MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iseraltlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iseraltlem1 15719
Description: Lemma for iseralt 15722. A decreasing sequence with limit zero consists of positive terms. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iseralt.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
iseralt.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
iseralt.3 (𝜑𝐺:𝑍⟶ℝ)
iseralt.4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐺𝑘))
iseralt.5 (𝜑𝐺 ⇝ 0)
Assertion
Ref Expression
iseraltlem1 ((𝜑𝑁𝑍) → 0 ≤ (𝐺𝑁))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑁   𝑘,𝑍

Proof of Theorem iseraltlem1
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2736 . 2 (ℤ𝑁) = (ℤ𝑁)
2 eluzelz 12889 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
3 iseralt.1 . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
42, 3eleq2s 2858 . . 3 (𝑁𝑍𝑁 ∈ ℤ)
54adantl 481 . 2 ((𝜑𝑁𝑍) → 𝑁 ∈ ℤ)
6 iseralt.5 . . 3 (𝜑𝐺 ⇝ 0)
76adantr 480 . 2 ((𝜑𝑁𝑍) → 𝐺 ⇝ 0)
8 iseralt.3 . . . . 5 (𝜑𝐺:𝑍⟶ℝ)
98ffvelcdmda 7103 . . . 4 ((𝜑𝑁𝑍) → (𝐺𝑁) ∈ ℝ)
109recnd 11290 . . 3 ((𝜑𝑁𝑍) → (𝐺𝑁) ∈ ℂ)
11 1z 12649 . . 3 1 ∈ ℤ
12 uzssz 12900 . . . 4 (ℤ‘1) ⊆ ℤ
13 zex 12624 . . . 4 ℤ ∈ V
1412, 13climconst2 15585 . . 3 (((𝐺𝑁) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℤ × {(𝐺𝑁)}) ⇝ (𝐺𝑁))
1510, 11, 14sylancl 586 . 2 ((𝜑𝑁𝑍) → (ℤ × {(𝐺𝑁)}) ⇝ (𝐺𝑁))
168ad2antrr 726 . . 3 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝐺:𝑍⟶ℝ)
173uztrn2 12898 . . . 4 ((𝑁𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑛𝑍)
1817adantll 714 . . 3 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑛𝑍)
1916, 18ffvelcdmd 7104 . 2 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐺𝑛) ∈ ℝ)
20 eluzelz 12889 . . . . 5 (𝑛 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑛 ∈ ℤ)
2120adantl 481 . . . 4 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑛 ∈ ℤ)
22 fvex 6918 . . . . 5 (𝐺𝑁) ∈ V
2322fvconst2 7225 . . . 4 (𝑛 ∈ ℤ → ((ℤ × {(𝐺𝑁)})‘𝑛) = (𝐺𝑁))
2421, 23syl 17 . . 3 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((ℤ × {(𝐺𝑁)})‘𝑛) = (𝐺𝑁))
259adantr 480 . . 3 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐺𝑁) ∈ ℝ)
2624, 25eqeltrd 2840 . 2 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((ℤ × {(𝐺𝑁)})‘𝑛) ∈ ℝ)
27 simpr 484 . . . 4 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑁))
2816adantr 480 . . . . 5 ((((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)) → 𝐺:𝑍⟶ℝ)
29 simplr 768 . . . . . 6 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁𝑍)
30 elfzuz 13561 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑁...𝑛) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑁))
313uztrn2 12898 . . . . . 6 ((𝑁𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑘𝑍)
3229, 30, 31syl2an 596 . . . . 5 ((((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)) → 𝑘𝑍)
3328, 32ffvelcdmd 7104 . . . 4 ((((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
34 simpl 482 . . . . 5 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝜑𝑁𝑍))
35 elfzuz 13561 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑛 − 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑁))
3631adantll 714 . . . . . 6 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑘𝑍)
37 iseralt.4 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐺𝑘))
3837adantlr 715 . . . . . 6 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐺𝑘))
3936, 38syldan 591 . . . . 5 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐺𝑘))
4034, 35, 39syl2an 596 . . . 4 ((((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...(𝑛 − 1))) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐺𝑘))
4127, 33, 40monoord2 14075 . . 3 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐺𝑛) ≤ (𝐺𝑁))
4241, 24breqtrrd 5170 . 2 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐺𝑛) ≤ ((ℤ × {(𝐺𝑁)})‘𝑛))
431, 5, 7, 15, 19, 26, 42climle 15677 1 ((𝜑𝑁𝑍) → 0 ≤ (𝐺𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  {csn 4625   class class class wbr 5142   × cxp 5682  wf 6556  cfv 6560  (class class class)co 7432  cc 11154  cr 11155  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159  cle 11297  cmin 11493  cz 12615  cuz 12879  ...cfz 13548  cli 15521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-pm 8870  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-sup 9483  df-inf 9484  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-fz 13549  df-fl 13833  df-seq 14044  df-exp 14104  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-clim 15525  df-rlim 15526
This theorem is referenced by:  iseraltlem3  15721  iseralt  15722
  Copyright terms: Public domain W3C validator