Theorem hhip 31157

Description: The inner product operation of Hilbert space. (Contributed by NM, 17-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
hhnv.1	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩

Assertion

Ref	Expression
hhip	⊢ ·ih = (·𝑖OLD‘𝑈)

Proof of Theorem hhip

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		polid 31139	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih 𝑦) = (((((normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦))↑2) − ((normℎ‘(𝑥 −ℎ 𝑦))↑2)) + (i · (((normℎ‘(𝑥 +ℎ (i ·ℎ 𝑦)))↑2) − ((normℎ‘(𝑥 −ℎ (i ·ℎ 𝑦)))↑2)))) / 4))
2		hhnv.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
3	2	hhnv 31145	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
4	2	hhba 31147	. . . . . 6 ⊢ ℋ = (BaseSet‘𝑈)
5	2	hhva 31146	. . . . . 6 ⊢ +ℎ = ( +𝑣 ‘𝑈)
6	2	hhsm 31149	. . . . . 6 ⊢ ·ℎ = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
7	2	hhnm 31151	. . . . . 6 ⊢ normℎ = (normCV‘𝑈)
8		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (·𝑖OLD‘𝑈) = (·𝑖OLD‘𝑈)
9	2	hhvs 31150	. . . . . 6 ⊢ −ℎ = ( −𝑣 ‘𝑈)
10	4, 5, 6, 7, 8, 9	ipval3 30689	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥(·𝑖OLD‘𝑈)𝑦) = (((((normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦))↑2) − ((normℎ‘(𝑥 −ℎ 𝑦))↑2)) + (i · (((normℎ‘(𝑥 +ℎ (i ·ℎ 𝑦)))↑2) − ((normℎ‘(𝑥 −ℎ (i ·ℎ 𝑦)))↑2)))) / 4))
11	3, 10	mp3an1 1450	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥(·𝑖OLD‘𝑈)𝑦) = (((((normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦))↑2) − ((normℎ‘(𝑥 −ℎ 𝑦))↑2)) + (i · (((normℎ‘(𝑥 +ℎ (i ·ℎ 𝑦)))↑2) − ((normℎ‘(𝑥 −ℎ (i ·ℎ 𝑦)))↑2)))) / 4))
12	1, 11	eqtr4d 2769	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih 𝑦) = (𝑥(·𝑖OLD‘𝑈)𝑦))
13	12	rgen2 3172	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝑦) = (𝑥(·𝑖OLD‘𝑈)𝑦)
14		ax-hfi 31059	. . 3 ⊢ ·ih :( ℋ × ℋ)⟶ℂ
15	4, 8	ipf 30693	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (·𝑖OLD‘𝑈):( ℋ × ℋ)⟶ℂ)
16	3, 15	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (·𝑖OLD‘𝑈):( ℋ × ℋ)⟶ℂ
17		ffn 6651	. . . 4 ⊢ ( ·ih :( ℋ × ℋ)⟶ℂ → ·ih Fn ( ℋ × ℋ))
18		ffn 6651	. . . 4 ⊢ ((·𝑖OLD‘𝑈):( ℋ × ℋ)⟶ℂ → (·𝑖OLD‘𝑈) Fn ( ℋ × ℋ))
19		eqfnov2 7476	. . . 4 ⊢ (( ·ih Fn ( ℋ × ℋ) ∧ (·𝑖OLD‘𝑈) Fn ( ℋ × ℋ)) → ( ·ih = (·𝑖OLD‘𝑈) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝑦) = (𝑥(·𝑖OLD‘𝑈)𝑦)))
20	17, 18, 19	syl2an 596	. . 3 ⊢ (( ·ih :( ℋ × ℋ)⟶ℂ ∧ (·𝑖OLD‘𝑈):( ℋ × ℋ)⟶ℂ) → ( ·ih = (·𝑖OLD‘𝑈) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝑦) = (𝑥(·𝑖OLD‘𝑈)𝑦)))
21	14, 16, 20	mp2an 692	. 2 ⊢ ( ·ih = (·𝑖OLD‘𝑈) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝑦) = (𝑥(·𝑖OLD‘𝑈)𝑦))
22	13, 21	mpbir 231	1 ⊢ ·ih = (·𝑖OLD‘𝑈)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ⟨cop 4579   × cxp 5612   Fn wfn 6476  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  ici 11008   + caddc 11009   · cmul 11011   − cmin 11344   / cdiv 11774  2c2 12180  4c4 12182  ↑cexp 13968  NrmCVeccnv 30564  ·_𝑖OLDcdip 30680   ℋchba 30899   +_ℎ cva 30900   ·_ℎ csm 30901   ·_ih csp 30902  norm_ℎcno 30903   −_ℎ cmv 30905

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084  ax-hilex 30979  ax-hfvadd 30980  ax-hvcom 30981  ax-hvass 30982  ax-hv0cl 30983  ax-hvaddid 30984  ax-hfvmul 30985  ax-hvmulid 30986  ax-hvmulass 30987  ax-hvdistr1 30988  ax-hvdistr2 30989  ax-hvmul0 30990  ax-hfi 31059  ax-his1 31062  ax-his2 31063  ax-his3 31064  ax-his4 31065

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-oi 9396  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-rp 12891  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-sum 15594  df-grpo 30473  df-gid 30474  df-ginv 30475  df-gdiv 30476  df-ablo 30525  df-vc 30539  df-nv 30572  df-va 30575  df-ba 30576  df-sm 30577  df-0v 30578  df-vs 30579  df-nmcv 30580  df-dip 30681  df-hnorm 30948  df-hvsub 30951

This theorem is referenced by:  bcsiHIL  31160  occllem  31283  hmopbdoptHIL  31968