Theorem oppc1stflem 49319

Description: A utility theorem for proving theorems on projection functors of opposite categories. (Contributed by Zhi Wang, 19-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppc1stf.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
oppc1stf.p	⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
oppc1stf.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
oppc1stf.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑊)
oppc1stflem.1	⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat)) → ( oppFunc ‘(𝐶𝐹𝐷)) = (𝑂𝐹𝑃))
oppc1stflem.f	⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ Cat, 𝑑 ∈ Cat ↦ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
oppc1stflem	⊢ (𝜑 → ( oppFunc ‘(𝐶𝐹𝐷)) = (𝑂𝐹𝑃))

Distinct variable group:   𝑐,𝑑

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑐,𝑑)   𝐶(𝑐,𝑑)   𝐷(𝑐,𝑑)   𝑃(𝑐,𝑑)   𝐹(𝑐,𝑑)   𝑂(𝑐,𝑑)   𝑉(𝑐,𝑑)   𝑊(𝑐,𝑑)   𝑌(𝑐,𝑑)

Proof of Theorem oppc1stflem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ ( oppFunc ‘(𝐶𝐹𝐷)) = ( oppFunc ‘(𝐶𝐹𝐷))
2		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( oppFunc ‘(𝐶𝐹𝐷))) → 𝑥 ∈ ( oppFunc ‘(𝐶𝐹𝐷)))
3	1, 2	eloppf 49165	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( oppFunc ‘(𝐶𝐹𝐷))) → ((𝐶𝐹𝐷) ≠ ∅ ∧ (Rel (2nd ‘(𝐶𝐹𝐷)) ∧ Rel dom (2nd ‘(𝐶𝐹𝐷)))))
4	3	simpld 494	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( oppFunc ‘(𝐶𝐹𝐷))) → (𝐶𝐹𝐷) ≠ ∅)
5		oppc1stflem.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ Cat, 𝑑 ∈ Cat ↦ 𝑌)
6	5	mpondm0 7581	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (𝐶𝐹𝐷) = ∅)
7	6	necon1ai 2955	. . . . 5 ⊢ ((𝐶𝐹𝐷) ≠ ∅ → (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat))
8	4, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( oppFunc ‘(𝐶𝐹𝐷))) → (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat))
9		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( oppFunc ‘(𝐶𝐹𝐷))) ∧ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat)) → 𝑥 ∈ ( oppFunc ‘(𝐶𝐹𝐷)))
10		oppc1stflem.1	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat)) → ( oppFunc ‘(𝐶𝐹𝐷)) = (𝑂𝐹𝑃))
11	10	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( oppFunc ‘(𝐶𝐹𝐷))) ∧ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat)) → ( oppFunc ‘(𝐶𝐹𝐷)) = (𝑂𝐹𝑃))
12	9, 11	eleqtrd 2833	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( oppFunc ‘(𝐶𝐹𝐷))) ∧ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat)) → 𝑥 ∈ (𝑂𝐹𝑃))
13	8, 12	mpdan 687	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( oppFunc ‘(𝐶𝐹𝐷))) → 𝑥 ∈ (𝑂𝐹𝑃))
14		oppc1stf.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
15		oppc1stf.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
16	14, 15	oppccatb 49048	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ Cat ↔ 𝑂 ∈ Cat))
17		oppc1stf.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
18		oppc1stf.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑊)
19	17, 18	oppccatb 49048	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ Cat ↔ 𝑃 ∈ Cat))
20	16, 19	anbi12d 632	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) ↔ (𝑂 ∈ Cat ∧ 𝑃 ∈ Cat)))
21	20	biimprd 248	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑂 ∈ Cat ∧ 𝑃 ∈ Cat) → (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat)))
22	5	elmpocl 7582	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑂𝐹𝑃) → (𝑂 ∈ Cat ∧ 𝑃 ∈ Cat))
23	21, 22	impel 505	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝐹𝑃)) → (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat))
24		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝐹𝑃)) ∧ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat)) → 𝑥 ∈ (𝑂𝐹𝑃))
25	10	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝐹𝑃)) ∧ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat)) → ( oppFunc ‘(𝐶𝐹𝐷)) = (𝑂𝐹𝑃))
26	24, 25	eleqtrrd 2834	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝐹𝑃)) ∧ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat)) → 𝑥 ∈ ( oppFunc ‘(𝐶𝐹𝐷)))
27	23, 26	mpdan 687	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝐹𝑃)) → 𝑥 ∈ ( oppFunc ‘(𝐶𝐹𝐷)))
28	13, 27	impbida 800	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ( oppFunc ‘(𝐶𝐹𝐷)) ↔ 𝑥 ∈ (𝑂𝐹𝑃)))
29	28	eqrdv 2729	1 ⊢ (𝜑 → ( oppFunc ‘(𝐶𝐹𝐷)) = (𝑂𝐹𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∅c0 4278  dom cdm 5611  Rel wrel 5616  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341   ∈ cmpo 7343  2^nd c2nd 7915  Catccat 17565  oppCatcoppc 17612   oppFunc coppf 49154

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-tpos 8151  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-7 12188  df-8 12189  df-9 12190  df-n0 12377  df-z 12464  df-dec 12584  df-sets 17070  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-hom 17180  df-cco 17181  df-cat 17569  df-cid 17570  df-homf 17571  df-comf 17572  df-oppc 17613  df-oppf 49155

This theorem is referenced by:  oppc1stf  49320  oppc2ndf  49321