MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efmival Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efmival 16095
Description: The exponential function in terms of sine and cosine. (Contributed by NM, 14-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
efmival (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) = ((cos‘𝐴) − (i · (sin‘𝐴))))

Proof of Theorem efmival
StepHypRef Expression
1 ax-icn 11166 . . . 4 i ∈ ℂ
2 mulneg12 11650 . . . 4 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · 𝐴) = (i · -𝐴))
31, 2mpan 687 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (-i · 𝐴) = (i · -𝐴))
43fveq2d 6886 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) = (exp‘(i · -𝐴)))
5 negcl 11458 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
6 efival 16094 . . . 4 (-𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · -𝐴)) = ((cos‘-𝐴) + (i · (sin‘-𝐴))))
75, 6syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · -𝐴)) = ((cos‘-𝐴) + (i · (sin‘-𝐴))))
8 cosneg 16089 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘-𝐴) = (cos‘𝐴))
9 sinneg 16088 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘-𝐴) = -(sin‘𝐴))
109oveq2d 7418 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (sin‘-𝐴)) = (i · -(sin‘𝐴)))
11 sincl 16068 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
12 mulneg2 11649 . . . . . . 7 ((i ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · -(sin‘𝐴)) = -(i · (sin‘𝐴)))
131, 11, 12sylancr 586 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (i · -(sin‘𝐴)) = -(i · (sin‘𝐴)))
1410, 13eqtrd 2764 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (sin‘-𝐴)) = -(i · (sin‘𝐴)))
158, 14oveq12d 7420 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘-𝐴) + (i · (sin‘-𝐴))) = ((cos‘𝐴) + -(i · (sin‘𝐴))))
16 coscl 16069 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
17 mulcl 11191 . . . . . 6 ((i ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ)
181, 11, 17sylancr 586 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ)
1916, 18negsubd 11575 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) + -(i · (sin‘𝐴))) = ((cos‘𝐴) − (i · (sin‘𝐴))))
2015, 19eqtrd 2764 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘-𝐴) + (i · (sin‘-𝐴))) = ((cos‘𝐴) − (i · (sin‘𝐴))))
217, 20eqtrd 2764 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · -𝐴)) = ((cos‘𝐴) − (i · (sin‘𝐴))))
224, 21eqtrd 2764 1 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) = ((cos‘𝐴) − (i · (sin‘𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  cfv 6534  (class class class)co 7402  cc 11105  ici 11109   + caddc 11110   · cmul 11112  cmin 11442  -cneg 11443  expce 16003  sincsin 16005  cosccos 16006
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-pm 8820  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11870  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-n0 12471  df-z 12557  df-uz 12821  df-rp 12973  df-ico 13328  df-fz 13483  df-fzo 13626  df-fl 13755  df-seq 13965  df-exp 14026  df-fac 14232  df-hash 14289  df-shft 15012  df-cj 15044  df-re 15045  df-im 15046  df-sqrt 15180  df-abs 15181  df-limsup 15413  df-clim 15430  df-rlim 15431  df-sum 15631  df-ef 16009  df-sin 16011  df-cos 16012
This theorem is referenced by:  sinadd  16106  cosadd  16107
  Copyright terms: Public domain W3C validator