Theorem pidlnzb 33391

Description: A principal ideal is nonzero iff it is generated by a nonzero elements (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pidlnzb.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
pidlnzb.2	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
pidlnzb.3	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
pidlnzb	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≠ 0 ↔ (𝐾‘{𝑋}) ≠ { 0 }))

Proof of Theorem pidlnzb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pidlnzb.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		pidlnzb.2	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3		pidlnzb.3	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
4	1, 2, 3	pidlnz 33345	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝐾‘{𝑋}) ≠ { 0 })
5	4	3expa 1118	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝐾‘{𝑋}) ≠ { 0 })
6		sneq 4618	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 = 0 → {𝑋} = { 0 })
7	6	fveq2d 6891	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = 0 → (𝐾‘{𝑋}) = (𝐾‘{ 0 }))
8	7	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 = 0 ) → (𝐾‘{𝑋}) = (𝐾‘{ 0 }))
9	3, 2	rsp0 21215	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐾‘{ 0 }) = { 0 })
10	9	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 = 0 ) → (𝐾‘{ 0 }) = { 0 })
11	8, 10	eqtrd 2769	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 = 0 ) → (𝐾‘{𝑋}) = { 0 })
12	11	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 = 0 → (𝐾‘{𝑋}) = { 0 }))
13	12	necon3d 2952	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝐾‘{𝑋}) ≠ { 0 } → 𝑋 ≠ 0 ))
14	13	imp 406	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝐾‘{𝑋}) ≠ { 0 }) → 𝑋 ≠ 0 )
15	5, 14	impbida 800	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≠ 0 ↔ (𝐾‘{𝑋}) ≠ { 0 }))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931  {csn 4608  ‘cfv 6542  Basecbs 17230  0_gc0g 17460  Ringcrg 20203  RSpancrsp 21184

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5261  ax-sep 5278  ax-nul 5288  ax-pow 5347  ax-pr 5414  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3773  df-csb 3882  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3950  df-pss 3953  df-nul 4316  df-if 4508  df-pw 4584  df-sn 4609  df-pr 4611  df-op 4615  df-uni 4890  df-int 4929  df-iun 4975  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5208  df-tr 5242  df-id 5560  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6303  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7871  df-2nd 7998  df-frecs 8289  df-wrecs 8320  df-recs 8394  df-rdg 8433  df-er 8728  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12250  df-2 12312  df-3 12313  df-4 12314  df-5 12315  df-6 12316  df-7 12317  df-8 12318  df-sets 17184  df-slot 17202  df-ndx 17214  df-base 17231  df-ress 17257  df-plusg 17290  df-mulr 17291  df-sca 17293  df-vsca 17294  df-ip 17295  df-0g 17462  df-mgm 18627  df-sgrp 18706  df-mnd 18722  df-grp 18928  df-minusg 18929  df-subg 19115  df-cmn 19773  df-abl 19774  df-mgp 20111  df-rng 20123  df-ur 20152  df-ring 20205  df-subrg 20543  df-lmod 20833  df-lss 20903  df-lsp 20943  df-sra 21145  df-rgmod 21146  df-rsp 21186

This theorem is referenced by:  irngnminplynz  33696