MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iseraltlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iseraltlem1 15572
Description: Lemma for iseralt 15575. A decreasing sequence with limit zero consists of positive terms. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iseralt.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
iseralt.2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
iseralt.3 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘βŸΆβ„)
iseralt.4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΊβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΊβ€˜π‘˜))
iseralt.5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ⇝ 0)
Assertion
Ref Expression
iseraltlem1 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) β†’ 0 ≀ (πΊβ€˜π‘))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐺   π‘˜,𝑀   πœ‘,π‘˜   π‘˜,𝑁   π‘˜,𝑍

Proof of Theorem iseraltlem1
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . 2 (β„€β‰₯β€˜π‘) = (β„€β‰₯β€˜π‘)
2 eluzelz 12778 . . . 4 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
3 iseralt.1 . . . 4 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
42, 3eleq2s 2852 . . 3 (𝑁 ∈ 𝑍 β†’ 𝑁 ∈ β„€)
54adantl 483 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
6 iseralt.5 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ⇝ 0)
76adantr 482 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) β†’ 𝐺 ⇝ 0)
8 iseralt.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘βŸΆβ„)
98ffvelcdmda 7036 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) β†’ (πΊβ€˜π‘) ∈ ℝ)
109recnd 11188 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) β†’ (πΊβ€˜π‘) ∈ β„‚)
11 1z 12538 . . 3 1 ∈ β„€
12 uzssz 12789 . . . 4 (β„€β‰₯β€˜1) βŠ† β„€
13 zex 12513 . . . 4 β„€ ∈ V
1412, 13climconst2 15436 . . 3 (((πΊβ€˜π‘) ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„€) β†’ (β„€ Γ— {(πΊβ€˜π‘)}) ⇝ (πΊβ€˜π‘))
1510, 11, 14sylancl 587 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) β†’ (β„€ Γ— {(πΊβ€˜π‘)}) ⇝ (πΊβ€˜π‘))
168ad2antrr 725 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝐺:π‘βŸΆβ„)
173uztrn2 12787 . . . 4 ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝑛 ∈ 𝑍)
1817adantll 713 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝑛 ∈ 𝑍)
1916, 18ffvelcdmd 7037 . 2 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (πΊβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
20 eluzelz 12778 . . . . 5 (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
2120adantl 483 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
22 fvex 6856 . . . . 5 (πΊβ€˜π‘) ∈ V
2322fvconst2 7154 . . . 4 (𝑛 ∈ β„€ β†’ ((β„€ Γ— {(πΊβ€˜π‘)})β€˜π‘›) = (πΊβ€˜π‘))
2421, 23syl 17 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ ((β„€ Γ— {(πΊβ€˜π‘)})β€˜π‘›) = (πΊβ€˜π‘))
259adantr 482 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (πΊβ€˜π‘) ∈ ℝ)
2624, 25eqeltrd 2834 . 2 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ ((β„€ Γ— {(πΊβ€˜π‘)})β€˜π‘›) ∈ ℝ)
27 simpr 486 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘))
2816adantr 482 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)) β†’ 𝐺:π‘βŸΆβ„)
29 simplr 768 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝑁 ∈ 𝑍)
30 elfzuz 13443 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘))
313uztrn2 12787 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
3229, 30, 31syl2an 597 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
3328, 32ffvelcdmd 7037 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁...𝑛)) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
34 simpl 484 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍))
35 elfzuz 13443 . . . . 5 (π‘˜ ∈ (𝑁...(𝑛 βˆ’ 1)) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘))
3631adantll 713 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
37 iseralt.4 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΊβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΊβ€˜π‘˜))
3837adantlr 714 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΊβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΊβ€˜π‘˜))
3936, 38syldan 592 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (πΊβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΊβ€˜π‘˜))
4034, 35, 39syl2an 597 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁...(𝑛 βˆ’ 1))) β†’ (πΊβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΊβ€˜π‘˜))
4127, 33, 40monoord2 13945 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (πΊβ€˜π‘›) ≀ (πΊβ€˜π‘))
4241, 24breqtrrd 5134 . 2 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (πΊβ€˜π‘›) ≀ ((β„€ Γ— {(πΊβ€˜π‘)})β€˜π‘›))
431, 5, 7, 15, 19, 26, 42climle 15528 1 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) β†’ 0 ≀ (πΊβ€˜π‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {csn 4587   class class class wbr 5106   Γ— cxp 5632  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„‚cc 11054  β„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   ≀ cle 11195   βˆ’ cmin 11390  β„€cz 12504  β„€β‰₯cuz 12768  ...cfz 13430   ⇝ cli 15372
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-pm 8771  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-fl 13703  df-seq 13913  df-exp 13974  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-rlim 15377
This theorem is referenced by:  iseraltlem3  15574  iseralt  15575
  Copyright terms: Public domain W3C validator