HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhip Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hhip 30417
Description: The inner product operation of Hilbert space. (Contributed by NM, 17-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
hhnv.1 π‘ˆ = ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©
Assertion
Ref Expression
hhip Β·ih = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
Proof of Theorem hhip
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 polid 30399 . . . 4 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (π‘₯ Β·ih 𝑦) = (((((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦))↑2) βˆ’ ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦))↑2)) + (i Β· (((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž (i Β·β„Ž 𝑦)))↑2) βˆ’ ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ βˆ’β„Ž (i Β·β„Ž 𝑦)))↑2)))) / 4))
2 hhnv.1 . . . . . 6 π‘ˆ = ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©
32hhnv 30405 . . . . 5 π‘ˆ ∈ NrmCVec
42hhba 30407 . . . . . 6 β„‹ = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
52hhva 30406 . . . . . 6 +β„Ž = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
62hhsm 30409 . . . . . 6 Β·β„Ž = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
72hhnm 30411 . . . . . 6 normβ„Ž = (normCVβ€˜π‘ˆ)
8 eqid 2732 . . . . . 6 (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ) = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
92hhvs 30410 . . . . . 6 βˆ’β„Ž = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
104, 5, 6, 7, 8, 9ipval3 29949 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (π‘₯(·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)𝑦) = (((((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦))↑2) βˆ’ ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦))↑2)) + (i Β· (((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž (i Β·β„Ž 𝑦)))↑2) βˆ’ ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ βˆ’β„Ž (i Β·β„Ž 𝑦)))↑2)))) / 4))
113, 10mp3an1 1448 . . . 4 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (π‘₯(·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)𝑦) = (((((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦))↑2) βˆ’ ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦))↑2)) + (i Β· (((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž (i Β·β„Ž 𝑦)))↑2) βˆ’ ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ βˆ’β„Ž (i Β·β„Ž 𝑦)))↑2)))) / 4))
121, 11eqtr4d 2775 . . 3 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (π‘₯ Β·ih 𝑦) = (π‘₯(·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)𝑦))
1312rgen2 3197 . 2 βˆ€π‘₯ ∈ β„‹ βˆ€π‘¦ ∈ β„‹ (π‘₯ Β·ih 𝑦) = (π‘₯(·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)𝑦)
14 ax-hfi 30319 . . 3 Β·ih :( β„‹ Γ— β„‹)βŸΆβ„‚
154, 8ipf 29953 . . . 4 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ):( β„‹ Γ— β„‹)βŸΆβ„‚)
163, 15ax-mp 5 . . 3 (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ):( β„‹ Γ— β„‹)βŸΆβ„‚
17 ffn 6714 . . . 4 ( Β·ih :( β„‹ Γ— β„‹)βŸΆβ„‚ β†’ Β·ih Fn ( β„‹ Γ— β„‹))
18 ffn 6714 . . . 4 ((·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ):( β„‹ Γ— β„‹)βŸΆβ„‚ β†’ (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ) Fn ( β„‹ Γ— β„‹))
19 eqfnov2 7535 . . . 4 (( Β·ih Fn ( β„‹ Γ— β„‹) ∧ (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ) Fn ( β„‹ Γ— β„‹)) β†’ ( Β·ih = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ β„‹ βˆ€π‘¦ ∈ β„‹ (π‘₯ Β·ih 𝑦) = (π‘₯(·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)𝑦)))
2017, 18, 19syl2an 596 . . 3 (( Β·ih :( β„‹ Γ— β„‹)βŸΆβ„‚ ∧ (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ):( β„‹ Γ— β„‹)βŸΆβ„‚) β†’ ( Β·ih = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ β„‹ βˆ€π‘¦ ∈ β„‹ (π‘₯ Β·ih 𝑦) = (π‘₯(·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)𝑦)))
2114, 16, 20mp2an 690 . 2 ( Β·ih = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ β„‹ βˆ€π‘¦ ∈ β„‹ (π‘₯ Β·ih 𝑦) = (π‘₯(·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)𝑦))
2213, 21mpbir 230 1 Β·ih = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βŸ¨cop 4633   Γ— cxp 5673   Fn wfn 6535  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„‚cc 11104  ici 11108   + caddc 11109   Β· cmul 11111   βˆ’ cmin 11440   / cdiv 11867  2c2 12263  4c4 12265  β†‘cexp 14023  NrmCVeccnv 29824  Β·π‘–OLDcdip 29940   β„‹chba 30159   +β„Ž cva 30160   Β·β„Ž csm 30161   Β·ih csp 30162  normβ„Žcno 30163   βˆ’β„Ž cmv 30165
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-hilex 30239  ax-hfvadd 30240  ax-hvcom 30241  ax-hvass 30242  ax-hv0cl 30243  ax-hvaddid 30244  ax-hfvmul 30245  ax-hvmulid 30246  ax-hvmulass 30247  ax-hvdistr1 30248  ax-hvdistr2 30249  ax-hvmul0 30250  ax-hfi 30319  ax-his1 30322  ax-his2 30323  ax-his3 30324  ax-his4 30325
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-grpo 29733  df-gid 29734  df-ginv 29735  df-gdiv 29736  df-ablo 29785  df-vc 29799  df-nv 29832  df-va 29835  df-ba 29836  df-sm 29837  df-0v 29838  df-vs 29839  df-nmcv 29840  df-dip 29941  df-hnorm 30208  df-hvsub 30211
This theorem is referenced by:  bcsiHIL  30420  occllem  30543  hmopbdoptHIL  31228
  Copyright terms: Public domain W3C validator