HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhip Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hhip 30902
Description: The inner product operation of Hilbert space. (Contributed by NM, 17-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
hhnv.1 π‘ˆ = ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©
Assertion
Ref Expression
hhip Β·ih = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
Proof of Theorem hhip
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 polid 30884 . . . 4 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (π‘₯ Β·ih 𝑦) = (((((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦))↑2) βˆ’ ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦))↑2)) + (i Β· (((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž (i Β·β„Ž 𝑦)))↑2) βˆ’ ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ βˆ’β„Ž (i Β·β„Ž 𝑦)))↑2)))) / 4))
2 hhnv.1 . . . . . 6 π‘ˆ = ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©
32hhnv 30890 . . . . 5 π‘ˆ ∈ NrmCVec
42hhba 30892 . . . . . 6 β„‹ = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
52hhva 30891 . . . . . 6 +β„Ž = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
62hhsm 30894 . . . . . 6 Β·β„Ž = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
72hhnm 30896 . . . . . 6 normβ„Ž = (normCVβ€˜π‘ˆ)
8 eqid 2724 . . . . . 6 (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ) = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
92hhvs 30895 . . . . . 6 βˆ’β„Ž = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
104, 5, 6, 7, 8, 9ipval3 30434 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (π‘₯(·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)𝑦) = (((((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦))↑2) βˆ’ ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦))↑2)) + (i Β· (((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž (i Β·β„Ž 𝑦)))↑2) βˆ’ ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ βˆ’β„Ž (i Β·β„Ž 𝑦)))↑2)))) / 4))
113, 10mp3an1 1444 . . . 4 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (π‘₯(·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)𝑦) = (((((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦))↑2) βˆ’ ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦))↑2)) + (i Β· (((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž (i Β·β„Ž 𝑦)))↑2) βˆ’ ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ βˆ’β„Ž (i Β·β„Ž 𝑦)))↑2)))) / 4))
121, 11eqtr4d 2767 . . 3 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (π‘₯ Β·ih 𝑦) = (π‘₯(·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)𝑦))
1312rgen2 3189 . 2 βˆ€π‘₯ ∈ β„‹ βˆ€π‘¦ ∈ β„‹ (π‘₯ Β·ih 𝑦) = (π‘₯(·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)𝑦)
14 ax-hfi 30804 . . 3 Β·ih :( β„‹ Γ— β„‹)βŸΆβ„‚
154, 8ipf 30438 . . . 4 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ):( β„‹ Γ— β„‹)βŸΆβ„‚)
163, 15ax-mp 5 . . 3 (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ):( β„‹ Γ— β„‹)βŸΆβ„‚
17 ffn 6708 . . . 4 ( Β·ih :( β„‹ Γ— β„‹)βŸΆβ„‚ β†’ Β·ih Fn ( β„‹ Γ— β„‹))
18 ffn 6708 . . . 4 ((·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ):( β„‹ Γ— β„‹)βŸΆβ„‚ β†’ (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ) Fn ( β„‹ Γ— β„‹))
19 eqfnov2 7532 . . . 4 (( Β·ih Fn ( β„‹ Γ— β„‹) ∧ (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ) Fn ( β„‹ Γ— β„‹)) β†’ ( Β·ih = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ β„‹ βˆ€π‘¦ ∈ β„‹ (π‘₯ Β·ih 𝑦) = (π‘₯(·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)𝑦)))
2017, 18, 19syl2an 595 . . 3 (( Β·ih :( β„‹ Γ— β„‹)βŸΆβ„‚ ∧ (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ):( β„‹ Γ— β„‹)βŸΆβ„‚) β†’ ( Β·ih = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ β„‹ βˆ€π‘¦ ∈ β„‹ (π‘₯ Β·ih 𝑦) = (π‘₯(·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)𝑦)))
2114, 16, 20mp2an 689 . 2 ( Β·ih = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ β„‹ βˆ€π‘¦ ∈ β„‹ (π‘₯ Β·ih 𝑦) = (π‘₯(·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)𝑦))
2213, 21mpbir 230 1 Β·ih = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3053  βŸ¨cop 4627   Γ— cxp 5665   Fn wfn 6529  βŸΆwf 6530  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  β„‚cc 11105  ici 11109   + caddc 11110   Β· cmul 11112   βˆ’ cmin 11442   / cdiv 11869  2c2 12265  4c4 12267  β†‘cexp 14025  NrmCVeccnv 30309  Β·π‘–OLDcdip 30425   β„‹chba 30644   +β„Ž cva 30645   Β·β„Ž csm 30646   Β·ih csp 30647  normβ„Žcno 30648   βˆ’β„Ž cmv 30650
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-hilex 30724  ax-hfvadd 30725  ax-hvcom 30726  ax-hvass 30727  ax-hv0cl 30728  ax-hvaddid 30729  ax-hfvmul 30730  ax-hvmulid 30731  ax-hvmulass 30732  ax-hvdistr1 30733  ax-hvdistr2 30734  ax-hvmul0 30735  ax-hfi 30804  ax-his1 30807  ax-his2 30808  ax-his3 30809  ax-his4 30810
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11870  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-n0 12471  df-z 12557  df-uz 12821  df-rp 12973  df-fz 13483  df-fzo 13626  df-seq 13965  df-exp 14026  df-hash 14289  df-cj 15044  df-re 15045  df-im 15046  df-sqrt 15180  df-abs 15181  df-clim 15430  df-sum 15631  df-grpo 30218  df-gid 30219  df-ginv 30220  df-gdiv 30221  df-ablo 30270  df-vc 30284  df-nv 30317  df-va 30320  df-ba 30321  df-sm 30322  df-0v 30323  df-vs 30324  df-nmcv 30325  df-dip 30426  df-hnorm 30693  df-hvsub 30696
This theorem is referenced by:  bcsiHIL  30905  occllem  31028  hmopbdoptHIL  31713
  Copyright terms: Public domain W3C validator