Theorem gpgvtx1 48018

Description: The inside vertices in a generalized Petersen graph 𝐺. (Contributed by AV, 28-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gpgvtx0.j	⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
gpgvtx0.g	⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 𝐾)
gpgvtx0.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gpgvtx1	⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉 ∧ ⟨1, (2nd ‘𝑋)⟩ ∈ 𝑉 ∧ ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉))

Proof of Theorem gpgvtx1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (0..^𝑁) = (0..^𝑁)
2		gpgvtx0.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
3		gpgvtx0.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 𝐾)
4		gpgvtx0.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
5	1, 2, 3, 4	gpgvtxel 48011	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (𝑋 ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑥 ∈ {0, 1}∃𝑦 ∈ (0..^𝑁)𝑋 = ⟨𝑥, 𝑦⟩))
6	3	fveq2i 6843	. . . . . . . 8 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾))
7	4, 6	eqtri 2752	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾))
8		eluz3nn 12824	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
9	2, 1	gpgvtx 48007	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)) = ({0, 1} × (0..^𝑁)))
10	8, 9	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)) = ({0, 1} × (0..^𝑁)))
11	10	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) → (Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)) = ({0, 1} × (0..^𝑁)))
12	7, 11	eqtrid 2776	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) → 𝑉 = ({0, 1} × (0..^𝑁)))
13		1ex 11146	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ V
14	13	prid2 4723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ {0, 1}
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) → 1 ∈ {0, 1})
16		elfzoelz 13596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^𝑁) → 𝑦 ∈ ℤ)
17	16	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑦 ∈ ℤ)
18	17	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) → 𝑦 ∈ ℤ)
19		elfzoelz 13596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → 𝐾 ∈ ℤ)
20	19, 2	eleq2s 2846	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ ℤ)
21	20	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝐾 ∈ ℤ)
22	21	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) → 𝐾 ∈ ℤ)
23	18, 22	zaddcld 12618	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) → (𝑦 + 𝐾) ∈ ℤ)
24	8	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝑁 ∈ ℕ)
25	24	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
26		zmodfzo 13832	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
27	23, 25, 26	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) → ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
28	15, 27	opelxpd 5670	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) → ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ ({0, 1} × (0..^𝑁)))
29		simprr 772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) → 𝑦 ∈ (0..^𝑁))
30	15, 29	opelxpd 5670	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) → ⟨1, 𝑦⟩ ∈ ({0, 1} × (0..^𝑁)))
31	18, 22	zsubcld 12619	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) → (𝑦 − 𝐾) ∈ ℤ)
32		zmodfzo 13832	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
33	31, 25, 32	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) → ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
34	15, 33	opelxpd 5670	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) → ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ ({0, 1} × (0..^𝑁)))
35	28, 30, 34	3jca 1128	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) → (⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∧ ⟨1, 𝑦⟩ ∈ ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∧ ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ ({0, 1} × (0..^𝑁))))
36	35	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝑉 = ({0, 1} × (0..^𝑁))) → (⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∧ ⟨1, 𝑦⟩ ∈ ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∧ ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ ({0, 1} × (0..^𝑁))))
37		eleq2 2817	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 = ({0, 1} × (0..^𝑁)) → (⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉 ↔ ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ ({0, 1} × (0..^𝑁))))
38		eleq2 2817	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 = ({0, 1} × (0..^𝑁)) → (⟨1, 𝑦⟩ ∈ 𝑉 ↔ ⟨1, 𝑦⟩ ∈ ({0, 1} × (0..^𝑁))))
39		eleq2 2817	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 = ({0, 1} × (0..^𝑁)) → (⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉 ↔ ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ ({0, 1} × (0..^𝑁))))
40	37, 38, 39	3anbi123d 1438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 = ({0, 1} × (0..^𝑁)) → ((⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉 ∧ ⟨1, 𝑦⟩ ∈ 𝑉 ∧ ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉) ↔ (⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∧ ⟨1, 𝑦⟩ ∈ ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∧ ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ ({0, 1} × (0..^𝑁)))))
41	40	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝑉 = ({0, 1} × (0..^𝑁))) → ((⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉 ∧ ⟨1, 𝑦⟩ ∈ 𝑉 ∧ ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉) ↔ (⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∧ ⟨1, 𝑦⟩ ∈ ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∧ ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ ({0, 1} × (0..^𝑁)))))
42	36, 41	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝑉 = ({0, 1} × (0..^𝑁))) → (⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉 ∧ ⟨1, 𝑦⟩ ∈ 𝑉 ∧ ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉))
43	12, 42	mpdan 687	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) → (⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉 ∧ ⟨1, 𝑦⟩ ∈ 𝑉 ∧ ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉))
44		vex 3448	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
45		vex 3448	. . . . . . 7 ⊢ 𝑦 ∈ V
46	44, 45	op2ndd 7958	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (2nd ‘𝑋) = 𝑦)
47		oveq1 7376	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2nd ‘𝑋) = 𝑦 → ((2nd ‘𝑋) + 𝐾) = (𝑦 + 𝐾))
48	47	oveq1d 7384	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2nd ‘𝑋) = 𝑦 → (((2nd ‘𝑋) + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁))
49	48	opeq2d 4840	. . . . . . . 8 ⊢ ((2nd ‘𝑋) = 𝑦 → ⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩)
50	49	eleq1d 2813	. . . . . . 7 ⊢ ((2nd ‘𝑋) = 𝑦 → (⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉 ↔ ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉))
51		opeq2 4834	. . . . . . . 8 ⊢ ((2nd ‘𝑋) = 𝑦 → ⟨1, (2nd ‘𝑋)⟩ = ⟨1, 𝑦⟩)
52	51	eleq1d 2813	. . . . . . 7 ⊢ ((2nd ‘𝑋) = 𝑦 → (⟨1, (2nd ‘𝑋)⟩ ∈ 𝑉 ↔ ⟨1, 𝑦⟩ ∈ 𝑉))
53		oveq1 7376	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2nd ‘𝑋) = 𝑦 → ((2nd ‘𝑋) − 𝐾) = (𝑦 − 𝐾))
54	53	oveq1d 7384	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2nd ‘𝑋) = 𝑦 → (((2nd ‘𝑋) − 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁))
55	54	opeq2d 4840	. . . . . . . 8 ⊢ ((2nd ‘𝑋) = 𝑦 → ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩)
56	55	eleq1d 2813	. . . . . . 7 ⊢ ((2nd ‘𝑋) = 𝑦 → (⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉 ↔ ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉))
57	50, 52, 56	3anbi123d 1438	. . . . . 6 ⊢ ((2nd ‘𝑋) = 𝑦 → ((⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉 ∧ ⟨1, (2nd ‘𝑋)⟩ ∈ 𝑉 ∧ ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉) ↔ (⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉 ∧ ⟨1, 𝑦⟩ ∈ 𝑉 ∧ ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉)))
58	46, 57	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ((⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉 ∧ ⟨1, (2nd ‘𝑋)⟩ ∈ 𝑉 ∧ ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉) ↔ (⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉 ∧ ⟨1, 𝑦⟩ ∈ 𝑉 ∧ ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉)))
59	43, 58	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) → (𝑋 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉 ∧ ⟨1, (2nd ‘𝑋)⟩ ∈ 𝑉 ∧ ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉)))
60	59	rexlimdvva 3192	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (∃𝑥 ∈ {0, 1}∃𝑦 ∈ (0..^𝑁)𝑋 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉 ∧ ⟨1, (2nd ‘𝑋)⟩ ∈ 𝑉 ∧ ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉)))
61	5, 60	sylbid 240	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (𝑋 ∈ 𝑉 → (⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉 ∧ ⟨1, (2nd ‘𝑋)⟩ ∈ 𝑉 ∧ ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉)))
62	61	imp 406	1 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉 ∧ ⟨1, (2nd ‘𝑋)⟩ ∈ 𝑉 ∧ ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  {cpr 4587  ⟨cop 4591   × cxp 5629  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  2^nd c2nd 7946  0cc0 11044  1c1 11045   + caddc 11047   − cmin 11381   / cdiv 11811  ℕcn 12162  2c2 12217  3c3 12218  ℤcz 12505  ℤ_≥cuz 12769  ..^cfzo 13591  ⌈cceil 13729   mod cmo 13807  Vtxcvtx 28899   gPetersenGr cgpg 48004

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-oadd 8415  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-inf 9370  df-dju 9830  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-xnn0 12492  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-rp 12928  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-fl 13730  df-mod 13808  df-hash 14272  df-struct 17093  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-edgf 28892  df-vtx 28901  df-gpg 48005

This theorem is referenced by:  gpgnbgrvtx0  48038  gpgnbgrvtx1  48039