Theorem resccatlem 49055

Description: Lemma for resccat 49056. (Contributed by Zhi Wang, 6-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
resccat.d	⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐽)
resccat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
resccat.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝐸)
resccat.j	⊢ 𝐽 = (Homf ‘𝐸)
resccat.x	⊢ · = (comp‘𝐶)
resccat.xb	⊢ ∙ = (comp‘𝐸)
resccat.1	⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) → (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ · 𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∙ 𝑧)𝑓))
resccat.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑉)
resccat.ss	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
resccatlem.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
resccatlem	⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ Cat ↔ 𝐸 ∈ Cat))

Distinct variable groups:   ∙ ,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦   𝐷,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝐸,𝑔,𝑧   𝑔,𝐽   𝑆,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔)   ∙ (𝑧)   · (𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔)   𝐸(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔)

Proof of Theorem resccatlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resccat.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐽)
2		resccat.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
3		resccatlem.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)
4		resccat.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (Homf ‘𝐸)
5		resccat.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝐸)
6	4, 5	homffn 17634	. . . . 5 ⊢ 𝐽 Fn (𝑆 × 𝑆)
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 Fn (𝑆 × 𝑆))
8		resccat.ss	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
9	1, 2, 3, 7, 8	reschomf 17773	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = (Homf ‘𝐷))
10	9, 4	eqtr3di 2779	. 2 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐷) = (Homf ‘𝐸))
11		resccat.1	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) → (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ · 𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∙ 𝑧)𝑓))
12	11	ralrimivva 3178	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ · 𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∙ 𝑧)𝑓))
13	12	ralrimivvva 3181	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 ∀𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ · 𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∙ 𝑧)𝑓))
14		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (comp‘𝐷) = (comp‘𝐷)
15		resccat.xb	. . . . 5 ⊢ ∙ = (comp‘𝐸)
16		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
17	1, 2, 3, 7, 8	rescbas 17771	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘𝐷))
18	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘𝐸))
19	14, 15, 16, 17, 18, 10	comfeq 17647	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((compf‘𝐷) = (compf‘𝐸) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 ∀𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑓 ∈ (𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦(Hom ‘𝐷)𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐷)𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∙ 𝑧)𝑓)))
20	1, 2, 3, 7, 8	reschom 17772	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = (Hom ‘𝐷))
21	20	oveqd 7386	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥𝐽𝑦) = (𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦))
22	20	oveqd 7386	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦𝐽𝑧) = (𝑦(Hom ‘𝐷)𝑧))
23		resccat.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ · = (comp‘𝐶)
24	1, 2, 3, 7, 8, 23	rescco 17774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → · = (comp‘𝐷))
25	24	oveqd 7386	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑥, 𝑦⟩ · 𝑧) = (⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐷)𝑧))
26	25	oveqd 7386	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ · 𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐷)𝑧)𝑓))
27	26	eqeq1d 2731	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ · 𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∙ 𝑧)𝑓) ↔ (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐷)𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∙ 𝑧)𝑓)))
28	22, 27	raleqbidv 3316	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ · 𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∙ 𝑧)𝑓) ↔ ∀𝑔 ∈ (𝑦(Hom ‘𝐷)𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐷)𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∙ 𝑧)𝑓)))
29	21, 28	raleqbidv 3316	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ · 𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∙ 𝑧)𝑓) ↔ ∀𝑓 ∈ (𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦(Hom ‘𝐷)𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐷)𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∙ 𝑧)𝑓)))
30	29	3ralbidv 3202	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 ∀𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ · 𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∙ 𝑧)𝑓) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 ∀𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑓 ∈ (𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦(Hom ‘𝐷)𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐷)𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∙ 𝑧)𝑓)))
31	19, 30	bitr4d 282	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((compf‘𝐷) = (compf‘𝐸) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 ∀𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ · 𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∙ 𝑧)𝑓)))
32	13, 31	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → (compf‘𝐷) = (compf‘𝐸))
33	1	ovexi 7403	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ V
34	33	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
35		resccat.e	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑉)
36	10, 32, 34, 35	catpropd 17650	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ Cat ↔ 𝐸 ∈ Cat))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  Vcvv 3444   ⊆ wss 3911  ⟨cop 4591   × cxp 5629   Fn wfn 6494  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155  Hom chom 17207  compcco 17208  Catccat 17605  Hom_f chomf 17607  comp_fccomf 17608   ↾_cat cresc 17750

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-hom 17220  df-cco 17221  df-cat 17609  df-homf 17611  df-comf 17612  df-resc 17753

This theorem is referenced by:  resccat  49056