MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  asinlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem asinlem2 26219
Description: The argument to the logarithm in df-asin 26215 has the property that replacing 𝐴 with -𝐴 in the expression gives the reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
asinlem2 (𝐴 ∈ ℂ → (((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) · ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) = 1)

Proof of Theorem asinlem2
StepHypRef Expression
1 ax-icn 11110 . . . . 5 i ∈ ℂ
2 mulcl 11135 . . . . 5 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
31, 2mpan 688 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
4 ax-1cn 11109 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
5 sqcl 14023 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
6 subcl 11400 . . . . . 6 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → (1 − (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
74, 5, 6sylancr 587 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (1 − (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
87sqrtcld 15322 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(1 − (𝐴↑2))) ∈ ℂ)
93, 8addcomd 11357 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) = ((√‘(1 − (𝐴↑2))) + (i · 𝐴)))
10 mulneg2 11592 . . . . . 6 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · -𝐴) = -(i · 𝐴))
111, 10mpan 688 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (i · -𝐴) = -(i · 𝐴))
12 sqneg 14021 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴↑2) = (𝐴↑2))
1312oveq2d 7373 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (1 − (-𝐴↑2)) = (1 − (𝐴↑2)))
1413fveq2d 6846 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(1 − (-𝐴↑2))) = (√‘(1 − (𝐴↑2))))
1511, 14oveq12d 7375 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))) = (-(i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
163negcld 11499 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → -(i · 𝐴) ∈ ℂ)
1716, 8addcomd 11357 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (-(i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) = ((√‘(1 − (𝐴↑2))) + -(i · 𝐴)))
188, 3negsubd 11518 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(1 − (𝐴↑2))) + -(i · 𝐴)) = ((√‘(1 − (𝐴↑2))) − (i · 𝐴)))
1915, 17, 183eqtrd 2780 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))) = ((√‘(1 − (𝐴↑2))) − (i · 𝐴)))
209, 19oveq12d 7375 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) · ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) = (((√‘(1 − (𝐴↑2))) + (i · 𝐴)) · ((√‘(1 − (𝐴↑2))) − (i · 𝐴))))
217sqsqrtd 15324 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(1 − (𝐴↑2)))↑2) = (1 − (𝐴↑2)))
22 sqmul 14024 . . . . . 6 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((i · 𝐴)↑2) = ((i↑2) · (𝐴↑2)))
231, 22mpan 688 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴)↑2) = ((i↑2) · (𝐴↑2)))
24 i2 14106 . . . . . . 7 (i↑2) = -1
2524oveq1i 7367 . . . . . 6 ((i↑2) · (𝐴↑2)) = (-1 · (𝐴↑2))
265mulm1d 11607 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · (𝐴↑2)) = -(𝐴↑2))
2725, 26eqtrid 2788 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((i↑2) · (𝐴↑2)) = -(𝐴↑2))
2823, 27eqtrd 2776 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴)↑2) = -(𝐴↑2))
2921, 28oveq12d 7375 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (((√‘(1 − (𝐴↑2)))↑2) − ((i · 𝐴)↑2)) = ((1 − (𝐴↑2)) − -(𝐴↑2)))
30 subsq 14114 . . . 4 (((√‘(1 − (𝐴↑2))) ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (((√‘(1 − (𝐴↑2)))↑2) − ((i · 𝐴)↑2)) = (((√‘(1 − (𝐴↑2))) + (i · 𝐴)) · ((√‘(1 − (𝐴↑2))) − (i · 𝐴))))
318, 3, 30syl2anc 584 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (((√‘(1 − (𝐴↑2)))↑2) − ((i · 𝐴)↑2)) = (((√‘(1 − (𝐴↑2))) + (i · 𝐴)) · ((√‘(1 − (𝐴↑2))) − (i · 𝐴))))
327, 5subnegd 11519 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 − (𝐴↑2)) − -(𝐴↑2)) = ((1 − (𝐴↑2)) + (𝐴↑2)))
3329, 31, 323eqtr3d 2784 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (((√‘(1 − (𝐴↑2))) + (i · 𝐴)) · ((√‘(1 − (𝐴↑2))) − (i · 𝐴))) = ((1 − (𝐴↑2)) + (𝐴↑2)))
34 npcan 11410 . . 3 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → ((1 − (𝐴↑2)) + (𝐴↑2)) = 1)
354, 5, 34sylancr 587 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 − (𝐴↑2)) + (𝐴↑2)) = 1)
3620, 33, 353eqtrd 2780 1 (𝐴 ∈ ℂ → (((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) · ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  1c1 11052  ici 11053   + caddc 11054   · cmul 11056  cmin 11385  -cneg 11386  2c2 12208  cexp 13967  csqrt 15118
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121
This theorem is referenced by:  asinlem3  26221  asinneg  26236
  Copyright terms: Public domain W3C validator