Theorem psrsca 22216

Description: The scalar field of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrsca.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrsca.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
psrsca.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
psrsca	⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑆))

Proof of Theorem psrsca

Dummy variables 𝑓 ℎ 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrsca.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)
2		psrvalstr 22185	. . . 4 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), (Base‘𝑆)⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r‘𝑆)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑅)𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}) Struct ⟨1, 9⟩
3		scaid 17447	. . . 4 ⊢ Scalar = Slot (Scalar‘ndx)
4		snsstp1 4776	. . . . 5 ⊢ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ⊆ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑅)𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}
5		ssun2 4124	. . . . 5 ⊢ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑅)𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), (Base‘𝑆)⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r‘𝑆)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑅)𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})
6	4, 5	sstri 3939	. . . 4 ⊢ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), (Base‘𝑆)⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r‘𝑆)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑅)𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})
7	2, 3, 6	strfv 17342	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑊 → 𝑅 = (Scalar‘({⟨(Base‘ndx), (Base‘𝑆)⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r‘𝑆)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑅)𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})))
8	1, 7	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘({⟨(Base‘ndx), (Base‘𝑆)⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r‘𝑆)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑅)𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})))
9		psrsca.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
10		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
11		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
12		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
13		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘𝑅) = (TopOpen‘𝑅)
14		eqid 2760	. . . 4 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
15		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
16		psrsca.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
17	9, 10, 14, 15, 16	psrbas 22203	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑆) = ((Base‘𝑅) ↑m {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}))
18		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
19	9, 15, 11, 18	psrplusg 22206	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑆) = ( ∘f (+g‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑆) × (Base‘𝑆)))
20		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
21	9, 15, 12, 20, 14	psrmulr 22211	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑆) = (𝑓 ∈ (Base‘𝑆), 𝑧 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (𝑤 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑤} ↦ ((𝑓‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑧‘(𝑤 ∘f − 𝑥)))))))
22		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑅)𝑓)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑅)𝑓))
23		eqidd 2761	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∏t‘({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} × {(TopOpen‘𝑅)})) = (∏t‘({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} × {(TopOpen‘𝑅)})))
24	9, 10, 11, 12, 13, 14, 17, 19, 21, 22, 23, 16, 1	psrval 22184	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = ({⟨(Base‘ndx), (Base‘𝑆)⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r‘𝑆)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑅)𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}))
25	24	fveq2d 6877	. 2 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑆) = (Scalar‘({⟨(Base‘ndx), (Base‘𝑆)⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r‘𝑆)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑅)𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})))
26	8, 25	eqtr4d 2798	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3412   ∪ cun 3896  {csn 4583  {ctp 4587  ⟨cop 4589   × cxp 5645  ^◡ccnv 5646   “ cima 5650  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408   ∈ cmpo 7410   ∘_f cof 7674   ↑_m cmap 8825  Fincfn 8951  1c1 11172  ℕcn 12304  9c9 12373  ℕ₀cn0 12575  ndxcnx 17332  Basecbs 17348  +_gcplusg 17389  ._rcmulr 17390  Scalarcsca 17392   ·_𝑠 cvsca 17393  TopSetcts 17395  TopOpenctopn 17553  ∏_tcpt 17570   mPwSer cmps 22173

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7676  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-fsupp 9332  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-4 12376  df-5 12377  df-6 12378  df-7 12379  df-8 12380  df-9 12381  df-n0 12576  df-z 12663  df-uz 12935  df-fz 13609  df-struct 17286  df-slot 17321  df-ndx 17333  df-base 17349  df-plusg 17402  df-mulr 17403  df-sca 17405  df-vsca 17406  df-tset 17408  df-psr 22178

This theorem is used by:  psrlmod  22228  psrassa  22241  psrascl  22247  psrasclcl  22248  mpllsslem  22268  mplsca  22281  opsrsca  22324  opsrassa  22330  psdascl  22450  ply1lss  22475  opsrlmod  22524