Theorem hhip 31079

Description: The inner product operation of Hilbert space. (Contributed by NM, 17-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
hhnv.1	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩

Assertion

Ref	Expression
hhip	⊢ ·ih = (·𝑖OLD‘𝑈)

Proof of Theorem hhip

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		polid 31061	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih 𝑦) = (((((normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦))↑2) − ((normℎ‘(𝑥 −ℎ 𝑦))↑2)) + (i · (((normℎ‘(𝑥 +ℎ (i ·ℎ 𝑦)))↑2) − ((normℎ‘(𝑥 −ℎ (i ·ℎ 𝑦)))↑2)))) / 4))
2		hhnv.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
3	2	hhnv 31067	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
4	2	hhba 31069	. . . . . 6 ⊢ ℋ = (BaseSet‘𝑈)
5	2	hhva 31068	. . . . . 6 ⊢ +ℎ = ( +𝑣 ‘𝑈)
6	2	hhsm 31071	. . . . . 6 ⊢ ·ℎ = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
7	2	hhnm 31073	. . . . . 6 ⊢ normℎ = (normCV‘𝑈)
8		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (·𝑖OLD‘𝑈) = (·𝑖OLD‘𝑈)
9	2	hhvs 31072	. . . . . 6 ⊢ −ℎ = ( −𝑣 ‘𝑈)
10	4, 5, 6, 7, 8, 9	ipval3 30611	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥(·𝑖OLD‘𝑈)𝑦) = (((((normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦))↑2) − ((normℎ‘(𝑥 −ℎ 𝑦))↑2)) + (i · (((normℎ‘(𝑥 +ℎ (i ·ℎ 𝑦)))↑2) − ((normℎ‘(𝑥 −ℎ (i ·ℎ 𝑦)))↑2)))) / 4))
11	3, 10	mp3an1 1450	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥(·𝑖OLD‘𝑈)𝑦) = (((((normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦))↑2) − ((normℎ‘(𝑥 −ℎ 𝑦))↑2)) + (i · (((normℎ‘(𝑥 +ℎ (i ·ℎ 𝑦)))↑2) − ((normℎ‘(𝑥 −ℎ (i ·ℎ 𝑦)))↑2)))) / 4))
12	1, 11	eqtr4d 2767	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih 𝑦) = (𝑥(·𝑖OLD‘𝑈)𝑦))
13	12	rgen2 3175	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝑦) = (𝑥(·𝑖OLD‘𝑈)𝑦)
14		ax-hfi 30981	. . 3 ⊢ ·ih :( ℋ × ℋ)⟶ℂ
15	4, 8	ipf 30615	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (·𝑖OLD‘𝑈):( ℋ × ℋ)⟶ℂ)
16	3, 15	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (·𝑖OLD‘𝑈):( ℋ × ℋ)⟶ℂ
17		ffn 6670	. . . 4 ⊢ ( ·ih :( ℋ × ℋ)⟶ℂ → ·ih Fn ( ℋ × ℋ))
18		ffn 6670	. . . 4 ⊢ ((·𝑖OLD‘𝑈):( ℋ × ℋ)⟶ℂ → (·𝑖OLD‘𝑈) Fn ( ℋ × ℋ))
19		eqfnov2 7499	. . . 4 ⊢ (( ·ih Fn ( ℋ × ℋ) ∧ (·𝑖OLD‘𝑈) Fn ( ℋ × ℋ)) → ( ·ih = (·𝑖OLD‘𝑈) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝑦) = (𝑥(·𝑖OLD‘𝑈)𝑦)))
20	17, 18, 19	syl2an 596	. . 3 ⊢ (( ·ih :( ℋ × ℋ)⟶ℂ ∧ (·𝑖OLD‘𝑈):( ℋ × ℋ)⟶ℂ) → ( ·ih = (·𝑖OLD‘𝑈) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝑦) = (𝑥(·𝑖OLD‘𝑈)𝑦)))
21	14, 16, 20	mp2an 692	. 2 ⊢ ( ·ih = (·𝑖OLD‘𝑈) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝑦) = (𝑥(·𝑖OLD‘𝑈)𝑦))
22	13, 21	mpbir 231	1 ⊢ ·ih = (·𝑖OLD‘𝑈)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ⟨cop 4591   × cxp 5629   Fn wfn 6494  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℂcc 11042  ici 11046   + caddc 11047   · cmul 11049   − cmin 11381   / cdiv 11811  2c2 12217  4c4 12219  ↑cexp 14002  NrmCVeccnv 30486  ·_𝑖OLDcdip 30602   ℋchba 30821   +_ℎ cva 30822   ·_ℎ csm 30823   ·_ih csp 30824  norm_ℎcno 30825   −_ℎ cmv 30827

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122  ax-hilex 30901  ax-hfvadd 30902  ax-hvcom 30903  ax-hvass 30904  ax-hv0cl 30905  ax-hvaddid 30906  ax-hfvmul 30907  ax-hvmulid 30908  ax-hvmulass 30909  ax-hvdistr1 30910  ax-hvdistr2 30911  ax-hvmul0 30912  ax-hfi 30981  ax-his1 30984  ax-his2 30985  ax-his3 30986  ax-his4 30987

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-oi 9439  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-rp 12928  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-seq 13943  df-exp 14003  df-hash 14272  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-clim 15430  df-sum 15629  df-grpo 30395  df-gid 30396  df-ginv 30397  df-gdiv 30398  df-ablo 30447  df-vc 30461  df-nv 30494  df-va 30497  df-ba 30498  df-sm 30499  df-0v 30500  df-vs 30501  df-nmcv 30502  df-dip 30603  df-hnorm 30870  df-hvsub 30873

This theorem is referenced by:  bcsiHIL  31082  occllem  31205  hmopbdoptHIL  31890