Theorem ply1lmod 22192

Description: Univariate polynomials form a left module. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ply1lmod.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1lmod	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)

Proof of Theorem ply1lmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
2	1	psr1lmod 22189	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (PwSer1‘𝑅) ∈ LMod)
3		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
4		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(Poly1‘𝑅))
5	3, 4	ply1bas 22135	. . 3 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
6	3, 1, 4	ply1lss 22137	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(Poly1‘𝑅)) ∈ (LSubSp‘(PwSer1‘𝑅)))
7	5, 6	eqeltrrid 2841	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ (LSubSp‘(PwSer1‘𝑅)))
8		ply1lmod.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
9	8, 1	ply1val 22134	. . 3 ⊢ 𝑃 = ((PwSer1‘𝑅) ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
10		eqid 2736	. . 3 ⊢ (LSubSp‘(PwSer1‘𝑅)) = (LSubSp‘(PwSer1‘𝑅))
11	9, 10	lsslmod 20911	. 2 ⊢ (((PwSer1‘𝑅) ∈ LMod ∧ (Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ (LSubSp‘(PwSer1‘𝑅))) → 𝑃 ∈ LMod)
12	2, 7, 11	syl2anc 584	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  1_oc1o 8390  Basecbs 17136  Ringcrg 20168  LModclmod 20811  LSubSpclss 20882   mPoly cmpl 21862  PwSer₁cps1 22115  Poly₁cpl1 22117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8765  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-sup 9345  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-fz 13424  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-hom 17201  df-cco 17202  df-0g 17361  df-prds 17367  df-pws 17369  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19053  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-lmod 20813  df-lss 20883  df-psr 21865  df-mpl 21867  df-opsr 21869  df-psr1 22120  df-ply1 22122

This theorem is referenced by:  ply1ascl0  22195  ply1ascl1  22196  ply10s0  22198  ply1tmcl  22214  coe1pwmul  22221  ply1sclf  22227  ply1scl0  22232  ply1scl0OLD  22233  ply1scl1  22235  ply1scl1OLD  22236  ply1idvr1OLD  22239  ply1coefsupp  22241  ply1coe  22242  cply1coe0bi  22246  gsumsmonply1  22251  gsummoncoe1  22252  lply1binomsc  22255  evls1sca  22267  evl1scvarpw  22307  evl1gsummon  22309  evls1fpws  22313  evls1vsca  22317  asclply1subcl  22318  evls1maplmhm  22321  cpmatacl  22660  cpmatinvcl  22661  mat2pmatbas  22670  mat2pmatghm  22674  mat2pmatmul  22675  decpmatid  22714  pmatcollpwscmatlem1  22733  pm2mpcl  22741  idpm2idmp  22745  mply1topmatcllem  22747  mply1topmatcl  22749  mp2pm2mplem4  22753  mp2pm2mplem5  22754  pm2mpghmlem2  22756  pm2mpghm  22760  pm2mpmhmlem1  22762  pm2mpmhmlem2  22763  monmat2matmon  22768  chpscmat  22786  chpscmatgsumbin  22788  chpscmatgsummon  22789  deg1invg  26067  deg1pwle  26081  deg1pw  26082  ply1remlem  26126  plypf1  26173  ply1lvec  33640  ressasclcl  33652  coe1mon  33668  ply1coedeg  33670  deg1vr  33673  ply1degltlss  33677  gsummoncoe1fzo  33678  q1pvsca  33685  r1pvsca  33686  r1p0  33687  r1plmhm  33691  vietalem  33735  irngnzply1lem  33847  extdgfialglem2  33850  2sqr3minply  33937  cos9thpiminplylem6  33944  cos9thpiminply  33945  aks5lem2  42451  ply1vr1smo  48639  ply1mulgsumlem4  48645  ply1mulgsum  48646