Theorem prdsvscacl 20967

Description: Pointwise scalar multiplication is closed in products of modules. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsvscacl.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsvscacl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsvscacl.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
prdsvscacl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
prdsvscacl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
prdsvscacl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdsvscacl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶LMod)
prdsvscacl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐾)
prdsvscacl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
prdsvscacl.sr	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (Scalar‘(𝑅‘𝑥)) = 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
prdsvscacl	⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝐾   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥   𝑥,𝑊   𝑥,𝑌

Allowed substitution hint:   · (𝑥)

Proof of Theorem prdsvscacl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsvscacl.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
2		prdsvscacl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
3		prdsvscacl.t	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
4		prdsvscacl.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
5		prdsvscacl.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
6		prdsvscacl.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
7		prdsvscacl.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶LMod)
8	7	ffnd 6736	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
9		prdsvscacl.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐾)
10		prdsvscacl.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10	prdsvscaval 17525	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥))))
12	7	ffvelcdmda 7103	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑅‘𝑥) ∈ LMod)
13	9	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐹 ∈ 𝐾)
14		prdsvscacl.sr	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (Scalar‘(𝑅‘𝑥)) = 𝑆)
15	14	fveq2d 6909	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (Base‘(Scalar‘(𝑅‘𝑥))) = (Base‘𝑆))
16	15, 4	eqtr4di 2794	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (Base‘(Scalar‘(𝑅‘𝑥))) = 𝐾)
17	13, 16	eleqtrrd 2843	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐹 ∈ (Base‘(Scalar‘(𝑅‘𝑥))))
18	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ Ring)
19	6	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑊)
20	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 Fn 𝐼)
21	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐺 ∈ 𝐵)
22		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ 𝐼)
23	1, 2, 18, 19, 20, 21, 22	prdsbasprj 17518	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑥) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑥)))
24		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝑅‘𝑥)) = (Base‘(𝑅‘𝑥))
25		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘(𝑅‘𝑥)) = (Scalar‘(𝑅‘𝑥))
26		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥)) = ( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))
27		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘(𝑅‘𝑥))) = (Base‘(Scalar‘(𝑅‘𝑥)))
28	24, 25, 26, 27	lmodvscl 20877	. . . . 5 ⊢ (((𝑅‘𝑥) ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (Base‘(Scalar‘(𝑅‘𝑥))) ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑥))) → (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑥)))
29	12, 17, 23, 28	syl3anc 1372	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑥)))
30	29	ralrimiva 3145	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑥)))
31	1, 2, 5, 6, 8	prdsbasmpt 17516	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥))) ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑥))))
32	30, 31	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥))) ∈ 𝐵)
33	11, 32	eqeltrd 2840	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∀wral 3060   ↦ cmpt 5224   Fn wfn 6555  ⟶wf 6556  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  Basecbs 17248  Scalarcsca 17301   ·_𝑠 cvsca 17302  X_scprds 17491  Ringcrg 20231  LModclmod 20859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-map 8869  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-fz 13549  df-struct 17185  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-prds 17493  df-lmod 20861

This theorem is referenced by:  prdslmodd  20968