Theorem oppc1stflem 49249

Description: A utility theorem for proving theorems on projection functors of opposite categories. (Contributed by Zhi Wang, 19-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppc1stf.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
oppc1stf.p	⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
oppc1stf.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
oppc1stf.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑊)
oppc1stflem.1	⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat)) → ( oppFunc ‘(𝐶𝐹𝐷)) = (𝑂𝐹𝑃))
oppc1stflem.f	⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ Cat, 𝑑 ∈ Cat ↦ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
oppc1stflem	⊢ (𝜑 → ( oppFunc ‘(𝐶𝐹𝐷)) = (𝑂𝐹𝑃))

Distinct variable group:   𝑐,𝑑

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑐,𝑑)   𝐶(𝑐,𝑑)   𝐷(𝑐,𝑑)   𝑃(𝑐,𝑑)   𝐹(𝑐,𝑑)   𝑂(𝑐,𝑑)   𝑉(𝑐,𝑑)   𝑊(𝑐,𝑑)   𝑌(𝑐,𝑑)

Proof of Theorem oppc1stflem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ ( oppFunc ‘(𝐶𝐹𝐷)) = ( oppFunc ‘(𝐶𝐹𝐷))
2		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( oppFunc ‘(𝐶𝐹𝐷))) → 𝑥 ∈ ( oppFunc ‘(𝐶𝐹𝐷)))
3	1, 2	eloppf 49095	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( oppFunc ‘(𝐶𝐹𝐷))) → ((𝐶𝐹𝐷) ≠ ∅ ∧ (Rel (2nd ‘(𝐶𝐹𝐷)) ∧ Rel dom (2nd ‘(𝐶𝐹𝐷)))))
4	3	simpld 494	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( oppFunc ‘(𝐶𝐹𝐷))) → (𝐶𝐹𝐷) ≠ ∅)
5		oppc1stflem.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ Cat, 𝑑 ∈ Cat ↦ 𝑌)
6	5	mpondm0 7609	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (𝐶𝐹𝐷) = ∅)
7	6	necon1ai 2952	. . . . 5 ⊢ ((𝐶𝐹𝐷) ≠ ∅ → (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat))
8	4, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( oppFunc ‘(𝐶𝐹𝐷))) → (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat))
9		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( oppFunc ‘(𝐶𝐹𝐷))) ∧ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat)) → 𝑥 ∈ ( oppFunc ‘(𝐶𝐹𝐷)))
10		oppc1stflem.1	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat)) → ( oppFunc ‘(𝐶𝐹𝐷)) = (𝑂𝐹𝑃))
11	10	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( oppFunc ‘(𝐶𝐹𝐷))) ∧ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat)) → ( oppFunc ‘(𝐶𝐹𝐷)) = (𝑂𝐹𝑃))
12	9, 11	eleqtrd 2830	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( oppFunc ‘(𝐶𝐹𝐷))) ∧ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat)) → 𝑥 ∈ (𝑂𝐹𝑃))
13	8, 12	mpdan 687	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( oppFunc ‘(𝐶𝐹𝐷))) → 𝑥 ∈ (𝑂𝐹𝑃))
14		oppc1stf.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
15		oppc1stf.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
16	14, 15	oppccatb 48978	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ Cat ↔ 𝑂 ∈ Cat))
17		oppc1stf.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
18		oppc1stf.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑊)
19	17, 18	oppccatb 48978	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ Cat ↔ 𝑃 ∈ Cat))
20	16, 19	anbi12d 632	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) ↔ (𝑂 ∈ Cat ∧ 𝑃 ∈ Cat)))
21	20	biimprd 248	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑂 ∈ Cat ∧ 𝑃 ∈ Cat) → (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat)))
22	5	elmpocl 7610	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑂𝐹𝑃) → (𝑂 ∈ Cat ∧ 𝑃 ∈ Cat))
23	21, 22	impel 505	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝐹𝑃)) → (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat))
24		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝐹𝑃)) ∧ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat)) → 𝑥 ∈ (𝑂𝐹𝑃))
25	10	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝐹𝑃)) ∧ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat)) → ( oppFunc ‘(𝐶𝐹𝐷)) = (𝑂𝐹𝑃))
26	24, 25	eleqtrrd 2831	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝐹𝑃)) ∧ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat)) → 𝑥 ∈ ( oppFunc ‘(𝐶𝐹𝐷)))
27	23, 26	mpdan 687	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝐹𝑃)) → 𝑥 ∈ ( oppFunc ‘(𝐶𝐹𝐷)))
28	13, 27	impbida 800	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ( oppFunc ‘(𝐶𝐹𝐷)) ↔ 𝑥 ∈ (𝑂𝐹𝑃)))
29	28	eqrdv 2727	1 ⊢ (𝜑 → ( oppFunc ‘(𝐶𝐹𝐷)) = (𝑂𝐹𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∅c0 4292  dom cdm 5631  Rel wrel 5636  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ∈ cmpo 7371  2^nd c2nd 7946  Catccat 17601  oppCatcoppc 17648   oppFunc coppf 49084

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-tpos 8182  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-hom 17220  df-cco 17221  df-cat 17605  df-cid 17606  df-homf 17607  df-comf 17608  df-oppc 17649  df-oppf 49085

This theorem is referenced by:  oppc1stf  49250  oppc2ndf  49251