Theorem gpgvtx 47892

Description: The vertices of the generalized Petersen graph GPG(N,K). (Contributed by AV, 26-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gpgov.j	⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
gpgov.i	⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)

Assertion

Ref	Expression
gpgvtx	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)) = ({0, 1} × 𝐼))

Proof of Theorem gpgvtx

Dummy variables 𝑒 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gpgov.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
2		gpgov.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)
3	1, 2	gpgov 47891	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (𝑁 gPetersenGr 𝐾) = {⟨(Base‘ndx), ({0, 1} × 𝐼)⟩, ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼) ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐼 (𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})})⟩})
4	3	fveq2d 6927	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)) = (Vtx‘{⟨(Base‘ndx), ({0, 1} × 𝐼)⟩, ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼) ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐼 (𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})})⟩}))
5		prex 5453	. . . . 5 ⊢ {0, 1} ∈ V
6	2	ovexi 7485	. . . . 5 ⊢ 𝐼 ∈ V
7	5, 6	xpex 7791	. . . 4 ⊢ ({0, 1} × 𝐼) ∈ V
8		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼) ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐼 (𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})} = {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼) ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐼 (𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})}
9	5	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 = (0..^𝑁) → {0, 1} ∈ V)
10		ovexd 7486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 = (0..^𝑁) → (0..^𝑁) ∈ V)
11	2, 10	eqeltrid 2848	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 = (0..^𝑁) → 𝐼 ∈ V)
12	9, 11	xpexd 7789	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 = (0..^𝑁) → ({0, 1} × 𝐼) ∈ V)
13	12	pwexd 5398	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 = (0..^𝑁) → 𝒫 ({0, 1} × 𝐼) ∈ V)
14	8, 13	rabexd 5359	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 = (0..^𝑁) → {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼) ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐼 (𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})} ∈ V)
15	14	resiexd 7256	. . . . 5 ⊢ (𝐼 = (0..^𝑁) → ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼) ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐼 (𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})}) ∈ V)
16	2, 15	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼) ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐼 (𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})}) ∈ V
17	7, 16	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (({0, 1} × 𝐼) ∈ V ∧ ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼) ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐼 (𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})}) ∈ V)
18		eqid 2740	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ({0, 1} × 𝐼)⟩, ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼) ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐼 (𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})})⟩} = {⟨(Base‘ndx), ({0, 1} × 𝐼)⟩, ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼) ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐼 (𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})})⟩}
19	18	struct2grvtx 29082	. . 3 ⊢ ((({0, 1} × 𝐼) ∈ V ∧ ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼) ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐼 (𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})}) ∈ V) → (Vtx‘{⟨(Base‘ndx), ({0, 1} × 𝐼)⟩, ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼) ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐼 (𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})})⟩}) = ({0, 1} × 𝐼))
20	17, 19	mp1i 13	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (Vtx‘{⟨(Base‘ndx), ({0, 1} × 𝐼)⟩, ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼) ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐼 (𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})})⟩}) = ({0, 1} × 𝐼))
21	4, 20	eqtrd 2780	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)) = ({0, 1} × 𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ w3o 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3076  {crab 3443  Vcvv 3488  𝒫 cpw 4622  {cpr 4650  ⟨cop 4654   I cid 5593   × cxp 5699   ↾ cres 5703  ‘cfv 6576  (class class class)co 7451  0cc0 11187  1c1 11188   + caddc 11190   / cdiv 11952  ℕcn 12298  2c2 12353  ..^cfzo 13722  ⌈cceil 13858   mod cmo 13936  ndxcnx 17260  Basecbs 17278  .efcedgf 29041  Vtxcvtx 29051   gPetersenGr cgpg 47889

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5304  ax-sep 5318  ax-nul 5325  ax-pow 5384  ax-pr 5448  ax-un 7773  ax-cnex 11243  ax-resscn 11244  ax-1cn 11245  ax-icn 11246  ax-addcl 11247  ax-addrcl 11248  ax-mulcl 11249  ax-mulrcl 11250  ax-mulcom 11251  ax-addass 11252  ax-mulass 11253  ax-distr 11254  ax-i2m1 11255  ax-1ne0 11256  ax-1rid 11257  ax-rnegex 11258  ax-rrecex 11259  ax-cnre 11260  ax-pre-lttri 11261  ax-pre-lttrn 11262  ax-pre-ltadd 11263  ax-pre-mulgt0 11264

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4933  df-int 4972  df-iun 5018  df-br 5168  df-opab 5230  df-mpt 5251  df-tr 5285  df-id 5594  df-eprel 5600  df-po 5608  df-so 5609  df-fr 5653  df-we 5655  df-xp 5707  df-rel 5708  df-cnv 5709  df-co 5710  df-dm 5711  df-rn 5712  df-res 5713  df-ima 5714  df-pred 6335  df-ord 6401  df-on 6402  df-lim 6403  df-suc 6404  df-iota 6528  df-fun 6578  df-fn 6579  df-f 6580  df-f1 6581  df-fo 6582  df-f1o 6583  df-fv 6584  df-riota 7407  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7907  df-1st 8033  df-2nd 8034  df-frecs 8325  df-wrecs 8356  df-recs 8430  df-rdg 8469  df-1o 8525  df-oadd 8529  df-er 8766  df-en 9007  df-dom 9008  df-sdom 9009  df-fin 9010  df-dju 9973  df-card 10011  df-pnf 11329  df-mnf 11330  df-xr 11331  df-ltxr 11332  df-le 11333  df-sub 11526  df-neg 11527  df-nn 12299  df-2 12361  df-3 12362  df-4 12363  df-5 12364  df-6 12365  df-7 12366  df-8 12367  df-9 12368  df-n0 12559  df-xnn0 12632  df-z 12646  df-dec 12766  df-uz 12911  df-fz 13579  df-hash 14397  df-struct 17214  df-slot 17249  df-ndx 17261  df-base 17279  df-edgf 29042  df-vtx 29053  df-gpg 47890

This theorem is referenced by:  gpgvtxel  47895  gpgvtx0  47898  gpgvtx1  47899  gpgusgra  47901