Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhip Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hhip 29004
 Description: The inner product operation of Hilbert space. (Contributed by NM, 17-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
hhnv.1 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
Assertion
Ref Expression
hhip ·ih = (·𝑖OLD𝑈)

Proof of Theorem hhip
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 polid 28986 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih 𝑦) = (((((norm‘(𝑥 + 𝑦))↑2) − ((norm‘(𝑥 𝑦))↑2)) + (i · (((norm‘(𝑥 + (i · 𝑦)))↑2) − ((norm‘(𝑥 (i · 𝑦)))↑2)))) / 4))
2 hhnv.1 . . . . . 6 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
32hhnv 28992 . . . . 5 𝑈 ∈ NrmCVec
42hhba 28994 . . . . . 6 ℋ = (BaseSet‘𝑈)
52hhva 28993 . . . . . 6 + = ( +𝑣𝑈)
62hhsm 28996 . . . . . 6 · = ( ·𝑠OLD𝑈)
72hhnm 28998 . . . . . 6 norm = (normCV𝑈)
8 eqid 2798 . . . . . 6 (·𝑖OLD𝑈) = (·𝑖OLD𝑈)
92hhvs 28997 . . . . . 6 = ( −𝑣𝑈)
104, 5, 6, 7, 8, 9ipval3 28536 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥(·𝑖OLD𝑈)𝑦) = (((((norm‘(𝑥 + 𝑦))↑2) − ((norm‘(𝑥 𝑦))↑2)) + (i · (((norm‘(𝑥 + (i · 𝑦)))↑2) − ((norm‘(𝑥 (i · 𝑦)))↑2)))) / 4))
113, 10mp3an1 1445 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥(·𝑖OLD𝑈)𝑦) = (((((norm‘(𝑥 + 𝑦))↑2) − ((norm‘(𝑥 𝑦))↑2)) + (i · (((norm‘(𝑥 + (i · 𝑦)))↑2) − ((norm‘(𝑥 (i · 𝑦)))↑2)))) / 4))
121, 11eqtr4d 2836 . . 3 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih 𝑦) = (𝑥(·𝑖OLD𝑈)𝑦))
1312rgen2 3168 . 2 𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝑦) = (𝑥(·𝑖OLD𝑈)𝑦)
14 ax-hfi 28906 . . 3 ·ih :( ℋ × ℋ)⟶ℂ
154, 8ipf 28540 . . . 4 (𝑈 ∈ NrmCVec → (·𝑖OLD𝑈):( ℋ × ℋ)⟶ℂ)
163, 15ax-mp 5 . . 3 (·𝑖OLD𝑈):( ℋ × ℋ)⟶ℂ
17 ffn 6495 . . . 4 ( ·ih :( ℋ × ℋ)⟶ℂ → ·ih Fn ( ℋ × ℋ))
18 ffn 6495 . . . 4 ((·𝑖OLD𝑈):( ℋ × ℋ)⟶ℂ → (·𝑖OLD𝑈) Fn ( ℋ × ℋ))
19 eqfnov2 7271 . . . 4 (( ·ih Fn ( ℋ × ℋ) ∧ (·𝑖OLD𝑈) Fn ( ℋ × ℋ)) → ( ·ih = (·𝑖OLD𝑈) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝑦) = (𝑥(·𝑖OLD𝑈)𝑦)))
2017, 18, 19syl2an 598 . . 3 (( ·ih :( ℋ × ℋ)⟶ℂ ∧ (·𝑖OLD𝑈):( ℋ × ℋ)⟶ℂ) → ( ·ih = (·𝑖OLD𝑈) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝑦) = (𝑥(·𝑖OLD𝑈)𝑦)))
2114, 16, 20mp2an 691 . 2 ( ·ih = (·𝑖OLD𝑈) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝑦) = (𝑥(·𝑖OLD𝑈)𝑦))
2213, 21mpbir 234 1 ·ih = (·𝑖OLD𝑈)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ⟨cop 4534   × cxp 5521   Fn wfn 6327  ⟶wf 6328  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145  ℂcc 10542  ici 10546   + caddc 10547   · cmul 10549   − cmin 10877   / cdiv 11304  2c2 11698  4c4 11700  ↑cexp 13445  NrmCVeccnv 28411  ·𝑖OLDcdip 28527   ℋchba 28746   +ℎ cva 28747   ·ℎ csm 28748   ·ih csp 28749  normℎcno 28750   −ℎ cmv 28752 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5158  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-inf2 9106  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621  ax-pre-sup 10622  ax-hilex 28826  ax-hfvadd 28827  ax-hvcom 28828  ax-hvass 28829  ax-hv0cl 28830  ax-hvaddid 28831  ax-hfvmul 28832  ax-hvmulid 28833  ax-hvmulass 28834  ax-hvdistr1 28835  ax-hvdistr2 28836  ax-hvmul0 28837  ax-hfi 28906  ax-his1 28909  ax-his2 28910  ax-his3 28911  ax-his4 28912 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-int 4843  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-isom 6341  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-1o 8103  df-oadd 8107  df-er 8290  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-fin 8514  df-sup 8908  df-oi 8976  df-card 9370  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-div 11305  df-nn 11644  df-2 11706  df-3 11707  df-4 11708  df-n0 11904  df-z 11990  df-uz 12252  df-rp 12398  df-fz 12906  df-fzo 13049  df-seq 13385  df-exp 13446  df-hash 13707  df-cj 14470  df-re 14471  df-im 14472  df-sqrt 14606  df-abs 14607  df-clim 14857  df-sum 15055  df-grpo 28320  df-gid 28321  df-ginv 28322  df-gdiv 28323  df-ablo 28372  df-vc 28386  df-nv 28419  df-va 28422  df-ba 28423  df-sm 28424  df-0v 28425  df-vs 28426  df-nmcv 28427  df-dip 28528  df-hnorm 28795  df-hvsub 28798 This theorem is referenced by:  bcsiHIL  29007  occllem  29130  hmopbdoptHIL  29815
 Copyright terms: Public domain W3C validator