Theorem oppccatb 48993

Description: An opposite category is a category. (Contributed by Zhi Wang, 23-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppccatb.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
oppccatb.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
oppccatb	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ Cat ↔ 𝑂 ∈ Cat))

Proof of Theorem oppccatb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppccatb.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
2	1	oppccat 17689	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → 𝑂 ∈ Cat)
3		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (oppCat‘𝑂) = (oppCat‘𝑂)
4	3	oppccat 17689	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ Cat → (oppCat‘𝑂) ∈ Cat)
5	1	2oppchomf 17691	. . . . 5 ⊢ (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂))
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂)))
7	1	2oppccomf 17692	. . . . 5 ⊢ (compf‘𝐶) = (compf‘(oppCat‘𝑂))
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (compf‘𝐶) = (compf‘(oppCat‘𝑂)))
9		oppccatb.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
10		fvexd 6875	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (oppCat‘𝑂) ∈ V)
11	6, 8, 9, 10	catpropd 17676	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ Cat ↔ (oppCat‘𝑂) ∈ Cat))
12	4, 11	imbitrrid 246	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ∈ Cat → 𝐶 ∈ Cat))
13	2, 12	impbid2 226	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ Cat ↔ 𝑂 ∈ Cat))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450  ‘cfv 6513  Catccat 17631  Hom_f chomf 17633  comp_fccomf 17634  oppCatcoppc 17678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-4 12252  df-5 12253  df-6 12254  df-7 12255  df-8 12256  df-9 12257  df-n0 12449  df-z 12536  df-dec 12656  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-hom 17250  df-cco 17251  df-cat 17635  df-cid 17636  df-homf 17637  df-comf 17638  df-oppc 17679

This theorem is referenced by:  oppcinito  49206  oppctermo  49207  oppczeroo  49208  oppc1stflem  49258