MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1lmod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1lmod 21639
Description: Univariate polynomials form a left module. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ply1lmod.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
Assertion
Ref Expression
ply1lmod (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)

Proof of Theorem ply1lmod
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . 3 (PwSer1𝑅) = (PwSer1𝑅)
21psr1lmod 21636 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (PwSer1𝑅) ∈ LMod)
3 eqid 2733 . . . 4 (Poly1𝑅) = (Poly1𝑅)
4 eqid 2733 . . . 4 (Base‘(Poly1𝑅)) = (Base‘(Poly1𝑅))
53, 1, 4ply1bas 21582 . . 3 (Base‘(Poly1𝑅)) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
63, 1, 4ply1lss 21583 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(Poly1𝑅)) ∈ (LSubSp‘(PwSer1𝑅)))
75, 6eqeltrrid 2839 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ (LSubSp‘(PwSer1𝑅)))
8 ply1lmod.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
98, 1ply1val 21581 . . 3 𝑃 = ((PwSer1𝑅) ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
10 eqid 2733 . . 3 (LSubSp‘(PwSer1𝑅)) = (LSubSp‘(PwSer1𝑅))
119, 10lsslmod 20436 . 2 (((PwSer1𝑅) ∈ LMod ∧ (Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ (LSubSp‘(PwSer1𝑅))) → 𝑃 ∈ LMod)
122, 7, 11syl2anc 585 1 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  cfv 6497  (class class class)co 7358  1oc1o 8406  Basecbs 17088  Ringcrg 19969  LModclmod 20336  LSubSpclss 20407   mPoly cmpl 21324  PwSer1cps1 21562  Poly1cpl1 21564
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-sup 9383  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-fz 13431  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-hom 17162  df-cco 17163  df-0g 17328  df-prds 17334  df-pws 17336  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-subg 18930  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-lmod 20338  df-lss 20408  df-psr 21327  df-mpl 21329  df-opsr 21331  df-psr1 21567  df-ply1 21569
This theorem is referenced by:  ply10s0  21643  ply1tmcl  21659  coe1pwmul  21666  ply1sclf  21672  ply1scl0  21677  ply1scl1  21679  ply1idvr1  21680  ply1coefsupp  21682  ply1coe  21683  cply1coe0bi  21687  gsumsmonply1  21690  gsummoncoe1  21691  lply1binomsc  21694  evls1sca  21705  evl1scvarpw  21745  evl1gsummon  21747  cpmatacl  22081  cpmatinvcl  22082  mat2pmatbas  22091  mat2pmatghm  22095  mat2pmatmul  22096  decpmatid  22135  pmatcollpwscmatlem1  22154  pm2mpcl  22162  idpm2idmp  22166  mply1topmatcllem  22168  mply1topmatcl  22170  mp2pm2mplem4  22174  mp2pm2mplem5  22175  pm2mpghmlem2  22177  pm2mpghm  22181  pm2mpmhmlem1  22183  pm2mpmhmlem2  22184  monmat2matmon  22189  chpscmat  22207  chpscmatgsumbin  22209  chpscmatgsummon  22210  deg1invg  25487  deg1pwle  25500  deg1pw  25501  ply1remlem  25543  plypf1  25589  ply1lvec  32314  evls1fpws  32320  ply1ascl0  32325  asclply1subcl  32330  coe1mon  32334  ply1degltlss  32337  gsummoncoe1fzo  32338  irngnzply1lem  32421  ply1vr1smo  46548  ply1mulgsumlem4  46556  ply1mulgsum  46557
  Copyright terms: Public domain W3C validator