Theorem resccatlem 50002

Description: Lemma for resccat 50003. (Contributed by Zhi Wang, 6-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
resccat.d	⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐽)
resccat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
resccat.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝐸)
resccat.j	⊢ 𝐽 = (Homf ‘𝐸)
resccat.x	⊢ · = (comp‘𝐶)
resccat.xb	⊢ ∙ = (comp‘𝐸)
resccat.1	⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) → (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ · 𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∙ 𝑧)𝑓))
resccat.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑉)
resccat.ss	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
resccatlem.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
resccatlem	⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ Cat ↔ 𝐸 ∈ Cat))

Distinct variable groups:   ∙ ,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦   𝐷,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝐸,𝑔,𝑧   𝑔,𝐽   𝑆,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑓, 𝑔)   𝐶(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑓, 𝑔)   ∙ (𝑧)   · (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑓, 𝑔)   𝑈(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑓, 𝑔)   𝐸(𝑥, 𝑦)   𝐽(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑓)   𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑓, 𝑔)

Proof of Theorem resccatlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resccat.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐽)
2		resccat.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
3		resccatlem.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)
4		resccat.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (Homf ‘𝐸)
5		resccat.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝐸)
6	4, 5	homffn 17784	. . . . 5 ⊢ 𝐽 Fn (𝑆 × 𝑆)
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 Fn (𝑆 × 𝑆))
8		resccat.ss	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
9	1, 2, 3, 7, 8	reschomf 17923	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = (Homf ‘𝐷))
10	9, 4	eqtr3di 2810	. 2 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐷) = (Homf ‘𝐸))
11		resccat.1	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) → (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ · 𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∙ 𝑧)𝑓))
12	11	ralrimivva 3205	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ · 𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∙ 𝑧)𝑓))
13	12	ralrimivvva 3208	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 ∀𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ · 𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∙ 𝑧)𝑓))
14		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (comp‘𝐷) = (comp‘𝐷)
15		resccat.xb	. . . . 5 ⊢ ∙ = (comp‘𝐸)
16		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
17	1, 2, 3, 7, 8	rescbas 17921	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘𝐷))
18	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘𝐸))
19	14, 15, 16, 17, 18, 10	comfeq 17797	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((compf‘𝐷) = (compf‘𝐸) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 ∀𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑓 ∈ (𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦(Hom ‘𝐷)𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐷)𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∙ 𝑧)𝑓)))
20	1, 2, 3, 7, 8	reschom 17922	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = (Hom ‘𝐷))
21	20	oveqd 7431	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥𝐽𝑦) = (𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦))
22	20	oveqd 7431	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦𝐽𝑧) = (𝑦(Hom ‘𝐷)𝑧))
23		resccat.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ · = (comp‘𝐶)
24	1, 2, 3, 7, 8, 23	rescco 17924	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → · = (comp‘𝐷))
25	24	oveqd 7431	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑥, 𝑦⟩ · 𝑧) = (⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐷)𝑧))
26	25	oveqd 7431	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ · 𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐷)𝑧)𝑓))
27	26	eqeq1d 2762	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ · 𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∙ 𝑧)𝑓) ↔ (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐷)𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∙ 𝑧)𝑓)))
28	22, 27	raleqbidv 3334	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ · 𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∙ 𝑧)𝑓) ↔ ∀𝑔 ∈ (𝑦(Hom ‘𝐷)𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐷)𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∙ 𝑧)𝑓)))
29	21, 28	raleqbidv 3334	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ · 𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∙ 𝑧)𝑓) ↔ ∀𝑓 ∈ (𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦(Hom ‘𝐷)𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐷)𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∙ 𝑧)𝑓)))
30	29	3ralbidv 3229	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 ∀𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ · 𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∙ 𝑧)𝑓) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 ∀𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑓 ∈ (𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦(Hom ‘𝐷)𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐷)𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∙ 𝑧)𝑓)))
31	19, 30	bitr4d 285	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((compf‘𝐷) = (compf‘𝐸) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 ∀𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ · 𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∙ 𝑧)𝑓)))
32	13, 31	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → (compf‘𝐷) = (compf‘𝐸))
33	1	ovexi 7448	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ V
34	33	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
35		resccat.e	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑉)
36	10, 32, 34, 35	catpropd 17800	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ Cat ↔ 𝐸 ∈ Cat))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  Vcvv 3450   ⊆ wss 3899  ⟨cop 4590   × cxp 5653   Fn wfn 6528  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Basecbs 17304  Hom chom 17356  compcco 17357  Catccat 17755  Hom_f chomf 17757  comp_fccomf 17758   ↾_cat cresc 17900

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-sets 17259  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-ress 17326  df-hom 17369  df-cco 17370  df-cat 17759  df-homf 17761  df-comf 17762  df-resc 17903

This theorem is used by:  resccat  50003