Theorem resccat 49185

Description: A class 𝐶 restricted by the hom-sets of another set 𝐸, whose base is a subset of the base of 𝐶 and whose composition is compatible with 𝐶, is a category iff 𝐸 is a category. Note that the compatibility condition "resccat.1" can be weakened by removing 𝑥 ∈ 𝑆 because 𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦) implies these. (Contributed by Zhi Wang, 6-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
resccat.d	⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐽)
resccat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
resccat.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝐸)
resccat.j	⊢ 𝐽 = (Homf ‘𝐸)
resccat.x	⊢ · = (comp‘𝐶)
resccat.xb	⊢ ∙ = (comp‘𝐸)
resccat.1	⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) → (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ · 𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∙ 𝑧)𝑓))
resccat.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑉)
resccat.ss	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
resccat	⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ Cat ↔ 𝐸 ∈ Cat))

Distinct variable groups:   ∙ ,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦   𝐷,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝐸,𝑔,𝑧   𝑔,𝐽   𝑆,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝐶,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔)   ∙ (𝑧)   · (𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔)   𝐸(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔)

Proof of Theorem resccat

Dummy variables ℎ 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resccat.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐽)
2		resccat.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
3		resccat.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝐸)
4		resccat.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (Homf ‘𝐸)
5		resccat.x	. . 3 ⊢ · = (comp‘𝐶)
6		resccat.xb	. . 3 ⊢ ∙ = (comp‘𝐸)
7		resccat.1	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) → (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ · 𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∙ 𝑧)𝑓))
8	7	adantllr 719	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) → (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ · 𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∙ 𝑧)𝑓))
9		resccat.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑉)
10	9	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ V) → 𝐸 ∈ 𝑉)
11		resccat.ss	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
12	11	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ V) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
13		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ V) → 𝐶 ∈ V)
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 13	resccatlem 49184	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ V) → (𝐷 ∈ Cat ↔ 𝐸 ∈ Cat))
15		df-resc 17718	. . . . . . . 8 ⊢ ↾cat = (𝑐 ∈ V, ℎ ∈ V ↦ ((𝑐 ↾s dom dom ℎ) sSet ⟨(Hom ‘ndx), ℎ⟩))
16	15	reldmmpo 7480	. . . . . . 7 ⊢ Rel dom ↾cat
17	16	ovprc1 7385	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → (𝐶 ↾cat 𝐽) = ∅)
18	1, 17	eqtrid 2778	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → 𝐷 = ∅)
19		0cat 17595	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ Cat
20	18, 19	eqeltrdi 2839	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → 𝐷 ∈ Cat)
21	20	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ V) → 𝐷 ∈ Cat)
22		fvprc 6814	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → (Base‘𝐶) = ∅)
23	2, 22	eqtrid 2778	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → 𝐵 = ∅)
24		sseq0 4350	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 = ∅) → 𝑆 = ∅)
25	11, 23, 24	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ V) → 𝑆 = ∅)
26	25, 3	eqtr3di 2781	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ V) → ∅ = (Base‘𝐸))
27		0catg 17594	. . . 4 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝑉 ∧ ∅ = (Base‘𝐸)) → 𝐸 ∈ Cat)
28	9, 26, 27	syl2an2r 685	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ V) → 𝐸 ∈ Cat)
29	21, 28	2thd 265	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ V) → (𝐷 ∈ Cat ↔ 𝐸 ∈ Cat))
30	14, 29	pm2.61dan 812	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ Cat ↔ 𝐸 ∈ Cat))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ⊆ wss 3897  ∅c0 4280  ⟨cop 4579  dom cdm 5614  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   sSet csts 17074  ndxcnx 17104  Basecbs 17120   ↾_s cress 17141  Hom chom 17172  compcco 17173  Catccat 17570  Hom_f chomf 17572   ↾_cat cresc 17715

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-hom 17185  df-cco 17186  df-cat 17574  df-homf 17576  df-comf 17577  df-resc 17718

This theorem is referenced by:  setc1onsubc  49713