Theorem tanhbnd 16249

Description: The hyperbolic tangent of a real number is bounded by 1. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tanhbnd	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · 𝐴)) / i) ∈ (-1(,)1))

Proof of Theorem tanhbnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retanhcl 16247	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · 𝐴)) / i) ∈ ℝ)
2		ax-icn 11183	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
3		recn 11214	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
4		mulcl 11208	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
5	2, 3, 4	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
6		rpcoshcl 16245	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘(i · 𝐴)) ∈ ℝ+)
7	6	rpne0d 13091	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘(i · 𝐴)) ≠ 0)
8	5, 7	tancld 16220	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (tan‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
9	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → i ∈ ℂ)
10		ine0 11673	. . . . . . 7 ⊢ i ≠ 0
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → i ≠ 0)
12	8, 9, 11	divnegd 12028	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -((tan‘(i · 𝐴)) / i) = (-(tan‘(i · 𝐴)) / i))
13		mulneg2 11675	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · -𝐴) = -(i · 𝐴))
14	2, 3, 13	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (i · -𝐴) = -(i · 𝐴))
15	14	fveq2d 6882	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (tan‘(i · -𝐴)) = (tan‘-(i · 𝐴)))
16		tanneg 16236	. . . . . . . 8 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (cos‘(i · 𝐴)) ≠ 0) → (tan‘-(i · 𝐴)) = -(tan‘(i · 𝐴)))
17	5, 7, 16	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (tan‘-(i · 𝐴)) = -(tan‘(i · 𝐴)))
18	15, 17	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (tan‘(i · -𝐴)) = -(tan‘(i · 𝐴)))
19	18	oveq1d 7428	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · -𝐴)) / i) = (-(tan‘(i · 𝐴)) / i))
20	12, 19	eqtr4d 2798	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -((tan‘(i · 𝐴)) / i) = ((tan‘(i · -𝐴)) / i))
21		renegcl 11545	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
22		tanhlt1 16248	. . . . 5 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · -𝐴)) / i) < 1)
23	21, 22	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · -𝐴)) / i) < 1)
24	20, 23	eqbrtrd 5127	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -((tan‘(i · 𝐴)) / i) < 1)
25		1re 11232	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
26		ltnegcon1 11739	. . . 4 ⊢ ((((tan‘(i · 𝐴)) / i) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (-((tan‘(i · 𝐴)) / i) < 1 ↔ -1 < ((tan‘(i · 𝐴)) / i)))
27	1, 25, 26	sylancl 598	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-((tan‘(i · 𝐴)) / i) < 1 ↔ -1 < ((tan‘(i · 𝐴)) / i)))
28	24, 27	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -1 < ((tan‘(i · 𝐴)) / i))
29		tanhlt1 16248	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · 𝐴)) / i) < 1)
30		neg1rr 12228	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℝ
31	30	rexri 11291	. . 3 ⊢ -1 ∈ ℝ*
32	25	rexri 11291	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ*
33		elioo2 13439	. . 3 ⊢ ((-1 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → (((tan‘(i · 𝐴)) / i) ∈ (-1(,)1) ↔ (((tan‘(i · 𝐴)) / i) ∈ ℝ ∧ -1 < ((tan‘(i · 𝐴)) / i) ∧ ((tan‘(i · 𝐴)) / i) < 1)))
34	31, 32, 33	mp2an 705	. 2 ⊢ (((tan‘(i · 𝐴)) / i) ∈ (-1(,)1) ↔ (((tan‘(i · 𝐴)) / i) ∈ ℝ ∧ -1 < ((tan‘(i · 𝐴)) / i) ∧ ((tan‘(i · 𝐴)) / i) < 1))
35	1, 28, 29, 34	syl3anbrc 1362	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · 𝐴)) / i) ∈ (-1(,)1))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  ℂcc 11122  ℝcr 11123  0cc0 11124  1c1 11125  ici 11126   · cmul 11129  ℝ^*cxr 11266   < clt 11267  -cneg 11466   / cdiv 11895  (,)cioo 13398  cosccos 16150  tanctan 16151

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-inf2 9620  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-pm 8829  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-rp 13043  df-ioo 13402  df-ico 13404  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-fl 13853  df-seq 14066  df-exp 14126  df-fac 14338  df-bc 14367  df-hash 14395  df-shft 15140  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-limsup 15558  df-clim 15575  df-rlim 15576  df-sum 15774  df-ef 16153  df-sin 16155  df-cos 16156  df-tan 16157

This theorem is used by:  tanregt0  26776  atantan  27160