MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tanhbnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tanhbnd 16111
Description: The hyperbolic tangent of a real number is bounded by 1. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
tanhbnd (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((tanβ€˜(i Β· 𝐴)) / i) ∈ (-1(,)1))

Proof of Theorem tanhbnd
StepHypRef Expression
1 retanhcl 16109 . 2 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((tanβ€˜(i Β· 𝐴)) / i) ∈ ℝ)
2 ax-icn 11171 . . . . . . . 8 i ∈ β„‚
3 recn 11202 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
4 mulcl 11196 . . . . . . . 8 ((i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚)
52, 3, 4sylancr 586 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚)
6 rpcoshcl 16107 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (cosβ€˜(i Β· 𝐴)) ∈ ℝ+)
76rpne0d 13027 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (cosβ€˜(i Β· 𝐴)) β‰  0)
85, 7tancld 16082 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (tanβ€˜(i Β· 𝐴)) ∈ β„‚)
92a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ i ∈ β„‚)
10 ine0 11653 . . . . . . 7 i β‰  0
1110a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ i β‰  0)
128, 9, 11divnegd 12007 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ β†’ -((tanβ€˜(i Β· 𝐴)) / i) = (-(tanβ€˜(i Β· 𝐴)) / i))
13 mulneg2 11655 . . . . . . . . 9 ((i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (i Β· -𝐴) = -(i Β· 𝐴))
142, 3, 13sylancr 586 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (i Β· -𝐴) = -(i Β· 𝐴))
1514fveq2d 6889 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (tanβ€˜(i Β· -𝐴)) = (tanβ€˜-(i Β· 𝐴)))
16 tanneg 16098 . . . . . . . 8 (((i Β· 𝐴) ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜(i Β· 𝐴)) β‰  0) β†’ (tanβ€˜-(i Β· 𝐴)) = -(tanβ€˜(i Β· 𝐴)))
175, 7, 16syl2anc 583 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (tanβ€˜-(i Β· 𝐴)) = -(tanβ€˜(i Β· 𝐴)))
1815, 17eqtrd 2766 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (tanβ€˜(i Β· -𝐴)) = -(tanβ€˜(i Β· 𝐴)))
1918oveq1d 7420 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((tanβ€˜(i Β· -𝐴)) / i) = (-(tanβ€˜(i Β· 𝐴)) / i))
2012, 19eqtr4d 2769 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ β†’ -((tanβ€˜(i Β· 𝐴)) / i) = ((tanβ€˜(i Β· -𝐴)) / i))
21 renegcl 11527 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ β†’ -𝐴 ∈ ℝ)
22 tanhlt1 16110 . . . . 5 (-𝐴 ∈ ℝ β†’ ((tanβ€˜(i Β· -𝐴)) / i) < 1)
2321, 22syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((tanβ€˜(i Β· -𝐴)) / i) < 1)
2420, 23eqbrtrd 5163 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ β†’ -((tanβ€˜(i Β· 𝐴)) / i) < 1)
25 1re 11218 . . . 4 1 ∈ ℝ
26 ltnegcon1 11719 . . . 4 ((((tanβ€˜(i Β· 𝐴)) / i) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ (-((tanβ€˜(i Β· 𝐴)) / i) < 1 ↔ -1 < ((tanβ€˜(i Β· 𝐴)) / i)))
271, 25, 26sylancl 585 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (-((tanβ€˜(i Β· 𝐴)) / i) < 1 ↔ -1 < ((tanβ€˜(i Β· 𝐴)) / i)))
2824, 27mpbid 231 . 2 (𝐴 ∈ ℝ β†’ -1 < ((tanβ€˜(i Β· 𝐴)) / i))
29 tanhlt1 16110 . 2 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((tanβ€˜(i Β· 𝐴)) / i) < 1)
30 neg1rr 12331 . . . 4 -1 ∈ ℝ
3130rexri 11276 . . 3 -1 ∈ ℝ*
3225rexri 11276 . . 3 1 ∈ ℝ*
33 elioo2 13371 . . 3 ((-1 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) β†’ (((tanβ€˜(i Β· 𝐴)) / i) ∈ (-1(,)1) ↔ (((tanβ€˜(i Β· 𝐴)) / i) ∈ ℝ ∧ -1 < ((tanβ€˜(i Β· 𝐴)) / i) ∧ ((tanβ€˜(i Β· 𝐴)) / i) < 1)))
3431, 32, 33mp2an 689 . 2 (((tanβ€˜(i Β· 𝐴)) / i) ∈ (-1(,)1) ↔ (((tanβ€˜(i Β· 𝐴)) / i) ∈ ℝ ∧ -1 < ((tanβ€˜(i Β· 𝐴)) / i) ∧ ((tanβ€˜(i Β· 𝐴)) / i) < 1))
351, 28, 29, 34syl3anbrc 1340 1 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((tanβ€˜(i Β· 𝐴)) / i) ∈ (-1(,)1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113  ici 11114   Β· cmul 11117  β„*cxr 11251   < clt 11252  -cneg 11449   / cdiv 11875  (,)cioo 13330  cosccos 16014  tanctan 16015
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-ioo 13334  df-ico 13336  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-ef 16017  df-sin 16019  df-cos 16020  df-tan 16021
This theorem is referenced by:  tanregt0  26428  atantan  26810
  Copyright terms: Public domain W3C validator