MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrsca Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem psrsca 21846
Description: The scalar field of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrsca.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrsca.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
psrsca.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ π‘Š)
Assertion
Ref Expression
psrsca (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘†))
Proof of Theorem psrsca
Dummy variables 𝑓 β„Ž 𝑀 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrsca.r . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ π‘Š)
2 psrvalstr 21806 . . . 4 ({⟨(Baseβ€˜ndx), (Baseβ€˜π‘†)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (+gβ€˜π‘†)⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘†)⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ (({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {π‘₯}) ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑓))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)}))⟩}) Struct ⟨1, 9⟩
3 scaid 17267 . . . 4 Scalar = Slot (Scalarβ€˜ndx)
4 snsstp1 4814 . . . . 5 {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©} βŠ† {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ (({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {π‘₯}) ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑓))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)}))⟩}
5 ssun2 4168 . . . . 5 {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ (({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {π‘₯}) ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑓))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)}))⟩} βŠ† ({⟨(Baseβ€˜ndx), (Baseβ€˜π‘†)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (+gβ€˜π‘†)⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘†)⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ (({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {π‘₯}) ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑓))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)}))⟩})
64, 5sstri 3986 . . . 4 {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©} βŠ† ({⟨(Baseβ€˜ndx), (Baseβ€˜π‘†)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (+gβ€˜π‘†)⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘†)⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ (({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {π‘₯}) ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑓))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)}))⟩})
72, 3, 6strfv 17144 . . 3 (𝑅 ∈ π‘Š β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜({⟨(Baseβ€˜ndx), (Baseβ€˜π‘†)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (+gβ€˜π‘†)⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘†)⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ (({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {π‘₯}) ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑓))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)}))⟩})))
81, 7syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜({⟨(Baseβ€˜ndx), (Baseβ€˜π‘†)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (+gβ€˜π‘†)⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘†)⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ (({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {π‘₯}) ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑓))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)}))⟩})))
9 psrsca.s . . . 4 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
10 eqid 2726 . . . 4 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
11 eqid 2726 . . . 4 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
12 eqid 2726 . . . 4 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
13 eqid 2726 . . . 4 (TopOpenβ€˜π‘…) = (TopOpenβ€˜π‘…)
14 eqid 2726 . . . 4 {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
15 eqid 2726 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
16 psrsca.i . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
179, 10, 14, 15, 16psrbas 21834 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘†) = ((Baseβ€˜π‘…) ↑m {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}))
18 eqid 2726 . . . . 5 (+gβ€˜π‘†) = (+gβ€˜π‘†)
199, 15, 11, 18psrplusg 21837 . . . 4 (+gβ€˜π‘†) = ( ∘f (+gβ€˜π‘…) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘†) Γ— (Baseβ€˜π‘†)))
20 eqid 2726 . . . . 5 (.rβ€˜π‘†) = (.rβ€˜π‘†)
219, 15, 12, 20, 14psrmulr 21841 . . . 4 (.rβ€˜π‘†) = (𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘†), 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ (𝑀 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑦 ∘r ≀ 𝑀} ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(π‘§β€˜(𝑀 ∘f βˆ’ π‘₯)))))))
22 eqid 2726 . . . 4 (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ (({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {π‘₯}) ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑓)) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ (({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {π‘₯}) ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑓))
23 eqidd 2727 . . . 4 (πœ‘ β†’ (∏tβ€˜({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)})) = (∏tβ€˜({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)})))
249, 10, 11, 12, 13, 14, 17, 19, 21, 22, 23, 16, 1psrval 21805 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 = ({⟨(Baseβ€˜ndx), (Baseβ€˜π‘†)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (+gβ€˜π‘†)⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘†)⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ (({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {π‘₯}) ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑓))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)}))⟩}))
2524fveq2d 6888 . 2 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜π‘†) = (Scalarβ€˜({⟨(Baseβ€˜ndx), (Baseβ€˜π‘†)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (+gβ€˜π‘†)⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘†)⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ (({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {π‘₯}) ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑓))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)}))⟩})))
268, 25eqtr4d 2769 1 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3426   βˆͺ cun 3941  {csn 4623  {ctp 4627  βŸ¨cop 4629   Γ— cxp 5667  β—‘ccnv 5668   β€œ cima 5672  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   ∈ cmpo 7406   ∘f cof 7664   ↑m cmap 8819  Fincfn 8938  1c1 11110  β„•cn 12213  9c9 12275  β„•0cn0 12473  ndxcnx 17133  Basecbs 17151  +gcplusg 17204  .rcmulr 17205  Scalarcsca 17207   ·𝑠 cvsca 17208  TopSetcts 17210  TopOpenctopn 17374  βˆtcpt 17391   mPwSer cmps 21794
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-struct 17087  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-tset 17223  df-psr 21799
This theorem is referenced by:  psrlmod  21859  psrassa  21872  mpllsslem  21897  mplsca  21910  opsrsca  21952  opsrscaOLD  21953  opsrassa  21959  ply1lss  22066  opsrlmod  22115
  Copyright terms: Public domain W3C validator