Theorem pcqdiv 17064

Description: Division property of the prime power function. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
pcqdiv	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (𝐴 / 𝐵)) = ((𝑃 pCnt 𝐴) − (𝑃 pCnt 𝐵)))

Proof of Theorem pcqdiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2l 1218	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐴 ∈ ℚ)
2		qcn 13117	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
4		simp3l 1220	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐵 ∈ ℚ)
5		qcn 13117	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℂ)
6	4, 5	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐵 ∈ ℂ)
7		simp3r 1221	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐵 ≠ 0)
8	3, 6, 7	divcan1d 12121	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)
9	8	oveq2d 7459	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵)) = (𝑃 pCnt 𝐴))
10		simp1 1154	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝑃 ∈ ℙ)
11		qdivcl 13125	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ)
12	1, 4, 7, 11	syl3anc 1399	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ)
13		simp2r 1219	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐴 ≠ 0)
14	3, 6, 13, 7	divne0d 12136	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝐵) ≠ 0)
15		pcqmul 17060	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ ∧ (𝐴 / 𝐵) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵)) = ((𝑃 pCnt (𝐴 / 𝐵)) + (𝑃 pCnt 𝐵)))
16	10, 12, 14, 4, 7, 15	syl122anc 1407	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵)) = ((𝑃 pCnt (𝐴 / 𝐵)) + (𝑃 pCnt 𝐵)))
17	9, 16	eqtr3d 2800	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝐴) = ((𝑃 pCnt (𝐴 / 𝐵)) + (𝑃 pCnt 𝐵)))
18	17	oveq1d 7458	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝑃 pCnt 𝐴) − (𝑃 pCnt 𝐵)) = (((𝑃 pCnt (𝐴 / 𝐵)) + (𝑃 pCnt 𝐵)) − (𝑃 pCnt 𝐵)))
19		pcqcl 17063	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ ∧ (𝐴 / 𝐵) ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (𝐴 / 𝐵)) ∈ ℤ)
20	10, 12, 14, 19	syl12anc 850	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (𝐴 / 𝐵)) ∈ ℤ)
21	20	zcnd 12831	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (𝐴 / 𝐵)) ∈ ℂ)
22		pcqcl 17063	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝐵) ∈ ℤ)
23	22	3adant2 1149	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝐵) ∈ ℤ)
24	23	zcnd 12831	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝐵) ∈ ℂ)
25	21, 24	pncand 11697	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (((𝑃 pCnt (𝐴 / 𝐵)) + (𝑃 pCnt 𝐵)) − (𝑃 pCnt 𝐵)) = (𝑃 pCnt (𝐴 / 𝐵)))
26	18, 25	eqtr2d 2799	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (𝐴 / 𝐵)) = ((𝑃 pCnt 𝐴) − (𝑃 pCnt 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  (class class class)co 7443  ℂcc 11225  0cc0 11227   + caddc 11230   · cmul 11232   − cmin 11568   / cdiv 12000  ℤcz 12720  ℚcq 13102  ℙcprime 16875   pCnt cpc 17043

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-sup 9461  df-inf 9462  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-q 13103  df-rp 13148  df-fl 13959  df-mod 14037  df-seq 14172  df-exp 14232  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sqrt 15431  df-abs 15432  df-dvds 16452  df-gcd 16694  df-prm 16876  df-pc 17044

This theorem is used by:  pcrec  17065