Theorem tanhbnd 16105

Description: The hyperbolic tangent of a real number is bounded by 1. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tanhbnd	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · 𝐴)) / i) ∈ (-1(,)1))

Proof of Theorem tanhbnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retanhcl 16103	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · 𝐴)) / i) ∈ ℝ)
2		ax-icn 11103	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
3		recn 11134	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
4		mulcl 11128	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
5	2, 3, 4	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
6		rpcoshcl 16101	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘(i · 𝐴)) ∈ ℝ+)
7	6	rpne0d 12976	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘(i · 𝐴)) ≠ 0)
8	5, 7	tancld 16076	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (tan‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
9	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → i ∈ ℂ)
10		ine0 11589	. . . . . . 7 ⊢ i ≠ 0
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → i ≠ 0)
12	8, 9, 11	divnegd 11947	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -((tan‘(i · 𝐴)) / i) = (-(tan‘(i · 𝐴)) / i))
13		mulneg2 11591	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · -𝐴) = -(i · 𝐴))
14	2, 3, 13	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (i · -𝐴) = -(i · 𝐴))
15	14	fveq2d 6844	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (tan‘(i · -𝐴)) = (tan‘-(i · 𝐴)))
16		tanneg 16092	. . . . . . . 8 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (cos‘(i · 𝐴)) ≠ 0) → (tan‘-(i · 𝐴)) = -(tan‘(i · 𝐴)))
17	5, 7, 16	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (tan‘-(i · 𝐴)) = -(tan‘(i · 𝐴)))
18	15, 17	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (tan‘(i · -𝐴)) = -(tan‘(i · 𝐴)))
19	18	oveq1d 7384	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · -𝐴)) / i) = (-(tan‘(i · 𝐴)) / i))
20	12, 19	eqtr4d 2767	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -((tan‘(i · 𝐴)) / i) = ((tan‘(i · -𝐴)) / i))
21		renegcl 11461	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
22		tanhlt1 16104	. . . . 5 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · -𝐴)) / i) < 1)
23	21, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · -𝐴)) / i) < 1)
24	20, 23	eqbrtrd 5124	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -((tan‘(i · 𝐴)) / i) < 1)
25		1re 11150	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
26		ltnegcon1 11655	. . . 4 ⊢ ((((tan‘(i · 𝐴)) / i) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (-((tan‘(i · 𝐴)) / i) < 1 ↔ -1 < ((tan‘(i · 𝐴)) / i)))
27	1, 25, 26	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-((tan‘(i · 𝐴)) / i) < 1 ↔ -1 < ((tan‘(i · 𝐴)) / i)))
28	24, 27	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -1 < ((tan‘(i · 𝐴)) / i))
29		tanhlt1 16104	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · 𝐴)) / i) < 1)
30		neg1rr 12148	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℝ
31	30	rexri 11208	. . 3 ⊢ -1 ∈ ℝ*
32	25	rexri 11208	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ*
33		elioo2 13323	. . 3 ⊢ ((-1 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → (((tan‘(i · 𝐴)) / i) ∈ (-1(,)1) ↔ (((tan‘(i · 𝐴)) / i) ∈ ℝ ∧ -1 < ((tan‘(i · 𝐴)) / i) ∧ ((tan‘(i · 𝐴)) / i) < 1)))
34	31, 32, 33	mp2an 692	. 2 ⊢ (((tan‘(i · 𝐴)) / i) ∈ (-1(,)1) ↔ (((tan‘(i · 𝐴)) / i) ∈ ℝ ∧ -1 < ((tan‘(i · 𝐴)) / i) ∧ ((tan‘(i · 𝐴)) / i) < 1))
35	1, 28, 29, 34	syl3anbrc 1344	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · 𝐴)) / i) ∈ (-1(,)1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℂcc 11042  ℝcr 11043  0cc0 11044  1c1 11045  ici 11046   · cmul 11049  ℝ^*cxr 11183   < clt 11184  -cneg 11382   / cdiv 11811  (,)cioo 13282  cosccos 16006  tanctan 16007

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-pm 8779  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-rp 12928  df-ioo 13286  df-ico 13288  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-fl 13730  df-seq 13943  df-exp 14003  df-fac 14215  df-bc 14244  df-hash 14272  df-shft 15009  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-limsup 15413  df-clim 15430  df-rlim 15431  df-sum 15629  df-ef 16009  df-sin 16011  df-cos 16012  df-tan 16013

This theorem is referenced by:  tanregt0  26424  atantan  26809