Theorem psrsca 21068

Description: The scalar field of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrsca.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrsca.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
psrsca.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
psrsca	⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑆))

Proof of Theorem psrsca

Dummy variables 𝑓 ℎ 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrsca.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)
2		psrvalstr 21029	. . . 4 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), (Base‘𝑆)⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r‘𝑆)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑅)𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}) Struct ⟨1, 9⟩
3		scaid 16951	. . . 4 ⊢ Scalar = Slot (Scalar‘ndx)
4		snsstp1 4746	. . . . 5 ⊢ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ⊆ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑅)𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}
5		ssun2 4103	. . . . 5 ⊢ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑅)𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), (Base‘𝑆)⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r‘𝑆)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑅)𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})
6	4, 5	sstri 3926	. . . 4 ⊢ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), (Base‘𝑆)⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r‘𝑆)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑅)𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})
7	2, 3, 6	strfv 16833	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑊 → 𝑅 = (Scalar‘({⟨(Base‘ndx), (Base‘𝑆)⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r‘𝑆)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑅)𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})))
8	1, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘({⟨(Base‘ndx), (Base‘𝑆)⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r‘𝑆)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑅)𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})))
9		psrsca.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
10		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
11		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
12		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
13		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘𝑅) = (TopOpen‘𝑅)
14		eqid 2738	. . . 4 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
15		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
16		psrsca.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
17	9, 10, 14, 15, 16	psrbas 21057	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑆) = ((Base‘𝑅) ↑m {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}))
18		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
19	9, 15, 11, 18	psrplusg 21060	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑆) = ( ∘f (+g‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑆) × (Base‘𝑆)))
20		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
21	9, 15, 12, 20, 14	psrmulr 21063	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑆) = (𝑓 ∈ (Base‘𝑆), 𝑧 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (𝑤 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑤} ↦ ((𝑓‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑧‘(𝑤 ∘f − 𝑥)))))))
22		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑅)𝑓)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑅)𝑓))
23		eqidd 2739	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∏t‘({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} × {(TopOpen‘𝑅)})) = (∏t‘({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} × {(TopOpen‘𝑅)})))
24	9, 10, 11, 12, 13, 14, 17, 19, 21, 22, 23, 16, 1	psrval 21028	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = ({⟨(Base‘ndx), (Base‘𝑆)⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r‘𝑆)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑅)𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}))
25	24	fveq2d 6760	. 2 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑆) = (Scalar‘({⟨(Base‘ndx), (Base‘𝑆)⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r‘𝑆)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑅)𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})))
26	8, 25	eqtr4d 2781	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  {crab 3067   ∪ cun 3881  {csn 4558  {ctp 4562  ⟨cop 4564   × cxp 5578  ^◡ccnv 5579   “ cima 5583  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ∈ cmpo 7257   ∘_f cof 7509   ↑_m cmap 8573  Fincfn 8691  1c1 10803  ℕcn 11903  9c9 11965  ℕ₀cn0 12163  ndxcnx 16822  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888  ._rcmulr 16889  Scalarcsca 16891   ·_𝑠 cvsca 16892  TopSetcts 16894  TopOpenctopn 17049  ∏_tcpt 17066   mPwSer cmps 21017

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-tset 16907  df-psr 21022

This theorem is referenced by:  psrlmod  21080  psrassa  21093  mpllsslem  21116  mplsca  21127  opsrsca  21170  opsrscaOLD  21171  opsrassa  21177  ply1lss  21277  opsrlmod  21327