Theorem oppctermo 49241

Description: Terminal objects are initial in the opposite category. Comments before Definition 7.4 in [Adamek] p. 102. (Contributed by Zhi Wang, 26-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
oppctermo	⊢ (𝐼 ∈ (TermO‘𝐶) ↔ 𝐼 ∈ (InitO‘(oppCat‘𝐶)))

Proof of Theorem oppctermo

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		termorcl 17917	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ (TermO‘𝐶) → 𝐶 ∈ Cat)
2		initorcl 17916	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (InitO‘(oppCat‘𝐶)) → (oppCat‘𝐶) ∈ Cat)
3		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (oppCat‘𝐶) = (oppCat‘𝐶)
4		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
5	3, 4	oppcbas 17643	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘(oppCat‘𝐶))
6	5	initoo2 49237	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (InitO‘(oppCat‘𝐶)) → 𝐼 ∈ (Base‘𝐶))
7		elfvex 6862	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (Base‘𝐶) → 𝐶 ∈ V)
8		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ V → 𝐶 ∈ V)
9	3, 8	oppccatb 49021	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ V → (𝐶 ∈ Cat ↔ (oppCat‘𝐶) ∈ Cat))
10	6, 7, 9	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (InitO‘(oppCat‘𝐶)) → (𝐶 ∈ Cat ↔ (oppCat‘𝐶) ∈ Cat))
11	2, 10	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ (InitO‘(oppCat‘𝐶)) → 𝐶 ∈ Cat)
12		2fveq3 6831	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (InitO‘(oppCat‘𝑐)) = (InitO‘(oppCat‘𝐶)))
13		dftermo2 17930	. . . 4 ⊢ TermO = (𝑐 ∈ Cat ↦ (InitO‘(oppCat‘𝑐)))
14		fvex 6839	. . . 4 ⊢ (InitO‘(oppCat‘𝐶)) ∈ V
15	12, 13, 14	fvmpt 6934	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (TermO‘𝐶) = (InitO‘(oppCat‘𝐶)))
16	15	eleq2d 2814	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (𝐼 ∈ (TermO‘𝐶) ↔ 𝐼 ∈ (InitO‘(oppCat‘𝐶))))
17	1, 11, 16	pm5.21nii 378	1 ⊢ (𝐼 ∈ (TermO‘𝐶) ↔ 𝐼 ∈ (InitO‘(oppCat‘𝐶)))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∈ wcel 2109  Vcvv 3438  ‘cfv 6486  Basecbs 17139  Catccat 17589  oppCatcoppc 17636  InitOcinito 17907  TermOctermo 17908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12611  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17140  df-hom 17204  df-cco 17205  df-cat 17593  df-cid 17594  df-homf 17595  df-comf 17596  df-oppc 17637  df-inito 17910  df-termo 17911

This theorem is referenced by:  oppczeroo  49242  termoeu2  49243  termolmd  49675