HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhip Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hhip 30161
Description: The inner product operation of Hilbert space. (Contributed by NM, 17-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
hhnv.1 π‘ˆ = ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©
Assertion
Ref Expression
hhip Β·ih = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)

Proof of Theorem hhip
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 polid 30143 . . . 4 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (π‘₯ Β·ih 𝑦) = (((((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦))↑2) βˆ’ ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦))↑2)) + (i Β· (((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž (i Β·β„Ž 𝑦)))↑2) βˆ’ ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ βˆ’β„Ž (i Β·β„Ž 𝑦)))↑2)))) / 4))
2 hhnv.1 . . . . . 6 π‘ˆ = ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©
32hhnv 30149 . . . . 5 π‘ˆ ∈ NrmCVec
42hhba 30151 . . . . . 6 β„‹ = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
52hhva 30150 . . . . . 6 +β„Ž = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
62hhsm 30153 . . . . . 6 Β·β„Ž = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
72hhnm 30155 . . . . . 6 normβ„Ž = (normCVβ€˜π‘ˆ)
8 eqid 2737 . . . . . 6 (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ) = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
92hhvs 30154 . . . . . 6 βˆ’β„Ž = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
104, 5, 6, 7, 8, 9ipval3 29693 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (π‘₯(·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)𝑦) = (((((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦))↑2) βˆ’ ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦))↑2)) + (i Β· (((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž (i Β·β„Ž 𝑦)))↑2) βˆ’ ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ βˆ’β„Ž (i Β·β„Ž 𝑦)))↑2)))) / 4))
113, 10mp3an1 1449 . . . 4 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (π‘₯(·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)𝑦) = (((((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦))↑2) βˆ’ ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦))↑2)) + (i Β· (((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž (i Β·β„Ž 𝑦)))↑2) βˆ’ ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ βˆ’β„Ž (i Β·β„Ž 𝑦)))↑2)))) / 4))
121, 11eqtr4d 2780 . . 3 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (π‘₯ Β·ih 𝑦) = (π‘₯(·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)𝑦))
1312rgen2 3195 . 2 βˆ€π‘₯ ∈ β„‹ βˆ€π‘¦ ∈ β„‹ (π‘₯ Β·ih 𝑦) = (π‘₯(·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)𝑦)
14 ax-hfi 30063 . . 3 Β·ih :( β„‹ Γ— β„‹)βŸΆβ„‚
154, 8ipf 29697 . . . 4 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ):( β„‹ Γ— β„‹)βŸΆβ„‚)
163, 15ax-mp 5 . . 3 (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ):( β„‹ Γ— β„‹)βŸΆβ„‚
17 ffn 6673 . . . 4 ( Β·ih :( β„‹ Γ— β„‹)βŸΆβ„‚ β†’ Β·ih Fn ( β„‹ Γ— β„‹))
18 ffn 6673 . . . 4 ((·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ):( β„‹ Γ— β„‹)βŸΆβ„‚ β†’ (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ) Fn ( β„‹ Γ— β„‹))
19 eqfnov2 7491 . . . 4 (( Β·ih Fn ( β„‹ Γ— β„‹) ∧ (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ) Fn ( β„‹ Γ— β„‹)) β†’ ( Β·ih = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ β„‹ βˆ€π‘¦ ∈ β„‹ (π‘₯ Β·ih 𝑦) = (π‘₯(·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)𝑦)))
2017, 18, 19syl2an 597 . . 3 (( Β·ih :( β„‹ Γ— β„‹)βŸΆβ„‚ ∧ (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ):( β„‹ Γ— β„‹)βŸΆβ„‚) β†’ ( Β·ih = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ β„‹ βˆ€π‘¦ ∈ β„‹ (π‘₯ Β·ih 𝑦) = (π‘₯(·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)𝑦)))
2114, 16, 20mp2an 691 . 2 ( Β·ih = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ β„‹ βˆ€π‘¦ ∈ β„‹ (π‘₯ Β·ih 𝑦) = (π‘₯(·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)𝑦))
2213, 21mpbir 230 1 Β·ih = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  βŸ¨cop 4597   Γ— cxp 5636   Fn wfn 6496  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„‚cc 11056  ici 11060   + caddc 11061   Β· cmul 11063   βˆ’ cmin 11392   / cdiv 11819  2c2 12215  4c4 12217  β†‘cexp 13974  NrmCVeccnv 29568  Β·π‘–OLDcdip 29684   β„‹chba 29903   +β„Ž cva 29904   Β·β„Ž csm 29905   Β·ih csp 29906  normβ„Žcno 29907   βˆ’β„Ž cmv 29909
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-hilex 29983  ax-hfvadd 29984  ax-hvcom 29985  ax-hvass 29986  ax-hv0cl 29987  ax-hvaddid 29988  ax-hfvmul 29989  ax-hvmulid 29990  ax-hvmulass 29991  ax-hvdistr1 29992  ax-hvdistr2 29993  ax-hvmul0 29994  ax-hfi 30063  ax-his1 30066  ax-his2 30067  ax-his3 30068  ax-his4 30069
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578  df-grpo 29477  df-gid 29478  df-ginv 29479  df-gdiv 29480  df-ablo 29529  df-vc 29543  df-nv 29576  df-va 29579  df-ba 29580  df-sm 29581  df-0v 29582  df-vs 29583  df-nmcv 29584  df-dip 29685  df-hnorm 29952  df-hvsub 29955
This theorem is referenced by:  bcsiHIL  30164  occllem  30287  hmopbdoptHIL  30972
  Copyright terms: Public domain W3C validator