Theorem cossub 16127

Description: Cosine of difference. (Contributed by Paul Chapman, 12-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
cossub	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (cos‘(𝐴 − 𝐵)) = (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))))

Proof of Theorem cossub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negcl 11384	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → -𝐵 ∈ ℂ)
2		cosadd 16123	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ∈ ℂ) → (cos‘(𝐴 + -𝐵)) = (((cos‘𝐴) · (cos‘-𝐵)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘-𝐵))))
3	1, 2	sylan2 599	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (cos‘(𝐴 + -𝐵)) = (((cos‘𝐴) · (cos‘-𝐵)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘-𝐵))))
4		negsub 11433	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
5	4	fveq2d 6831	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (cos‘(𝐴 + -𝐵)) = (cos‘(𝐴 − 𝐵)))
6		cosneg 16105	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (cos‘-𝐵) = (cos‘𝐵))
7	6	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (cos‘-𝐵) = (cos‘𝐵))
8	7	oveq2d 7372	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) · (cos‘-𝐵)) = ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)))
9		sinneg 16104	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (sin‘-𝐵) = -(sin‘𝐵))
10	9	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘-𝐵) = -(sin‘𝐵))
11	10	oveq2d 7372	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((sin‘𝐴) · (sin‘-𝐵)) = ((sin‘𝐴) · -(sin‘𝐵)))
12		sincl 16084	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
13		sincl 16084	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (sin‘𝐵) ∈ ℂ)
14		mulneg2 11578	. . . . . 6 ⊢ (((sin‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐵) ∈ ℂ) → ((sin‘𝐴) · -(sin‘𝐵)) = -((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)))
15	12, 13, 14	syl2an 602	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((sin‘𝐴) · -(sin‘𝐵)) = -((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)))
16	11, 15	eqtrd 2774	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((sin‘𝐴) · (sin‘-𝐵)) = -((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)))
17	8, 16	oveq12d 7374	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((cos‘𝐴) · (cos‘-𝐵)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘-𝐵))) = (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − -((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
18		coscl 16085	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
19		coscl 16085	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (cos‘𝐵) ∈ ℂ)
20		mulcl 11113	. . . . 5 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐵) ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) ∈ ℂ)
21	18, 19, 20	syl2an 602	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) ∈ ℂ)
22		mulcl 11113	. . . . 5 ⊢ (((sin‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐵) ∈ ℂ) → ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) ∈ ℂ)
23	12, 13, 22	syl2an 602	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵)) ∈ ℂ)
24	21, 23	subnegd 11503	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − -((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))) = (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
25	17, 24	eqtrd 2774	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((cos‘𝐴) · (cos‘-𝐵)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘-𝐵))) = (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
26	3, 5, 25	3eqtr3d 2782	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (cos‘(𝐴 − 𝐵)) = (((cos‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ℂcc 11027   + caddc 11032   · cmul 11034   − cmin 11368  -cneg 11369  sincsin 16019  cosccos 16020

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-ico 13295  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-seq 13955  df-exp 14015  df-fac 14227  df-bc 14256  df-hash 14284  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15424  df-clim 15441  df-rlim 15442  df-sum 15640  df-ef 16023  df-sin 16025  df-cos 16026

This theorem is referenced by:  sinmul  16130  cosmul  16131  addcos  16132  subcos  16133  cosmpi  26470  coshalfpim  26477  fourierdlem83  46632