Theorem prdsvscacl 19860

Description: Pointwise scalar multiplication is closed in products of modules. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsvscacl.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsvscacl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsvscacl.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
prdsvscacl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
prdsvscacl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
prdsvscacl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdsvscacl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶LMod)
prdsvscacl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐾)
prdsvscacl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
prdsvscacl.sr	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (Scalar‘(𝑅‘𝑥)) = 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
prdsvscacl	⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝐾   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥   𝑥,𝑊   𝑥,𝑌

Allowed substitution hint:   · (𝑥)

Proof of Theorem prdsvscacl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsvscacl.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
2		prdsvscacl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
3		prdsvscacl.t	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
4		prdsvscacl.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
5		prdsvscacl.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
6		prdsvscacl.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
7		prdsvscacl.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶LMod)
8	7	ffnd 6506	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
9		prdsvscacl.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐾)
10		prdsvscacl.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10	prdsvscaval 16856	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥))))
12	7	ffvelrnda 6862	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑅‘𝑥) ∈ LMod)
13	9	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐹 ∈ 𝐾)
14		prdsvscacl.sr	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (Scalar‘(𝑅‘𝑥)) = 𝑆)
15	14	fveq2d 6679	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (Base‘(Scalar‘(𝑅‘𝑥))) = (Base‘𝑆))
16	15, 4	eqtr4di 2791	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (Base‘(Scalar‘(𝑅‘𝑥))) = 𝐾)
17	13, 16	eleqtrrd 2836	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐹 ∈ (Base‘(Scalar‘(𝑅‘𝑥))))
18	5	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ Ring)
19	6	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑊)
20	8	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 Fn 𝐼)
21	10	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐺 ∈ 𝐵)
22		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ 𝐼)
23	1, 2, 18, 19, 20, 21, 22	prdsbasprj 16849	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑥) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑥)))
24		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝑅‘𝑥)) = (Base‘(𝑅‘𝑥))
25		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘(𝑅‘𝑥)) = (Scalar‘(𝑅‘𝑥))
26		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥)) = ( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))
27		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘(𝑅‘𝑥))) = (Base‘(Scalar‘(𝑅‘𝑥)))
28	24, 25, 26, 27	lmodvscl 19771	. . . . 5 ⊢ (((𝑅‘𝑥) ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (Base‘(Scalar‘(𝑅‘𝑥))) ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑥))) → (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑥)))
29	12, 17, 23, 28	syl3anc 1372	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑥)))
30	29	ralrimiva 3096	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑥)))
31	1, 2, 5, 6, 8	prdsbasmpt 16847	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥))) ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑥))))
32	30, 31	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥))) ∈ 𝐵)
33	11, 32	eqeltrd 2833	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2113  ∀wral 3053   ↦ cmpt 5111   Fn wfn 6335  ⟶wf 6336  ‘cfv 6340  (class class class)co 7171  Basecbs 16587  Scalarcsca 16672   ·_𝑠 cvsca 16673  X_scprds 16823  Ringcrg 19417  LModclmod 19754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7480  ax-cnex 10672  ax-resscn 10673  ax-1cn 10674  ax-icn 10675  ax-addcl 10676  ax-addrcl 10677  ax-mulcl 10678  ax-mulrcl 10679  ax-mulcom 10680  ax-addass 10681  ax-mulass 10682  ax-distr 10683  ax-i2m1 10684  ax-1ne0 10685  ax-1rid 10686  ax-rnegex 10687  ax-rrecex 10688  ax-cnre 10689  ax-pre-lttri 10690  ax-pre-lttrn 10691  ax-pre-ltadd 10692  ax-pre-mulgt0 10693

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3683  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7128  df-ov 7174  df-oprab 7175  df-mpo 7176  df-om 7601  df-1st 7715  df-2nd 7716  df-wrecs 7977  df-recs 8038  df-rdg 8076  df-1o 8132  df-er 8321  df-map 8440  df-ixp 8509  df-en 8557  df-dom 8558  df-sdom 8559  df-fin 8560  df-sup 8980  df-pnf 10756  df-mnf 10757  df-xr 10758  df-ltxr 10759  df-le 10760  df-sub 10951  df-neg 10952  df-nn 11718  df-2 11780  df-3 11781  df-4 11782  df-5 11783  df-6 11784  df-7 11785  df-8 11786  df-9 11787  df-n0 11978  df-z 12064  df-dec 12181  df-uz 12326  df-fz 12983  df-struct 16589  df-ndx 16590  df-slot 16591  df-base 16593  df-plusg 16682  df-mulr 16683  df-sca 16685  df-vsca 16686  df-ip 16687  df-tset 16688  df-ple 16689  df-ds 16691  df-hom 16693  df-cco 16694  df-prds 16825  df-lmod 19756

This theorem is referenced by:  prdslmodd  19861