HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhip Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hhip 30980
Description: The inner product operation of Hilbert space. (Contributed by NM, 17-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
hhnv.1 π‘ˆ = ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©
Assertion
Ref Expression
hhip Β·ih = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
Proof of Theorem hhip
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 polid 30962 . . . 4 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (π‘₯ Β·ih 𝑦) = (((((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦))↑2) βˆ’ ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦))↑2)) + (i Β· (((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž (i Β·β„Ž 𝑦)))↑2) βˆ’ ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ βˆ’β„Ž (i Β·β„Ž 𝑦)))↑2)))) / 4))
2 hhnv.1 . . . . . 6 π‘ˆ = ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©
32hhnv 30968 . . . . 5 π‘ˆ ∈ NrmCVec
42hhba 30970 . . . . . 6 β„‹ = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
52hhva 30969 . . . . . 6 +β„Ž = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
62hhsm 30972 . . . . . 6 Β·β„Ž = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
72hhnm 30974 . . . . . 6 normβ„Ž = (normCVβ€˜π‘ˆ)
8 eqid 2728 . . . . . 6 (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ) = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
92hhvs 30973 . . . . . 6 βˆ’β„Ž = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
104, 5, 6, 7, 8, 9ipval3 30512 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (π‘₯(·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)𝑦) = (((((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦))↑2) βˆ’ ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦))↑2)) + (i Β· (((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž (i Β·β„Ž 𝑦)))↑2) βˆ’ ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ βˆ’β„Ž (i Β·β„Ž 𝑦)))↑2)))) / 4))
113, 10mp3an1 1445 . . . 4 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (π‘₯(·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)𝑦) = (((((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž 𝑦))↑2) βˆ’ ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ βˆ’β„Ž 𝑦))↑2)) + (i Β· (((normβ„Žβ€˜(π‘₯ +β„Ž (i Β·β„Ž 𝑦)))↑2) βˆ’ ((normβ„Žβ€˜(π‘₯ βˆ’β„Ž (i Β·β„Ž 𝑦)))↑2)))) / 4))
121, 11eqtr4d 2771 . . 3 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (π‘₯ Β·ih 𝑦) = (π‘₯(·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)𝑦))
1312rgen2 3193 . 2 βˆ€π‘₯ ∈ β„‹ βˆ€π‘¦ ∈ β„‹ (π‘₯ Β·ih 𝑦) = (π‘₯(·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)𝑦)
14 ax-hfi 30882 . . 3 Β·ih :( β„‹ Γ— β„‹)βŸΆβ„‚
154, 8ipf 30516 . . . 4 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ):( β„‹ Γ— β„‹)βŸΆβ„‚)
163, 15ax-mp 5 . . 3 (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ):( β„‹ Γ— β„‹)βŸΆβ„‚
17 ffn 6716 . . . 4 ( Β·ih :( β„‹ Γ— β„‹)βŸΆβ„‚ β†’ Β·ih Fn ( β„‹ Γ— β„‹))
18 ffn 6716 . . . 4 ((·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ):( β„‹ Γ— β„‹)βŸΆβ„‚ β†’ (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ) Fn ( β„‹ Γ— β„‹))
19 eqfnov2 7545 . . . 4 (( Β·ih Fn ( β„‹ Γ— β„‹) ∧ (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ) Fn ( β„‹ Γ— β„‹)) β†’ ( Β·ih = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ β„‹ βˆ€π‘¦ ∈ β„‹ (π‘₯ Β·ih 𝑦) = (π‘₯(·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)𝑦)))
2017, 18, 19syl2an 595 . . 3 (( Β·ih :( β„‹ Γ— β„‹)βŸΆβ„‚ ∧ (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ):( β„‹ Γ— β„‹)βŸΆβ„‚) β†’ ( Β·ih = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ β„‹ βˆ€π‘¦ ∈ β„‹ (π‘₯ Β·ih 𝑦) = (π‘₯(·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)𝑦)))
2114, 16, 20mp2an 691 . 2 ( Β·ih = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ β„‹ βˆ€π‘¦ ∈ β„‹ (π‘₯ Β·ih 𝑦) = (π‘₯(·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)𝑦))
2213, 21mpbir 230 1 Β·ih = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3057  βŸ¨cop 4630   Γ— cxp 5670   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„‚cc 11130  ici 11134   + caddc 11135   Β· cmul 11137   βˆ’ cmin 11468   / cdiv 11895  2c2 12291  4c4 12293  β†‘cexp 14052  NrmCVeccnv 30387  Β·π‘–OLDcdip 30503   β„‹chba 30722   +β„Ž cva 30723   Β·β„Ž csm 30724   Β·ih csp 30725  normβ„Žcno 30726   βˆ’β„Ž cmv 30728
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9658  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210  ax-hilex 30802  ax-hfvadd 30803  ax-hvcom 30804  ax-hvass 30805  ax-hv0cl 30806  ax-hvaddid 30807  ax-hfvmul 30808  ax-hvmulid 30809  ax-hvmulass 30810  ax-hvdistr1 30811  ax-hvdistr2 30812  ax-hvmul0 30813  ax-hfi 30882  ax-his1 30885  ax-his2 30886  ax-his3 30887  ax-his4 30888
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9459  df-oi 9527  df-card 9956  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-rp 13001  df-fz 13511  df-fzo 13654  df-seq 13993  df-exp 14053  df-hash 14316  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15458  df-sum 15659  df-grpo 30296  df-gid 30297  df-ginv 30298  df-gdiv 30299  df-ablo 30348  df-vc 30362  df-nv 30395  df-va 30398  df-ba 30399  df-sm 30400  df-0v 30401  df-vs 30402  df-nmcv 30403  df-dip 30504  df-hnorm 30771  df-hvsub 30774
This theorem is referenced by:  bcsiHIL  30983  occllem  31106  hmopbdoptHIL  31791
  Copyright terms: Public domain W3C validator