12897	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
32	29, 30, 31	syl2an 594	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
33	28, 32	ffvelcdmd 7101	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
34		simpl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍))
35		elfzuz 13555	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑛 − 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
36	31	adantll 712	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
37		iseralt.4	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐺‘𝑘))
38	37	adantlr 713	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐺‘𝑘))
39	36, 38	syldan 589	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐺‘𝑘))
40	34, 35, 39	syl2an 594	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...(𝑛 − 1))) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐺‘𝑘))
41	27, 33, 40	monoord2 14058	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝐺‘𝑛) ≤ (𝐺‘𝑁))
42	41, 24	breqtrrd 5182	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝐺‘𝑛) ≤ ((ℤ × {(𝐺‘𝑁)})‘𝑛))
43	1, 5, 7, 15, 19, 26, 42	climle 15655	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) → 0 ≤ (𝐺‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2100  {csn 4634   class class class wbr 5154   × cxp 5682  ⟶wf 6552  ‘cfv 6556  (class class class)co 7427  ℂcc 11157  ℝcr 11158  0cc0 11159  1c1 11160   + caddc 11162   ≤ cle 11300   − cmin 11495  ℤcz 12614  ℤ_≥cuz 12878  ...cfz 13542   ⇝ cli 15499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2102  ax-9 2110  ax-10 2133  ax-11 2150  ax-12 2170  ax-ext 2700  ax-rep 5291  ax-sep 5305  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5435  ax-un 7748  ax-cnex 11215  ax-resscn 11216  ax-1cn 11217  ax-icn 11218  ax-addcl 11219  ax-addrcl 11220  ax-mulcl 11221  ax-mulrcl 11222  ax-mulcom 11223  ax-addass 11224  ax-mulass 11225  ax-distr 11226  ax-i2m1 11227  ax-1ne0 11228  ax-1rid 11229  ax-rnegex 11230  ax-rrecex 11231  ax-cnre 11232  ax-pre-lttri 11233  ax-pre-lttrn 11234  ax-pre-ltadd 11235  ax-pre-mulgt0 11236  ax-pre-sup 11237

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2062  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2707  df-cleq 2721  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2934  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3064  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3429  df-v 3474  df-sbc 3788  df-csb 3904  df-dif 3961  df-un 3963  df-in 3965  df-ss 3975  df-pss 3978  df-nul 4334  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-uni 4917  df-iun 5006  df-br 5155  df-opab 5217  df-mpt 5238  df-tr 5272  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5639  df-we 5641  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6315  df-ord 6381  df-on 6382  df-lim 6383  df-suc 6384  df-iota 6508  df-fun 6558  df-fn 6559  df-f 6560  df-f1 6561  df-fo 6562  df-f1o 6563  df-fv 6564  df-riota 7383  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7882  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8405  df-rdg 8444  df-er 8738  df-pm 8862  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-sup 9486  df-inf 9487  df-pnf 11301  df-mnf 11302  df-xr 11303  df-ltxr 11304  df-le 11305  df-sub 11497  df-neg 11498  df-div 11923  df-nn 12269  df-2 12331  df-3 12332  df-n0 12529  df-z 12615  df-uz 12879  df-rp 13033  df-fz 13543  df-fl 13817  df-seq 14027  df-exp 14087  df-cj 15117  df-re 15118  df-im 15119  df-sqrt 15253  df-abs 15254  df-clim 15503  df-rlim 15504

This theorem is referenced by:  iseraltlem3  15701  iseralt  15702