MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1lmod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1lmod 22253
Description: Univariate polynomials form a left module. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ply1lmod.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
Assertion
Ref Expression
ply1lmod (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)

Proof of Theorem ply1lmod
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . 3 (PwSer1𝑅) = (PwSer1𝑅)
21psr1lmod 22250 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (PwSer1𝑅) ∈ LMod)
3 eqid 2737 . . . 4 (Poly1𝑅) = (Poly1𝑅)
4 eqid 2737 . . . 4 (Base‘(Poly1𝑅)) = (Base‘(Poly1𝑅))
53, 4ply1bas 22196 . . 3 (Base‘(Poly1𝑅)) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
63, 1, 4ply1lss 22198 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(Poly1𝑅)) ∈ (LSubSp‘(PwSer1𝑅)))
75, 6eqeltrrid 2846 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ (LSubSp‘(PwSer1𝑅)))
8 ply1lmod.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
98, 1ply1val 22195 . . 3 𝑃 = ((PwSer1𝑅) ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
10 eqid 2737 . . 3 (LSubSp‘(PwSer1𝑅)) = (LSubSp‘(PwSer1𝑅))
119, 10lsslmod 20958 . 2 (((PwSer1𝑅) ∈ LMod ∧ (Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ (LSubSp‘(PwSer1𝑅))) → 𝑃 ∈ LMod)
122, 7, 11syl2anc 584 1 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2108  cfv 6561  (class class class)co 7431  1oc1o 8499  Basecbs 17247  Ringcrg 20230  LModclmod 20858  LSubSpclss 20929   mPoly cmpl 21926  PwSer1cps1 22176  Poly1cpl1 22178
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-psr 21929  df-mpl 21931  df-opsr 21933  df-psr1 22181  df-ply1 22183
This theorem is referenced by:  ply1ascl0  22256  ply1ascl1  22257  ply10s0  22259  ply1tmcl  22275  coe1pwmul  22282  ply1sclf  22288  ply1scl0  22293  ply1scl0OLD  22294  ply1scl1  22296  ply1scl1OLD  22297  ply1idvr1OLD  22299  ply1coefsupp  22301  ply1coe  22302  cply1coe0bi  22306  gsumsmonply1  22311  gsummoncoe1  22312  lply1binomsc  22315  evls1sca  22327  evl1scvarpw  22367  evl1gsummon  22369  evls1fpws  22373  evls1vsca  22377  asclply1subcl  22378  evls1maplmhm  22381  cpmatacl  22722  cpmatinvcl  22723  mat2pmatbas  22732  mat2pmatghm  22736  mat2pmatmul  22737  decpmatid  22776  pmatcollpwscmatlem1  22795  pm2mpcl  22803  idpm2idmp  22807  mply1topmatcllem  22809  mply1topmatcl  22811  mp2pm2mplem4  22815  mp2pm2mplem5  22816  pm2mpghmlem2  22818  pm2mpghm  22822  pm2mpmhmlem1  22824  pm2mpmhmlem2  22825  monmat2matmon  22830  chpscmat  22848  chpscmatgsumbin  22850  chpscmatgsummon  22851  deg1invg  26145  deg1pwle  26159  deg1pw  26160  ply1remlem  26204  plypf1  26251  ply1lvec  33585  ressasclcl  33596  coe1mon  33610  deg1vr  33614  ply1degltlss  33617  gsummoncoe1fzo  33618  q1pvsca  33624  r1pvsca  33625  r1p0  33626  r1plmhm  33630  irngnzply1lem  33740  2sqr3minply  33791  aks5lem2  42188  ply1vr1smo  48299  ply1mulgsumlem4  48306  ply1mulgsum  48307
  Copyright terms: Public domain W3C validator