Theorem opgpgvtx 48972

Description: A vertex in a generalized Petersen graph 𝐺 as ordered pair. (Contributed by AV, 1-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
opgpgvtx.i	⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)
opgpgvtx.j	⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
opgpgvtx.g	⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 𝐾)
opgpgvtx.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
opgpgvtx	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ 𝑉 ↔ ((𝑋 = 0 ∨ 𝑋 = 1) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)))

Proof of Theorem opgpgvtx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opgpgvtx.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		opgpgvtx.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 𝐾)
3	2	fveq2i 6882	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾))
4	1, 3	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾))
5		eluz3nn 12939	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
6		opgpgvtx.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
7		opgpgvtx.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)
8	6, 7	gpgvtx 48960	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)) = ({0, 1} × 𝐼))
9	5, 8	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)) = ({0, 1} × 𝐼))
10	4, 9	eqtrid 2807	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝑉 = ({0, 1} × 𝐼))
11	10	eleq2d 2846	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ 𝑉 ↔ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ({0, 1} × 𝐼)))
12		opelxp 5691	. . 3 ⊢ (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ({0, 1} × 𝐼) ↔ (𝑋 ∈ {0, 1} ∧ 𝑌 ∈ 𝐼))
13	12	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ({0, 1} × 𝐼) ↔ (𝑋 ∈ {0, 1} ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)))
14		c0ex 11225	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
15		1ex 11228	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ V
16	14, 15	elpr2 4611	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ {0, 1} ↔ (𝑋 = 0 ∨ 𝑋 = 1))
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (𝑋 ∈ {0, 1} ↔ (𝑋 = 0 ∨ 𝑋 = 1)))
18	17	anbi1d 643	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → ((𝑋 ∈ {0, 1} ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ↔ ((𝑋 = 0 ∨ 𝑋 = 1) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)))
19	11, 13, 18	3bitrd 308	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ 𝑉 ↔ ((𝑋 = 0 ∨ 𝑋 = 1) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {cpr 4586  ⟨cop 4590   × cxp 5653  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  0cc0 11125  1c1 11126   / cdiv 11896  ℕcn 12258  2c2 12320  3c3 12321  ℤ_≥cuz 12888  ..^cfzo 13710  ⌈cceil 13853  Vtxcvtx 29454   gPetersenGr cgpg 48957

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-oadd 8460  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-dju 9907  df-card 9945  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-xnn0 12603  df-z 12617  df-dec 12738  df-uz 12889  df-fz 13563  df-hash 14396  df-struct 17240  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-edgf 29447  df-vtx 29456  df-gpg 48958

This theorem is used by:  gpgedg2ov  48983  gpgedg2iv  48984  gpg3kgrtriex  49006