Theorem opgpgvtx 48085

Description: A vertex in a generalized Petersen graph 𝐺 as ordered pair. (Contributed by AV, 1-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
opgpgvtx.i	⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)
opgpgvtx.j	⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
opgpgvtx.g	⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 𝐾)
opgpgvtx.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
opgpgvtx	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ 𝑉 ↔ ((𝑋 = 0 ∨ 𝑋 = 1) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)))

Proof of Theorem opgpgvtx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opgpgvtx.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		opgpgvtx.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 𝐾)
3	2	fveq2i 6825	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾))
4	1, 3	eqtri 2754	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾))
5		eluz3nn 12784	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
6		opgpgvtx.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
7		opgpgvtx.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)
8	6, 7	gpgvtx 48073	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)) = ({0, 1} × 𝐼))
9	5, 8	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)) = ({0, 1} × 𝐼))
10	4, 9	eqtrid 2778	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝑉 = ({0, 1} × 𝐼))
11	10	eleq2d 2817	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ 𝑉 ↔ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ({0, 1} × 𝐼)))
12		opelxp 5652	. . 3 ⊢ (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ({0, 1} × 𝐼) ↔ (𝑋 ∈ {0, 1} ∧ 𝑌 ∈ 𝐼))
13	12	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ({0, 1} × 𝐼) ↔ (𝑋 ∈ {0, 1} ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)))
14		c0ex 11103	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
15		1ex 11105	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ V
16	14, 15	elpr2 4603	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ {0, 1} ↔ (𝑋 = 0 ∨ 𝑋 = 1))
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (𝑋 ∈ {0, 1} ↔ (𝑋 = 0 ∨ 𝑋 = 1)))
18	17	anbi1d 631	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → ((𝑋 ∈ {0, 1} ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ↔ ((𝑋 = 0 ∨ 𝑋 = 1) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)))
19	11, 13, 18	3bitrd 305	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ 𝑉 ↔ ((𝑋 = 0 ∨ 𝑋 = 1) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {cpr 4578  ⟨cop 4582   × cxp 5614  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  0cc0 11003  1c1 11004   / cdiv 11771  ℕcn 12122  2c2 12177  3c3 12178  ℤ_≥cuz 12729  ..^cfzo 13551  ⌈cceil 13692  Vtxcvtx 28972   gPetersenGr cgpg 48070

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-oadd 8389  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-dju 9791  df-card 9829  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-7 12190  df-8 12191  df-9 12192  df-n0 12379  df-xnn0 12452  df-z 12466  df-dec 12586  df-uz 12730  df-fz 13405  df-hash 14235  df-struct 17055  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-edgf 28965  df-vtx 28974  df-gpg 48071

This theorem is referenced by:  gpgedg2ov  48096  gpgedg2iv  48097  gpg3kgrtriex  48119