Theorem oppc1stflem 49258

Description: A utility theorem for proving theorems on projection functors of opposite categories. (Contributed by Zhi Wang, 19-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppc1stf.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
oppc1stf.p	⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
oppc1stf.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
oppc1stf.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑊)
oppc1stflem.1	⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat)) → (oppFunc‘(𝐶𝐹𝐷)) = (𝑂𝐹𝑃))
oppc1stflem.f	⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ Cat, 𝑑 ∈ Cat ↦ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
oppc1stflem	⊢ (𝜑 → (oppFunc‘(𝐶𝐹𝐷)) = (𝑂𝐹𝑃))

Distinct variable group:   𝑐,𝑑

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑐,𝑑)   𝐶(𝑐,𝑑)   𝐷(𝑐,𝑑)   𝑃(𝑐,𝑑)   𝐹(𝑐,𝑑)   𝑂(𝑐,𝑑)   𝑉(𝑐,𝑑)   𝑊(𝑐,𝑑)   𝑌(𝑐,𝑑)

Proof of Theorem oppc1stflem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (oppFunc‘(𝐶𝐹𝐷)) = (oppFunc‘(𝐶𝐹𝐷))
2		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (oppFunc‘(𝐶𝐹𝐷))) → 𝑥 ∈ (oppFunc‘(𝐶𝐹𝐷)))
3	1, 2	eloppf 49110	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (oppFunc‘(𝐶𝐹𝐷))) → ((𝐶𝐹𝐷) ≠ ∅ ∧ (Rel (2nd ‘(𝐶𝐹𝐷)) ∧ Rel dom (2nd ‘(𝐶𝐹𝐷)))))
4	3	simpld 494	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (oppFunc‘(𝐶𝐹𝐷))) → (𝐶𝐹𝐷) ≠ ∅)
5		oppc1stflem.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ Cat, 𝑑 ∈ Cat ↦ 𝑌)
6	5	mpondm0 7631	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (𝐶𝐹𝐷) = ∅)
7	6	necon1ai 2953	. . . . 5 ⊢ ((𝐶𝐹𝐷) ≠ ∅ → (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat))
8	4, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (oppFunc‘(𝐶𝐹𝐷))) → (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat))
9		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (oppFunc‘(𝐶𝐹𝐷))) ∧ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat)) → 𝑥 ∈ (oppFunc‘(𝐶𝐹𝐷)))
10		oppc1stflem.1	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat)) → (oppFunc‘(𝐶𝐹𝐷)) = (𝑂𝐹𝑃))
11	10	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (oppFunc‘(𝐶𝐹𝐷))) ∧ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat)) → (oppFunc‘(𝐶𝐹𝐷)) = (𝑂𝐹𝑃))
12	9, 11	eleqtrd 2831	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (oppFunc‘(𝐶𝐹𝐷))) ∧ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat)) → 𝑥 ∈ (𝑂𝐹𝑃))
13	8, 12	mpdan 687	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (oppFunc‘(𝐶𝐹𝐷))) → 𝑥 ∈ (𝑂𝐹𝑃))
14		oppc1stf.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
15		oppc1stf.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
16	14, 15	oppccatb 48993	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ Cat ↔ 𝑂 ∈ Cat))
17		oppc1stf.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
18		oppc1stf.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑊)
19	17, 18	oppccatb 48993	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ Cat ↔ 𝑃 ∈ Cat))
20	16, 19	anbi12d 632	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) ↔ (𝑂 ∈ Cat ∧ 𝑃 ∈ Cat)))
21	20	biimprd 248	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑂 ∈ Cat ∧ 𝑃 ∈ Cat) → (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat)))
22	5	elmpocl 7632	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑂𝐹𝑃) → (𝑂 ∈ Cat ∧ 𝑃 ∈ Cat))
23	21, 22	impel 505	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝐹𝑃)) → (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat))
24		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝐹𝑃)) ∧ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat)) → 𝑥 ∈ (𝑂𝐹𝑃))
25	10	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝐹𝑃)) ∧ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat)) → (oppFunc‘(𝐶𝐹𝐷)) = (𝑂𝐹𝑃))
26	24, 25	eleqtrrd 2832	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝐹𝑃)) ∧ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat)) → 𝑥 ∈ (oppFunc‘(𝐶𝐹𝐷)))
27	23, 26	mpdan 687	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝐹𝑃)) → 𝑥 ∈ (oppFunc‘(𝐶𝐹𝐷)))
28	13, 27	impbida 800	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (oppFunc‘(𝐶𝐹𝐷)) ↔ 𝑥 ∈ (𝑂𝐹𝑃)))
29	28	eqrdv 2728	1 ⊢ (𝜑 → (oppFunc‘(𝐶𝐹𝐷)) = (𝑂𝐹𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∅c0 4298  dom cdm 5640  Rel wrel 5645  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389   ∈ cmpo 7391  2^nd c2nd 7969  Catccat 17631  oppCatcoppc 17678  oppFunccoppf 49099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-4 12252  df-5 12253  df-6 12254  df-7 12255  df-8 12256  df-9 12257  df-n0 12449  df-z 12536  df-dec 12656  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-hom 17250  df-cco 17251  df-cat 17635  df-cid 17636  df-homf 17637  df-comf 17638  df-oppc 17679  df-oppf 49100

This theorem is referenced by:  oppc1stf  49259  oppc2ndf  49260