MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  asinlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem asinlem2 24818
Description: The argument to the logarithm in df-asin 24814 has the property that replacing 𝐴 with -𝐴 in the expression gives the reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
asinlem2 (𝐴 ∈ ℂ → (((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) · ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) = 1)

Proof of Theorem asinlem2
StepHypRef Expression
1 ax-icn 10198 . . . . 5 i ∈ ℂ
2 mulcl 10223 . . . . 5 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
31, 2mpan 664 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
4 ax-1cn 10197 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
5 sqcl 13133 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
6 subcl 10483 . . . . . 6 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → (1 − (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
74, 5, 6sylancr 569 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (1 − (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
87sqrtcld 14385 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(1 − (𝐴↑2))) ∈ ℂ)
93, 8addcomd 10441 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) = ((√‘(1 − (𝐴↑2))) + (i · 𝐴)))
10 mulneg2 10670 . . . . . 6 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · -𝐴) = -(i · 𝐴))
111, 10mpan 664 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (i · -𝐴) = -(i · 𝐴))
12 sqneg 13131 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴↑2) = (𝐴↑2))
1312oveq2d 6810 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (1 − (-𝐴↑2)) = (1 − (𝐴↑2)))
1413fveq2d 6337 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(1 − (-𝐴↑2))) = (√‘(1 − (𝐴↑2))))
1511, 14oveq12d 6812 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))) = (-(i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
163negcld 10582 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → -(i · 𝐴) ∈ ℂ)
1716, 8addcomd 10441 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (-(i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) = ((√‘(1 − (𝐴↑2))) + -(i · 𝐴)))
188, 3negsubd 10601 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(1 − (𝐴↑2))) + -(i · 𝐴)) = ((√‘(1 − (𝐴↑2))) − (i · 𝐴)))
1915, 17, 183eqtrd 2809 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))) = ((√‘(1 − (𝐴↑2))) − (i · 𝐴)))
209, 19oveq12d 6812 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) · ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) = (((√‘(1 − (𝐴↑2))) + (i · 𝐴)) · ((√‘(1 − (𝐴↑2))) − (i · 𝐴))))
217sqsqrtd 14387 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(1 − (𝐴↑2)))↑2) = (1 − (𝐴↑2)))
22 sqmul 13134 . . . . . 6 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((i · 𝐴)↑2) = ((i↑2) · (𝐴↑2)))
231, 22mpan 664 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴)↑2) = ((i↑2) · (𝐴↑2)))
24 i2 13173 . . . . . . 7 (i↑2) = -1
2524oveq1i 6804 . . . . . 6 ((i↑2) · (𝐴↑2)) = (-1 · (𝐴↑2))
265mulm1d 10685 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · (𝐴↑2)) = -(𝐴↑2))
2725, 26syl5eq 2817 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((i↑2) · (𝐴↑2)) = -(𝐴↑2))
2823, 27eqtrd 2805 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴)↑2) = -(𝐴↑2))
2921, 28oveq12d 6812 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (((√‘(1 − (𝐴↑2)))↑2) − ((i · 𝐴)↑2)) = ((1 − (𝐴↑2)) − -(𝐴↑2)))
30 subsq 13180 . . . 4 (((√‘(1 − (𝐴↑2))) ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (((√‘(1 − (𝐴↑2)))↑2) − ((i · 𝐴)↑2)) = (((√‘(1 − (𝐴↑2))) + (i · 𝐴)) · ((√‘(1 − (𝐴↑2))) − (i · 𝐴))))
318, 3, 30syl2anc 567 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (((√‘(1 − (𝐴↑2)))↑2) − ((i · 𝐴)↑2)) = (((√‘(1 − (𝐴↑2))) + (i · 𝐴)) · ((√‘(1 − (𝐴↑2))) − (i · 𝐴))))
327, 5subnegd 10602 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 − (𝐴↑2)) − -(𝐴↑2)) = ((1 − (𝐴↑2)) + (𝐴↑2)))
3329, 31, 323eqtr3d 2813 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (((√‘(1 − (𝐴↑2))) + (i · 𝐴)) · ((√‘(1 − (𝐴↑2))) − (i · 𝐴))) = ((1 − (𝐴↑2)) + (𝐴↑2)))
34 npcan 10493 . . 3 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → ((1 − (𝐴↑2)) + (𝐴↑2)) = 1)
354, 5, 34sylancr 569 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 − (𝐴↑2)) + (𝐴↑2)) = 1)
3620, 33, 353eqtrd 2809 1 (𝐴 ∈ ℂ → (((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) · ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1631  wcel 2145  cfv 6032  (class class class)co 6794  cc 10137  1c1 10140  ici 10141   + caddc 10142   · cmul 10144  cmin 10469  -cneg 10470  2c2 11273  cexp 13068  csqrt 14182
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7097  ax-cnex 10195  ax-resscn 10196  ax-1cn 10197  ax-icn 10198  ax-addcl 10199  ax-addrcl 10200  ax-mulcl 10201  ax-mulrcl 10202  ax-mulcom 10203  ax-addass 10204  ax-mulass 10205  ax-distr 10206  ax-i2m1 10207  ax-1ne0 10208  ax-1rid 10209  ax-rnegex 10210  ax-rrecex 10211  ax-cnre 10212  ax-pre-lttri 10213  ax-pre-lttrn 10214  ax-pre-ltadd 10215  ax-pre-mulgt0 10216  ax-pre-sup 10217
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 829  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3589  df-csb 3684  df-dif 3727  df-un 3729  df-in 3731  df-ss 3738  df-pss 3740  df-nul 4065  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5824  df-ord 5870  df-on 5871  df-lim 5872  df-suc 5873  df-iota 5995  df-fun 6034  df-fn 6035  df-f 6036  df-f1 6037  df-fo 6038  df-f1o 6039  df-fv 6040  df-riota 6755  df-ov 6797  df-oprab 6798  df-mpt2 6799  df-om 7214  df-2nd 7317  df-wrecs 7560  df-recs 7622  df-rdg 7660  df-er 7897  df-en 8111  df-dom 8112  df-sdom 8113  df-sup 8505  df-pnf 10279  df-mnf 10280  df-xr 10281  df-ltxr 10282  df-le 10283  df-sub 10471  df-neg 10472  df-div 10888  df-nn 11224  df-2 11282  df-3 11283  df-n0 11496  df-z 11581  df-uz 11890  df-rp 12037  df-seq 13010  df-exp 13069  df-cj 14048  df-re 14049  df-im 14050  df-sqrt 14184  df-abs 14185
This theorem is referenced by:  asinlem3  24820  asinneg  24835
  Copyright terms: Public domain W3C validator