Theorem hhip 31529

Description: The inner product operation of Hilbert space. (Contributed by NM, 17-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
hhnv.1	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩

Assertion

Ref	Expression
hhip	⊢ ·ih = (·𝑖OLD‘𝑈)

Proof of Theorem hhip

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		polid 31511	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih 𝑦) = (((((normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦))↑2) − ((normℎ‘(𝑥 −ℎ 𝑦))↑2)) + (i · (((normℎ‘(𝑥 +ℎ (i ·ℎ 𝑦)))↑2) − ((normℎ‘(𝑥 −ℎ (i ·ℎ 𝑦)))↑2)))) / 4))
2		hhnv.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
3	2	hhnv 31517	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
4	2	hhba 31519	. . . . . 6 ⊢ ℋ = (BaseSet‘𝑈)
5	2	hhva 31518	. . . . . 6 ⊢ +ℎ = ( +𝑣 ‘𝑈)
6	2	hhsm 31521	. . . . . 6 ⊢ ·ℎ = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
7	2	hhnm 31523	. . . . . 6 ⊢ normℎ = (normCV‘𝑈)
8		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (·𝑖OLD‘𝑈) = (·𝑖OLD‘𝑈)
9	2	hhvs 31522	. . . . . 6 ⊢ −ℎ = ( −𝑣 ‘𝑈)
10	4, 5, 6, 7, 8, 9	ipval3 31061	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥(·𝑖OLD‘𝑈)𝑦) = (((((normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦))↑2) − ((normℎ‘(𝑥 −ℎ 𝑦))↑2)) + (i · (((normℎ‘(𝑥 +ℎ (i ·ℎ 𝑦)))↑2) − ((normℎ‘(𝑥 −ℎ (i ·ℎ 𝑦)))↑2)))) / 4))
11	3, 10	mp3an1 1477	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥(·𝑖OLD‘𝑈)𝑦) = (((((normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦))↑2) − ((normℎ‘(𝑥 −ℎ 𝑦))↑2)) + (i · (((normℎ‘(𝑥 +ℎ (i ·ℎ 𝑦)))↑2) − ((normℎ‘(𝑥 −ℎ (i ·ℎ 𝑦)))↑2)))) / 4))
12	1, 11	eqtr4d 2801	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih 𝑦) = (𝑥(·𝑖OLD‘𝑈)𝑦))
13	12	rgen2 3205	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝑦) = (𝑥(·𝑖OLD‘𝑈)𝑦)
14		ax-hfi 31431	. . 3 ⊢ ·ih :( ℋ × ℋ)⟶ℂ
15	4, 8	ipf 31065	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (·𝑖OLD‘𝑈):( ℋ × ℋ)⟶ℂ)
16	3, 15	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (·𝑖OLD‘𝑈):( ℋ × ℋ)⟶ℂ
17		ffn 6705	. . . 4 ⊢ ( ·ih :( ℋ × ℋ)⟶ℂ → ·ih Fn ( ℋ × ℋ))
18		ffn 6705	. . . 4 ⊢ ((·𝑖OLD‘𝑈):( ℋ × ℋ)⟶ℂ → (·𝑖OLD‘𝑈) Fn ( ℋ × ℋ))
19		eqfnov2 7540	. . . 4 ⊢ (( ·ih Fn ( ℋ × ℋ) ∧ (·𝑖OLD‘𝑈) Fn ( ℋ × ℋ)) → ( ·ih = (·𝑖OLD‘𝑈) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝑦) = (𝑥(·𝑖OLD‘𝑈)𝑦)))
20	17, 18, 19	syl2an 607	. . 3 ⊢ (( ·ih :( ℋ × ℋ)⟶ℂ ∧ (·𝑖OLD‘𝑈):( ℋ × ℋ)⟶ℂ) → ( ·ih = (·𝑖OLD‘𝑈) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝑦) = (𝑥(·𝑖OLD‘𝑈)𝑦)))
21	14, 16, 20	mp2an 704	. 2 ⊢ ( ·ih = (·𝑖OLD‘𝑈) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝑦) = (𝑥(·𝑖OLD‘𝑈)𝑦))
22	13, 21	mpbir 234	1 ⊢ ·ih = (·𝑖OLD‘𝑈)

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  ⟨cop 4595   × cxp 5659   Fn wfn 6531  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11093  ici 11097   + caddc 11098   · cmul 11100   − cmin 11436   / cdiv 11866  2c2 12290  4c4 12292  ↑cexp 14093  NrmCVeccnv 30936  ·_𝑖OLDcdip 31052   ℋchba 31271   +_ℎ cva 31272   ·_ℎ csm 31273   ·_ih csp 31274  norm_ℎcno 31275   −_ℎ cmv 31277

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173  ax-hilex 31351  ax-hfvadd 31352  ax-hvcom 31353  ax-hvass 31354  ax-hv0cl 31355  ax-hvaddid 31356  ax-hfvmul 31357  ax-hvmulid 31358  ax-hvmulass 31359  ax-hvdistr1 31360  ax-hvdistr2 31361  ax-hvmul0 31362  ax-hfi 31431  ax-his1 31434  ax-his2 31435  ax-his3 31436  ax-his4 31437

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-rp 13012  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-exp 14094  df-hash 14363  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-clim 15535  df-sum 15734  df-grpo 30845  df-gid 30846  df-ginv 30847  df-gdiv 30848  df-ablo 30897  df-vc 30911  df-nv 30944  df-va 30947  df-ba 30948  df-sm 30949  df-0v 30950  df-vs 30951  df-nmcv 30952  df-dip 31053  df-hnorm 31320  df-hvsub 31323

This theorem is referenced by:  bcsiHIL  31532  occllem  31655  hmopbdoptHIL  32340