Theorem pidlnzb 33046

Description: A principal ideal is nonzero iff it is generated by a nonzero elements (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pidlnzb.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
pidlnzb.2	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
pidlnzb.3	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
pidlnzb	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≠ 0 ↔ (𝐾‘{𝑋}) ≠ { 0 }))

Proof of Theorem pidlnzb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pidlnzb.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		pidlnzb.2	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3		pidlnzb.3	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
4	1, 2, 3	pidlnz 32994	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝐾‘{𝑋}) ≠ { 0 })
5	4	3expa 1115	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝐾‘{𝑋}) ≠ { 0 })
6		sneq 4633	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 = 0 → {𝑋} = { 0 })
7	6	fveq2d 6888	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = 0 → (𝐾‘{𝑋}) = (𝐾‘{ 0 }))
8	7	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 = 0 ) → (𝐾‘{𝑋}) = (𝐾‘{ 0 }))
9	3, 2	rsp0 21095	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐾‘{ 0 }) = { 0 })
10	9	ad2antrr 723	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 = 0 ) → (𝐾‘{ 0 }) = { 0 })
11	8, 10	eqtrd 2766	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 = 0 ) → (𝐾‘{𝑋}) = { 0 })
12	11	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 = 0 → (𝐾‘{𝑋}) = { 0 }))
13	12	necon3d 2955	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝐾‘{𝑋}) ≠ { 0 } → 𝑋 ≠ 0 ))
14	13	imp 406	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝐾‘{𝑋}) ≠ { 0 }) → 𝑋 ≠ 0 )
15	5, 14	impbida 798	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≠ 0 ↔ (𝐾‘{𝑋}) ≠ { 0 }))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934  {csn 4623  ‘cfv 6536  Basecbs 17151  0_gc0g 17392  Ringcrg 20136  RSpancrsp 21064

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-subg 19048  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20038  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-subrg 20469  df-lmod 20706  df-lss 20777  df-lsp 20817  df-sra 21019  df-rgmod 21020  df-rsp 21066

This theorem is referenced by:  irngnminplynz  33291