Theorem ply1lmod 19944

Description: Univariate polynomials form a left module. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ply1lmod.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1lmod	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)

Proof of Theorem ply1lmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2799	. . 3 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
2	1	psr1lmod 19941	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (PwSer1‘𝑅) ∈ LMod)
3		eqid 2799	. . . 4 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
4		eqid 2799	. . . 4 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(Poly1‘𝑅))
5	3, 1, 4	ply1bas 19887	. . 3 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
6	3, 1, 4	ply1lss 19888	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(Poly1‘𝑅)) ∈ (LSubSp‘(PwSer1‘𝑅)))
7	5, 6	syl5eqelr 2883	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅)) ∈ (LSubSp‘(PwSer1‘𝑅)))
8		ply1lmod.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
9	8, 1	ply1val 19886	. . 3 ⊢ 𝑃 = ((PwSer1‘𝑅) ↾s (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅)))
10		eqid 2799	. . 3 ⊢ (LSubSp‘(PwSer1‘𝑅)) = (LSubSp‘(PwSer1‘𝑅))
11	9, 10	lsslmod 19281	. 2 ⊢ (((PwSer1‘𝑅) ∈ LMod ∧ (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅)) ∈ (LSubSp‘(PwSer1‘𝑅))) → 𝑃 ∈ LMod)
12	2, 7, 11	syl2anc 580	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  ‘cfv 6101  (class class class)co 6878  1_𝑜c1o 7792  Basecbs 16184  Ringcrg 18863  LModclmod 19181  LSubSpclss 19250   mPoly cmpl 19676  PwSer₁cps1 19867  Poly₁cpl1 19869

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-of 7131  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-supp 7533  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-fsupp 8518  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11581  df-z 11667  df-dec 11784  df-uz 11931  df-fz 12581  df-struct 16186  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-ress 16192  df-plusg 16280  df-mulr 16281  df-sca 16283  df-vsca 16284  df-tset 16286  df-ple 16287  df-0g 16417  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-grp 17741  df-minusg 17742  df-sbg 17743  df-subg 17904  df-mgp 18806  df-ur 18818  df-ring 18865  df-lmod 19183  df-lss 19251  df-psr 19679  df-mpl 19681  df-opsr 19683  df-psr1 19872  df-ply1 19874

This theorem is referenced by:  ply10s0  19948  ply1tmcl  19964  coe1pwmul  19971  ply1sclf  19977  ply1scl0  19982  ply1scl1  19984  ply1idvr1  19985  ply1coefsupp  19987  ply1coe  19988  cply1coe0bi  19992  gsumsmonply1  19995  gsummoncoe1  19996  lply1binomsc  19999  evls1sca  20010  evl1scvarpw  20049  evl1gsummon  20051  cpmatacl  20849  cpmatinvcl  20850  mat2pmatbas  20859  mat2pmatghm  20863  mat2pmatmul  20864  decpmatid  20903  pmatcollpwscmatlem1  20922  pm2mpcl  20930  idpm2idmp  20934  mply1topmatcllem  20936  mply1topmatcl  20938  mp2pm2mplem4  20942  mp2pm2mplem5  20943  pm2mpghmlem2  20945  pm2mpghm  20949  pm2mpmhmlem1  20951  pm2mpmhmlem2  20952  monmat2matmon  20957  chpscmat  20975  chpscmatgsumbin  20977  chpscmatgsummon  20978  deg1invg  24207  deg1pwle  24220  deg1pw  24221  ply1remlem  24263  plypf1  24309  ply1vr1smo  42968  ply1mulgsumlem4  42976  ply1mulgsum  42977