MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1lmod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1lmod 21765
Description: Univariate polynomials form a left module. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ply1lmod.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
Assertion
Ref Expression
ply1lmod (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)

Proof of Theorem ply1lmod
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . 3 (PwSer1𝑅) = (PwSer1𝑅)
21psr1lmod 21762 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (PwSer1𝑅) ∈ LMod)
3 eqid 2732 . . . 4 (Poly1𝑅) = (Poly1𝑅)
4 eqid 2732 . . . 4 (Base‘(Poly1𝑅)) = (Base‘(Poly1𝑅))
53, 1, 4ply1bas 21710 . . 3 (Base‘(Poly1𝑅)) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
63, 1, 4ply1lss 21711 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(Poly1𝑅)) ∈ (LSubSp‘(PwSer1𝑅)))
75, 6eqeltrrid 2838 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ (LSubSp‘(PwSer1𝑅)))
8 ply1lmod.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
98, 1ply1val 21709 . . 3 𝑃 = ((PwSer1𝑅) ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
10 eqid 2732 . . 3 (LSubSp‘(PwSer1𝑅)) = (LSubSp‘(PwSer1𝑅))
119, 10lsslmod 20563 . 2 (((PwSer1𝑅) ∈ LMod ∧ (Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ (LSubSp‘(PwSer1𝑅))) → 𝑃 ∈ LMod)
122, 7, 11syl2anc 584 1 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106  cfv 6540  (class class class)co 7405  1oc1o 8455  Basecbs 17140  Ringcrg 20049  LModclmod 20463  LSubSpclss 20534   mPoly cmpl 21450  PwSer1cps1 21690  Poly1cpl1 21692
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-psr 21453  df-mpl 21455  df-opsr 21457  df-psr1 21695  df-ply1 21697
This theorem is referenced by:  ply10s0  21769  ply1tmcl  21785  coe1pwmul  21792  ply1sclf  21798  ply1scl0  21803  ply1scl0OLD  21804  ply1scl1  21806  ply1scl1OLD  21807  ply1idvr1  21808  ply1coefsupp  21810  ply1coe  21811  cply1coe0bi  21815  gsumsmonply1  21818  gsummoncoe1  21819  lply1binomsc  21822  evls1sca  21833  evl1scvarpw  21873  evl1gsummon  21875  cpmatacl  22209  cpmatinvcl  22210  mat2pmatbas  22219  mat2pmatghm  22223  mat2pmatmul  22224  decpmatid  22263  pmatcollpwscmatlem1  22282  pm2mpcl  22290  idpm2idmp  22294  mply1topmatcllem  22296  mply1topmatcl  22298  mp2pm2mplem4  22302  mp2pm2mplem5  22303  pm2mpghmlem2  22305  pm2mpghm  22309  pm2mpmhmlem1  22311  pm2mpmhmlem2  22312  monmat2matmon  22317  chpscmat  22335  chpscmatgsumbin  22337  chpscmatgsummon  22338  deg1invg  25615  deg1pwle  25628  deg1pw  25629  ply1remlem  25671  plypf1  25717  ply1lvec  32626  evls1fpws  32634  evls1vsca  32638  ply1ascl0  32640  ply1ascl1  32641  asclply1subcl  32648  coe1mon  32652  ply1degltlss  32655  gsummoncoe1fzo  32656  irngnzply1lem  32742  evls1maplmhm  32748  ply1vr1smo  47015  ply1mulgsumlem4  47023  ply1mulgsum  47024
  Copyright terms: Public domain W3C validator