MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  asinlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem asinlem2 26381
Description: The argument to the logarithm in df-asin 26377 has the property that replacing ๐ด with -๐ด in the expression gives the reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
asinlem2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (((i ยท ๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))) ยท ((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2))))) = 1)

Proof of Theorem asinlem2
StepHypRef Expression
1 ax-icn 11171 . . . . 5 i โˆˆ โ„‚
2 mulcl 11196 . . . . 5 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
31, 2mpan 688 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
4 ax-1cn 11170 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„‚
5 sqcl 14085 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
6 subcl 11461 . . . . . 6 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
74, 5, 6sylancr 587 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
87sqrtcld 15386 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))) โˆˆ โ„‚)
93, 8addcomd 11418 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท ๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))) = ((โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))) + (i ยท ๐ด)))
10 mulneg2 11653 . . . . . 6 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท -๐ด) = -(i ยท ๐ด))
111, 10mpan 688 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท -๐ด) = -(i ยท ๐ด))
12 sqneg 14083 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (-๐ดโ†‘2) = (๐ดโ†‘2))
1312oveq2d 7427 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)) = (1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))
1413fveq2d 6895 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2))) = (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))))
1511, 14oveq12d 7429 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))) = (-(i ยท ๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))))
163negcld 11560 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ -(i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
1716, 8addcomd 11418 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (-(i ยท ๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))) = ((โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))) + -(i ยท ๐ด)))
188, 3negsubd 11579 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))) + -(i ยท ๐ด)) = ((โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))) โˆ’ (i ยท ๐ด)))
1915, 17, 183eqtrd 2776 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2)))) = ((โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))) โˆ’ (i ยท ๐ด)))
209, 19oveq12d 7429 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (((i ยท ๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))) ยท ((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2))))) = (((โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))) + (i ยท ๐ด)) ยท ((โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))) โˆ’ (i ยท ๐ด))))
217sqsqrtd 15388 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))โ†‘2) = (1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))
22 sqmul 14086 . . . . . 6 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ((i ยท ๐ด)โ†‘2) = ((iโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)))
231, 22mpan 688 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท ๐ด)โ†‘2) = ((iโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)))
24 i2 14168 . . . . . . 7 (iโ†‘2) = -1
2524oveq1i 7421 . . . . . 6 ((iโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) = (-1 ยท (๐ดโ†‘2))
265mulm1d 11668 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (-1 ยท (๐ดโ†‘2)) = -(๐ดโ†‘2))
2725, 26eqtrid 2784 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((iโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) = -(๐ดโ†‘2))
2823, 27eqtrd 2772 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท ๐ด)โ†‘2) = -(๐ดโ†‘2))
2921, 28oveq12d 7429 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (((โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))โ†‘2) โˆ’ ((i ยท ๐ด)โ†‘2)) = ((1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)) โˆ’ -(๐ดโ†‘2)))
30 subsq 14176 . . . 4 (((โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))) โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))โ†‘2) โˆ’ ((i ยท ๐ด)โ†‘2)) = (((โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))) + (i ยท ๐ด)) ยท ((โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))) โˆ’ (i ยท ๐ด))))
318, 3, 30syl2anc 584 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (((โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))โ†‘2) โˆ’ ((i ยท ๐ด)โ†‘2)) = (((โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))) + (i ยท ๐ด)) ยท ((โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))) โˆ’ (i ยท ๐ด))))
327, 5subnegd 11580 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)) โˆ’ -(๐ดโ†‘2)) = ((1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)) + (๐ดโ†‘2)))
3329, 31, 323eqtr3d 2780 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (((โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))) + (i ยท ๐ด)) ยท ((โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))) โˆ’ (i ยท ๐ด))) = ((1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)) + (๐ดโ†‘2)))
34 npcan 11471 . . 3 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)) + (๐ดโ†‘2)) = 1)
354, 5, 34sylancr 587 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)) + (๐ดโ†‘2)) = 1)
3620, 33, 353eqtrd 2776 1 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (((i ยท ๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))) ยท ((i ยท -๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (-๐ดโ†‘2))))) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  1c1 11113  ici 11114   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โˆ’ cmin 11446  -cneg 11447  2c2 12269  โ†‘cexp 14029  โˆšcsqrt 15182
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-rp 12977  df-seq 13969  df-exp 14030  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185
This theorem is referenced by:  asinlem3  26383  asinneg  26398
  Copyright terms: Public domain W3C validator