Theorem gpgvtx1 48035

Description: The inside vertices in a generalized Petersen graph 𝐺. (Contributed by AV, 28-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gpgvtx0.j	⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
gpgvtx0.g	⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 𝐾)
gpgvtx0.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gpgvtx1	⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉 ∧ ⟨1, (2nd ‘𝑋)⟩ ∈ 𝑉 ∧ ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉))

Proof of Theorem gpgvtx1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (0..^𝑁) = (0..^𝑁)
2		gpgvtx0.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
3		gpgvtx0.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 𝐾)
4		gpgvtx0.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
5	1, 2, 3, 4	gpgvtxel 48028	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (𝑋 ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑥 ∈ {0, 1}∃𝑦 ∈ (0..^𝑁)𝑋 = ⟨𝑥, 𝑦⟩))
6	3	fveq2i 6863	. . . . . . . 8 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾))
7	4, 6	eqtri 2753	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾))
8		eluz3nn 12854	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
9	2, 1	gpgvtx 48024	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)) = ({0, 1} × (0..^𝑁)))
10	8, 9	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)) = ({0, 1} × (0..^𝑁)))
11	10	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) → (Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)) = ({0, 1} × (0..^𝑁)))
12	7, 11	eqtrid 2777	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) → 𝑉 = ({0, 1} × (0..^𝑁)))
13		1ex 11176	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ V
14	13	prid2 4729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ {0, 1}
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) → 1 ∈ {0, 1})
16		elfzoelz 13626	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^𝑁) → 𝑦 ∈ ℤ)
17	16	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑦 ∈ ℤ)
18	17	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) → 𝑦 ∈ ℤ)
19		elfzoelz 13626	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → 𝐾 ∈ ℤ)
20	19, 2	eleq2s 2847	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ ℤ)
21	20	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝐾 ∈ ℤ)
22	21	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) → 𝐾 ∈ ℤ)
23	18, 22	zaddcld 12648	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) → (𝑦 + 𝐾) ∈ ℤ)
24	8	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝑁 ∈ ℕ)
25	24	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
26		zmodfzo 13862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
27	23, 25, 26	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) → ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
28	15, 27	opelxpd 5679	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) → ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ ({0, 1} × (0..^𝑁)))
29		simprr 772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) → 𝑦 ∈ (0..^𝑁))
30	15, 29	opelxpd 5679	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) → ⟨1, 𝑦⟩ ∈ ({0, 1} × (0..^𝑁)))
31	18, 22	zsubcld 12649	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) → (𝑦 − 𝐾) ∈ ℤ)
32		zmodfzo 13862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
33	31, 25, 32	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) → ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
34	15, 33	opelxpd 5679	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) → ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ ({0, 1} × (0..^𝑁)))
35	28, 30, 34	3jca 1128	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) → (⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∧ ⟨1, 𝑦⟩ ∈ ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∧ ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ ({0, 1} × (0..^𝑁))))
36	35	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝑉 = ({0, 1} × (0..^𝑁))) → (⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∧ ⟨1, 𝑦⟩ ∈ ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∧ ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ ({0, 1} × (0..^𝑁))))
37		eleq2 2818	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 = ({0, 1} × (0..^𝑁)) → (⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉 ↔ ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ ({0, 1} × (0..^𝑁))))
38		eleq2 2818	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 = ({0, 1} × (0..^𝑁)) → (⟨1, 𝑦⟩ ∈ 𝑉 ↔ ⟨1, 𝑦⟩ ∈ ({0, 1} × (0..^𝑁))))
39		eleq2 2818	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 = ({0, 1} × (0..^𝑁)) → (⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉 ↔ ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ ({0, 1} × (0..^𝑁))))
40	37, 38, 39	3anbi123d 1438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 = ({0, 1} × (0..^𝑁)) → ((⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉 ∧ ⟨1, 𝑦⟩ ∈ 𝑉 ∧ ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉) ↔ (⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∧ ⟨1, 𝑦⟩ ∈ ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∧ ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ ({0, 1} × (0..^𝑁)))))
41	40	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝑉 = ({0, 1} × (0..^𝑁))) → ((⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉 ∧ ⟨1, 𝑦⟩ ∈ 𝑉 ∧ ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉) ↔ (⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∧ ⟨1, 𝑦⟩ ∈ ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∧ ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ ({0, 1} × (0..^𝑁)))))
42	36, 41	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝑉 = ({0, 1} × (0..^𝑁))) → (⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉 ∧ ⟨1, 𝑦⟩ ∈ 𝑉 ∧ ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉))
43	12, 42	mpdan 687	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) → (⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉 ∧ ⟨1, 𝑦⟩ ∈ 𝑉 ∧ ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉))
44		vex 3454	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
45		vex 3454	. . . . . . 7 ⊢ 𝑦 ∈ V
46	44, 45	op2ndd 7981	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (2nd ‘𝑋) = 𝑦)
47		oveq1 7396	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2nd ‘𝑋) = 𝑦 → ((2nd ‘𝑋) + 𝐾) = (𝑦 + 𝐾))
48	47	oveq1d 7404	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2nd ‘𝑋) = 𝑦 → (((2nd ‘𝑋) + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁))
49	48	opeq2d 4846	. . . . . . . 8 ⊢ ((2nd ‘𝑋) = 𝑦 → ⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩)
50	49	eleq1d 2814	. . . . . . 7 ⊢ ((2nd ‘𝑋) = 𝑦 → (⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉 ↔ ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉))
51		opeq2 4840	. . . . . . . 8 ⊢ ((2nd ‘𝑋) = 𝑦 → ⟨1, (2nd ‘𝑋)⟩ = ⟨1, 𝑦⟩)
52	51	eleq1d 2814	. . . . . . 7 ⊢ ((2nd ‘𝑋) = 𝑦 → (⟨1, (2nd ‘𝑋)⟩ ∈ 𝑉 ↔ ⟨1, 𝑦⟩ ∈ 𝑉))
53		oveq1 7396	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2nd ‘𝑋) = 𝑦 → ((2nd ‘𝑋) − 𝐾) = (𝑦 − 𝐾))
54	53	oveq1d 7404	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2nd ‘𝑋) = 𝑦 → (((2nd ‘𝑋) − 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁))
55	54	opeq2d 4846	. . . . . . . 8 ⊢ ((2nd ‘𝑋) = 𝑦 → ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩)
56	55	eleq1d 2814	. . . . . . 7 ⊢ ((2nd ‘𝑋) = 𝑦 → (⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉 ↔ ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉))
57	50, 52, 56	3anbi123d 1438	. . . . . 6 ⊢ ((2nd ‘𝑋) = 𝑦 → ((⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉 ∧ ⟨1, (2nd ‘𝑋)⟩ ∈ 𝑉 ∧ ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉) ↔ (⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉 ∧ ⟨1, 𝑦⟩ ∈ 𝑉 ∧ ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉)))
58	46, 57	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ((⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉 ∧ ⟨1, (2nd ‘𝑋)⟩ ∈ 𝑉 ∧ ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉) ↔ (⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉 ∧ ⟨1, 𝑦⟩ ∈ 𝑉 ∧ ⟨1, ((𝑦 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉)))
59	43, 58	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) → (𝑋 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉 ∧ ⟨1, (2nd ‘𝑋)⟩ ∈ 𝑉 ∧ ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉)))
60	59	rexlimdvva 3195	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (∃𝑥 ∈ {0, 1}∃𝑦 ∈ (0..^𝑁)𝑋 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉 ∧ ⟨1, (2nd ‘𝑋)⟩ ∈ 𝑉 ∧ ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉)))
61	5, 60	sylbid 240	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (𝑋 ∈ 𝑉 → (⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉 ∧ ⟨1, (2nd ‘𝑋)⟩ ∈ 𝑉 ∧ ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉)))
62	61	imp 406	1 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (⟨1, (((2nd ‘𝑋) + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉 ∧ ⟨1, (2nd ‘𝑋)⟩ ∈ 𝑉 ∧ ⟨1, (((2nd ‘𝑋) − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3054  {cpr 4593  ⟨cop 4597   × cxp 5638  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  2^nd c2nd 7969  0cc0 11074  1c1 11075   + caddc 11077   − cmin 11411   / cdiv 11841  ℕcn 12187  2c2 12242  3c3 12243  ℤcz 12535  ℤ_≥cuz 12799  ..^cfzo 13621  ⌈cceil 13759   mod cmo 13837  Vtxcvtx 28929   gPetersenGr cgpg 48021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-oadd 8440  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-sup 9399  df-inf 9400  df-dju 9860  df-card 9898  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-4 12252  df-5 12253  df-6 12254  df-7 12255  df-8 12256  df-9 12257  df-n0 12449  df-xnn0 12522  df-z 12536  df-dec 12656  df-uz 12800  df-rp 12958  df-fz 13475  df-fzo 13622  df-fl 13760  df-mod 13838  df-hash 14302  df-struct 17123  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-edgf 28922  df-vtx 28931  df-gpg 48022

This theorem is referenced by:  gpgnbgrvtx0  48055  gpgnbgrvtx1  48056