Theorem nmcl 24645

Description: The norm of a normed group is closed in the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmf.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
nmf.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
nmcl	⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nmcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmf.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		nmf.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
3	1, 2	nmf 24644	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝑁:𝑋⟶ℝ)
4	3	ffvelcdmda 7104	1 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6563  ℝcr 11152  Basecbs 17245  normcnm 24605  NrmGrpcngp 24606

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-0g 17488  df-topgen 17490  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-xms 24346  df-ms 24347  df-nm 24611  df-ngp 24612

This theorem is referenced by:  nmrpcl  24649  nm2dif  24654  nmgt0  24659  nminvr  24706  nmdvr  24707  nlmmul0or  24720  nlmvscnlem2  24722  nlmvscnlem1  24723  nrginvrcnlem  24728  nmoi  24765  nmoix  24766  nmoi2  24767  nmoleub  24768  nmo0  24772  nmoeq0  24773  nmoco  24774  nmotri  24776  nmoid  24779  nmoleub2lem  25161  nmoleub2lem3  25162  nmoleub2lem2  25163  nmoleub3  25166  nmhmcn  25167  ncvsm1  25202  ncvspi  25204  ncvs1  25205  cphnmf  25243  reipcl  25245  ipge0  25246  ipcnlem2  25292  ipcnlem1  25293  minveclem1  25472  minveclem2  25474  minveclem4  25480  minveclem6  25482  pjthlem1  25485