Theorem nmcl 24742

Description: The norm of a normed group is closed in the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmf.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
nmf.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
nmcl	⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nmcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmf.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		nmf.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
3	1, 2	nmf 24741	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝑁:𝑋⟶ℝ)
4	3	ffvelcdmda 7080	1 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6537  ℝcr 11099  Basecbs 17269  normcnm 24702  NrmGrpcngp 24703

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-sup 9402  df-inf 9403  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13137  df-xadd 13138  df-xmul 13139  df-0g 17494  df-topgen 17496  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-grp 19003  df-psmet 21483  df-xmet 21484  df-met 21485  df-bl 21486  df-mopn 21487  df-top 23020  df-topon 23037  df-topsp 23059  df-bases 23072  df-xms 24446  df-ms 24447  df-nm 24708  df-ngp 24709

This theorem is referenced by:  nmrpcl  24746  nm2dif  24751  nmgt0  24756  nminvr  24795  nmdvr  24796  nlmmul0or  24809  nlmvscnlem2  24811  nlmvscnlem1  24812  nrginvrcnlem  24817  nmoi  24854  nmoix  24855  nmoi2  24856  nmoleub  24857  nmo0  24861  nmoeq0  24862  nmoco  24863  nmotri  24865  nmoid  24868  nmoleub2lem  25242  nmoleub2lem3  25243  nmoleub2lem2  25244  nmoleub3  25247  nmhmcn  25248  ncvsm1  25282  ncvspi  25284  ncvs1  25285  cphnmf  25323  reipcl  25325  ipge0  25326  ipcnlem2  25372  ipcnlem1  25373  minveclem1  25552  minveclem2  25554  minveclem4  25560  minveclem6  25562  pjthlem1  25565