Theorem prdsinvgd2 20947

Description: Negation of a single coordinate in a structure product. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsinvgd2.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsinvgd2.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdsinvgd2.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsinvgd2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Grp)
prdsinvgd2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsinvgd2.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑌)
prdsinvgd2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
prdsinvgd2.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
prdsinvgd2	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋)‘𝐽) = ((invg‘(𝑅‘𝐽))‘(𝑋‘𝐽)))

Proof of Theorem prdsinvgd2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsinvgd2.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
2		prdsinvgd2.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
3		prdsinvgd2.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
4		prdsinvgd2.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Grp)
5		prdsinvgd2.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
6		prdsinvgd2.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑌)
7		prdsinvgd2.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	prdsinvgd 18684	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥))))
9	8	fveq1d 6773	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋)‘𝐽) = ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥)))‘𝐽))
10		prdsinvgd2.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)
11		2fveq3 6776	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → (invg‘(𝑅‘𝑥)) = (invg‘(𝑅‘𝐽)))
12		fveq2 6771	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → (𝑋‘𝑥) = (𝑋‘𝐽))
13	11, 12	fveq12d 6778	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥)) = ((invg‘(𝑅‘𝐽))‘(𝑋‘𝐽)))
14		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥)))
15		fvex 6784	. . . 4 ⊢ ((invg‘(𝑅‘𝐽))‘(𝑋‘𝐽)) ∈ V
16	13, 14, 15	fvmpt 6872	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐼 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥)))‘𝐽) = ((invg‘(𝑅‘𝐽))‘(𝑋‘𝐽)))
17	10, 16	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥)))‘𝐽) = ((invg‘(𝑅‘𝐽))‘(𝑋‘𝐽)))
18	9, 17	eqtrd 2780	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋)‘𝐽) = ((invg‘(𝑅‘𝐽))‘(𝑋‘𝐽)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2110   ↦ cmpt 5162  ⟶wf 6428  ‘cfv 6432  (class class class)co 7271  Basecbs 16910  X_scprds 17154  Grpcgrp 18575  inv_gcminusg 18576

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-er 8481  df-map 8600  df-ixp 8669  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-sup 9179  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12437  df-uz 12582  df-fz 13239  df-struct 16846  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-plusg 16973  df-mulr 16974  df-sca 16976  df-vsca 16977  df-ip 16978  df-tset 16979  df-ple 16980  df-ds 16982  df-hom 16984  df-cco 16985  df-0g 17150  df-prds 17156  df-mgm 18324  df-sgrp 18373  df-mnd 18384  df-grp 18578  df-minusg 18579

This theorem is referenced by:  dsmmsubg  20948