Theorem tanhbnd 16111

Description: The hyperbolic tangent of a real number is bounded by 1. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tanhbnd	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · 𝐴)) / i) ∈ (-1(,)1))

Proof of Theorem tanhbnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retanhcl 16109	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · 𝐴)) / i) ∈ ℝ)
2		ax-icn 11175	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
3		recn 11206	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
4		mulcl 11200	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
5	2, 3, 4	sylancr 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
6		rpcoshcl 16107	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘(i · 𝐴)) ∈ ℝ+)
7	6	rpne0d 13028	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘(i · 𝐴)) ≠ 0)
8	5, 7	tancld 16082	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (tan‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
9	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → i ∈ ℂ)
10		ine0 11656	. . . . . . 7 ⊢ i ≠ 0
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → i ≠ 0)
12	8, 9, 11	divnegd 12010	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -((tan‘(i · 𝐴)) / i) = (-(tan‘(i · 𝐴)) / i))
13		mulneg2 11658	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · -𝐴) = -(i · 𝐴))
14	2, 3, 13	sylancr 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (i · -𝐴) = -(i · 𝐴))
15	14	fveq2d 6895	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (tan‘(i · -𝐴)) = (tan‘-(i · 𝐴)))
16		tanneg 16098	. . . . . . . 8 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (cos‘(i · 𝐴)) ≠ 0) → (tan‘-(i · 𝐴)) = -(tan‘(i · 𝐴)))
17	5, 7, 16	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (tan‘-(i · 𝐴)) = -(tan‘(i · 𝐴)))
18	15, 17	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (tan‘(i · -𝐴)) = -(tan‘(i · 𝐴)))
19	18	oveq1d 7427	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · -𝐴)) / i) = (-(tan‘(i · 𝐴)) / i))
20	12, 19	eqtr4d 2774	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -((tan‘(i · 𝐴)) / i) = ((tan‘(i · -𝐴)) / i))
21		renegcl 11530	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
22		tanhlt1 16110	. . . . 5 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · -𝐴)) / i) < 1)
23	21, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · -𝐴)) / i) < 1)
24	20, 23	eqbrtrd 5170	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -((tan‘(i · 𝐴)) / i) < 1)
25		1re 11221	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
26		ltnegcon1 11722	. . . 4 ⊢ ((((tan‘(i · 𝐴)) / i) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (-((tan‘(i · 𝐴)) / i) < 1 ↔ -1 < ((tan‘(i · 𝐴)) / i)))
27	1, 25, 26	sylancl 585	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-((tan‘(i · 𝐴)) / i) < 1 ↔ -1 < ((tan‘(i · 𝐴)) / i)))
28	24, 27	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -1 < ((tan‘(i · 𝐴)) / i))
29		tanhlt1 16110	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · 𝐴)) / i) < 1)
30		neg1rr 12334	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℝ
31	30	rexri 11279	. . 3 ⊢ -1 ∈ ℝ*
32	25	rexri 11279	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ*
33		elioo2 13372	. . 3 ⊢ ((-1 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → (((tan‘(i · 𝐴)) / i) ∈ (-1(,)1) ↔ (((tan‘(i · 𝐴)) / i) ∈ ℝ ∧ -1 < ((tan‘(i · 𝐴)) / i) ∧ ((tan‘(i · 𝐴)) / i) < 1)))
34	31, 32, 33	mp2an 689	. 2 ⊢ (((tan‘(i · 𝐴)) / i) ∈ (-1(,)1) ↔ (((tan‘(i · 𝐴)) / i) ∈ ℝ ∧ -1 < ((tan‘(i · 𝐴)) / i) ∧ ((tan‘(i · 𝐴)) / i) < 1))
35	1, 28, 29, 34	syl3anbrc 1342	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · 𝐴)) / i) ∈ (-1(,)1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  ℂcc 11114  ℝcr 11115  0cc0 11116  1c1 11117  ici 11118   · cmul 11121  ℝ^*cxr 11254   < clt 11255  -cneg 11452   / cdiv 11878  (,)cioo 13331  cosccos 16015  tanctan 16016

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9443  df-inf 9444  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-rp 12982  df-ioo 13335  df-ico 13337  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-fl 13764  df-seq 13974  df-exp 14035  df-fac 14241  df-bc 14270  df-hash 14298  df-shft 15021  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-limsup 15422  df-clim 15439  df-rlim 15440  df-sum 15640  df-ef 16018  df-sin 16020  df-cos 16021  df-tan 16022

This theorem is referenced by:  tanregt0  26388  atantan  26769