Theorem psgnfvalfi 19643

Description: Function definition of the permutation sign function for permutations of finite sets. (Contributed by AV, 13-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
psgnfvalfi.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
psgnfvalfi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
psgnfvalfi.t	⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
psgnfvalfi.n	⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
psgnfvalfi	⊢ (𝐷 ∈ Fin → 𝑁 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (℩𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑥 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐷,𝑠,𝑤   𝑥,𝐵   𝐷,𝑠,𝑤   𝑤,𝑇

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑤, 𝑠)   𝑇(𝑥, 𝑠)   𝐺(𝑥, 𝑤, 𝑠)   𝑁(𝑥, 𝑤, 𝑠)

Proof of Theorem psgnfvalfi

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psgnfvalfi.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
2		psgnfvalfi.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		eqid 2760	. . 3 ⊢ {𝑝 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin} = {𝑝 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin}
4		psgnfvalfi.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
5		psgnfvalfi.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
6	1, 2, 3, 4, 5	psgnfval 19630	. 2 ⊢ 𝑁 = (𝑥 ∈ {𝑝 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin} ↦ (℩𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑥 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))))
7	1, 2	sygbasnfpfi 19642	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin)
8	7	ralrimiva 3154	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → ∀𝑝 ∈ 𝐵 dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin)
9		rabid2 3444	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = {𝑝 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin} ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐵 dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin)
10	8, 9	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → 𝐵 = {𝑝 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin})
11	10	eqcomd 2766	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → {𝑝 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin} = 𝐵)
12	11	mpteq1d 5195	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (𝑥 ∈ {𝑝 ∈ 𝐵 ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin} ↦ (℩𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑥 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))))) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (℩𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑥 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))))))
13	6, 12	eqtrid 2807	1 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → 𝑁 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (℩𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑥 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  {crab 3412   ∖ cdif 3896   ↦ cmpt 5186   I cid 5549  dom cdm 5655  ran crn 5656  ℩cio 6487  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Fincfn 8955  1c1 11128  -cneg 11469  ↑cexp 14128  ♯chash 14397  Word cword 14581  Basecbs 17304   Σ_g cgsu 17528  SymGrpcsymg 19499  pmTrspcpmtr 19571  pmSgncpsgn 19619

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13565  df-fzo 13713  df-hash 14398  df-word 14582  df-struct 17242  df-sets 17259  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-ress 17326  df-plusg 17358  df-tset 17364  df-efmnd 18981  df-symg 19500  df-psgn 19621

This theorem is used by: (None)