MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrsca Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem psrsca 21499
Description: The scalar field of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrsca.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrsca.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
psrsca.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ π‘Š)
Assertion
Ref Expression
psrsca (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘†))
Proof of Theorem psrsca
Dummy variables 𝑓 β„Ž 𝑀 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrsca.r . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ π‘Š)
2 psrvalstr 21460 . . . 4 ({⟨(Baseβ€˜ndx), (Baseβ€˜π‘†)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (+gβ€˜π‘†)⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘†)⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ (({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {π‘₯}) ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑓))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)}))⟩}) Struct ⟨1, 9⟩
3 scaid 17256 . . . 4 Scalar = Slot (Scalarβ€˜ndx)
4 snsstp1 4818 . . . . 5 {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©} βŠ† {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ (({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {π‘₯}) ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑓))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)}))⟩}
5 ssun2 4172 . . . . 5 {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ (({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {π‘₯}) ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑓))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)}))⟩} βŠ† ({⟨(Baseβ€˜ndx), (Baseβ€˜π‘†)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (+gβ€˜π‘†)⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘†)⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ (({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {π‘₯}) ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑓))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)}))⟩})
64, 5sstri 3990 . . . 4 {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©} βŠ† ({⟨(Baseβ€˜ndx), (Baseβ€˜π‘†)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (+gβ€˜π‘†)⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘†)⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ (({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {π‘₯}) ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑓))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)}))⟩})
72, 3, 6strfv 17133 . . 3 (𝑅 ∈ π‘Š β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜({⟨(Baseβ€˜ndx), (Baseβ€˜π‘†)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (+gβ€˜π‘†)⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘†)⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ (({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {π‘₯}) ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑓))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)}))⟩})))
81, 7syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜({⟨(Baseβ€˜ndx), (Baseβ€˜π‘†)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (+gβ€˜π‘†)⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘†)⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ (({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {π‘₯}) ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑓))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)}))⟩})))
9 psrsca.s . . . 4 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
10 eqid 2732 . . . 4 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
11 eqid 2732 . . . 4 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
12 eqid 2732 . . . 4 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
13 eqid 2732 . . . 4 (TopOpenβ€˜π‘…) = (TopOpenβ€˜π‘…)
14 eqid 2732 . . . 4 {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
15 eqid 2732 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
16 psrsca.i . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
179, 10, 14, 15, 16psrbas 21488 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘†) = ((Baseβ€˜π‘…) ↑m {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}))
18 eqid 2732 . . . . 5 (+gβ€˜π‘†) = (+gβ€˜π‘†)
199, 15, 11, 18psrplusg 21491 . . . 4 (+gβ€˜π‘†) = ( ∘f (+gβ€˜π‘…) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘†) Γ— (Baseβ€˜π‘†)))
20 eqid 2732 . . . . 5 (.rβ€˜π‘†) = (.rβ€˜π‘†)
219, 15, 12, 20, 14psrmulr 21494 . . . 4 (.rβ€˜π‘†) = (𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘†), 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ (𝑀 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑦 ∘r ≀ 𝑀} ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(π‘§β€˜(𝑀 ∘f βˆ’ π‘₯)))))))
22 eqid 2732 . . . 4 (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ (({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {π‘₯}) ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑓)) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ (({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {π‘₯}) ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑓))
23 eqidd 2733 . . . 4 (πœ‘ β†’ (∏tβ€˜({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)})) = (∏tβ€˜({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)})))
249, 10, 11, 12, 13, 14, 17, 19, 21, 22, 23, 16, 1psrval 21459 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 = ({⟨(Baseβ€˜ndx), (Baseβ€˜π‘†)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (+gβ€˜π‘†)⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘†)⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ (({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {π‘₯}) ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑓))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)}))⟩}))
2524fveq2d 6892 . 2 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜π‘†) = (Scalarβ€˜({⟨(Baseβ€˜ndx), (Baseβ€˜π‘†)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (+gβ€˜π‘†)⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘†)⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ (({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {π‘₯}) ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑓))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)}))⟩})))
268, 25eqtr4d 2775 1 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3432   βˆͺ cun 3945  {csn 4627  {ctp 4631  βŸ¨cop 4633   Γ— cxp 5673  β—‘ccnv 5674   β€œ cima 5678  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407   ∘f cof 7664   ↑m cmap 8816  Fincfn 8935  1c1 11107  β„•cn 12208  9c9 12270  β„•0cn0 12468  ndxcnx 17122  Basecbs 17140  +gcplusg 17193  .rcmulr 17194  Scalarcsca 17196   ·𝑠 cvsca 17197  TopSetcts 17199  TopOpenctopn 17363  βˆtcpt 17380   mPwSer cmps 21448
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-tset 17212  df-psr 21453
This theorem is referenced by:  psrlmod  21512  psrassa  21525  mpllsslem  21550  mplsca  21563  opsrsca  21605  opsrscaOLD  21606  opsrassa  21612  ply1lss  21711  opsrlmod  21759
  Copyright terms: Public domain W3C validator