Theorem pcrec 16900

Description: Prime power of a reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
pcrec	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (1 / 𝐴)) = -(𝑃 pCnt 𝐴))

Proof of Theorem pcrec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12669	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		zq 13015	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℚ
4		ax-1ne0 11249	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 0
5	3, 4	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℚ ∧ 1 ≠ 0)
6		pcqdiv 16899	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (1 ∈ ℚ ∧ 1 ≠ 0) ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (1 / 𝐴)) = ((𝑃 pCnt 1) − (𝑃 pCnt 𝐴)))
7	5, 6	mp3an2 1449	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (1 / 𝐴)) = ((𝑃 pCnt 1) − (𝑃 pCnt 𝐴)))
8		pc1 16897	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 pCnt 1) = 0)
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 1) = 0)
10	9	oveq1d 7460	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → ((𝑃 pCnt 1) − (𝑃 pCnt 𝐴)) = (0 − (𝑃 pCnt 𝐴)))
11	7, 10	eqtrd 2774	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (1 / 𝐴)) = (0 − (𝑃 pCnt 𝐴)))
12		df-neg 11519	. 2 ⊢ -(𝑃 pCnt 𝐴) = (0 − (𝑃 pCnt 𝐴))
13	11, 12	eqtr4di 2792	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (1 / 𝐴)) = -(𝑃 pCnt 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2103   ≠ wne 2942  (class class class)co 7445  0cc0 11180  1c1 11181   − cmin 11516  -cneg 11517   / cdiv 11943  ℤcz 12635  ℚcq 13009  ℙcprime 16712   pCnt cpc 16878

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257  ax-pre-sup 11258

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3383  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5021  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-om 7900  df-1st 8026  df-2nd 8027  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-1o 8518  df-2o 8519  df-er 8759  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-fin 9003  df-sup 9507  df-inf 9508  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519  df-div 11944  df-nn 12290  df-2 12352  df-3 12353  df-n0 12550  df-z 12636  df-uz 12900  df-q 13010  df-rp 13054  df-fl 13839  df-mod 13917  df-seq 14049  df-exp 14109  df-cj 15144  df-re 15145  df-im 15146  df-sqrt 15280  df-abs 15281  df-dvds 16297  df-gcd 16535  df-prm 16713  df-pc 16879

This theorem is referenced by:  pcexp  16901