Theorem prdsinvgd2 22060

Description: Negation of a single coordinate in a structure product. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsinvgd2.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsinvgd2.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdsinvgd2.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsinvgd2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Grp)
prdsinvgd2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsinvgd2.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑌)
prdsinvgd2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
prdsinvgd2.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
prdsinvgd2	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋)‘𝐽) = ((invg‘(𝑅‘𝐽))‘(𝑋‘𝐽)))

Proof of Theorem prdsinvgd2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsinvgd2.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
2		prdsinvgd2.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
3		prdsinvgd2.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
4		prdsinvgd2.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Grp)
5		prdsinvgd2.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
6		prdsinvgd2.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑌)
7		prdsinvgd2.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	prdsinvgd 19273	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥))))
9	8	fveq1d 6895	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋)‘𝐽) = ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥)))‘𝐽))
10		prdsinvgd2.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)
11		2fveq3 6898	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → (invg‘(𝑅‘𝑥)) = (invg‘(𝑅‘𝐽)))
12		fveq2 6893	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → (𝑋‘𝑥) = (𝑋‘𝐽))
13	11, 12	fveq12d 6900	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥)) = ((invg‘(𝑅‘𝐽))‘(𝑋‘𝐽)))
14		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥)))
15		fvex 6906	. . . 4 ⊢ ((invg‘(𝑅‘𝐽))‘(𝑋‘𝐽)) ∈ V
16	13, 14, 15	fvmpt 7001	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐼 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥)))‘𝐽) = ((invg‘(𝑅‘𝐽))‘(𝑋‘𝐽)))
17	10, 16	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥)))‘𝐽) = ((invg‘(𝑅‘𝐽))‘(𝑋‘𝐽)))
18	9, 17	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋)‘𝐽) = ((invg‘(𝑅‘𝐽))‘(𝑋‘𝐽)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ↦ cmpt 5188  ⟶wf 6542  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427  Basecbs 17399  X_scprds 17628  Grpcgrp 19156  inv_gcminusg 19157

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8487  df-er 8728  df-map 8860  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9444  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-4 12417  df-5 12418  df-6 12419  df-7 12420  df-8 12421  df-9 12422  df-n0 12617  df-z 12704  df-dec 12825  df-uz 12976  df-fz 13650  df-struct 17337  df-slot 17372  df-ndx 17384  df-base 17400  df-plusg 17453  df-mulr 17454  df-sca 17456  df-vsca 17457  df-ip 17458  df-tset 17459  df-ple 17460  df-ds 17462  df-hom 17464  df-cco 17465  df-0g 17624  df-prds 17630  df-mgm 18828  df-sgrp 18920  df-mnd 18936  df-grp 19159  df-minusg 19160

This theorem is used by:  dsmmsubg  22061