Theorem gpgvtx1 48637

Description: The inside vertices in a generalized Petersen graph 𝐺. (Contributed by AV, 28-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gpgvtx0.j	⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
gpgvtx0.g	⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 𝐾)
gpgvtx0.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gpgvtx1	⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉 ∧ ⟨1, (2nd ‘𝑋)⟩ ∈ 𝑉 ∧ ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉))

Proof of Theorem gpgvtx1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (0..^𝑁) = (0..^𝑁)
2		gpgvtx0.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
3		gpgvtx0.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 𝐾)
4		gpgvtx0.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
5	1, 2, 3, 4	gpgvtxel 48630	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (𝑋 ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑥 ∈ {0, 1}∃𝑦 ∈ (0..^𝑁)𝑋 = ⟨𝑥, 𝑦⟩))
6	3	fveq2i 6865	. . . . . . . 8 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾))
7	4, 6	eqtri 2784	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾))
8		eluz3nn 12884	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
9	2, 1	gpgvtx 48626	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)) = ({0, 1} × (0..^𝑁)))
10	8, 9	sylan 589	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)) = ({0, 1} × (0..^𝑁)))
11	10	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) → (Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)) = ({0, 1} × (0..^𝑁)))
12	7, 11	eqtrid 2808	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) → 𝑉 = ({0, 1} × (0..^𝑁)))
13		1ex 11170	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ V
14	13	prid2 4719	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ {0, 1}
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) → 1 ∈ {0, 1})
16		elfzoelz 13658	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^𝑁) → 𝑦 ∈ ℤ)
17	16	adantl 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑦 ∈ ℤ)
18	17	adantl 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) → 𝑦 ∈ ℤ)
19		elfzoelz 13658	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → 𝐾 ∈ ℤ)
20	19, 2	eleq2s 2879	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ ℤ)
21	20	adantl 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝐾 ∈ ℤ)
22	21	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) → 𝐾 ∈ ℤ)
23	18, 22	zaddcld 12675	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) → (𝑦 + 𝐾) ∈ ℤ)
24	8	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝑁 ∈ ℕ)
25	24	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
26		zmodfzo 13898	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
27	23, 25, 26	syl2anc 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) → ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
28	15, 27	opelxpd 5682	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) → ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ ({0, 1} × (0..^𝑁)))
29		simprr 782	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) → 𝑦 ∈ (0..^𝑁))
30	15, 29	opelxpd 5682	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) → ⟨1, 𝑦⟩ ∈ ({0, 1} × (0..^𝑁)))
31	18, 22	zsubcld 12676	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) → (𝑦 − 𝐾) ∈ ℤ)
32		zmodfzo 13898	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
33	31, 25, 32	syl2anc 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) → ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
34	15, 33	opelxpd 5682	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) → ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ ({0, 1} × (0..^𝑁)))
35	28, 30, 34	3jca 1140	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) → (⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∧ ⟨1, 𝑦⟩ ∈ ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∧ ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ ({0, 1} × (0..^𝑁))))
36	35	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝑉 = ({0, 1} × (0..^𝑁))) → (⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∧ ⟨1, 𝑦⟩ ∈ ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∧ ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ ({0, 1} × (0..^𝑁))))
37		eleq2 2850	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 = ({0, 1} × (0..^𝑁)) → (⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉 ↔ ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ ({0, 1} × (0..^𝑁))))
38		eleq2 2850	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 = ({0, 1} × (0..^𝑁)) → (⟨1, 𝑦⟩ ∈ 𝑉 ↔ ⟨1, 𝑦⟩ ∈ ({0, 1} × (0..^𝑁))))
39		eleq2 2850	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 = ({0, 1} × (0..^𝑁)) → (⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉 ↔ ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ ({0, 1} × (0..^𝑁))))
40	37, 38, 39	3anbi123d 1456	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 = ({0, 1} × (0..^𝑁)) → ((⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉 ∧ ⟨1, 𝑦⟩ ∈ 𝑉 ∧ ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉) ↔ (⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∧ ⟨1, 𝑦⟩ ∈ ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∧ ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ ({0, 1} × (0..^𝑁)))))
41	40	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝑉 = ({0, 1} × (0..^𝑁))) → ((⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉 ∧ ⟨1, 𝑦⟩ ∈ 𝑉 ∧ ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉) ↔ (⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∧ ⟨1, 𝑦⟩ ∈ ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∧ ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ ({0, 1} × (0..^𝑁)))))
42	36, 41	mpbird 259	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝑉 = ({0, 1} × (0..^𝑁))) → (⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉 ∧ ⟨1, 𝑦⟩ ∈ 𝑉 ∧ ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉))
43	12, 42	mpdan 697	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) → (⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉 ∧ ⟨1, 𝑦⟩ ∈ 𝑉 ∧ ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉))
44		vex 3457	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
45		vex 3457	. . . . . . 7 ⊢ 𝑦 ∈ V
46	44, 45	op2ndd 7976	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (2nd ‘𝑋) = 𝑦)
47		oveq1 7398	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2nd ‘𝑋) = 𝑦 → ((2nd ‘𝑋) + 𝐾) = (𝑦 + 𝐾))
48	47	oveq1d 7406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2nd ‘𝑋) = 𝑦 → (((2nd ‘𝑋) + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁))
49	48	opeq2d 4835	. . . . . . . 8 ⊢ ((2nd ‘𝑋) = 𝑦 → ⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩)
50	49	eleq1d 2846	. . . . . . 7 ⊢ ((2nd ‘𝑋) = 𝑦 → (⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉 ↔ ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉))
51		opeq2 4829	. . . . . . . 8 ⊢ ((2nd ‘𝑋) = 𝑦 → ⟨1, (2nd ‘𝑋)⟩ = ⟨1, 𝑦⟩)
52	51	eleq1d 2846	. . . . . . 7 ⊢ ((2nd ‘𝑋) = 𝑦 → (⟨1, (2nd ‘𝑋)⟩ ∈ 𝑉 ↔ ⟨1, 𝑦⟩ ∈ 𝑉))
53		oveq1 7398	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2nd ‘𝑋) = 𝑦 → ((2nd ‘𝑋) − 𝐾) = (𝑦 − 𝐾))
54	53	oveq1d 7406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2nd ‘𝑋) = 𝑦 → (((2nd ‘𝑋) − 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁))
55	54	opeq2d 4835	. . . . . . . 8 ⊢ ((2nd ‘𝑋) = 𝑦 → ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩)
56	55	eleq1d 2846	. . . . . . 7 ⊢ ((2nd ‘𝑋) = 𝑦 → (⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉 ↔ ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉))
57	50, 52, 56	3anbi123d 1456	. . . . . 6 ⊢ ((2nd ‘𝑋) = 𝑦 → ((⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉 ∧ ⟨1, (2nd ‘𝑋)⟩ ∈ 𝑉 ∧ ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉) ↔ (⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉 ∧ ⟨1, 𝑦⟩ ∈ 𝑉 ∧ ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉)))
58	46, 57	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ((⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉 ∧ ⟨1, (2nd ‘𝑋)⟩ ∈ 𝑉 ∧ ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉) ↔ (⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉 ∧ ⟨1, 𝑦⟩ ∈ 𝑉 ∧ ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉)))
59	43, 58	syl5ibrcom 249	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) → (𝑋 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉 ∧ ⟨1, (2nd ‘𝑋)⟩ ∈ 𝑉 ∧ ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉)))
60	59	rexlimdvva 3218	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (∃𝑥 ∈ {0, 1}∃𝑦 ∈ (0..^𝑁)𝑋 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉 ∧ ⟨1, (2nd ‘𝑋)⟩ ∈ 𝑉 ∧ ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉)))
61	5, 60	sylbid 242	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (𝑋 ∈ 𝑉 → (⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉 ∧ ⟨1, (2nd ‘𝑋)⟩ ∈ 𝑉 ∧ ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉)))
62	61	imp 410	1 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉 ∧ ⟨1, (2nd ‘𝑋)⟩ ∈ 𝑉 ∧ ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∃wrex 3085  {cpr 4581  ⟨cop 4585   × cxp 5641  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  2^nd c2nd 7964  0cc0 11067  1c1 11068   + caddc 11070   − cmin 11408   / cdiv 11838  ℕcn 12204  2c2 12266  3c3 12267  ℤcz 12562  ℤ_≥cuz 12833  ..^cfzo 13653  ⌈cceil 13795   mod cmo 13873  Vtxcvtx 29154   gPetersenGr cgpg 48623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144  ax-pre-sup 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-oadd 8435  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9382  df-inf 9383  df-dju 9853  df-card 9891  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-div 11839  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12476  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-dec 12683  df-uz 12834  df-rp 12988  df-fz 13507  df-fzo 13654  df-fl 13796  df-mod 13874  df-hash 14338  df-struct 17174  df-slot 17209  df-ndx 17221  df-base 17237  df-edgf 29147  df-vtx 29156  df-gpg 48624

This theorem is referenced by:  gpgnbgrvtx0  48657  gpgnbgrvtx1  48658