Theorem resccat 49564

Description: A class 𝐶 restricted by the hom-sets of another set 𝐸, whose base is a subset of the base of 𝐶 and whose composition is compatible with 𝐶, is a category iff 𝐸 is a category. Note that the compatibility condition "resccat.1" can be weakened by removing 𝑥 ∈ 𝑆 because 𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦) implies these. (Contributed by Zhi Wang, 6-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
resccat.d	⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐽)
resccat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
resccat.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝐸)
resccat.j	⊢ 𝐽 = (Homf ‘𝐸)
resccat.x	⊢ · = (comp‘𝐶)
resccat.xb	⊢ ∙ = (comp‘𝐸)
resccat.1	⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) → (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ · 𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∙ 𝑧)𝑓))
resccat.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑉)
resccat.ss	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
resccat	⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ Cat ↔ 𝐸 ∈ Cat))

Distinct variable groups:   ∙ ,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦   𝐷,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝐸,𝑔,𝑧   𝑔,𝐽   𝑆,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝐶,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔)   ∙ (𝑧)   · (𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔)   𝐸(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔)

Proof of Theorem resccat

Dummy variables ℎ 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resccat.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐽)
2		resccat.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
3		resccat.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝐸)
4		resccat.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (Homf ‘𝐸)
5		resccat.x	. . 3 ⊢ · = (comp‘𝐶)
6		resccat.xb	. . 3 ⊢ ∙ = (comp‘𝐸)
7		resccat.1	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) → (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ · 𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∙ 𝑧)𝑓))
8	7	adantllr 720	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) → (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ · 𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∙ 𝑧)𝑓))
9		resccat.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑉)
10	9	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ V) → 𝐸 ∈ 𝑉)
11		resccat.ss	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
12	11	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ V) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
13		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ V) → 𝐶 ∈ V)
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 13	resccatlem 49563	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ V) → (𝐷 ∈ Cat ↔ 𝐸 ∈ Cat))
15		df-resc 17772	. . . . . . . 8 ⊢ ↾cat = (𝑐 ∈ V, ℎ ∈ V ↦ ((𝑐 ↾s dom dom ℎ) sSet ⟨(Hom ‘ndx), ℎ⟩))
16	15	reldmmpo 7495	. . . . . . 7 ⊢ Rel dom ↾cat
17	16	ovprc1 7400	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → (𝐶 ↾cat 𝐽) = ∅)
18	1, 17	eqtrid 2784	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → 𝐷 = ∅)
19		0cat 17649	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ Cat
20	18, 19	eqeltrdi 2845	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → 𝐷 ∈ Cat)
21	20	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ V) → 𝐷 ∈ Cat)
22		fvprc 6827	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → (Base‘𝐶) = ∅)
23	2, 22	eqtrid 2784	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → 𝐵 = ∅)
24		sseq0 4344	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 = ∅) → 𝑆 = ∅)
25	11, 23, 24	syl2an 597	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ V) → 𝑆 = ∅)
26	25, 3	eqtr3di 2787	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ V) → ∅ = (Base‘𝐸))
27		0catg 17648	. . . 4 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝑉 ∧ ∅ = (Base‘𝐸)) → 𝐸 ∈ Cat)
28	9, 26, 27	syl2an2r 686	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ V) → 𝐸 ∈ Cat)
29	21, 28	2thd 265	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ V) → (𝐷 ∈ Cat ↔ 𝐸 ∈ Cat))
30	14, 29	pm2.61dan 813	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ Cat ↔ 𝐸 ∈ Cat))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  ⟨cop 4574  dom cdm 5625  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361   sSet csts 17127  ndxcnx 17157  Basecbs 17173   ↾_s cress 17194  Hom chom 17225  compcco 17226  Catccat 17624  Hom_f chomf 17626   ↾_cat cresc 17769

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-z 12519  df-dec 12639  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-hom 17238  df-cco 17239  df-cat 17628  df-homf 17630  df-comf 17631  df-resc 17772

This theorem is referenced by:  setc1onsubc  50092