MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrsca Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrsca 19712
Description: The scalar field of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrsca.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrsca.i (𝜑𝐼𝑉)
psrsca.r (𝜑𝑅𝑊)
Assertion
Ref Expression
psrsca (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝑆))

Proof of Theorem psrsca
Dummy variables 𝑓 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrsca.r . . 3 (𝜑𝑅𝑊)
2 psrvalstr 19686 . . . 4 ({⟨(Base‘ndx), (Base‘𝑆)⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r𝑆)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (({ ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑥}) ∘𝑓 (.r𝑅)𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘({ ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}) Struct ⟨1, 9⟩
3 scaid 16335 . . . 4 Scalar = Slot (Scalar‘ndx)
4 snsstp1 4535 . . . . 5 {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ⊆ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (({ ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑥}) ∘𝑓 (.r𝑅)𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘({ ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}
5 ssun2 3975 . . . . 5 {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (({ ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑥}) ∘𝑓 (.r𝑅)𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘({ ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), (Base‘𝑆)⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r𝑆)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (({ ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑥}) ∘𝑓 (.r𝑅)𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘({ ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})
64, 5sstri 3807 . . . 4 {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), (Base‘𝑆)⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r𝑆)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (({ ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑥}) ∘𝑓 (.r𝑅)𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘({ ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})
72, 3, 6strfv 16232 . . 3 (𝑅𝑊𝑅 = (Scalar‘({⟨(Base‘ndx), (Base‘𝑆)⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r𝑆)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (({ ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑥}) ∘𝑓 (.r𝑅)𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘({ ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})))
81, 7syl 17 . 2 (𝜑𝑅 = (Scalar‘({⟨(Base‘ndx), (Base‘𝑆)⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r𝑆)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (({ ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑥}) ∘𝑓 (.r𝑅)𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘({ ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})))
9 psrsca.s . . . 4 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
10 eqid 2799 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
11 eqid 2799 . . . 4 (+g𝑅) = (+g𝑅)
12 eqid 2799 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
13 eqid 2799 . . . 4 (TopOpen‘𝑅) = (TopOpen‘𝑅)
14 eqid 2799 . . . 4 { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} = { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
15 eqid 2799 . . . . 5 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
16 psrsca.i . . . . 5 (𝜑𝐼𝑉)
179, 10, 14, 15, 16psrbas 19701 . . . 4 (𝜑 → (Base‘𝑆) = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}))
18 eqid 2799 . . . . 5 (+g𝑆) = (+g𝑆)
199, 15, 11, 18psrplusg 19704 . . . 4 (+g𝑆) = ( ∘𝑓 (+g𝑅) ↾ ((Base‘𝑆) × (Base‘𝑆)))
20 eqid 2799 . . . . 5 (.r𝑆) = (.r𝑆)
219, 15, 12, 20, 14psrmulr 19707 . . . 4 (.r𝑆) = (𝑓 ∈ (Base‘𝑆), 𝑧 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (𝑤 ∈ { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑦𝑟𝑤} ↦ ((𝑓𝑥)(.r𝑅)(𝑧‘(𝑤𝑓𝑥)))))))
22 eqid 2799 . . . 4 (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (({ ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑥}) ∘𝑓 (.r𝑅)𝑓)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (({ ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑥}) ∘𝑓 (.r𝑅)𝑓))
23 eqidd 2800 . . . 4 (𝜑 → (∏t‘({ ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} × {(TopOpen‘𝑅)})) = (∏t‘({ ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} × {(TopOpen‘𝑅)})))
249, 10, 11, 12, 13, 14, 17, 19, 21, 22, 23, 16, 1psrval 19685 . . 3 (𝜑𝑆 = ({⟨(Base‘ndx), (Base‘𝑆)⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r𝑆)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (({ ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑥}) ∘𝑓 (.r𝑅)𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘({ ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}))
2524fveq2d 6415 . 2 (𝜑 → (Scalar‘𝑆) = (Scalar‘({⟨(Base‘ndx), (Base‘𝑆)⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r𝑆)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (({ ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑥}) ∘𝑓 (.r𝑅)𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘({ ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})))
268, 25eqtr4d 2836 1 (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1653  wcel 2157  {crab 3093  cun 3767  {csn 4368  {ctp 4372  cop 4374   × cxp 5310  ccnv 5311  cima 5315  cfv 6101  (class class class)co 6878  cmpt2 6880  𝑓 cof 7129  𝑚 cmap 8095  Fincfn 8195  1c1 10225  cn 11312  9c9 11375  0cn0 11580  ndxcnx 16181  Basecbs 16184  +gcplusg 16267  .rcmulr 16268  Scalarcsca 16270   ·𝑠 cvsca 16271  TopSetcts 16273  TopOpenctopn 16397  tcpt 16414   mPwSer cmps 19674
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-of 7131  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-supp 7533  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-fsupp 8518  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-fz 12581  df-struct 16186  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-plusg 16280  df-mulr 16281  df-sca 16283  df-vsca 16284  df-tset 16286  df-psr 19679
This theorem is referenced by:  psrlmod  19724  psrassa  19737  mpllsslem  19758  mplsca  19768  opsrsca  19805  opsrassa  19811  ply1lss  19888  opsrlmod  19938
  Copyright terms: Public domain W3C validator