Theorem prdsinvgd2 21695

Description: Negation of a single coordinate in a structure product. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsinvgd2.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsinvgd2.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdsinvgd2.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsinvgd2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Grp)
prdsinvgd2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsinvgd2.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑌)
prdsinvgd2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
prdsinvgd2.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
prdsinvgd2	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋)‘𝐽) = ((invg‘(𝑅‘𝐽))‘(𝑋‘𝐽)))

Proof of Theorem prdsinvgd2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsinvgd2.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
2		prdsinvgd2.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
3		prdsinvgd2.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
4		prdsinvgd2.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Grp)
5		prdsinvgd2.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
6		prdsinvgd2.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑌)
7		prdsinvgd2.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	prdsinvgd 18979	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥))))
9	8	fveq1d 6834	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋)‘𝐽) = ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥)))‘𝐽))
10		prdsinvgd2.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)
11		2fveq3 6837	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → (invg‘(𝑅‘𝑥)) = (invg‘(𝑅‘𝐽)))
12		fveq2 6832	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → (𝑋‘𝑥) = (𝑋‘𝐽))
13	11, 12	fveq12d 6839	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥)) = ((invg‘(𝑅‘𝐽))‘(𝑋‘𝐽)))
14		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥)))
15		fvex 6845	. . . 4 ⊢ ((invg‘(𝑅‘𝐽))‘(𝑋‘𝐽)) ∈ V
16	13, 14, 15	fvmpt 6939	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐼 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥)))‘𝐽) = ((invg‘(𝑅‘𝐽))‘(𝑋‘𝐽)))
17	10, 16	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥)))‘𝐽) = ((invg‘(𝑅‘𝐽))‘(𝑋‘𝐽)))
18	9, 17	eqtrd 2769	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋)‘𝐽) = ((invg‘(𝑅‘𝐽))‘(𝑋‘𝐽)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ↦ cmpt 5177  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  Basecbs 17134  X_scprds 17363  Grpcgrp 18861  inv_gcminusg 18862

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8763  df-ixp 8834  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-sup 9343  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-fz 13422  df-struct 17072  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-sca 17191  df-vsca 17192  df-ip 17193  df-tset 17194  df-ple 17195  df-ds 17197  df-hom 17199  df-cco 17200  df-0g 17359  df-prds 17365  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-grp 18864  df-minusg 18865

This theorem is referenced by:  dsmmsubg  21696