Theorem efmival 16187

Description: The exponential function in terms of sine and cosine. (Contributed by NM, 14-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
efmival	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) = ((cos‘𝐴) − (i · (sin‘𝐴))))

Proof of Theorem efmival

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 11134	. . . 4 ⊢ i ∈ ℂ
2		mulneg12 11627	. . . 4 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · 𝐴) = (i · -𝐴))
3	1, 2	mpan 700	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-i · 𝐴) = (i · -𝐴))
4	3	fveq2d 6873	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) = (exp‘(i · -𝐴)))
5		negcl 11432	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
6		efival 16186	. . . 4 ⊢ (-𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · -𝐴)) = ((cos‘-𝐴) + (i · (sin‘-𝐴))))
7	5, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · -𝐴)) = ((cos‘-𝐴) + (i · (sin‘-𝐴))))
8		cosneg 16181	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘-𝐴) = (cos‘𝐴))
9		sinneg 16180	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘-𝐴) = -(sin‘𝐴))
10	9	oveq2d 7414	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (sin‘-𝐴)) = (i · -(sin‘𝐴)))
11		sincl 16160	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
12		mulneg2 11626	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · -(sin‘𝐴)) = -(i · (sin‘𝐴)))
13	1, 11, 12	sylancr 596	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · -(sin‘𝐴)) = -(i · (sin‘𝐴)))
14	10, 13	eqtrd 2799	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (sin‘-𝐴)) = -(i · (sin‘𝐴)))
15	8, 14	oveq12d 7416	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘-𝐴) + (i · (sin‘-𝐴))) = ((cos‘𝐴) + -(i · (sin‘𝐴))))
16		coscl 16161	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
17		mulcl 11159	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ)
18	1, 11, 17	sylancr 596	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ)
19	16, 18	negsubd 11550	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) + -(i · (sin‘𝐴))) = ((cos‘𝐴) − (i · (sin‘𝐴))))
20	15, 19	eqtrd 2799	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘-𝐴) + (i · (sin‘-𝐴))) = ((cos‘𝐴) − (i · (sin‘𝐴))))
21	7, 20	eqtrd 2799	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · -𝐴)) = ((cos‘𝐴) − (i · (sin‘𝐴))))
22	4, 21	eqtrd 2799	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) = ((cos‘𝐴) − (i · (sin‘𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  ℂcc 11073  ici 11077   + caddc 11078   · cmul 11080   − cmin 11416  -cneg 11417  expce 16093  sincsin 16095  cosccos 16096

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-inf2 9598  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-se 5603  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-isom 6532  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-er 8680  df-pm 8813  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-card 9899  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-div 11847  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12484  df-z 12571  df-uz 12842  df-rp 12996  df-ico 13357  df-fz 13515  df-fzo 13662  df-fl 13804  df-seq 14017  df-exp 14077  df-fac 14289  df-hash 14346  df-shft 15082  df-cj 15128  df-re 15129  df-im 15130  df-sqrt 15264  df-abs 15265  df-limsup 15500  df-clim 15517  df-rlim 15518  df-sum 15716  df-ef 16099  df-sin 16101  df-cos 16102

This theorem is referenced by:  sinadd  16198  cosadd  16199