Theorem iseraltlem1 15041

Description: Lemma for iseralt 15044. A decreasing sequence with limit zero consists of positive terms. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseralt.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
iseralt.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
iseralt.3	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑍⟶ℝ)
iseralt.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐺‘𝑘))
iseralt.5	⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 0)

Assertion

Ref	Expression
iseraltlem1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) → 0 ≤ (𝐺‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑁   𝑘,𝑍

Proof of Theorem iseraltlem1

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2824	. 2 ⊢ (ℤ≥‘𝑁) = (ℤ≥‘𝑁)
2		eluzelz 12256	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		iseralt.1	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4	2, 3	eleq2s 2934	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → 𝑁 ∈ ℤ)
5	4	adantl 484	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) → 𝑁 ∈ ℤ)
6		iseralt.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 0)
7	6	adantr 483	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) → 𝐺 ⇝ 0)
8		iseralt.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑍⟶ℝ)
9	8	ffvelrnda 6854	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑁) ∈ ℝ)
10	9	recnd 10672	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑁) ∈ ℂ)
11		1z 12015	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
12		uzssz 12267	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘1) ⊆ ℤ
13		zex 11993	. . . 4 ⊢ ℤ ∈ V
14	12, 13	climconst2 14908	. . 3 ⊢ (((𝐺‘𝑁) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℤ × {(𝐺‘𝑁)}) ⇝ (𝐺‘𝑁))
15	10, 11, 14	sylancl 588	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) → (ℤ × {(𝐺‘𝑁)}) ⇝ (𝐺‘𝑁))
16	8	ad2antrr 724	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝐺:𝑍⟶ℝ)
17	3	uztrn2 12265	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑛 ∈ 𝑍)
18	17	adantll 712	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑛 ∈ 𝑍)
19	16, 18	ffvelrnd 6855	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝐺‘𝑛) ∈ ℝ)
20		eluzelz 12256	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑛 ∈ ℤ)
21	20	adantl 484	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑛 ∈ ℤ)
22		fvex 6686	. . . . 5 ⊢ (𝐺‘𝑁) ∈ V
23	22	fvconst2 6969	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ((ℤ × {(𝐺‘𝑁)})‘𝑛) = (𝐺‘𝑁))
24	21, 23	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((ℤ × {(𝐺‘𝑁)})‘𝑛) = (𝐺‘𝑁))
25	9	adantr 483	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝐺‘𝑁) ∈ ℝ)
26	24, 25	eqeltrd 2916	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((ℤ × {(𝐺‘𝑁)})‘𝑛) ∈ ℝ)
27		simpr 487	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
28	16	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)) → 𝐺:𝑍⟶ℝ)
29		simplr 767	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ 𝑍)
30		elfzuz 12907	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑁...𝑛) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
31	3	uztrn2 12265	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
32	29, 30, 31	syl2an 597	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
33	28, 32	ffvelrnd 6855	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
34		simpl 485	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍))
35		elfzuz 12907	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑛 − 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
36	31	adantll 712	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
37		iseralt.4	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐺‘𝑘))
38	37	adantlr 713	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐺‘𝑘))
39	36, 38	syldan 593	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐺‘𝑘))
40	34, 35, 39	syl2an 597	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...(𝑛 − 1))) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐺‘𝑘))
41	27, 33, 40	monoord2 13404	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝐺‘𝑛) ≤ (𝐺‘𝑁))
42	41, 24	breqtrrd 5097	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝐺‘𝑛) ≤ ((ℤ × {(𝐺‘𝑁)})‘𝑛))
43	1, 5, 7, 15, 19, 26, 42	climle 14999	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) → 0 ≤ (𝐺‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  {csn 4570   class class class wbr 5069   × cxp 5556  ⟶wf 6354  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159  ℂcc 10538  ℝcr 10539  0cc0 10540  1c1 10541   + caddc 10543   ≤ cle 10679   − cmin 10873  ℤcz 11984  ℤ_≥cuz 12246  ...cfz 12895   ⇝ cli 14844

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-pre-sup 10618

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-pm 8412  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-sup 8909  df-inf 8910  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-fz 12896  df-fl 13165  df-seq 13373  df-exp 13433  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463  df-sqrt 14597  df-abs 14598  df-clim 14848  df-rlim 14849

This theorem is referenced by:  iseraltlem3  15043  iseralt  15044