MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  phimul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem phimul 16713
Description: The Euler ฯ• function is a multiplicative function, meaning that it distributes over multiplication at relatively prime arguments. Theorem 2.5(c) in [ApostolNT] p. 28. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
phimul ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ (ฯ•โ€˜(๐‘€ ยท ๐‘)) = ((ฯ•โ€˜๐‘€) ยท (ฯ•โ€˜๐‘)))

Proof of Theorem phimul
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . 2 (0..^(๐‘€ ยท ๐‘)) = (0..^(๐‘€ ยท ๐‘))
2 eqid 2733 . 2 ((0..^๐‘€) ร— (0..^๐‘)) = ((0..^๐‘€) ร— (0..^๐‘))
3 eqid 2733 . 2 (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ ยท ๐‘)) โ†ฆ โŸจ(๐‘ฅ mod ๐‘€), (๐‘ฅ mod ๐‘)โŸฉ) = (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ ยท ๐‘)) โ†ฆ โŸจ(๐‘ฅ mod ๐‘€), (๐‘ฅ mod ๐‘)โŸฉ)
4 id 22 . 2 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1))
5 eqid 2733 . 2 {๐‘ฆ โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘ฆ gcd ๐‘€) = 1} = {๐‘ฆ โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘ฆ gcd ๐‘€) = 1}
6 eqid 2733 . 2 {๐‘ฆ โˆˆ (0..^๐‘) โˆฃ (๐‘ฆ gcd ๐‘) = 1} = {๐‘ฆ โˆˆ (0..^๐‘) โˆฃ (๐‘ฆ gcd ๐‘) = 1}
7 eqid 2733 . 2 {๐‘ฆ โˆˆ (0..^(๐‘€ ยท ๐‘)) โˆฃ (๐‘ฆ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) = 1} = {๐‘ฆ โˆˆ (0..^(๐‘€ ยท ๐‘)) โˆฃ (๐‘ฆ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) = 1}
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7phimullem 16712 1 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ (ฯ•โ€˜(๐‘€ ยท ๐‘)) = ((ฯ•โ€˜๐‘€) ยท (ฯ•โ€˜๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  {crab 3433  โŸจcop 4635   โ†ฆ cmpt 5232   ร— cxp 5675  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  0cc0 11110  1c1 11111   ยท cmul 11115  โ„•cn 12212  ..^cfzo 13627   mod cmo 13834   gcd cgcd 16435  ฯ•cphi 16697
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-oadd 8470  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-phi 16699
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator