MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iseraltlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iseraltlem1 15715
Description: Lemma for iseralt 15718. A decreasing sequence with limit zero consists of positive terms. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iseralt.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
iseralt.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
iseralt.3 (𝜑𝐺:𝑍⟶ℝ)
iseralt.4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐺𝑘))
iseralt.5 (𝜑𝐺 ⇝ 0)
Assertion
Ref Expression
iseraltlem1 ((𝜑𝑁𝑍) → 0 ≤ (𝐺𝑁))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑁   𝑘,𝑍

Proof of Theorem iseraltlem1
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2735 . 2 (ℤ𝑁) = (ℤ𝑁)
2 eluzelz 12886 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
3 iseralt.1 . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
42, 3eleq2s 2857 . . 3 (𝑁𝑍𝑁 ∈ ℤ)
54adantl 481 . 2 ((𝜑𝑁𝑍) → 𝑁 ∈ ℤ)
6 iseralt.5 . . 3 (𝜑𝐺 ⇝ 0)
76adantr 480 . 2 ((𝜑𝑁𝑍) → 𝐺 ⇝ 0)
8 iseralt.3 . . . . 5 (𝜑𝐺:𝑍⟶ℝ)
98ffvelcdmda 7104 . . . 4 ((𝜑𝑁𝑍) → (𝐺𝑁) ∈ ℝ)
109recnd 11287 . . 3 ((𝜑𝑁𝑍) → (𝐺𝑁) ∈ ℂ)
11 1z 12645 . . 3 1 ∈ ℤ
12 uzssz 12897 . . . 4 (ℤ‘1) ⊆ ℤ
13 zex 12620 . . . 4 ℤ ∈ V
1412, 13climconst2 15581 . . 3 (((𝐺𝑁) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℤ × {(𝐺𝑁)}) ⇝ (𝐺𝑁))
1510, 11, 14sylancl 586 . 2 ((𝜑𝑁𝑍) → (ℤ × {(𝐺𝑁)}) ⇝ (𝐺𝑁))
168ad2antrr 726 . . 3 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝐺:𝑍⟶ℝ)
173uztrn2 12895 . . . 4 ((𝑁𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑛𝑍)
1817adantll 714 . . 3 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑛𝑍)
1916, 18ffvelcdmd 7105 . 2 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐺𝑛) ∈ ℝ)
20 eluzelz 12886 . . . . 5 (𝑛 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑛 ∈ ℤ)
2120adantl 481 . . . 4 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑛 ∈ ℤ)
22 fvex 6920 . . . . 5 (𝐺𝑁) ∈ V
2322fvconst2 7224 . . . 4 (𝑛 ∈ ℤ → ((ℤ × {(𝐺𝑁)})‘𝑛) = (𝐺𝑁))
2421, 23syl 17 . . 3 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((ℤ × {(𝐺𝑁)})‘𝑛) = (𝐺𝑁))
259adantr 480 . . 3 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐺𝑁) ∈ ℝ)
2624, 25eqeltrd 2839 . 2 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((ℤ × {(𝐺𝑁)})‘𝑛) ∈ ℝ)
27 simpr 484 . . . 4 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑁))
2816adantr 480 . . . . 5 ((((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)) → 𝐺:𝑍⟶ℝ)
29 simplr 769 . . . . . 6 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁𝑍)
30 elfzuz 13557 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑁...𝑛) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑁))
313uztrn2 12895 . . . . . 6 ((𝑁𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑘𝑍)
3229, 30, 31syl2an 596 . . . . 5 ((((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)) → 𝑘𝑍)
3328, 32ffvelcdmd 7105 . . . 4 ((((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
34 simpl 482 . . . . 5 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝜑𝑁𝑍))
35 elfzuz 13557 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑛 − 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑁))
3631adantll 714 . . . . . 6 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑘𝑍)
37 iseralt.4 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐺𝑘))
3837adantlr 715 . . . . . 6 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐺𝑘))
3936, 38syldan 591 . . . . 5 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐺𝑘))
4034, 35, 39syl2an 596 . . . 4 ((((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...(𝑛 − 1))) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐺𝑘))
4127, 33, 40monoord2 14071 . . 3 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐺𝑛) ≤ (𝐺𝑁))
4241, 24breqtrrd 5176 . 2 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐺𝑛) ≤ ((ℤ × {(𝐺𝑁)})‘𝑛))
431, 5, 7, 15, 19, 26, 42climle 15673 1 ((𝜑𝑁𝑍) → 0 ≤ (𝐺𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  {csn 4631   class class class wbr 5148   × cxp 5687  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156  cle 11294  cmin 11490  cz 12611  cuz 12876  ...cfz 13544  cli 15517
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-rlim 15522
This theorem is referenced by:  iseraltlem3  15717  iseralt  15718
  Copyright terms: Public domain W3C validator