HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhip Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hhip 31206
Description: The inner product operation of Hilbert space. (Contributed by NM, 17-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
hhnv.1 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
Assertion
Ref Expression
hhip ·ih = (·𝑖OLD𝑈)

Proof of Theorem hhip
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 polid 31188 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih 𝑦) = (((((norm‘(𝑥 + 𝑦))↑2) − ((norm‘(𝑥 𝑦))↑2)) + (i · (((norm‘(𝑥 + (i · 𝑦)))↑2) − ((norm‘(𝑥 (i · 𝑦)))↑2)))) / 4))
2 hhnv.1 . . . . . 6 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
32hhnv 31194 . . . . 5 𝑈 ∈ NrmCVec
42hhba 31196 . . . . . 6 ℋ = (BaseSet‘𝑈)
52hhva 31195 . . . . . 6 + = ( +𝑣𝑈)
62hhsm 31198 . . . . . 6 · = ( ·𝑠OLD𝑈)
72hhnm 31200 . . . . . 6 norm = (normCV𝑈)
8 eqid 2735 . . . . . 6 (·𝑖OLD𝑈) = (·𝑖OLD𝑈)
92hhvs 31199 . . . . . 6 = ( −𝑣𝑈)
104, 5, 6, 7, 8, 9ipval3 30738 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥(·𝑖OLD𝑈)𝑦) = (((((norm‘(𝑥 + 𝑦))↑2) − ((norm‘(𝑥 𝑦))↑2)) + (i · (((norm‘(𝑥 + (i · 𝑦)))↑2) − ((norm‘(𝑥 (i · 𝑦)))↑2)))) / 4))
113, 10mp3an1 1447 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥(·𝑖OLD𝑈)𝑦) = (((((norm‘(𝑥 + 𝑦))↑2) − ((norm‘(𝑥 𝑦))↑2)) + (i · (((norm‘(𝑥 + (i · 𝑦)))↑2) − ((norm‘(𝑥 (i · 𝑦)))↑2)))) / 4))
121, 11eqtr4d 2778 . . 3 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih 𝑦) = (𝑥(·𝑖OLD𝑈)𝑦))
1312rgen2 3197 . 2 𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝑦) = (𝑥(·𝑖OLD𝑈)𝑦)
14 ax-hfi 31108 . . 3 ·ih :( ℋ × ℋ)⟶ℂ
154, 8ipf 30742 . . . 4 (𝑈 ∈ NrmCVec → (·𝑖OLD𝑈):( ℋ × ℋ)⟶ℂ)
163, 15ax-mp 5 . . 3 (·𝑖OLD𝑈):( ℋ × ℋ)⟶ℂ
17 ffn 6737 . . . 4 ( ·ih :( ℋ × ℋ)⟶ℂ → ·ih Fn ( ℋ × ℋ))
18 ffn 6737 . . . 4 ((·𝑖OLD𝑈):( ℋ × ℋ)⟶ℂ → (·𝑖OLD𝑈) Fn ( ℋ × ℋ))
19 eqfnov2 7563 . . . 4 (( ·ih Fn ( ℋ × ℋ) ∧ (·𝑖OLD𝑈) Fn ( ℋ × ℋ)) → ( ·ih = (·𝑖OLD𝑈) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝑦) = (𝑥(·𝑖OLD𝑈)𝑦)))
2017, 18, 19syl2an 596 . . 3 (( ·ih :( ℋ × ℋ)⟶ℂ ∧ (·𝑖OLD𝑈):( ℋ × ℋ)⟶ℂ) → ( ·ih = (·𝑖OLD𝑈) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝑦) = (𝑥(·𝑖OLD𝑈)𝑦)))
2114, 16, 20mp2an 692 . 2 ( ·ih = (·𝑖OLD𝑈) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝑦) = (𝑥(·𝑖OLD𝑈)𝑦))
2213, 21mpbir 231 1 ·ih = (·𝑖OLD𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  cop 4637   × cxp 5687   Fn wfn 6558  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  ici 11155   + caddc 11156   · cmul 11158  cmin 11490   / cdiv 11918  2c2 12319  4c4 12321  cexp 14099  NrmCVeccnv 30613  ·𝑖OLDcdip 30729  chba 30948   + cva 30949   · csm 30950   ·ih csp 30951  normcno 30952   cmv 30954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-hilex 31028  ax-hfvadd 31029  ax-hvcom 31030  ax-hvass 31031  ax-hv0cl 31032  ax-hvaddid 31033  ax-hfvmul 31034  ax-hvmulid 31035  ax-hvmulass 31036  ax-hvdistr1 31037  ax-hvdistr2 31038  ax-hvmul0 31039  ax-hfi 31108  ax-his1 31111  ax-his2 31112  ax-his3 31113  ax-his4 31114
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-grpo 30522  df-gid 30523  df-ginv 30524  df-gdiv 30525  df-ablo 30574  df-vc 30588  df-nv 30621  df-va 30624  df-ba 30625  df-sm 30626  df-0v 30627  df-vs 30628  df-nmcv 30629  df-dip 30730  df-hnorm 30997  df-hvsub 31000
This theorem is referenced by:  bcsiHIL  31209  occllem  31332  hmopbdoptHIL  32017
  Copyright terms: Public domain W3C validator