Theorem pidlnzb 33399

Description: A principal ideal is nonzero iff it is generated by a nonzero elements (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pidlnzb.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
pidlnzb.2	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
pidlnzb.3	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
pidlnzb	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≠ 0 ↔ (𝐾‘{𝑋}) ≠ { 0 }))

Proof of Theorem pidlnzb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pidlnzb.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		pidlnzb.2	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3		pidlnzb.3	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
4	1, 2, 3	pidlnz 33353	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝐾‘{𝑋}) ≠ { 0 })
5	4	3expa 1118	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝐾‘{𝑋}) ≠ { 0 })
6		sneq 4601	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 = 0 → {𝑋} = { 0 })
7	6	fveq2d 6864	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = 0 → (𝐾‘{𝑋}) = (𝐾‘{ 0 }))
8	7	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 = 0 ) → (𝐾‘{𝑋}) = (𝐾‘{ 0 }))
9	3, 2	rsp0 21154	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐾‘{ 0 }) = { 0 })
10	9	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 = 0 ) → (𝐾‘{ 0 }) = { 0 })
11	8, 10	eqtrd 2765	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 = 0 ) → (𝐾‘{𝑋}) = { 0 })
12	11	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 = 0 → (𝐾‘{𝑋}) = { 0 }))
13	12	necon3d 2947	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝐾‘{𝑋}) ≠ { 0 } → 𝑋 ≠ 0 ))
14	13	imp 406	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝐾‘{𝑋}) ≠ { 0 }) → 𝑋 ≠ 0 )
15	5, 14	impbida 800	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≠ 0 ↔ (𝐾‘{𝑋}) ≠ { 0 }))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  {csn 4591  ‘cfv 6513  Basecbs 17185  0_gc0g 17408  Ringcrg 20148  RSpancrsp 21123

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-4 12252  df-5 12253  df-6 12254  df-7 12255  df-8 12256  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-ress 17207  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-ip 17244  df-0g 17410  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18874  df-minusg 18875  df-subg 19061  df-cmn 19718  df-abl 19719  df-mgp 20056  df-rng 20068  df-ur 20097  df-ring 20150  df-subrg 20485  df-lmod 20774  df-lss 20844  df-lsp 20884  df-sra 21086  df-rgmod 21087  df-rsp 21125

This theorem is referenced by:  irngnminplynz  33708