Theorem ply1lmod 20881

Description: Univariate polynomials form a left module. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ply1lmod.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1lmod	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)

Proof of Theorem ply1lmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2798	. . 3 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
2	1	psr1lmod 20878	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (PwSer1‘𝑅) ∈ LMod)
3		eqid 2798	. . . 4 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
4		eqid 2798	. . . 4 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(Poly1‘𝑅))
5	3, 1, 4	ply1bas 20824	. . 3 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
6	3, 1, 4	ply1lss 20825	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(Poly1‘𝑅)) ∈ (LSubSp‘(PwSer1‘𝑅)))
7	5, 6	eqeltrrid 2895	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ (LSubSp‘(PwSer1‘𝑅)))
8		ply1lmod.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
9	8, 1	ply1val 20823	. . 3 ⊢ 𝑃 = ((PwSer1‘𝑅) ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
10		eqid 2798	. . 3 ⊢ (LSubSp‘(PwSer1‘𝑅)) = (LSubSp‘(PwSer1‘𝑅))
11	9, 10	lsslmod 19725	. 2 ⊢ (((PwSer1‘𝑅) ∈ LMod ∧ (Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ (LSubSp‘(PwSer1‘𝑅))) → 𝑃 ∈ LMod)
12	2, 7, 11	syl2anc 587	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  1_oc1o 8078  Basecbs 16475  Ringcrg 19290  LModclmod 19627  LSubSpclss 19696   mPoly cmpl 20591  PwSer₁cps1 20804  Poly₁cpl1 20806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12886  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-tset 16576  df-ple 16577  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-subg 18268  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-lmod 19629  df-lss 19697  df-psr 20594  df-mpl 20596  df-opsr 20598  df-psr1 20809  df-ply1 20811

This theorem is referenced by:  ply10s0  20885  ply1tmcl  20901  coe1pwmul  20908  ply1sclf  20914  ply1scl0  20919  ply1scl1  20921  ply1idvr1  20922  ply1coefsupp  20924  ply1coe  20925  cply1coe0bi  20929  gsumsmonply1  20932  gsummoncoe1  20933  lply1binomsc  20936  evls1sca  20947  evl1scvarpw  20987  evl1gsummon  20989  cpmatacl  21321  cpmatinvcl  21322  mat2pmatbas  21331  mat2pmatghm  21335  mat2pmatmul  21336  decpmatid  21375  pmatcollpwscmatlem1  21394  pm2mpcl  21402  idpm2idmp  21406  mply1topmatcllem  21408  mply1topmatcl  21410  mp2pm2mplem4  21414  mp2pm2mplem5  21415  pm2mpghmlem2  21417  pm2mpghm  21421  pm2mpmhmlem1  21423  pm2mpmhmlem2  21424  monmat2matmon  21429  chpscmat  21447  chpscmatgsumbin  21449  chpscmatgsummon  21450  deg1invg  24707  deg1pwle  24720  deg1pw  24721  ply1remlem  24763  plypf1  24809  ply1vr1smo  44789  ply1mulgsumlem4  44797  ply1mulgsum  44798