MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcqdiv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcqdiv 16796
Description: Division property of the prime power function. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
pcqdiv ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ด / ๐ต)) = ((๐‘ƒ pCnt ๐ด) โˆ’ (๐‘ƒ pCnt ๐ต)))

Proof of Theorem pcqdiv
StepHypRef Expression
1 simp2l 1197 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„š)
2 qcn 12953 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„š โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
31, 2syl 17 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
4 simp3l 1199 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„š)
5 qcn 12953 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„š โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
64, 5syl 17 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
7 simp3r 1200 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ๐ต โ‰  0)
83, 6, 7divcan1d 11997 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ((๐ด / ๐ต) ยท ๐ต) = ๐ด)
98oveq2d 7429 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((๐ด / ๐ต) ยท ๐ต)) = (๐‘ƒ pCnt ๐ด))
10 simp1 1134 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
11 qdivcl 12960 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„š)
121, 4, 7, 11syl3anc 1369 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„š)
13 simp2r 1198 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ๐ด โ‰  0)
143, 6, 13, 7divne0d 12012 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐ด / ๐ต) โ‰  0)
15 pcqmul 16792 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ((๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„š โˆง (๐ด / ๐ต) โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((๐ด / ๐ต) ยท ๐ต)) = ((๐‘ƒ pCnt (๐ด / ๐ต)) + (๐‘ƒ pCnt ๐ต)))
1610, 12, 14, 4, 7, 15syl122anc 1377 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((๐ด / ๐ต) ยท ๐ต)) = ((๐‘ƒ pCnt (๐ด / ๐ต)) + (๐‘ƒ pCnt ๐ต)))
179, 16eqtr3d 2772 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ด) = ((๐‘ƒ pCnt (๐ด / ๐ต)) + (๐‘ƒ pCnt ๐ต)))
1817oveq1d 7428 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ((๐‘ƒ pCnt ๐ด) โˆ’ (๐‘ƒ pCnt ๐ต)) = (((๐‘ƒ pCnt (๐ด / ๐ต)) + (๐‘ƒ pCnt ๐ต)) โˆ’ (๐‘ƒ pCnt ๐ต)))
19 pcqcl 16795 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ((๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„š โˆง (๐ด / ๐ต) โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ด / ๐ต)) โˆˆ โ„ค)
2010, 12, 14, 19syl12anc 833 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ด / ๐ต)) โˆˆ โ„ค)
2120zcnd 12673 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ด / ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
22 pcqcl 16795 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ต) โˆˆ โ„ค)
23223adant2 1129 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ต) โˆˆ โ„ค)
2423zcnd 12673 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ต) โˆˆ โ„‚)
2521, 24pncand 11578 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (((๐‘ƒ pCnt (๐ด / ๐ต)) + (๐‘ƒ pCnt ๐ต)) โˆ’ (๐‘ƒ pCnt ๐ต)) = (๐‘ƒ pCnt (๐ด / ๐ต)))
2618, 25eqtr2d 2771 1 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ด / ๐ต)) = ((๐‘ƒ pCnt ๐ด) โˆ’ (๐‘ƒ pCnt ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1085   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2938  (class class class)co 7413  โ„‚cc 11112  0cc0 11114   + caddc 11117   ยท cmul 11119   โˆ’ cmin 11450   / cdiv 11877  โ„คcz 12564  โ„šcq 12938  โ„™cprime 16614   pCnt cpc 16775
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9441  df-inf 9442  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-div 11878  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-n0 12479  df-z 12565  df-uz 12829  df-q 12939  df-rp 12981  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14034  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16204  df-gcd 16442  df-prm 16615  df-pc 16776
This theorem is referenced by:  pcrec  16797
  Copyright terms: Public domain W3C validator