Theorem opgpgvtx 48046

Description: A vertex in a generalized Petersen graph 𝐺 as ordered pair. (Contributed by AV, 1-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
opgpgvtx.i	⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)
opgpgvtx.j	⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
opgpgvtx.g	⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 𝐾)
opgpgvtx.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
opgpgvtx	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ 𝑉 ↔ ((𝑋 = 0 ∨ 𝑋 = 1) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)))

Proof of Theorem opgpgvtx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opgpgvtx.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		opgpgvtx.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 𝐾)
3	2	fveq2i 6861	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾))
4	1, 3	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾))
5		eluz3nn 12848	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
6		opgpgvtx.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
7		opgpgvtx.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)
8	6, 7	gpgvtx 48034	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)) = ({0, 1} × 𝐼))
9	5, 8	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)) = ({0, 1} × 𝐼))
10	4, 9	eqtrid 2776	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝑉 = ({0, 1} × 𝐼))
11	10	eleq2d 2814	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ 𝑉 ↔ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ({0, 1} × 𝐼)))
12		opelxp 5674	. . 3 ⊢ (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ({0, 1} × 𝐼) ↔ (𝑋 ∈ {0, 1} ∧ 𝑌 ∈ 𝐼))
13	12	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ({0, 1} × 𝐼) ↔ (𝑋 ∈ {0, 1} ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)))
14		c0ex 11168	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
15		1ex 11170	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ V
16	14, 15	elpr2 4616	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ {0, 1} ↔ (𝑋 = 0 ∨ 𝑋 = 1))
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (𝑋 ∈ {0, 1} ↔ (𝑋 = 0 ∨ 𝑋 = 1)))
18	17	anbi1d 631	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → ((𝑋 ∈ {0, 1} ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ↔ ((𝑋 = 0 ∨ 𝑋 = 1) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)))
19	11, 13, 18	3bitrd 305	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ 𝑉 ↔ ((𝑋 = 0 ∨ 𝑋 = 1) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {cpr 4591  ⟨cop 4595   × cxp 5636  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  0cc0 11068  1c1 11069   / cdiv 11835  ℕcn 12186  2c2 12241  3c3 12242  ℤ_≥cuz 12793  ..^cfzo 13615  ⌈cceil 13753  Vtxcvtx 28923   gPetersenGr cgpg 48031

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-oadd 8438  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-dju 9854  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-xnn0 12516  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-fz 13469  df-hash 14296  df-struct 17117  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-edgf 28916  df-vtx 28925  df-gpg 48032

This theorem is referenced by:  gpgedg2ov  48057  gpgedg2iv  48058  gpg3kgrtriex  48080