Theorem prdsinvgd2 22048

Description: Negation of a single coordinate in a structure product. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsinvgd2.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsinvgd2.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdsinvgd2.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsinvgd2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Grp)
prdsinvgd2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsinvgd2.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑌)
prdsinvgd2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
prdsinvgd2.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
prdsinvgd2	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋)‘𝐽) = ((invg‘(𝑅‘𝐽))‘(𝑋‘𝐽)))

Proof of Theorem prdsinvgd2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsinvgd2.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
2		prdsinvgd2.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
3		prdsinvgd2.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
4		prdsinvgd2.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Grp)
5		prdsinvgd2.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
6		prdsinvgd2.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑌)
7		prdsinvgd2.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	prdsinvgd 19261	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥))))
9	8	fveq1d 6887	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋)‘𝐽) = ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥)))‘𝐽))
10		prdsinvgd2.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)
11		2fveq3 6890	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → (invg‘(𝑅‘𝑥)) = (invg‘(𝑅‘𝐽)))
12		fveq2 6885	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → (𝑋‘𝑥) = (𝑋‘𝐽))
13	11, 12	fveq12d 6892	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥)) = ((invg‘(𝑅‘𝐽))‘(𝑋‘𝐽)))
14		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥)))
15		fvex 6898	. . . 4 ⊢ ((invg‘(𝑅‘𝐽))‘(𝑋‘𝐽)) ∈ V
16	13, 14, 15	fvmpt 6993	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐼 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥)))‘𝐽) = ((invg‘(𝑅‘𝐽))‘(𝑋‘𝐽)))
17	10, 16	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥)))‘𝐽) = ((invg‘(𝑅‘𝐽))‘(𝑋‘𝐽)))
18	9, 17	eqtrd 2796	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋)‘𝐽) = ((invg‘(𝑅‘𝐽))‘(𝑋‘𝐽)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ↦ cmpt 5186  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387  X_scprds 17616  Grpcgrp 19144  inv_gcminusg 19145

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-map 8849  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-fz 13640  df-struct 17325  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-hom 17452  df-cco 17453  df-0g 17612  df-prds 17618  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-grp 19147  df-minusg 19148

This theorem is used by:  dsmmsubg  22049