MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iseraltlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iseraltlem1 15730
Description: Lemma for iseralt 15733. A decreasing sequence with limit zero consists of positive terms. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iseralt.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
iseralt.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
iseralt.3 (𝜑𝐺:𝑍⟶ℝ)
iseralt.4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐺𝑘))
iseralt.5 (𝜑𝐺 ⇝ 0)
Assertion
Ref Expression
iseraltlem1 ((𝜑𝑁𝑍) → 0 ≤ (𝐺𝑁))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑁   𝑘,𝑍

Proof of Theorem iseraltlem1
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2740 . 2 (ℤ𝑁) = (ℤ𝑁)
2 eluzelz 12913 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
3 iseralt.1 . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
42, 3eleq2s 2862 . . 3 (𝑁𝑍𝑁 ∈ ℤ)
54adantl 481 . 2 ((𝜑𝑁𝑍) → 𝑁 ∈ ℤ)
6 iseralt.5 . . 3 (𝜑𝐺 ⇝ 0)
76adantr 480 . 2 ((𝜑𝑁𝑍) → 𝐺 ⇝ 0)
8 iseralt.3 . . . . 5 (𝜑𝐺:𝑍⟶ℝ)
98ffvelcdmda 7118 . . . 4 ((𝜑𝑁𝑍) → (𝐺𝑁) ∈ ℝ)
109recnd 11318 . . 3 ((𝜑𝑁𝑍) → (𝐺𝑁) ∈ ℂ)
11 1z 12673 . . 3 1 ∈ ℤ
12 uzssz 12924 . . . 4 (ℤ‘1) ⊆ ℤ
13 zex 12648 . . . 4 ℤ ∈ V
1412, 13climconst2 15594 . . 3 (((𝐺𝑁) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℤ × {(𝐺𝑁)}) ⇝ (𝐺𝑁))
1510, 11, 14sylancl 585 . 2 ((𝜑𝑁𝑍) → (ℤ × {(𝐺𝑁)}) ⇝ (𝐺𝑁))
168ad2antrr 725 . . 3 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝐺:𝑍⟶ℝ)
173uztrn2 12922 . . . 4 ((𝑁𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑛𝑍)
1817adantll 713 . . 3 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑛𝑍)
1916, 18ffvelcdmd 7119 . 2 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐺𝑛) ∈ ℝ)
20 eluzelz 12913 . . . . 5 (𝑛 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑛 ∈ ℤ)
2120adantl 481 . . . 4 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑛 ∈ ℤ)
22 fvex 6933 . . . . 5 (𝐺𝑁) ∈ V
2322fvconst2 7241 . . . 4 (𝑛 ∈ ℤ → ((ℤ × {(𝐺𝑁)})‘𝑛) = (𝐺𝑁))
2421, 23syl 17 . . 3 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((ℤ × {(𝐺𝑁)})‘𝑛) = (𝐺𝑁))
259adantr 480 . . 3 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐺𝑁) ∈ ℝ)
2624, 25eqeltrd 2844 . 2 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((ℤ × {(𝐺𝑁)})‘𝑛) ∈ ℝ)
27 simpr 484 . . . 4 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑁))
2816adantr 480 . . . . 5 ((((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)) → 𝐺:𝑍⟶ℝ)
29 simplr 768 . . . . . 6 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁𝑍)
30 elfzuz 13580 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑁...𝑛) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑁))
313uztrn2 12922 . . . . . 6 ((𝑁𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑘𝑍)
3229, 30, 31syl2an 595 . . . . 5 ((((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)) → 𝑘𝑍)
3328, 32ffvelcdmd 7119 . . . 4 ((((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
34 simpl 482 . . . . 5 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝜑𝑁𝑍))
35 elfzuz 13580 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑛 − 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑁))
3631adantll 713 . . . . . 6 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑘𝑍)
37 iseralt.4 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐺𝑘))
3837adantlr 714 . . . . . 6 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐺𝑘))
3936, 38syldan 590 . . . . 5 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐺𝑘))
4034, 35, 39syl2an 595 . . . 4 ((((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...(𝑛 − 1))) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐺𝑘))
4127, 33, 40monoord2 14084 . . 3 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐺𝑛) ≤ (𝐺𝑁))
4241, 24breqtrrd 5194 . 2 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐺𝑛) ≤ ((ℤ × {(𝐺𝑁)})‘𝑛))
431, 5, 7, 15, 19, 26, 42climle 15686 1 ((𝜑𝑁𝑍) → 0 ≤ (𝐺𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2108  {csn 4648   class class class wbr 5166   × cxp 5698  wf 6569  cfv 6573  (class class class)co 7448  cc 11182  cr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187  cle 11325  cmin 11520  cz 12639  cuz 12903  ...cfz 13567  cli 15530
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fz 13568  df-fl 13843  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-clim 15534  df-rlim 15535
This theorem is referenced by:  iseraltlem3  15732  iseralt  15733
  Copyright terms: Public domain W3C validator