Theorem prdsvscacl 20954

Description: Pointwise scalar multiplication is closed in products of modules. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsvscacl.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsvscacl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsvscacl.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
prdsvscacl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
prdsvscacl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
prdsvscacl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdsvscacl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶LMod)
prdsvscacl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐾)
prdsvscacl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
prdsvscacl.sr	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (Scalar‘(𝑅‘𝑥)) = 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
prdsvscacl	⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝐾   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥   𝑥,𝑊   𝑥,𝑌

Allowed substitution hint:   · (𝑥)

Proof of Theorem prdsvscacl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsvscacl.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
2		prdsvscacl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
3		prdsvscacl.t	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
4		prdsvscacl.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
5		prdsvscacl.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
6		prdsvscacl.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
7		prdsvscacl.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶LMod)
8	7	ffnd 6663	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
9		prdsvscacl.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐾)
10		prdsvscacl.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10	prdsvscaval 17433	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥))))
12	7	ffvelcdmda 7030	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑅‘𝑥) ∈ LMod)
13	9	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐹 ∈ 𝐾)
14		prdsvscacl.sr	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (Scalar‘(𝑅‘𝑥)) = 𝑆)
15	14	fveq2d 6838	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (Base‘(Scalar‘(𝑅‘𝑥))) = (Base‘𝑆))
16	15, 4	eqtr4di 2790	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (Base‘(Scalar‘(𝑅‘𝑥))) = 𝐾)
17	13, 16	eleqtrrd 2840	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐹 ∈ (Base‘(Scalar‘(𝑅‘𝑥))))
18	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ Ring)
19	6	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑊)
20	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 Fn 𝐼)
21	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐺 ∈ 𝐵)
22		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ 𝐼)
23	1, 2, 18, 19, 20, 21, 22	prdsbasprj 17426	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑥) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑥)))
24		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝑅‘𝑥)) = (Base‘(𝑅‘𝑥))
25		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘(𝑅‘𝑥)) = (Scalar‘(𝑅‘𝑥))
26		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥)) = ( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))
27		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘(𝑅‘𝑥))) = (Base‘(Scalar‘(𝑅‘𝑥)))
28	24, 25, 26, 27	lmodvscl 20864	. . . . 5 ⊢ (((𝑅‘𝑥) ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (Base‘(Scalar‘(𝑅‘𝑥))) ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑥))) → (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑥)))
29	12, 17, 23, 28	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑥)))
30	29	ralrimiva 3130	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑥)))
31	1, 2, 5, 6, 8	prdsbasmpt 17424	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥))) ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑥))))
32	30, 31	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥))) ∈ 𝐵)
33	11, 32	eqeltrd 2837	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   ↦ cmpt 5167   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Basecbs 17170  Scalarcsca 17214   ·_𝑠 cvsca 17215  X_scprds 17399  Ringcrg 20205  LModclmod 20846

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-map 8768  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9348  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-struct 17108  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-hom 17235  df-cco 17236  df-prds 17401  df-lmod 20848

This theorem is referenced by:  prdslmodd  20955