Theorem pidlnzb 32535

Description: A principal ideal is nonzero iff it is generated by a nonzero elements (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pidlnzb.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
pidlnzb.2	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
pidlnzb.3	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
pidlnzb	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≠ 0 ↔ (𝐾‘{𝑋}) ≠ { 0 }))

Proof of Theorem pidlnzb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pidlnzb.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		pidlnzb.2	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3		pidlnzb.3	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
4	1, 2, 3	pidlnz 32483	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝐾‘{𝑋}) ≠ { 0 })
5	4	3expa 1118	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝐾‘{𝑋}) ≠ { 0 })
6		sneq 4638	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 = 0 → {𝑋} = { 0 })
7	6	fveq2d 6895	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = 0 → (𝐾‘{𝑋}) = (𝐾‘{ 0 }))
8	7	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 = 0 ) → (𝐾‘{𝑋}) = (𝐾‘{ 0 }))
9	3, 2	rsp0 20849	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐾‘{ 0 }) = { 0 })
10	9	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 = 0 ) → (𝐾‘{ 0 }) = { 0 })
11	8, 10	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 = 0 ) → (𝐾‘{𝑋}) = { 0 })
12	11	ex 413	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 = 0 → (𝐾‘{𝑋}) = { 0 }))
13	12	necon3d 2961	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝐾‘{𝑋}) ≠ { 0 } → 𝑋 ≠ 0 ))
14	13	imp 407	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝐾‘{𝑋}) ≠ { 0 }) → 𝑋 ≠ 0 )
15	5, 14	impbida 799	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≠ 0 ↔ (𝐾‘{𝑋}) ≠ { 0 }))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  {csn 4628  ‘cfv 6543  Basecbs 17143  0_gc0g 17384  Ringcrg 20055  RSpancrsp 20783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-0g 17386  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-grp 18821  df-subg 19002  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-subrg 20316  df-lmod 20472  df-lss 20542  df-lsp 20582  df-sra 20784  df-rgmod 20785  df-rsp 20787

This theorem is referenced by:  irngnminplynz  32766