MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmcl 23140
Description: The norm of a normed group is closed in the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmf.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
nmf.n 𝑁 = (norm‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
nmcl ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nmcl
StepHypRef Expression
1 nmf.x . . 3 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 nmf.n . . 3 𝑁 = (norm‘𝐺)
31, 2nmf 23139 . 2 (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝑁:𝑋⟶ℝ)
43ffvelrnda 6847 1 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  cfv 6352  cr 10525  Basecbs 16473  normcnm 23101  NrmGrpcngp 23102
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-er 8279  df-map 8398  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-sup 8895  df-inf 8896  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-q 12338  df-rp 12380  df-xneg 12497  df-xadd 12498  df-xmul 12499  df-0g 16705  df-topgen 16707  df-mgm 17842  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-grp 18036  df-psmet 20453  df-xmet 20454  df-met 20455  df-bl 20456  df-mopn 20457  df-top 21418  df-topon 21435  df-topsp 21457  df-bases 21470  df-xms 22845  df-ms 22846  df-nm 23107  df-ngp 23108
This theorem is referenced by:  nmrpcl  23144  nm2dif  23149  nmgt0  23154  nminvr  23193  nmdvr  23194  nlmmul0or  23207  nlmvscnlem2  23209  nlmvscnlem1  23210  nrginvrcnlem  23215  nmoi  23252  nmoix  23253  nmoi2  23254  nmoleub  23255  nmo0  23259  nmoeq0  23260  nmoco  23261  nmotri  23263  nmoid  23266  nmoleub2lem  23633  nmoleub2lem3  23634  nmoleub2lem2  23635  nmoleub3  23638  nmhmcn  23639  ncvsm1  23673  ncvspi  23675  ncvs1  23676  cphnmf  23714  reipcl  23716  ipge0  23717  ipcnlem2  23762  ipcnlem1  23763  minveclem1  23942  minveclem2  23944  minveclem4  23950  minveclem6  23952  pjthlem1  23955
  Copyright terms: Public domain W3C validator