Theorem oppc1stflem 50364

Description: A utility theorem for proving theorems on projection functors of opposite categories. (Contributed by Zhi Wang, 19-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppc1stf.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
oppc1stf.p	⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
oppc1stf.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
oppc1stf.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑊)
oppc1stflem.1	⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat)) → ( oppFunc ‘(𝐶𝐹𝐷)) = (𝑂𝐹𝑃))
oppc1stflem.f	⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ Cat, 𝑑 ∈ Cat ↦ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
oppc1stflem	⊢ (𝜑 → ( oppFunc ‘(𝐶𝐹𝐷)) = (𝑂𝐹𝑃))

Distinct variable group:   𝑐,𝑑

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑐, 𝑑)   𝐶(𝑐, 𝑑)   𝐷(𝑐, 𝑑)   𝑃(𝑐, 𝑑)   𝐹(𝑐, 𝑑)   𝑂(𝑐, 𝑑)   𝑉(𝑐, 𝑑)   𝑊(𝑐, 𝑑)   𝑌(𝑐, 𝑑)

Proof of Theorem oppc1stflem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ ( oppFunc ‘(𝐶𝐹𝐷)) = ( oppFunc ‘(𝐶𝐹𝐷))
2		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( oppFunc ‘(𝐶𝐹𝐷))) → 𝑥 ∈ ( oppFunc ‘(𝐶𝐹𝐷)))
3	1, 2	eloppf 50210	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( oppFunc ‘(𝐶𝐹𝐷))) → ((𝐶𝐹𝐷) ≠ ∅ ∧ (Rel (2nd ‘(𝐶𝐹𝐷)) ∧ Rel dom (2nd ‘(𝐶𝐹𝐷)))))
4	3	simpld 500	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( oppFunc ‘(𝐶𝐹𝐷))) → (𝐶𝐹𝐷) ≠ ∅)
5		oppc1stflem.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ Cat, 𝑑 ∈ Cat ↦ 𝑌)
6	5	mpondm0 7659	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (𝐶𝐹𝐷) = ∅)
7	6	necon1ai 2983	. . . . 5 ⊢ ((𝐶𝐹𝐷) ≠ ∅ → (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat))
8	4, 7	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( oppFunc ‘(𝐶𝐹𝐷))) → (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat))
9		simplr 781	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( oppFunc ‘(𝐶𝐹𝐷))) ∧ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat)) → 𝑥 ∈ ( oppFunc ‘(𝐶𝐹𝐷)))
10		oppc1stflem.1	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat)) → ( oppFunc ‘(𝐶𝐹𝐷)) = (𝑂𝐹𝑃))
11	10	adantlr 728	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( oppFunc ‘(𝐶𝐹𝐷))) ∧ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat)) → ( oppFunc ‘(𝐶𝐹𝐷)) = (𝑂𝐹𝑃))
12	9, 11	eleqtrd 2863	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( oppFunc ‘(𝐶𝐹𝐷))) ∧ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat)) → 𝑥 ∈ (𝑂𝐹𝑃))
13	8, 12	mpdan 700	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( oppFunc ‘(𝐶𝐹𝐷))) → 𝑥 ∈ (𝑂𝐹𝑃))
14		oppc1stf.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
15		oppc1stf.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
16	14, 15	oppccatb 50093	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ Cat ↔ 𝑂 ∈ Cat))
17		oppc1stf.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
18		oppc1stf.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑊)
19	17, 18	oppccatb 50093	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ Cat ↔ 𝑃 ∈ Cat))
20	16, 19	anbi12d 644	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) ↔ (𝑂 ∈ Cat ∧ 𝑃 ∈ Cat)))
21	20	biimprd 251	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑂 ∈ Cat ∧ 𝑃 ∈ Cat) → (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat)))
22	5	elmpocl 7660	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑂𝐹𝑃) → (𝑂 ∈ Cat ∧ 𝑃 ∈ Cat))
23	21, 22	impel 515	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝐹𝑃)) → (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat))
24		simplr 781	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝐹𝑃)) ∧ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat)) → 𝑥 ∈ (𝑂𝐹𝑃))
25	10	adantlr 728	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝐹𝑃)) ∧ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat)) → ( oppFunc ‘(𝐶𝐹𝐷)) = (𝑂𝐹𝑃))
26	24, 25	eleqtrrd 2864	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝐹𝑃)) ∧ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat)) → 𝑥 ∈ ( oppFunc ‘(𝐶𝐹𝐷)))
27	23, 26	mpdan 700	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝐹𝑃)) → 𝑥 ∈ ( oppFunc ‘(𝐶𝐹𝐷)))
28	13, 27	impbida 813	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ( oppFunc ‘(𝐶𝐹𝐷)) ↔ 𝑥 ∈ (𝑂𝐹𝑃)))
29	28	eqrdv 2759	1 ⊢ (𝜑 → ( oppFunc ‘(𝐶𝐹𝐷)) = (𝑂𝐹𝑃))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∅c0 4279  dom cdm 5651  Rel wrel 5656  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418   ∈ cmpo 7420  2^nd c2nd 7998  Catccat 17831  oppCatcoppc 17878   oppFunc coppf 50199

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-tpos 8236  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-dec 12808  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-hom 17445  df-cco 17446  df-cat 17835  df-cid 17836  df-homf 17837  df-comf 17838  df-oppc 17879  df-oppf 50200

This theorem is used by:  oppc1stf  50365  oppc2ndf  50366