Theorem asinlem2 26815

Description: The argument to the logarithm in df-asin 26811 has the property that replacing 𝐴 with -𝐴 in the expression gives the reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
asinlem2	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) · ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) = 1)

Proof of Theorem asinlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 11180	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
2		mulcl 11205	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
3	1, 2	mpan 690	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
4		ax-1cn 11179	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
5		sqcl 14125	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
6		subcl 11473	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → (1 − (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
7	4, 5, 6	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 − (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
8	7	sqrtcld 15443	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(1 − (𝐴↑2))) ∈ ℂ)
9	3, 8	addcomd 11429	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) = ((√‘(1 − (𝐴↑2))) + (i · 𝐴)))
10		mulneg2 11666	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · -𝐴) = -(i · 𝐴))
11	1, 10	mpan 690	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · -𝐴) = -(i · 𝐴))
12		sqneg 14122	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴↑2) = (𝐴↑2))
13	12	oveq2d 7415	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 − (-𝐴↑2)) = (1 − (𝐴↑2)))
14	13	fveq2d 6876	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(1 − (-𝐴↑2))) = (√‘(1 − (𝐴↑2))))
15	11, 14	oveq12d 7417	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))) = (-(i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
16	3	negcld 11573	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(i · 𝐴) ∈ ℂ)
17	16, 8	addcomd 11429	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-(i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) = ((√‘(1 − (𝐴↑2))) + -(i · 𝐴)))
18	8, 3	negsubd 11592	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(1 − (𝐴↑2))) + -(i · 𝐴)) = ((√‘(1 − (𝐴↑2))) − (i · 𝐴)))
19	15, 17, 18	3eqtrd 2773	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))) = ((√‘(1 − (𝐴↑2))) − (i · 𝐴)))
20	9, 19	oveq12d 7417	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) · ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) = (((√‘(1 − (𝐴↑2))) + (i · 𝐴)) · ((√‘(1 − (𝐴↑2))) − (i · 𝐴))))
21	7	sqsqrtd 15445	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(1 − (𝐴↑2)))↑2) = (1 − (𝐴↑2)))
22		sqmul 14126	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((i · 𝐴)↑2) = ((i↑2) · (𝐴↑2)))
23	1, 22	mpan 690	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴)↑2) = ((i↑2) · (𝐴↑2)))
24		i2 14208	. . . . . . 7 ⊢ (i↑2) = -1
25	24	oveq1i 7409	. . . . . 6 ⊢ ((i↑2) · (𝐴↑2)) = (-1 · (𝐴↑2))
26	5	mulm1d 11681	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · (𝐴↑2)) = -(𝐴↑2))
27	25, 26	eqtrid 2781	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i↑2) · (𝐴↑2)) = -(𝐴↑2))
28	23, 27	eqtrd 2769	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴)↑2) = -(𝐴↑2))
29	21, 28	oveq12d 7417	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((√‘(1 − (𝐴↑2)))↑2) − ((i · 𝐴)↑2)) = ((1 − (𝐴↑2)) − -(𝐴↑2)))
30		subsq 14216	. . . 4 ⊢ (((√‘(1 − (𝐴↑2))) ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (((√‘(1 − (𝐴↑2)))↑2) − ((i · 𝐴)↑2)) = (((√‘(1 − (𝐴↑2))) + (i · 𝐴)) · ((√‘(1 − (𝐴↑2))) − (i · 𝐴))))
31	8, 3, 30	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((√‘(1 − (𝐴↑2)))↑2) − ((i · 𝐴)↑2)) = (((√‘(1 − (𝐴↑2))) + (i · 𝐴)) · ((√‘(1 − (𝐴↑2))) − (i · 𝐴))))
32	7, 5	subnegd 11593	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 − (𝐴↑2)) − -(𝐴↑2)) = ((1 − (𝐴↑2)) + (𝐴↑2)))
33	29, 31, 32	3eqtr3d 2777	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((√‘(1 − (𝐴↑2))) + (i · 𝐴)) · ((√‘(1 − (𝐴↑2))) − (i · 𝐴))) = ((1 − (𝐴↑2)) + (𝐴↑2)))
34		npcan 11483	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → ((1 − (𝐴↑2)) + (𝐴↑2)) = 1)
35	4, 5, 34	sylancr 587	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 − (𝐴↑2)) + (𝐴↑2)) = 1)
36	20, 33, 35	3eqtrd 2773	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) · ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6527  (class class class)co 7399  ℂcc 11119  1c1 11122  ici 11123   + caddc 11124   · cmul 11126   − cmin 11458  -cneg 11459  2c2 12287  ↑cexp 14068  √csqrt 15239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5263  ax-nul 5273  ax-pow 5332  ax-pr 5399  ax-un 7723  ax-cnex 11177  ax-resscn 11178  ax-1cn 11179  ax-icn 11180  ax-addcl 11181  ax-addrcl 11182  ax-mulcl 11183  ax-mulrcl 11184  ax-mulcom 11185  ax-addass 11186  ax-mulass 11187  ax-distr 11188  ax-i2m1 11189  ax-1ne0 11190  ax-1rid 11191  ax-rnegex 11192  ax-rrecex 11193  ax-cnre 11194  ax-pre-lttri 11195  ax-pre-lttrn 11196  ax-pre-ltadd 11197  ax-pre-mulgt0 11198  ax-pre-sup 11199

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-op 4606  df-uni 4881  df-iun 4966  df-br 5117  df-opab 5179  df-mpt 5199  df-tr 5227  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6287  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6480  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7356  df-ov 7402  df-oprab 7403  df-mpo 7404  df-om 7856  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8713  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-sup 9448  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11887  df-nn 12233  df-2 12295  df-3 12296  df-n0 12494  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 13001  df-seq 14009  df-exp 14069  df-cj 15105  df-re 15106  df-im 15107  df-sqrt 15241  df-abs 15242

This theorem is referenced by:  asinlem3  26817  asinneg  26832