Theorem prdsvscacl 21063

Description: Pointwise scalar multiplication is closed in products of modules. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsvscacl.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsvscacl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsvscacl.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
prdsvscacl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
prdsvscacl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
prdsvscacl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdsvscacl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶LMod)
prdsvscacl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐾)
prdsvscacl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
prdsvscacl.sr	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (Scalar‘(𝑅‘𝑥)) = 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
prdsvscacl	⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝐾   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥   𝑥,𝑊   𝑥,𝑌

Allowed substitution hint:   · (𝑥)

Proof of Theorem prdsvscacl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsvscacl.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
2		prdsvscacl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
3		prdsvscacl.t	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
4		prdsvscacl.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
5		prdsvscacl.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
6		prdsvscacl.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
7		prdsvscacl.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶LMod)
8	7	ffnd 6704	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
9		prdsvscacl.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐾)
10		prdsvscacl.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10	prdsvscaval 17528	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥))))
12	7	ffvelcdmda 7077	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑅‘𝑥) ∈ LMod)
13	9	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐹 ∈ 𝐾)
14		prdsvscacl.sr	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (Scalar‘(𝑅‘𝑥)) = 𝑆)
15	14	fveq2d 6883	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (Base‘(Scalar‘(𝑅‘𝑥))) = (Base‘𝑆))
16	15, 4	eqtr4di 2822	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (Base‘(Scalar‘(𝑅‘𝑥))) = 𝐾)
17	13, 16	eleqtrrd 2872	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐹 ∈ (Base‘(Scalar‘(𝑅‘𝑥))))
18	5	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ Ring)
19	6	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑊)
20	8	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 Fn 𝐼)
21	10	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐺 ∈ 𝐵)
22		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ 𝐼)
23	1, 2, 18, 19, 20, 21, 22	prdsbasprj 17521	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑥) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑥)))
24		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝑅‘𝑥)) = (Base‘(𝑅‘𝑥))
25		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘(𝑅‘𝑥)) = (Scalar‘(𝑅‘𝑥))
26		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥)) = ( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))
27		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘(𝑅‘𝑥))) = (Base‘(Scalar‘(𝑅‘𝑥)))
28	24, 25, 26, 27	lmodvscl 20973	. . . . 5 ⊢ (((𝑅‘𝑥) ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (Base‘(Scalar‘(𝑅‘𝑥))) ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑥))) → (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑥)))
29	12, 17, 23, 28	syl3anc 1396	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑥)))
30	29	ralrimiva 3163	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑥)))
31	1, 2, 5, 6, 8	prdsbasmpt 17519	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥))) ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑥))))
32	30, 31	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥))) ∈ 𝐵)
33	11, 32	eqeltrd 2869	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085   ↦ cmpt 5193   Fn wfn 6528  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  Basecbs 17265  Scalarcsca 17309   ·_𝑠 cvsca 17310  X_scprds 17494  Ringcrg 20311  LModclmod 20955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-fz 13532  df-struct 17203  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-ip 17324  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-hom 17330  df-cco 17331  df-prds 17496  df-lmod 20957

This theorem is referenced by:  prdslmodd  21064