Theorem hhip 31113

Description: The inner product operation of Hilbert space. (Contributed by NM, 17-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
hhnv.1	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩

Assertion

Ref	Expression
hhip	⊢ ·ih = (·𝑖OLD‘𝑈)

Proof of Theorem hhip

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		polid 31095	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih 𝑦) = (((((normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦))↑2) − ((normℎ‘(𝑥 −ℎ 𝑦))↑2)) + (i · (((normℎ‘(𝑥 +ℎ (i ·ℎ 𝑦)))↑2) − ((normℎ‘(𝑥 −ℎ (i ·ℎ 𝑦)))↑2)))) / 4))
2		hhnv.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
3	2	hhnv 31101	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
4	2	hhba 31103	. . . . . 6 ⊢ ℋ = (BaseSet‘𝑈)
5	2	hhva 31102	. . . . . 6 ⊢ +ℎ = ( +𝑣 ‘𝑈)
6	2	hhsm 31105	. . . . . 6 ⊢ ·ℎ = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
7	2	hhnm 31107	. . . . . 6 ⊢ normℎ = (normCV‘𝑈)
8		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (·𝑖OLD‘𝑈) = (·𝑖OLD‘𝑈)
9	2	hhvs 31106	. . . . . 6 ⊢ −ℎ = ( −𝑣 ‘𝑈)
10	4, 5, 6, 7, 8, 9	ipval3 30645	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥(·𝑖OLD‘𝑈)𝑦) = (((((normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦))↑2) − ((normℎ‘(𝑥 −ℎ 𝑦))↑2)) + (i · (((normℎ‘(𝑥 +ℎ (i ·ℎ 𝑦)))↑2) − ((normℎ‘(𝑥 −ℎ (i ·ℎ 𝑦)))↑2)))) / 4))
11	3, 10	mp3an1 1450	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥(·𝑖OLD‘𝑈)𝑦) = (((((normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦))↑2) − ((normℎ‘(𝑥 −ℎ 𝑦))↑2)) + (i · (((normℎ‘(𝑥 +ℎ (i ·ℎ 𝑦)))↑2) − ((normℎ‘(𝑥 −ℎ (i ·ℎ 𝑦)))↑2)))) / 4))
12	1, 11	eqtr4d 2768	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih 𝑦) = (𝑥(·𝑖OLD‘𝑈)𝑦))
13	12	rgen2 3178	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝑦) = (𝑥(·𝑖OLD‘𝑈)𝑦)
14		ax-hfi 31015	. . 3 ⊢ ·ih :( ℋ × ℋ)⟶ℂ
15	4, 8	ipf 30649	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (·𝑖OLD‘𝑈):( ℋ × ℋ)⟶ℂ)
16	3, 15	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (·𝑖OLD‘𝑈):( ℋ × ℋ)⟶ℂ
17		ffn 6691	. . . 4 ⊢ ( ·ih :( ℋ × ℋ)⟶ℂ → ·ih Fn ( ℋ × ℋ))
18		ffn 6691	. . . 4 ⊢ ((·𝑖OLD‘𝑈):( ℋ × ℋ)⟶ℂ → (·𝑖OLD‘𝑈) Fn ( ℋ × ℋ))
19		eqfnov2 7522	. . . 4 ⊢ (( ·ih Fn ( ℋ × ℋ) ∧ (·𝑖OLD‘𝑈) Fn ( ℋ × ℋ)) → ( ·ih = (·𝑖OLD‘𝑈) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝑦) = (𝑥(·𝑖OLD‘𝑈)𝑦)))
20	17, 18, 19	syl2an 596	. . 3 ⊢ (( ·ih :( ℋ × ℋ)⟶ℂ ∧ (·𝑖OLD‘𝑈):( ℋ × ℋ)⟶ℂ) → ( ·ih = (·𝑖OLD‘𝑈) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝑦) = (𝑥(·𝑖OLD‘𝑈)𝑦)))
21	14, 16, 20	mp2an 692	. 2 ⊢ ( ·ih = (·𝑖OLD‘𝑈) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝑦) = (𝑥(·𝑖OLD‘𝑈)𝑦))
22	13, 21	mpbir 231	1 ⊢ ·ih = (·𝑖OLD‘𝑈)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  ⟨cop 4598   × cxp 5639   Fn wfn 6509  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  ici 11077   + caddc 11078   · cmul 11080   − cmin 11412   / cdiv 11842  2c2 12248  4c4 12250  ↑cexp 14033  NrmCVeccnv 30520  ·_𝑖OLDcdip 30636   ℋchba 30855   +_ℎ cva 30856   ·_ℎ csm 30857   ·_ih csp 30858  norm_ℎcno 30859   −_ℎ cmv 30861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-hilex 30935  ax-hfvadd 30936  ax-hvcom 30937  ax-hvass 30938  ax-hv0cl 30939  ax-hvaddid 30940  ax-hfvmul 30941  ax-hvmulid 30942  ax-hvmulass 30943  ax-hvdistr1 30944  ax-hvdistr2 30945  ax-hvmul0 30946  ax-hfi 31015  ax-his1 31018  ax-his2 31019  ax-his3 31020  ax-his4 31021

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15461  df-sum 15660  df-grpo 30429  df-gid 30430  df-ginv 30431  df-gdiv 30432  df-ablo 30481  df-vc 30495  df-nv 30528  df-va 30531  df-ba 30532  df-sm 30533  df-0v 30534  df-vs 30535  df-nmcv 30536  df-dip 30637  df-hnorm 30904  df-hvsub 30907

This theorem is referenced by:  bcsiHIL  31116  occllem  31239  hmopbdoptHIL  31924