MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  asinlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem asinlem2 26235
Description: The argument to the logarithm in df-asin 26231 has the property that replacing ๐ด with -๐ด in the expression gives the reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
asinlem2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (((i ยท ๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))) ยท ((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2))))) = 1)

Proof of Theorem asinlem2
StepHypRef Expression
1 ax-icn 11117 . . . . 5 i โˆˆ โ„‚
2 mulcl 11142 . . . . 5 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
31, 2mpan 689 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
4 ax-1cn 11116 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„‚
5 sqcl 14030 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
6 subcl 11407 . . . . . 6 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
74, 5, 6sylancr 588 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
87sqrtcld 15329 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))) โˆˆ โ„‚)
93, 8addcomd 11364 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท ๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))) = ((โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))) + (i ยท ๐ด)))
10 mulneg2 11599 . . . . . 6 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท -๐ด) = -(i ยท ๐ด))
111, 10mpan 689 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท -๐ด) = -(i ยท ๐ด))
12 sqneg 14028 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (-๐ดโ†‘2) = (๐ดโ†‘2))
1312oveq2d 7378 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)) = (1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))
1413fveq2d 6851 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2))) = (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))))
1511, 14oveq12d 7380 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))) = (-(i ยท ๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))))
163negcld 11506 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ -(i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
1716, 8addcomd 11364 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (-(i ยท ๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))) = ((โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))) + -(i ยท ๐ด)))
188, 3negsubd 11525 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))) + -(i ยท ๐ด)) = ((โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))) โˆ’ (i ยท ๐ด)))
1915, 17, 183eqtrd 2781 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))) = ((โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))) โˆ’ (i ยท ๐ด)))
209, 19oveq12d 7380 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (((i ยท ๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))) ยท ((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2))))) = (((โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))) + (i ยท ๐ด)) ยท ((โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))) โˆ’ (i ยท ๐ด))))
217sqsqrtd 15331 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))โ†‘2) = (1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))
22 sqmul 14031 . . . . . 6 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ((i ยท ๐ด)โ†‘2) = ((iโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)))
231, 22mpan 689 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท ๐ด)โ†‘2) = ((iโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)))
24 i2 14113 . . . . . . 7 (iโ†‘2) = -1
2524oveq1i 7372 . . . . . 6 ((iโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) = (-1 ยท (๐ดโ†‘2))
265mulm1d 11614 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (-1 ยท (๐ดโ†‘2)) = -(๐ดโ†‘2))
2725, 26eqtrid 2789 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((iโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) = -(๐ดโ†‘2))
2823, 27eqtrd 2777 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท ๐ด)โ†‘2) = -(๐ดโ†‘2))
2921, 28oveq12d 7380 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (((โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))โ†‘2) โˆ’ ((i ยท ๐ด)โ†‘2)) = ((1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)) โˆ’ -(๐ดโ†‘2)))
30 subsq 14121 . . . 4 (((โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))) โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))โ†‘2) โˆ’ ((i ยท ๐ด)โ†‘2)) = (((โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))) + (i ยท ๐ด)) ยท ((โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))) โˆ’ (i ยท ๐ด))))
318, 3, 30syl2anc 585 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (((โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))โ†‘2) โˆ’ ((i ยท ๐ด)โ†‘2)) = (((โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))) + (i ยท ๐ด)) ยท ((โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))) โˆ’ (i ยท ๐ด))))
327, 5subnegd 11526 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)) โˆ’ -(๐ดโ†‘2)) = ((1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)) + (๐ดโ†‘2)))
3329, 31, 323eqtr3d 2785 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (((โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))) + (i ยท ๐ด)) ยท ((โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))) โˆ’ (i ยท ๐ด))) = ((1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)) + (๐ดโ†‘2)))
34 npcan 11417 . . 3 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)) + (๐ดโ†‘2)) = 1)
354, 5, 34sylancr 588 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)) + (๐ดโ†‘2)) = 1)
3620, 33, 353eqtrd 2781 1 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (((i ยท ๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))) ยท ((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2))))) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  1c1 11059  ici 11060   + caddc 11061   ยท cmul 11063   โˆ’ cmin 11392  -cneg 11393  2c2 12215  โ†‘cexp 13974  โˆšcsqrt 15125
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9385  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128
This theorem is referenced by:  asinlem3  26237  asinneg  26252
  Copyright terms: Public domain W3C validator