MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrsca Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem psrsca 21890
Description: The scalar field of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrsca.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrsca.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
psrsca.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ π‘Š)
Assertion
Ref Expression
psrsca (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘†))
Proof of Theorem psrsca
Dummy variables 𝑓 β„Ž 𝑀 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrsca.r . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ π‘Š)
2 psrvalstr 21849 . . . 4 ({⟨(Baseβ€˜ndx), (Baseβ€˜π‘†)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (+gβ€˜π‘†)⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘†)⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ (({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {π‘₯}) ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑓))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)}))⟩}) Struct ⟨1, 9⟩
3 scaid 17296 . . . 4 Scalar = Slot (Scalarβ€˜ndx)
4 snsstp1 4820 . . . . 5 {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©} βŠ† {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ (({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {π‘₯}) ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑓))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)}))⟩}
5 ssun2 4173 . . . . 5 {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ (({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {π‘₯}) ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑓))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)}))⟩} βŠ† ({⟨(Baseβ€˜ndx), (Baseβ€˜π‘†)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (+gβ€˜π‘†)⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘†)⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ (({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {π‘₯}) ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑓))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)}))⟩})
64, 5sstri 3989 . . . 4 {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©} βŠ† ({⟨(Baseβ€˜ndx), (Baseβ€˜π‘†)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (+gβ€˜π‘†)⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘†)⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ (({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {π‘₯}) ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑓))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)}))⟩})
72, 3, 6strfv 17173 . . 3 (𝑅 ∈ π‘Š β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜({⟨(Baseβ€˜ndx), (Baseβ€˜π‘†)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (+gβ€˜π‘†)⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘†)⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ (({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {π‘₯}) ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑓))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)}))⟩})))
81, 7syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜({⟨(Baseβ€˜ndx), (Baseβ€˜π‘†)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (+gβ€˜π‘†)⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘†)⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ (({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {π‘₯}) ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑓))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)}))⟩})))
9 psrsca.s . . . 4 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
10 eqid 2728 . . . 4 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
11 eqid 2728 . . . 4 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
12 eqid 2728 . . . 4 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
13 eqid 2728 . . . 4 (TopOpenβ€˜π‘…) = (TopOpenβ€˜π‘…)
14 eqid 2728 . . . 4 {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
15 eqid 2728 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
16 psrsca.i . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
179, 10, 14, 15, 16psrbas 21878 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘†) = ((Baseβ€˜π‘…) ↑m {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}))
18 eqid 2728 . . . . 5 (+gβ€˜π‘†) = (+gβ€˜π‘†)
199, 15, 11, 18psrplusg 21881 . . . 4 (+gβ€˜π‘†) = ( ∘f (+gβ€˜π‘…) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘†) Γ— (Baseβ€˜π‘†)))
20 eqid 2728 . . . . 5 (.rβ€˜π‘†) = (.rβ€˜π‘†)
219, 15, 12, 20, 14psrmulr 21885 . . . 4 (.rβ€˜π‘†) = (𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘†), 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ (𝑀 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑦 ∘r ≀ 𝑀} ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(π‘§β€˜(𝑀 ∘f βˆ’ π‘₯)))))))
22 eqid 2728 . . . 4 (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ (({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {π‘₯}) ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑓)) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ (({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {π‘₯}) ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑓))
23 eqidd 2729 . . . 4 (πœ‘ β†’ (∏tβ€˜({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)})) = (∏tβ€˜({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)})))
249, 10, 11, 12, 13, 14, 17, 19, 21, 22, 23, 16, 1psrval 21848 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 = ({⟨(Baseβ€˜ndx), (Baseβ€˜π‘†)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (+gβ€˜π‘†)⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘†)⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ (({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {π‘₯}) ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑓))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)}))⟩}))
2524fveq2d 6901 . 2 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜π‘†) = (Scalarβ€˜({⟨(Baseβ€˜ndx), (Baseβ€˜π‘†)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (+gβ€˜π‘†)⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘†)⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ (({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {π‘₯}) ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑓))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)}))⟩})))
268, 25eqtr4d 2771 1 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {crab 3429   βˆͺ cun 3945  {csn 4629  {ctp 4633  βŸ¨cop 4635   Γ— cxp 5676  β—‘ccnv 5677   β€œ cima 5681  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422   ∘f cof 7683   ↑m cmap 8845  Fincfn 8964  1c1 11140  β„•cn 12243  9c9 12305  β„•0cn0 12503  ndxcnx 17162  Basecbs 17180  +gcplusg 17233  .rcmulr 17234  Scalarcsca 17236   ·𝑠 cvsca 17237  TopSetcts 17239  TopOpenctopn 17403  βˆtcpt 17420   mPwSer cmps 21837
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9387  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-fz 13518  df-struct 17116  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-tset 17252  df-psr 21842
This theorem is referenced by:  psrlmod  21903  psrassa  21916  psrasclcl  21922  mpllsslem  21942  mplsca  21955  opsrsca  21997  opsrscaOLD  21998  opsrassa  22004  psdascl  22092  ply1lss  22115  opsrlmod  22164
  Copyright terms: Public domain W3C validator