Theorem resccat 50002

Description: A class 𝐶 restricted by the hom-sets of another set 𝐸, whose base is a subset of the base of 𝐶 and whose composition is compatible with 𝐶, is a category iff 𝐸 is a category. Note that the compatibility condition "resccat.1" can be weakened by removing 𝑥 ∈ 𝑆 because 𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦) implies these. (Contributed by Zhi Wang, 6-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
resccat.d	⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐽)
resccat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
resccat.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝐸)
resccat.j	⊢ 𝐽 = (Homf ‘𝐸)
resccat.x	⊢ · = (comp‘𝐶)
resccat.xb	⊢ ∙ = (comp‘𝐸)
resccat.1	⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) → (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ · 𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∙ 𝑧)𝑓))
resccat.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑉)
resccat.ss	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
resccat	⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ Cat ↔ 𝐸 ∈ Cat))

Distinct variable groups:   ∙ ,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦   𝐷,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝐸,𝑔,𝑧   𝑔,𝐽   𝑆,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝐶,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑓, 𝑔)   ∙ (𝑧)   · (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑓, 𝑔)   𝐸(𝑥, 𝑦)   𝐽(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑓)   𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑓, 𝑔)

Proof of Theorem resccat

Dummy variables ℎ 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resccat.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐽)
2		resccat.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
3		resccat.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝐸)
4		resccat.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (Homf ‘𝐸)
5		resccat.x	. . 3 ⊢ · = (comp‘𝐶)
6		resccat.xb	. . 3 ⊢ ∙ = (comp‘𝐸)
7		resccat.1	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) → (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ · 𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∙ 𝑧)𝑓))
8	7	adantllr 732	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) → (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ · 𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∙ 𝑧)𝑓))
9		resccat.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑉)
10	9	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ V) → 𝐸 ∈ 𝑉)
11		resccat.ss	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
12	11	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ V) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
13		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ V) → 𝐶 ∈ V)
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 13	resccatlem 50001	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ V) → (𝐷 ∈ Cat ↔ 𝐸 ∈ Cat))
15		df-resc 17904	. . . . . . . 8 ⊢ ↾cat = (𝑐 ∈ V, ℎ ∈ V ↦ ((𝑐 ↾s dom dom ℎ) sSet ⟨(Hom ‘ndx), ℎ⟩))
16	15	reldmmpo 7550	. . . . . . 7 ⊢ Rel dom ↾cat
17	16	ovprc1 7455	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → (𝐶 ↾cat 𝐽) = ∅)
18	1, 17	eqtrid 2809	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → 𝐷 = ∅)
19		0cat 17781	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ Cat
20	18, 19	eqeltrdi 2870	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → 𝐷 ∈ Cat)
21	20	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ V) → 𝐷 ∈ Cat)
22		fvprc 6874	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → (Base‘𝐶) = ∅)
23	2, 22	eqtrid 2809	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → 𝐵 = ∅)
24		sseq0 4357	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 = ∅) → 𝑆 = ∅)
25	11, 23, 24	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ V) → 𝑆 = ∅)
26	25, 3	eqtr3di 2812	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ V) → ∅ = (Base‘𝐸))
27		0catg 17780	. . . 4 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝑉 ∧ ∅ = (Base‘𝐸)) → 𝐸 ∈ Cat)
28	9, 26, 27	syl2an2r 698	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ V) → 𝐸 ∈ Cat)
29	21, 28	2thd 268	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ V) → (𝐷 ∈ Cat ↔ 𝐸 ∈ Cat))
30	14, 29	pm2.61dan 825	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ Cat ↔ 𝐸 ∈ Cat))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282  ⟨cop 4593  dom cdm 5659  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   sSet csts 17259  ndxcnx 17289  Basecbs 17305   ↾_s cress 17326  Hom chom 17357  compcco 17358  Catccat 17756  Hom_f chomf 17758   ↾_cat cresc 17901

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-hom 17370  df-cco 17371  df-cat 17760  df-homf 17762  df-comf 17763  df-resc 17904

This theorem is used by:  setc1onsubc  50530