Theorem oppctermo 49818

Description: Terminal objects are initial in the opposite category. Comments before Definition 7.4 in [Adamek] p. 102. (Contributed by Zhi Wang, 26-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
oppctermo	⊢ (𝐼 ∈ (TermO‘𝐶) ↔ 𝐼 ∈ (InitO‘(oppCat‘𝐶)))

Proof of Theorem oppctermo

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		termorcl 18015	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ (TermO‘𝐶) → 𝐶 ∈ Cat)
2		initorcl 18014	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (InitO‘(oppCat‘𝐶)) → (oppCat‘𝐶) ∈ Cat)
3		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (oppCat‘𝐶) = (oppCat‘𝐶)
4		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
5	3, 4	oppcbas 17741	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘(oppCat‘𝐶))
6	5	initoo2 49814	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (InitO‘(oppCat‘𝐶)) → 𝐼 ∈ (Base‘𝐶))
7		elfvex 6897	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (Base‘𝐶) → 𝐶 ∈ V)
8		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ V → 𝐶 ∈ V)
9	3, 8	oppccatb 49598	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ V → (𝐶 ∈ Cat ↔ (oppCat‘𝐶) ∈ Cat))
10	6, 7, 9	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (InitO‘(oppCat‘𝐶)) → (𝐶 ∈ Cat ↔ (oppCat‘𝐶) ∈ Cat))
11	2, 10	mpbird 259	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ (InitO‘(oppCat‘𝐶)) → 𝐶 ∈ Cat)
12		2fveq3 6867	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (InitO‘(oppCat‘𝑐)) = (InitO‘(oppCat‘𝐶)))
13		dftermo2 18028	. . . 4 ⊢ TermO = (𝑐 ∈ Cat ↦ (InitO‘(oppCat‘𝑐)))
14		fvex 6875	. . . 4 ⊢ (InitO‘(oppCat‘𝐶)) ∈ V
15	12, 13, 14	fvmpt 6970	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (TermO‘𝐶) = (InitO‘(oppCat‘𝐶)))
16	15	eleq2d 2847	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (𝐼 ∈ (TermO‘𝐶) ↔ 𝐼 ∈ (InitO‘(oppCat‘𝐶))))
17	1, 11, 16	pm5.21nii 380	1 ⊢ (𝐼 ∈ (TermO‘𝐶) ↔ 𝐼 ∈ (InitO‘(oppCat‘𝐶)))

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453  ‘cfv 6516  Basecbs 17236  Catccat 17687  oppCatcoppc 17734  InitOcinito 18005  TermOctermo 18006

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-tpos 8200  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12476  df-z 12563  df-dec 12683  df-sets 17191  df-slot 17209  df-ndx 17221  df-base 17237  df-hom 17301  df-cco 17302  df-cat 17691  df-cid 17692  df-homf 17693  df-comf 17694  df-oppc 17735  df-inito 18008  df-termo 18009

This theorem is referenced by:  oppczeroo  49819  termoeu2  49820  termolmd  50252