Theorem sinsub 16230

Description: Sine of difference. (Contributed by Paul Chapman, 12-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
sinsub	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘(𝐴 − 𝐵)) = (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))))

Proof of Theorem sinsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negcl 11463	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → -𝐵 ∈ ℂ)
2		sinadd 16226	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘(𝐴 + -𝐵)) = (((sin‘𝐴) · (cos‘-𝐵)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘-𝐵))))
3	1, 2	sylan2 604	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘(𝐴 + -𝐵)) = (((sin‘𝐴) · (cos‘-𝐵)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘-𝐵))))
4		negsub 11512	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
5	4	fveq2d 6885	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘(𝐴 + -𝐵)) = (sin‘(𝐴 − 𝐵)))
6		cosneg 16209	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (cos‘-𝐵) = (cos‘𝐵))
7	6	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (cos‘-𝐵) = (cos‘𝐵))
8	7	oveq2d 7428	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((sin‘𝐴) · (cos‘-𝐵)) = ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)))
9		sinneg 16208	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (sin‘-𝐵) = -(sin‘𝐵))
10	9	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘-𝐵) = -(sin‘𝐵))
11	10	oveq2d 7428	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) · (sin‘-𝐵)) = ((cos‘𝐴) · -(sin‘𝐵)))
12		coscl 16189	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
13		sincl 16188	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (sin‘𝐵) ∈ ℂ)
14		mulneg2 11657	. . . . . 6 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐵) ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) · -(sin‘𝐵)) = -((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵)))
15	12, 13, 14	syl2an 607	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) · -(sin‘𝐵)) = -((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵)))
16	11, 15	eqtrd 2797	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) · (sin‘-𝐵)) = -((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵)))
17	8, 16	oveq12d 7430	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((sin‘𝐴) · (cos‘-𝐵)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘-𝐵))) = (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + -((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
18		sincl 16188	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
19		coscl 16189	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (cos‘𝐵) ∈ ℂ)
20		mulcl 11190	. . . . 5 ⊢ (((sin‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐵) ∈ ℂ) → ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) ∈ ℂ)
21	18, 19, 20	syl2an 607	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) ∈ ℂ)
22		mulcl 11190	. . . . 5 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐵) ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵)) ∈ ℂ)
23	12, 13, 22	syl2an 607	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵)) ∈ ℂ)
24	21, 23	negsubd 11581	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + -((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))) = (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
25	17, 24	eqtrd 2797	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((sin‘𝐴) · (cos‘-𝐵)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘-𝐵))) = (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
26	3, 5, 25	3eqtr3d 2805	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘(𝐴 − 𝐵)) = (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  ℂcc 11104   + caddc 11109   · cmul 11111   − cmin 11447  -cneg 11448  sincsin 16123  cosccos 16124

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-inf2 9608  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-er 8692  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-rp 13023  df-ico 13384  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-fl 13832  df-seq 14045  df-exp 14105  df-fac 14317  df-bc 14346  df-hash 14374  df-shft 15111  df-cj 15157  df-re 15158  df-im 15159  df-sqrt 15293  df-abs 15294  df-limsup 15529  df-clim 15546  df-rlim 15547  df-sum 15745  df-ef 16127  df-sin 16129  df-cos 16130

This theorem is used by:  addsin  16232  subsin  16233  pilem2  26626  sinmpi  26663  sinhalfpim  26669  sinmulcos  46607