Theorem opgpgvtx 48553

Description: A vertex in a generalized Petersen graph 𝐺 as ordered pair. (Contributed by AV, 1-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
opgpgvtx.i	⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)
opgpgvtx.j	⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
opgpgvtx.g	⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 𝐾)
opgpgvtx.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
opgpgvtx	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ 𝑉 ↔ ((𝑋 = 0 ∨ 𝑋 = 1) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)))

Proof of Theorem opgpgvtx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opgpgvtx.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		opgpgvtx.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 𝐾)
3	2	fveq2i 6837	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾))
4	1, 3	eqtri 2763	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾))
5		eluz3nn 12837	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
6		opgpgvtx.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
7		opgpgvtx.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)
8	6, 7	gpgvtx 48541	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)) = ({0, 1} × 𝐼))
9	5, 8	sylan 586	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)) = ({0, 1} × 𝐼))
10	4, 9	eqtrid 2787	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝑉 = ({0, 1} × 𝐼))
11	10	eleq2d 2826	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ 𝑉 ↔ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ({0, 1} × 𝐼)))
12		opelxp 5661	. . 3 ⊢ (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ({0, 1} × 𝐼) ↔ (𝑋 ∈ {0, 1} ∧ 𝑌 ∈ 𝐼))
13	12	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ({0, 1} × 𝐼) ↔ (𝑋 ∈ {0, 1} ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)))
14		c0ex 11136	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
15		1ex 11138	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ V
16	14, 15	elpr2 4589	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ {0, 1} ↔ (𝑋 = 0 ∨ 𝑋 = 1))
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (𝑋 ∈ {0, 1} ↔ (𝑋 = 0 ∨ 𝑋 = 1)))
18	17	anbi1d 637	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → ((𝑋 ∈ {0, 1} ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ↔ ((𝑋 = 0 ∨ 𝑋 = 1) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)))
19	11, 13, 18	3bitrd 306	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ 𝑉 ↔ ((𝑋 = 0 ∨ 𝑋 = 1) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 853   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  {cpr 4564  ⟨cop 4568   × cxp 5623  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  0cc0 11036  1c1 11037   / cdiv 11805  ℕcn 12172  2c2 12234  3c3 12235  ℤ_≥cuz 12786  ..^cfzo 13606  ⌈cceil 13748  Vtxcvtx 29090   gPetersenGr cgpg 48538

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-oadd 8406  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-dju 9823  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-xnn0 12509  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-fz 13460  df-hash 14291  df-struct 17115  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-edgf 29083  df-vtx 29092  df-gpg 48539

This theorem is referenced by:  gpgedg2ov  48564  gpgedg2iv  48565  gpg3kgrtriex  48587