Theorem oppctermo 49711

Description: Terminal objects are initial in the opposite category. Comments before Definition 7.4 in [Adamek] p. 102. (Contributed by Zhi Wang, 26-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
oppctermo	⊢ (𝐼 ∈ (TermO‘𝐶) ↔ 𝐼 ∈ (InitO‘(oppCat‘𝐶)))

Proof of Theorem oppctermo

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		termorcl 17958	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ (TermO‘𝐶) → 𝐶 ∈ Cat)
2		initorcl 17957	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (InitO‘(oppCat‘𝐶)) → (oppCat‘𝐶) ∈ Cat)
3		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (oppCat‘𝐶) = (oppCat‘𝐶)
4		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
5	3, 4	oppcbas 17684	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘(oppCat‘𝐶))
6	5	initoo2 49707	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (InitO‘(oppCat‘𝐶)) → 𝐼 ∈ (Base‘𝐶))
7		elfvex 6875	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (Base‘𝐶) → 𝐶 ∈ V)
8		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ V → 𝐶 ∈ V)
9	3, 8	oppccatb 49491	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ V → (𝐶 ∈ Cat ↔ (oppCat‘𝐶) ∈ Cat))
10	6, 7, 9	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (InitO‘(oppCat‘𝐶)) → (𝐶 ∈ Cat ↔ (oppCat‘𝐶) ∈ Cat))
11	2, 10	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ (InitO‘(oppCat‘𝐶)) → 𝐶 ∈ Cat)
12		2fveq3 6845	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (InitO‘(oppCat‘𝑐)) = (InitO‘(oppCat‘𝐶)))
13		dftermo2 17971	. . . 4 ⊢ TermO = (𝑐 ∈ Cat ↦ (InitO‘(oppCat‘𝑐)))
14		fvex 6853	. . . 4 ⊢ (InitO‘(oppCat‘𝐶)) ∈ V
15	12, 13, 14	fvmpt 6947	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (TermO‘𝐶) = (InitO‘(oppCat‘𝐶)))
16	15	eleq2d 2822	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (𝐼 ∈ (TermO‘𝐶) ↔ 𝐼 ∈ (InitO‘(oppCat‘𝐶))))
17	1, 11, 16	pm5.21nii 378	1 ⊢ (𝐼 ∈ (TermO‘𝐶) ↔ 𝐼 ∈ (InitO‘(oppCat‘𝐶)))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429  ‘cfv 6498  Basecbs 17179  Catccat 17630  oppCatcoppc 17677  InitOcinito 17948  TermOctermo 17949

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-tpos 8176  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-hom 17244  df-cco 17245  df-cat 17634  df-cid 17635  df-homf 17636  df-comf 17637  df-oppc 17678  df-inito 17951  df-termo 17952

This theorem is referenced by:  oppczeroo  49712  termoeu2  49713  termolmd  50145