Theorem efmival 16137

Description: The exponential function in terms of sine and cosine. (Contributed by NM, 14-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
efmival	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) = ((cos‘𝐴) − (i · (sin‘𝐴))))

Proof of Theorem efmival

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 11205	. . . 4 ⊢ i ∈ ℂ
2		mulneg12 11690	. . . 4 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · 𝐴) = (i · -𝐴))
3	1, 2	mpan 688	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-i · 𝐴) = (i · -𝐴))
4	3	fveq2d 6906	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) = (exp‘(i · -𝐴)))
5		negcl 11498	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
6		efival 16136	. . . 4 ⊢ (-𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · -𝐴)) = ((cos‘-𝐴) + (i · (sin‘-𝐴))))
7	5, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · -𝐴)) = ((cos‘-𝐴) + (i · (sin‘-𝐴))))
8		cosneg 16131	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘-𝐴) = (cos‘𝐴))
9		sinneg 16130	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘-𝐴) = -(sin‘𝐴))
10	9	oveq2d 7442	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (sin‘-𝐴)) = (i · -(sin‘𝐴)))
11		sincl 16110	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
12		mulneg2 11689	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · -(sin‘𝐴)) = -(i · (sin‘𝐴)))
13	1, 11, 12	sylancr 585	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · -(sin‘𝐴)) = -(i · (sin‘𝐴)))
14	10, 13	eqtrd 2768	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (sin‘-𝐴)) = -(i · (sin‘𝐴)))
15	8, 14	oveq12d 7444	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘-𝐴) + (i · (sin‘-𝐴))) = ((cos‘𝐴) + -(i · (sin‘𝐴))))
16		coscl 16111	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
17		mulcl 11230	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ)
18	1, 11, 17	sylancr 585	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ)
19	16, 18	negsubd 11615	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) + -(i · (sin‘𝐴))) = ((cos‘𝐴) − (i · (sin‘𝐴))))
20	15, 19	eqtrd 2768	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘-𝐴) + (i · (sin‘-𝐴))) = ((cos‘𝐴) − (i · (sin‘𝐴))))
21	7, 20	eqtrd 2768	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · -𝐴)) = ((cos‘𝐴) − (i · (sin‘𝐴))))
22	4, 21	eqtrd 2768	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) = ((cos‘𝐴) − (i · (sin‘𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  ℂcc 11144  ici 11148   + caddc 11149   · cmul 11151   − cmin 11482  -cneg 11483  expce 16045  sincsin 16047  cosccos 16048

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-pm 8854  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-ico 13370  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-seq 14007  df-exp 14067  df-fac 14273  df-hash 14330  df-shft 15054  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-limsup 15455  df-clim 15472  df-rlim 15473  df-sum 15673  df-ef 16051  df-sin 16053  df-cos 16054

This theorem is referenced by:  sinadd  16148  cosadd  16149