Theorem hhip 31196

Description: The inner product operation of Hilbert space. (Contributed by NM, 17-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
hhnv.1	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩

Assertion

Ref	Expression
hhip	⊢ ·ih = (·𝑖OLD‘𝑈)

Proof of Theorem hhip

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		polid 31178	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih 𝑦) = (((((normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦))↑2) − ((normℎ‘(𝑥 −ℎ 𝑦))↑2)) + (i · (((normℎ‘(𝑥 +ℎ (i ·ℎ 𝑦)))↑2) − ((normℎ‘(𝑥 −ℎ (i ·ℎ 𝑦)))↑2)))) / 4))
2		hhnv.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
3	2	hhnv 31184	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
4	2	hhba 31186	. . . . . 6 ⊢ ℋ = (BaseSet‘𝑈)
5	2	hhva 31185	. . . . . 6 ⊢ +ℎ = ( +𝑣 ‘𝑈)
6	2	hhsm 31188	. . . . . 6 ⊢ ·ℎ = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
7	2	hhnm 31190	. . . . . 6 ⊢ normℎ = (normCV‘𝑈)
8		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (·𝑖OLD‘𝑈) = (·𝑖OLD‘𝑈)
9	2	hhvs 31189	. . . . . 6 ⊢ −ℎ = ( −𝑣 ‘𝑈)
10	4, 5, 6, 7, 8, 9	ipval3 30728	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥(·𝑖OLD‘𝑈)𝑦) = (((((normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦))↑2) − ((normℎ‘(𝑥 −ℎ 𝑦))↑2)) + (i · (((normℎ‘(𝑥 +ℎ (i ·ℎ 𝑦)))↑2) − ((normℎ‘(𝑥 −ℎ (i ·ℎ 𝑦)))↑2)))) / 4))
11	3, 10	mp3an1 1450	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥(·𝑖OLD‘𝑈)𝑦) = (((((normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦))↑2) − ((normℎ‘(𝑥 −ℎ 𝑦))↑2)) + (i · (((normℎ‘(𝑥 +ℎ (i ·ℎ 𝑦)))↑2) − ((normℎ‘(𝑥 −ℎ (i ·ℎ 𝑦)))↑2)))) / 4))
12	1, 11	eqtr4d 2780	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih 𝑦) = (𝑥(·𝑖OLD‘𝑈)𝑦))
13	12	rgen2 3199	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝑦) = (𝑥(·𝑖OLD‘𝑈)𝑦)
14		ax-hfi 31098	. . 3 ⊢ ·ih :( ℋ × ℋ)⟶ℂ
15	4, 8	ipf 30732	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (·𝑖OLD‘𝑈):( ℋ × ℋ)⟶ℂ)
16	3, 15	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (·𝑖OLD‘𝑈):( ℋ × ℋ)⟶ℂ
17		ffn 6736	. . . 4 ⊢ ( ·ih :( ℋ × ℋ)⟶ℂ → ·ih Fn ( ℋ × ℋ))
18		ffn 6736	. . . 4 ⊢ ((·𝑖OLD‘𝑈):( ℋ × ℋ)⟶ℂ → (·𝑖OLD‘𝑈) Fn ( ℋ × ℋ))
19		eqfnov2 7563	. . . 4 ⊢ (( ·ih Fn ( ℋ × ℋ) ∧ (·𝑖OLD‘𝑈) Fn ( ℋ × ℋ)) → ( ·ih = (·𝑖OLD‘𝑈) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝑦) = (𝑥(·𝑖OLD‘𝑈)𝑦)))
20	17, 18, 19	syl2an 596	. . 3 ⊢ (( ·ih :( ℋ × ℋ)⟶ℂ ∧ (·𝑖OLD‘𝑈):( ℋ × ℋ)⟶ℂ) → ( ·ih = (·𝑖OLD‘𝑈) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝑦) = (𝑥(·𝑖OLD‘𝑈)𝑦)))
21	14, 16, 20	mp2an 692	. 2 ⊢ ( ·ih = (·𝑖OLD‘𝑈) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝑦) = (𝑥(·𝑖OLD‘𝑈)𝑦))
22	13, 21	mpbir 231	1 ⊢ ·ih = (·𝑖OLD‘𝑈)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  ⟨cop 4632   × cxp 5683   Fn wfn 6556  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ici 11157   + caddc 11158   · cmul 11160   − cmin 11492   / cdiv 11920  2c2 12321  4c4 12323  ↑cexp 14102  NrmCVeccnv 30603  ·_𝑖OLDcdip 30719   ℋchba 30938   +_ℎ cva 30939   ·_ℎ csm 30940   ·_ih csp 30941  norm_ℎcno 30942   −_ℎ cmv 30944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-hilex 31018  ax-hfvadd 31019  ax-hvcom 31020  ax-hvass 31021  ax-hv0cl 31022  ax-hvaddid 31023  ax-hfvmul 31024  ax-hvmulid 31025  ax-hvmulass 31026  ax-hvdistr1 31027  ax-hvdistr2 31028  ax-hvmul0 31029  ax-hfi 31098  ax-his1 31101  ax-his2 31102  ax-his3 31103  ax-his4 31104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-grpo 30512  df-gid 30513  df-ginv 30514  df-gdiv 30515  df-ablo 30564  df-vc 30578  df-nv 30611  df-va 30614  df-ba 30615  df-sm 30616  df-0v 30617  df-vs 30618  df-nmcv 30619  df-dip 30720  df-hnorm 30987  df-hvsub 30990

This theorem is referenced by:  bcsiHIL  31199  occllem  31322  hmopbdoptHIL  32007