Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  phimul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem phimul 16110
 Description: The Euler ϕ function is a multiplicative function, meaning that it distributes over multiplication at relatively prime arguments. Theorem 2.5(c) in [ApostolNT] p. 28. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
phimul ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (ϕ‘(𝑀 · 𝑁)) = ((ϕ‘𝑀) · (ϕ‘𝑁)))

Proof of Theorem phimul
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2801 . 2 (0..^(𝑀 · 𝑁)) = (0..^(𝑀 · 𝑁))
2 eqid 2801 . 2 ((0..^𝑀) × (0..^𝑁)) = ((0..^𝑀) × (0..^𝑁))
3 eqid 2801 . 2 (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 · 𝑁)) ↦ ⟨(𝑥 mod 𝑀), (𝑥 mod 𝑁)⟩) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 · 𝑁)) ↦ ⟨(𝑥 mod 𝑀), (𝑥 mod 𝑁)⟩)
4 id 22 . 2 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1))
5 eqid 2801 . 2 {𝑦 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑦 gcd 𝑀) = 1} = {𝑦 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑦 gcd 𝑀) = 1}
6 eqid 2801 . 2 {𝑦 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑦 gcd 𝑁) = 1} = {𝑦 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑦 gcd 𝑁) = 1}
7 eqid 2801 . 2 {𝑦 ∈ (0..^(𝑀 · 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 1} = {𝑦 ∈ (0..^(𝑀 · 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 1}
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7phimullem 16109 1 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (ϕ‘(𝑀 · 𝑁)) = ((ϕ‘𝑀) · (ϕ‘𝑁)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  {crab 3113  ⟨cop 4534   ↦ cmpt 5113   × cxp 5521  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  0cc0 10530  1c1 10531   · cmul 10535  ℕcn 11629  ..^cfzo 13032   mod cmo 13236   gcd cgcd 15836  ϕcphi 16094 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-mod 13237  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-dvds 15603  df-gcd 15837  df-phi 16096 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator