Theorem prdsinvgd2 21649

Description: Negation of a single coordinate in a structure product. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsinvgd2.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsinvgd2.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdsinvgd2.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsinvgd2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Grp)
prdsinvgd2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsinvgd2.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑌)
prdsinvgd2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
prdsinvgd2.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
prdsinvgd2	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋)‘𝐽) = ((invg‘(𝑅‘𝐽))‘(𝑋‘𝐽)))

Proof of Theorem prdsinvgd2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsinvgd2.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
2		prdsinvgd2.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
3		prdsinvgd2.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
4		prdsinvgd2.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Grp)
5		prdsinvgd2.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
6		prdsinvgd2.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑌)
7		prdsinvgd2.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	prdsinvgd 18930	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥))))
9	8	fveq1d 6824	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋)‘𝐽) = ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥)))‘𝐽))
10		prdsinvgd2.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)
11		2fveq3 6827	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → (invg‘(𝑅‘𝑥)) = (invg‘(𝑅‘𝐽)))
12		fveq2 6822	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → (𝑋‘𝑥) = (𝑋‘𝐽))
13	11, 12	fveq12d 6829	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥)) = ((invg‘(𝑅‘𝐽))‘(𝑋‘𝐽)))
14		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥)))
15		fvex 6835	. . . 4 ⊢ ((invg‘(𝑅‘𝐽))‘(𝑋‘𝐽)) ∈ V
16	13, 14, 15	fvmpt 6930	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐼 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥)))‘𝐽) = ((invg‘(𝑅‘𝐽))‘(𝑋‘𝐽)))
17	10, 16	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥)))‘𝐽) = ((invg‘(𝑅‘𝐽))‘(𝑋‘𝐽)))
18	9, 17	eqtrd 2764	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋)‘𝐽) = ((invg‘(𝑅‘𝐽))‘(𝑋‘𝐽)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ↦ cmpt 5173  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  Basecbs 17120  X_scprds 17349  Grpcgrp 18812  inv_gcminusg 18813

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-map 8755  df-ixp 8825  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-sup 9332  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-fz 13411  df-struct 17058  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-hom 17185  df-cco 17186  df-0g 17345  df-prds 17351  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-grp 18815  df-minusg 18816

This theorem is referenced by:  dsmmsubg  21650