Theorem efmival 16321

Description: The exponential function in terms of sine and cosine. (Contributed by NM, 14-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
efmival	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘( -i · 𝐴)) = ((cos‘𝐴) − (i · (sin‘𝐴))))

Proof of Theorem efmival

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 11259	. . . 4 ⊢ i ∈ ℂ
2		mulneg12 11754	. . . 4 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ( -i · 𝐴) = (i · -𝐴))
3	1, 2	mpan 703	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -i · 𝐴) = (i · -𝐴))
4	3	fveq2d 6889	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘( -i · 𝐴)) = (exp‘(i · -𝐴)))
5		negcl 11557	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
6		efival 16320	. . . 4 ⊢ ( -𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · -𝐴)) = ((cos‘ -𝐴) + (i · (sin‘ -𝐴))))
7	5, 6	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · -𝐴)) = ((cos‘ -𝐴) + (i · (sin‘ -𝐴))))
8		cosneg 16315	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘ -𝐴) = (cos‘𝐴))
9		sinneg 16314	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘ -𝐴) = -(sin‘𝐴))
10	9	oveq2d 7436	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (sin‘ -𝐴)) = (i · -(sin‘𝐴)))
11		sincl 16294	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
12		mulneg2 11753	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · -(sin‘𝐴)) = -(i · (sin‘𝐴)))
13	1, 11, 12	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · -(sin‘𝐴)) = -(i · (sin‘𝐴)))
14	10, 13	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (sin‘ -𝐴)) = -(i · (sin‘𝐴)))
15	8, 14	oveq12d 7438	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘ -𝐴) + (i · (sin‘ -𝐴))) = ((cos‘𝐴) + -(i · (sin‘𝐴))))
16		coscl 16295	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
17		mulcl 11284	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ)
18	1, 11, 17	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ)
19	16, 18	negsubd 11675	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) + -(i · (sin‘𝐴))) = ((cos‘𝐴) − (i · (sin‘𝐴))))
20	15, 19	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘ -𝐴) + (i · (sin‘ -𝐴))) = ((cos‘𝐴) − (i · (sin‘𝐴))))
21	7, 20	eqtrd 2795	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · -𝐴)) = ((cos‘𝐴) − (i · (sin‘𝐴))))
22	4, 21	eqtrd 2795	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘( -i · 𝐴)) = ((cos‘𝐴) − (i · (sin‘𝐴))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  ici 11202   + caddc 11203   · cmul 11205   − cmin 11541   -cneg 11542  expce 16227  sincsin 16229  cosccos 16230

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-pm 8850  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-ico 13482  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-seq 14145  df-exp 14205  df-fac 14418  df-hash 14475  df-shft 15220  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-limsup 15638  df-clim 15655  df-rlim 15656  df-sum 15854  df-ef 16233  df-sin 16235  df-cos 16236

This theorem is used by:  sinadd  16332  cosadd  16333