Theorem resccat 49911

Description: A class 𝐶 restricted by the hom-sets of another set 𝐸, whose base is a subset of the base of 𝐶 and whose composition is compatible with 𝐶, is a category iff 𝐸 is a category. Note that the compatibility condition "resccat.1" can be weakened by removing 𝑥 ∈ 𝑆 because 𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦) implies these. (Contributed by Zhi Wang, 6-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
resccat.d	⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐽)
resccat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
resccat.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝐸)
resccat.j	⊢ 𝐽 = (Homf ‘𝐸)
resccat.x	⊢ · = (comp‘𝐶)
resccat.xb	⊢ ∙ = (comp‘𝐸)
resccat.1	⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) → (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ · 𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∙ 𝑧)𝑓))
resccat.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑉)
resccat.ss	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
resccat	⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ Cat ↔ 𝐸 ∈ Cat))

Distinct variable groups:   ∙ ,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦   𝐷,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝐸,𝑔,𝑧   𝑔,𝐽   𝑆,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝐶,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑓, 𝑔)   ∙ (𝑧)   · (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑓, 𝑔)   𝐸(𝑥, 𝑦)   𝐽(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑓)   𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑓, 𝑔)

Proof of Theorem resccat

Dummy variables ℎ 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resccat.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐽)
2		resccat.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
3		resccat.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝐸)
4		resccat.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (Homf ‘𝐸)
5		resccat.x	. . 3 ⊢ · = (comp‘𝐶)
6		resccat.xb	. . 3 ⊢ ∙ = (comp‘𝐸)
7		resccat.1	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) → (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ · 𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∙ 𝑧)𝑓))
8	7	adantllr 732	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) → (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ · 𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∙ 𝑧)𝑓))
9		resccat.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑉)
10	9	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ V) → 𝐸 ∈ 𝑉)
11		resccat.ss	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
12	11	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ V) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
13		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ V) → 𝐶 ∈ V)
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 13	resccatlem 49910	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ V) → (𝐷 ∈ Cat ↔ 𝐸 ∈ Cat))
15		df-resc 17892	. . . . . . . 8 ⊢ ↾cat = (𝑐 ∈ V, ℎ ∈ V ↦ ((𝑐 ↾s dom dom ℎ) sSet ⟨(Hom ‘ndx), ℎ⟩))
16	15	reldmmpo 7553	. . . . . . 7 ⊢ Rel dom ↾cat
17	16	ovprc1 7458	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → (𝐶 ↾cat 𝐽) = ∅)
18	1, 17	eqtrid 2812	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → 𝐷 = ∅)
19		0cat 17769	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ Cat
20	18, 19	eqeltrdi 2873	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → 𝐷 ∈ Cat)
21	20	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ V) → 𝐷 ∈ Cat)
22		fvprc 6877	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → (Base‘𝐶) = ∅)
23	2, 22	eqtrid 2812	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → 𝐵 = ∅)
24		sseq0 4361	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 = ∅) → 𝑆 = ∅)
25	11, 23, 24	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ V) → 𝑆 = ∅)
26	25, 3	eqtr3di 2815	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ V) → ∅ = (Base‘𝐸))
27		0catg 17768	. . . 4 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝑉 ∧ ∅ = (Base‘𝐸)) → 𝐸 ∈ Cat)
28	9, 26, 27	syl2an2r 698	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ V) → 𝐸 ∈ Cat)
29	21, 28	2thd 268	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ V) → (𝐷 ∈ Cat ↔ 𝐸 ∈ Cat))
30	14, 29	pm2.61dan 825	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ Cat ↔ 𝐸 ∈ Cat))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457   ⊆ wss 3906  ∅c0 4286  ⟨cop 4597  dom cdm 5663  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   sSet csts 17247  ndxcnx 17277  Basecbs 17293   ↾_s cress 17314  Hom chom 17345  compcco 17346  Catccat 17744  Hom_f chomf 17746   ↾_cat cresc 17889

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-9 12327  df-n0 12522  df-z 12609  df-dec 12730  df-sets 17248  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-ress 17315  df-hom 17358  df-cco 17359  df-cat 17748  df-homf 17750  df-comf 17751  df-resc 17892

This theorem is used by:  setc1onsubc  50439