Theorem asinlem2 26837

Description: The argument to the logarithm in df-asin 26833 has the property that replacing 𝐴 with -𝐴 in the expression gives the reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
asinlem2	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) · ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) = 1)

Proof of Theorem asinlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 11087	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
2		mulcl 11112	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
3	1, 2	mpan 690	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
4		ax-1cn 11086	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
5		sqcl 14043	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
6		subcl 11381	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → (1 − (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
7	4, 5, 6	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 − (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
8	7	sqrtcld 15365	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(1 − (𝐴↑2))) ∈ ℂ)
9	3, 8	addcomd 11337	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) = ((√‘(1 − (𝐴↑2))) + (i · 𝐴)))
10		mulneg2 11576	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · -𝐴) = -(i · 𝐴))
11	1, 10	mpan 690	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · -𝐴) = -(i · 𝐴))
12		sqneg 14040	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴↑2) = (𝐴↑2))
13	12	oveq2d 7374	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 − (-𝐴↑2)) = (1 − (𝐴↑2)))
14	13	fveq2d 6838	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(1 − (-𝐴↑2))) = (√‘(1 − (𝐴↑2))))
15	11, 14	oveq12d 7376	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))) = (-(i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
16	3	negcld 11481	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(i · 𝐴) ∈ ℂ)
17	16, 8	addcomd 11337	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-(i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) = ((√‘(1 − (𝐴↑2))) + -(i · 𝐴)))
18	8, 3	negsubd 11500	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(1 − (𝐴↑2))) + -(i · 𝐴)) = ((√‘(1 − (𝐴↑2))) − (i · 𝐴)))
19	15, 17, 18	3eqtrd 2775	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))) = ((√‘(1 − (𝐴↑2))) − (i · 𝐴)))
20	9, 19	oveq12d 7376	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) · ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) = (((√‘(1 − (𝐴↑2))) + (i · 𝐴)) · ((√‘(1 − (𝐴↑2))) − (i · 𝐴))))
21	7	sqsqrtd 15367	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(1 − (𝐴↑2)))↑2) = (1 − (𝐴↑2)))
22		sqmul 14044	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((i · 𝐴)↑2) = ((i↑2) · (𝐴↑2)))
23	1, 22	mpan 690	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴)↑2) = ((i↑2) · (𝐴↑2)))
24		i2 14127	. . . . . . 7 ⊢ (i↑2) = -1
25	24	oveq1i 7368	. . . . . 6 ⊢ ((i↑2) · (𝐴↑2)) = (-1 · (𝐴↑2))
26	5	mulm1d 11591	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · (𝐴↑2)) = -(𝐴↑2))
27	25, 26	eqtrid 2783	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i↑2) · (𝐴↑2)) = -(𝐴↑2))
28	23, 27	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴)↑2) = -(𝐴↑2))
29	21, 28	oveq12d 7376	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((√‘(1 − (𝐴↑2)))↑2) − ((i · 𝐴)↑2)) = ((1 − (𝐴↑2)) − -(𝐴↑2)))
30		subsq 14135	. . . 4 ⊢ (((√‘(1 − (𝐴↑2))) ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (((√‘(1 − (𝐴↑2)))↑2) − ((i · 𝐴)↑2)) = (((√‘(1 − (𝐴↑2))) + (i · 𝐴)) · ((√‘(1 − (𝐴↑2))) − (i · 𝐴))))
31	8, 3, 30	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((√‘(1 − (𝐴↑2)))↑2) − ((i · 𝐴)↑2)) = (((√‘(1 − (𝐴↑2))) + (i · 𝐴)) · ((√‘(1 − (𝐴↑2))) − (i · 𝐴))))
32	7, 5	subnegd 11501	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 − (𝐴↑2)) − -(𝐴↑2)) = ((1 − (𝐴↑2)) + (𝐴↑2)))
33	29, 31, 32	3eqtr3d 2779	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((√‘(1 − (𝐴↑2))) + (i · 𝐴)) · ((√‘(1 − (𝐴↑2))) − (i · 𝐴))) = ((1 − (𝐴↑2)) + (𝐴↑2)))
34		npcan 11391	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → ((1 − (𝐴↑2)) + (𝐴↑2)) = 1)
35	4, 5, 34	sylancr 587	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 − (𝐴↑2)) + (𝐴↑2)) = 1)
36	20, 33, 35	3eqtrd 2775	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) · ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11026  1c1 11029  ici 11030   + caddc 11031   · cmul 11033   − cmin 11366  -cneg 11367  2c2 12202  ↑cexp 13986  √csqrt 15158

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-sup 9347  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12754  df-rp 12908  df-seq 13927  df-exp 13987  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161

This theorem is referenced by:  asinlem3  26839  asinneg  26854