MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sinsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sinsub 16116
Description: Sine of difference. (Contributed by Paul Chapman, 12-Oct-2007.)
Assertion
Ref Expression
sinsub ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (sinβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡)) = (((sinβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) βˆ’ ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΅))))

Proof of Theorem sinsub
StepHypRef Expression
1 negcl 11461 . . 3 (𝐡 ∈ β„‚ β†’ -𝐡 ∈ β„‚)
2 sinadd 16112 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ -𝐡 ∈ β„‚) β†’ (sinβ€˜(𝐴 + -𝐡)) = (((sinβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜-𝐡)) + ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜-𝐡))))
31, 2sylan2 592 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (sinβ€˜(𝐴 + -𝐡)) = (((sinβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜-𝐡)) + ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜-𝐡))))
4 negsub 11509 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (𝐴 + -𝐡) = (𝐴 βˆ’ 𝐡))
54fveq2d 6888 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (sinβ€˜(𝐴 + -𝐡)) = (sinβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡)))
6 cosneg 16095 . . . . . 6 (𝐡 ∈ β„‚ β†’ (cosβ€˜-𝐡) = (cosβ€˜π΅))
76adantl 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (cosβ€˜-𝐡) = (cosβ€˜π΅))
87oveq2d 7420 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((sinβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜-𝐡)) = ((sinβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)))
9 sinneg 16094 . . . . . . 7 (𝐡 ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜-𝐡) = -(sinβ€˜π΅))
109adantl 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (sinβ€˜-𝐡) = -(sinβ€˜π΅))
1110oveq2d 7420 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜-𝐡)) = ((cosβ€˜π΄) Β· -(sinβ€˜π΅)))
12 coscl 16075 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (cosβ€˜π΄) ∈ β„‚)
13 sincl 16074 . . . . . 6 (𝐡 ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜π΅) ∈ β„‚)
14 mulneg2 11652 . . . . . 6 (((cosβ€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΅) ∈ β„‚) β†’ ((cosβ€˜π΄) Β· -(sinβ€˜π΅)) = -((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΅)))
1512, 13, 14syl2an 595 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((cosβ€˜π΄) Β· -(sinβ€˜π΅)) = -((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΅)))
1611, 15eqtrd 2766 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜-𝐡)) = -((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΅)))
178, 16oveq12d 7422 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (((sinβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜-𝐡)) + ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜-𝐡))) = (((sinβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) + -((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΅))))
18 sincl 16074 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜π΄) ∈ β„‚)
19 coscl 16075 . . . . 5 (𝐡 ∈ β„‚ β†’ (cosβ€˜π΅) ∈ β„‚)
20 mulcl 11193 . . . . 5 (((sinβ€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΅) ∈ β„‚) β†’ ((sinβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) ∈ β„‚)
2118, 19, 20syl2an 595 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((sinβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) ∈ β„‚)
22 mulcl 11193 . . . . 5 (((cosβ€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΅) ∈ β„‚) β†’ ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΅)) ∈ β„‚)
2312, 13, 22syl2an 595 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΅)) ∈ β„‚)
2421, 23negsubd 11578 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (((sinβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) + -((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΅))) = (((sinβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) βˆ’ ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΅))))
2517, 24eqtrd 2766 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (((sinβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜-𝐡)) + ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜-𝐡))) = (((sinβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) βˆ’ ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΅))))
263, 5, 253eqtr3d 2774 1 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (sinβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡)) = (((sinβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) βˆ’ ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΅))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  β„‚cc 11107   + caddc 11112   Β· cmul 11114   βˆ’ cmin 11445  -cneg 11446  sincsin 16011  cosccos 16012
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-ico 13333  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-seq 13970  df-exp 14031  df-fac 14237  df-bc 14266  df-hash 14294  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-ef 16015  df-sin 16017  df-cos 16018
This theorem is referenced by:  addsin  16118  subsin  16119  pilem2  26340  sinmpi  26373  sinhalfpim  26379  sinmulcos  45134
  Copyright terms: Public domain W3C validator