MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tanhbnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tanhbnd 15097
Description: The hyperbolic tangent of a real number is bounded by 1. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
tanhbnd (𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · 𝐴)) / i) ∈ (-1(,)1))

Proof of Theorem tanhbnd
StepHypRef Expression
1 retanhcl 15095 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · 𝐴)) / i) ∈ ℝ)
2 ax-icn 10201 . . . . . . . 8 i ∈ ℂ
3 recn 10232 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
4 mulcl 10226 . . . . . . . 8 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
52, 3, 4sylancr 575 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
6 rpcoshcl 15093 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘(i · 𝐴)) ∈ ℝ+)
76rpne0d 12080 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘(i · 𝐴)) ≠ 0)
85, 7tancld 15068 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (tan‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
92a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → i ∈ ℂ)
10 ine0 10671 . . . . . . 7 i ≠ 0
1110a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → i ≠ 0)
128, 9, 11divnegd 11020 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → -((tan‘(i · 𝐴)) / i) = (-(tan‘(i · 𝐴)) / i))
13 mulneg2 10673 . . . . . . . . 9 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · -𝐴) = -(i · 𝐴))
142, 3, 13sylancr 575 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (i · -𝐴) = -(i · 𝐴))
1514fveq2d 6337 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (tan‘(i · -𝐴)) = (tan‘-(i · 𝐴)))
16 tanneg 15084 . . . . . . . 8 (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (cos‘(i · 𝐴)) ≠ 0) → (tan‘-(i · 𝐴)) = -(tan‘(i · 𝐴)))
175, 7, 16syl2anc 573 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (tan‘-(i · 𝐴)) = -(tan‘(i · 𝐴)))
1815, 17eqtrd 2805 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (tan‘(i · -𝐴)) = -(tan‘(i · 𝐴)))
1918oveq1d 6811 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · -𝐴)) / i) = (-(tan‘(i · 𝐴)) / i))
2012, 19eqtr4d 2808 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → -((tan‘(i · 𝐴)) / i) = ((tan‘(i · -𝐴)) / i))
21 renegcl 10550 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
22 tanhlt1 15096 . . . . 5 (-𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · -𝐴)) / i) < 1)
2321, 22syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · -𝐴)) / i) < 1)
2420, 23eqbrtrd 4809 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → -((tan‘(i · 𝐴)) / i) < 1)
25 1re 10245 . . . 4 1 ∈ ℝ
26 ltnegcon1 10735 . . . 4 ((((tan‘(i · 𝐴)) / i) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (-((tan‘(i · 𝐴)) / i) < 1 ↔ -1 < ((tan‘(i · 𝐴)) / i)))
271, 25, 26sylancl 574 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (-((tan‘(i · 𝐴)) / i) < 1 ↔ -1 < ((tan‘(i · 𝐴)) / i)))
2824, 27mpbid 222 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → -1 < ((tan‘(i · 𝐴)) / i))
29 tanhlt1 15096 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · 𝐴)) / i) < 1)
30 neg1rr 11331 . . . 4 -1 ∈ ℝ
3130rexri 10303 . . 3 -1 ∈ ℝ*
3225rexri 10303 . . 3 1 ∈ ℝ*
33 elioo2 12421 . . 3 ((-1 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → (((tan‘(i · 𝐴)) / i) ∈ (-1(,)1) ↔ (((tan‘(i · 𝐴)) / i) ∈ ℝ ∧ -1 < ((tan‘(i · 𝐴)) / i) ∧ ((tan‘(i · 𝐴)) / i) < 1)))
3431, 32, 33mp2an 672 . 2 (((tan‘(i · 𝐴)) / i) ∈ (-1(,)1) ↔ (((tan‘(i · 𝐴)) / i) ∈ ℝ ∧ -1 < ((tan‘(i · 𝐴)) / i) ∧ ((tan‘(i · 𝐴)) / i) < 1))
351, 28, 29, 34syl3anbrc 1428 1 (𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · 𝐴)) / i) ∈ (-1(,)1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943   class class class wbr 4787  cfv 6030  (class class class)co 6796  cc 10140  cr 10141  0cc0 10142  1c1 10143  ici 10144   · cmul 10147  *cxr 10279   < clt 10280  -cneg 10473   / cdiv 10890  (,)cioo 12380  cosccos 15001  tanctan 15002
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220  ax-addf 10221  ax-mulf 10222
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-pm 8016  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8508  df-inf 8509  df-oi 8575  df-card 8969  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-rp 12036  df-ioo 12384  df-ico 12386  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-shft 14015  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-limsup 14410  df-clim 14427  df-rlim 14428  df-sum 14625  df-ef 15004  df-sin 15006  df-cos 15007  df-tan 15008
This theorem is referenced by:  tanregt0  24506  atantan  24871
  Copyright terms: Public domain W3C validator