MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcrec Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcrec 16907
Description: Prime power of a reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
pcrec ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (1 / 𝐴)) = -(𝑃 pCnt 𝐴))

Proof of Theorem pcrec
StepHypRef Expression
1 1z 12675 . . . . . 6 1 ∈ ℤ
2 zq 13021 . . . . . 6 (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 1 ∈ ℚ
4 ax-1ne0 11255 . . . . 5 1 ≠ 0
53, 4pm3.2i 470 . . . 4 (1 ∈ ℚ ∧ 1 ≠ 0)
6 pcqdiv 16906 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (1 ∈ ℚ ∧ 1 ≠ 0) ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (1 / 𝐴)) = ((𝑃 pCnt 1) − (𝑃 pCnt 𝐴)))
75, 6mp3an2 1449 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (1 / 𝐴)) = ((𝑃 pCnt 1) − (𝑃 pCnt 𝐴)))
8 pc1 16904 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 pCnt 1) = 0)
98adantr 480 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 1) = 0)
109oveq1d 7465 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → ((𝑃 pCnt 1) − (𝑃 pCnt 𝐴)) = (0 − (𝑃 pCnt 𝐴)))
117, 10eqtrd 2780 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (1 / 𝐴)) = (0 − (𝑃 pCnt 𝐴)))
12 df-neg 11525 . 2 -(𝑃 pCnt 𝐴) = (0 − (𝑃 pCnt 𝐴))
1311, 12eqtr4di 2798 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (1 / 𝐴)) = -(𝑃 pCnt 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2108  wne 2946  (class class class)co 7450  0cc0 11186  1c1 11187  cmin 11522  -cneg 11523   / cdiv 11949  cz 12641  cq 13015  cprime 16720   pCnt cpc 16885
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-cnex 11242  ax-resscn 11243  ax-1cn 11244  ax-icn 11245  ax-addcl 11246  ax-addrcl 11247  ax-mulcl 11248  ax-mulrcl 11249  ax-mulcom 11250  ax-addass 11251  ax-mulass 11252  ax-distr 11253  ax-i2m1 11254  ax-1ne0 11255  ax-1rid 11256  ax-rnegex 11257  ax-rrecex 11258  ax-cnre 11259  ax-pre-lttri 11260  ax-pre-lttrn 11261  ax-pre-ltadd 11262  ax-pre-mulgt0 11263  ax-pre-sup 11264
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6334  df-ord 6400  df-on 6401  df-lim 6402  df-suc 6403  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-riota 7406  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-om 7906  df-1st 8032  df-2nd 8033  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8429  df-rdg 8468  df-1o 8524  df-2o 8525  df-er 8765  df-en 9006  df-dom 9007  df-sdom 9008  df-fin 9009  df-sup 9513  df-inf 9514  df-pnf 11328  df-mnf 11329  df-xr 11330  df-ltxr 11331  df-le 11332  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11950  df-nn 12296  df-2 12358  df-3 12359  df-n0 12556  df-z 12642  df-uz 12906  df-q 13016  df-rp 13060  df-fl 13845  df-mod 13923  df-seq 14055  df-exp 14115  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-dvds 16305  df-gcd 16543  df-prm 16721  df-pc 16886
This theorem is referenced by:  pcexp  16908
  Copyright terms: Public domain W3C validator