Theorem oppc1stflem 49777

Description: A utility theorem for proving theorems on projection functors of opposite categories. (Contributed by Zhi Wang, 19-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppc1stf.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
oppc1stf.p	⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
oppc1stf.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
oppc1stf.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑊)
oppc1stflem.1	⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat)) → ( oppFunc ‘(𝐶𝐹𝐷)) = (𝑂𝐹𝑃))
oppc1stflem.f	⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ Cat, 𝑑 ∈ Cat ↦ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
oppc1stflem	⊢ (𝜑 → ( oppFunc ‘(𝐶𝐹𝐷)) = (𝑂𝐹𝑃))

Distinct variable group:   𝑐,𝑑

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑐,𝑑)   𝐶(𝑐,𝑑)   𝐷(𝑐,𝑑)   𝑃(𝑐,𝑑)   𝐹(𝑐,𝑑)   𝑂(𝑐,𝑑)   𝑉(𝑐,𝑑)   𝑊(𝑐,𝑑)   𝑌(𝑐,𝑑)

Proof of Theorem oppc1stflem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2739	. . . . . . 7 ⊢ ( oppFunc ‘(𝐶𝐹𝐷)) = ( oppFunc ‘(𝐶𝐹𝐷))
2		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( oppFunc ‘(𝐶𝐹𝐷))) → 𝑥 ∈ ( oppFunc ‘(𝐶𝐹𝐷)))
3	1, 2	eloppf 49623	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( oppFunc ‘(𝐶𝐹𝐷))) → ((𝐶𝐹𝐷) ≠ ∅ ∧ (Rel (2nd ‘(𝐶𝐹𝐷)) ∧ Rel dom (2nd ‘(𝐶𝐹𝐷)))))
4	3	simpld 495	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( oppFunc ‘(𝐶𝐹𝐷))) → (𝐶𝐹𝐷) ≠ ∅)
5		oppc1stflem.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ Cat, 𝑑 ∈ Cat ↦ 𝑌)
6	5	mpondm0 7596	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (𝐶𝐹𝐷) = ∅)
7	6	necon1ai 2961	. . . . 5 ⊢ ((𝐶𝐹𝐷) ≠ ∅ → (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat))
8	4, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( oppFunc ‘(𝐶𝐹𝐷))) → (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat))
9		simplr 774	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( oppFunc ‘(𝐶𝐹𝐷))) ∧ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat)) → 𝑥 ∈ ( oppFunc ‘(𝐶𝐹𝐷)))
10		oppc1stflem.1	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat)) → ( oppFunc ‘(𝐶𝐹𝐷)) = (𝑂𝐹𝑃))
11	10	adantlr 721	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( oppFunc ‘(𝐶𝐹𝐷))) ∧ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat)) → ( oppFunc ‘(𝐶𝐹𝐷)) = (𝑂𝐹𝑃))
12	9, 11	eleqtrd 2841	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( oppFunc ‘(𝐶𝐹𝐷))) ∧ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat)) → 𝑥 ∈ (𝑂𝐹𝑃))
13	8, 12	mpdan 693	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( oppFunc ‘(𝐶𝐹𝐷))) → 𝑥 ∈ (𝑂𝐹𝑃))
14		oppc1stf.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
15		oppc1stf.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
16	14, 15	oppccatb 49506	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ Cat ↔ 𝑂 ∈ Cat))
17		oppc1stf.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
18		oppc1stf.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑊)
19	17, 18	oppccatb 49506	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ Cat ↔ 𝑃 ∈ Cat))
20	16, 19	anbi12d 638	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) ↔ (𝑂 ∈ Cat ∧ 𝑃 ∈ Cat)))
21	20	biimprd 249	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑂 ∈ Cat ∧ 𝑃 ∈ Cat) → (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat)))
22	5	elmpocl 7597	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑂𝐹𝑃) → (𝑂 ∈ Cat ∧ 𝑃 ∈ Cat))
23	21, 22	impel 510	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝐹𝑃)) → (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat))
24		simplr 774	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝐹𝑃)) ∧ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat)) → 𝑥 ∈ (𝑂𝐹𝑃))
25	10	adantlr 721	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝐹𝑃)) ∧ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat)) → ( oppFunc ‘(𝐶𝐹𝐷)) = (𝑂𝐹𝑃))
26	24, 25	eleqtrrd 2842	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝐹𝑃)) ∧ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat)) → 𝑥 ∈ ( oppFunc ‘(𝐶𝐹𝐷)))
27	23, 26	mpdan 693	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑂𝐹𝑃)) → 𝑥 ∈ ( oppFunc ‘(𝐶𝐹𝐷)))
28	13, 27	impbida 806	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ( oppFunc ‘(𝐶𝐹𝐷)) ↔ 𝑥 ∈ (𝑂𝐹𝑃)))
29	28	eqrdv 2737	1 ⊢ (𝜑 → ( oppFunc ‘(𝐶𝐹𝐷)) = (𝑂𝐹𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∅c0 4261  dom cdm 5618  Rel wrel 5623  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356   ∈ cmpo 7358  2^nd c2nd 7930  Catccat 17621  oppCatcoppc 17668   oppFunc coppf 49612

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-hom 17235  df-cco 17236  df-cat 17625  df-cid 17626  df-homf 17627  df-comf 17628  df-oppc 17669  df-oppf 49613

This theorem is referenced by:  oppc1stf  49778  oppc2ndf  49779