Theorem phimul 16296

Description: The Euler ϕ function is a multiplicative function, meaning that it distributes over multiplication at relatively prime arguments. Theorem 2.5(c) in [ApostolNT] p. 28. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
phimul	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (ϕ‘(𝑀 · 𝑁)) = ((ϕ‘𝑀) · (ϕ‘𝑁)))

Proof of Theorem phimul

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. 2 ⊢ (0..^(𝑀 · 𝑁)) = (0..^(𝑀 · 𝑁))
2		eqid 2736	. 2 ⊢ ((0..^𝑀) × (0..^𝑁)) = ((0..^𝑀) × (0..^𝑁))
3		eqid 2736	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 · 𝑁)) ↦ ⟨(𝑥 mod 𝑀), (𝑥 mod 𝑁)⟩) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 · 𝑁)) ↦ ⟨(𝑥 mod 𝑀), (𝑥 mod 𝑁)⟩)
4		id 22	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1))
5		eqid 2736	. 2 ⊢ {𝑦 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑦 gcd 𝑀) = 1} = {𝑦 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑦 gcd 𝑀) = 1}
6		eqid 2736	. 2 ⊢ {𝑦 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑦 gcd 𝑁) = 1} = {𝑦 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑦 gcd 𝑁) = 1}
7		eqid 2736	. 2 ⊢ {𝑦 ∈ (0..^(𝑀 · 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 1} = {𝑦 ∈ (0..^(𝑀 · 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 1}
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	phimullem 16295	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (ϕ‘(𝑀 · 𝑁)) = ((ϕ‘𝑀) · (ϕ‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  {crab 3055  ⟨cop 4533   ↦ cmpt 5120   × cxp 5534  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191  0cc0 10694  1c1 10695   · cmul 10699  ℕcn 11795  ..^cfzo 13203   mod cmo 13407   gcd cgcd 16016  ϕcphi 16280

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771  ax-pre-sup 10772

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-int 4846  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-om 7623  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-1o 8180  df-oadd 8184  df-er 8369  df-map 8488  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-fin 8608  df-sup 9036  df-inf 9037  df-dju 9482  df-card 9520  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-div 11455  df-nn 11796  df-2 11858  df-3 11859  df-n0 12056  df-xnn0 12128  df-z 12142  df-uz 12404  df-rp 12552  df-fz 13061  df-fzo 13204  df-fl 13332  df-mod 13408  df-seq 13540  df-exp 13601  df-hash 13862  df-cj 14627  df-re 14628  df-im 14629  df-sqrt 14763  df-abs 14764  df-dvds 15779  df-gcd 16017  df-phi 16282

This theorem is referenced by: (None)