Theorem prdsvscacl 21152

Description: Pointwise scalar multiplication is closed in products of modules. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsvscacl.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsvscacl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsvscacl.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
prdsvscacl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
prdsvscacl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
prdsvscacl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdsvscacl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶LMod)
prdsvscacl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐾)
prdsvscacl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
prdsvscacl.sr	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (Scalar‘(𝑅‘𝑥)) = 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
prdsvscacl	⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝐾   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥   𝑥,𝑊   𝑥,𝑌

Allowed substitution hint:   · (𝑥)

Proof of Theorem prdsvscacl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsvscacl.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
2		prdsvscacl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
3		prdsvscacl.t	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
4		prdsvscacl.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
5		prdsvscacl.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
6		prdsvscacl.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
7		prdsvscacl.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶LMod)
8	7	ffnd 6703	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
9		prdsvscacl.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐾)
10		prdsvscacl.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10	prdsvscaval 17564	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥))))
12	7	ffvelcdmda 7077	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑅‘𝑥) ∈ LMod)
13	9	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐹 ∈ 𝐾)
14		prdsvscacl.sr	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (Scalar‘(𝑅‘𝑥)) = 𝑆)
15	14	fveq2d 6882	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (Base‘(Scalar‘(𝑅‘𝑥))) = (Base‘𝑆))
16	15, 4	eqtr4di 2813	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (Base‘(Scalar‘(𝑅‘𝑥))) = 𝐾)
17	13, 16	eleqtrrd 2863	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐹 ∈ (Base‘(Scalar‘(𝑅‘𝑥))))
18	5	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ Ring)
19	6	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑊)
20	8	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 Fn 𝐼)
21	10	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐺 ∈ 𝐵)
22		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ 𝐼)
23	1, 2, 18, 19, 20, 21, 22	prdsbasprj 17557	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑥) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑥)))
24		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝑅‘𝑥)) = (Base‘(𝑅‘𝑥))
25		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘(𝑅‘𝑥)) = (Scalar‘(𝑅‘𝑥))
26		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥)) = ( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))
27		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘(𝑅‘𝑥))) = (Base‘(Scalar‘(𝑅‘𝑥)))
28	24, 25, 26, 27	lmodvscl 21062	. . . . 5 ⊢ (((𝑅‘𝑥) ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (Base‘(Scalar‘(𝑅‘𝑥))) ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑥))) → (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑥)))
29	12, 17, 23, 28	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑥)))
30	29	ralrimiva 3154	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑥)))
31	1, 2, 5, 6, 8	prdsbasmpt 17555	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥))) ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑥))))
32	30, 31	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥))) ∈ 𝐵)
33	11, 32	eqeltrd 2860	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076   ↦ cmpt 5186   Fn wfn 6528  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  Basecbs 17301  Scalarcsca 17345   ·_𝑠 cvsca 17346  X_scprds 17530  Ringcrg 20372  LModclmod 21044

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12737  df-uz 12888  df-fz 13562  df-struct 17239  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-plusg 17355  df-mulr 17356  df-sca 17358  df-vsca 17359  df-ip 17360  df-tset 17361  df-ple 17362  df-ds 17364  df-hom 17366  df-cco 17367  df-prds 17532  df-lmod 21046

This theorem is used by:  prdslmodd  21153