Theorem resccatlem 49052

Description: Lemma for resccat 49053. (Contributed by Zhi Wang, 6-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
resccat.d	⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐽)
resccat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
resccat.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝐸)
resccat.j	⊢ 𝐽 = (Homf ‘𝐸)
resccat.x	⊢ · = (comp‘𝐶)
resccat.xb	⊢ ∙ = (comp‘𝐸)
resccat.1	⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) → (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ · 𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∙ 𝑧)𝑓))
resccat.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑉)
resccat.ss	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
resccatlem.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
resccatlem	⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ Cat ↔ 𝐸 ∈ Cat))

Distinct variable groups:   ∙ ,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦   𝐷,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝐸,𝑔,𝑧   𝑔,𝐽   𝑆,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔)   ∙ (𝑧)   · (𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔)   𝐸(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔)

Proof of Theorem resccatlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resccat.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐽)
2		resccat.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
3		resccatlem.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)
4		resccat.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (Homf ‘𝐸)
5		resccat.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝐸)
6	4, 5	homffn 17660	. . . . 5 ⊢ 𝐽 Fn (𝑆 × 𝑆)
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 Fn (𝑆 × 𝑆))
8		resccat.ss	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
9	1, 2, 3, 7, 8	reschomf 17799	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = (Homf ‘𝐷))
10	9, 4	eqtr3di 2780	. 2 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐷) = (Homf ‘𝐸))
11		resccat.1	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) → (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ · 𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∙ 𝑧)𝑓))
12	11	ralrimivva 3181	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ · 𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∙ 𝑧)𝑓))
13	12	ralrimivvva 3184	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 ∀𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ · 𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∙ 𝑧)𝑓))
14		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (comp‘𝐷) = (comp‘𝐷)
15		resccat.xb	. . . . 5 ⊢ ∙ = (comp‘𝐸)
16		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
17	1, 2, 3, 7, 8	rescbas 17797	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘𝐷))
18	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘𝐸))
19	14, 15, 16, 17, 18, 10	comfeq 17673	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((compf‘𝐷) = (compf‘𝐸) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 ∀𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑓 ∈ (𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦(Hom ‘𝐷)𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐷)𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∙ 𝑧)𝑓)))
20	1, 2, 3, 7, 8	reschom 17798	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = (Hom ‘𝐷))
21	20	oveqd 7406	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥𝐽𝑦) = (𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦))
22	20	oveqd 7406	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦𝐽𝑧) = (𝑦(Hom ‘𝐷)𝑧))
23		resccat.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ · = (comp‘𝐶)
24	1, 2, 3, 7, 8, 23	rescco 17800	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → · = (comp‘𝐷))
25	24	oveqd 7406	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑥, 𝑦⟩ · 𝑧) = (⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐷)𝑧))
26	25	oveqd 7406	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ · 𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐷)𝑧)𝑓))
27	26	eqeq1d 2732	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ · 𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∙ 𝑧)𝑓) ↔ (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐷)𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∙ 𝑧)𝑓)))
28	22, 27	raleqbidv 3321	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ · 𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∙ 𝑧)𝑓) ↔ ∀𝑔 ∈ (𝑦(Hom ‘𝐷)𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐷)𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∙ 𝑧)𝑓)))
29	21, 28	raleqbidv 3321	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ · 𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∙ 𝑧)𝑓) ↔ ∀𝑓 ∈ (𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦(Hom ‘𝐷)𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐷)𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∙ 𝑧)𝑓)))
30	29	3ralbidv 3205	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 ∀𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ · 𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∙ 𝑧)𝑓) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 ∀𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑓 ∈ (𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦(Hom ‘𝐷)𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐷)𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∙ 𝑧)𝑓)))
31	19, 30	bitr4d 282	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((compf‘𝐷) = (compf‘𝐸) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 ∀𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ · 𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∙ 𝑧)𝑓)))
32	13, 31	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → (compf‘𝐷) = (compf‘𝐸))
33	1	ovexi 7423	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ V
34	33	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
35		resccat.e	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑉)
36	10, 32, 34, 35	catpropd 17676	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ Cat ↔ 𝐸 ∈ Cat))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  Vcvv 3450   ⊆ wss 3916  ⟨cop 4597   × cxp 5638   Fn wfn 6508  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  Basecbs 17185  Hom chom 17237  compcco 17238  Catccat 17631  Hom_f chomf 17633  comp_fccomf 17634   ↾_cat cresc 17776

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-4 12252  df-5 12253  df-6 12254  df-7 12255  df-8 12256  df-9 12257  df-n0 12449  df-z 12536  df-dec 12656  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-ress 17207  df-hom 17250  df-cco 17251  df-cat 17635  df-homf 17637  df-comf 17638  df-resc 17779

This theorem is referenced by:  resccat  49053