Theorem resccatlem 49695

Description: Lemma for resccat 49696. (Contributed by Zhi Wang, 6-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
resccat.d	⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐽)
resccat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
resccat.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝐸)
resccat.j	⊢ 𝐽 = (Homf ‘𝐸)
resccat.x	⊢ · = (comp‘𝐶)
resccat.xb	⊢ ∙ = (comp‘𝐸)
resccat.1	⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) → (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ · 𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∙ 𝑧)𝑓))
resccat.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑉)
resccat.ss	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
resccatlem.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
resccatlem	⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ Cat ↔ 𝐸 ∈ Cat))

Distinct variable groups:   ∙ ,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦   𝐷,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝐸,𝑔,𝑧   𝑔,𝐽   𝑆,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔)   ∙ (𝑧)   · (𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔)   𝐸(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔)

Proof of Theorem resccatlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resccat.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐽)
2		resccat.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
3		resccatlem.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)
4		resccat.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (Homf ‘𝐸)
5		resccat.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝐸)
6	4, 5	homffn 17726	. . . . 5 ⊢ 𝐽 Fn (𝑆 × 𝑆)
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 Fn (𝑆 × 𝑆))
8		resccat.ss	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
9	1, 2, 3, 7, 8	reschomf 17865	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = (Homf ‘𝐷))
10	9, 4	eqtr3di 2813	. 2 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐷) = (Homf ‘𝐸))
11		resccat.1	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) → (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ · 𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∙ 𝑧)𝑓))
12	11	ralrimivva 3206	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ · 𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∙ 𝑧)𝑓))
13	12	ralrimivvva 3209	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 ∀𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ · 𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∙ 𝑧)𝑓))
14		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (comp‘𝐷) = (comp‘𝐷)
15		resccat.xb	. . . . 5 ⊢ ∙ = (comp‘𝐸)
16		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
17	1, 2, 3, 7, 8	rescbas 17863	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘𝐷))
18	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘𝐸))
19	14, 15, 16, 17, 18, 10	comfeq 17739	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((compf‘𝐷) = (compf‘𝐸) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 ∀𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑓 ∈ (𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦(Hom ‘𝐷)𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐷)𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∙ 𝑧)𝑓)))
20	1, 2, 3, 7, 8	reschom 17864	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = (Hom ‘𝐷))
21	20	oveqd 7414	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥𝐽𝑦) = (𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦))
22	20	oveqd 7414	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦𝐽𝑧) = (𝑦(Hom ‘𝐷)𝑧))
23		resccat.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ · = (comp‘𝐶)
24	1, 2, 3, 7, 8, 23	rescco 17866	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → · = (comp‘𝐷))
25	24	oveqd 7414	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑥, 𝑦⟩ · 𝑧) = (⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐷)𝑧))
26	25	oveqd 7414	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ · 𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐷)𝑧)𝑓))
27	26	eqeq1d 2765	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ · 𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∙ 𝑧)𝑓) ↔ (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐷)𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∙ 𝑧)𝑓)))
28	22, 27	raleqbidv 3337	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ · 𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∙ 𝑧)𝑓) ↔ ∀𝑔 ∈ (𝑦(Hom ‘𝐷)𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐷)𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∙ 𝑧)𝑓)))
29	21, 28	raleqbidv 3337	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ · 𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∙ 𝑧)𝑓) ↔ ∀𝑓 ∈ (𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦(Hom ‘𝐷)𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐷)𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∙ 𝑧)𝑓)))
30	29	3ralbidv 3230	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 ∀𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ · 𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∙ 𝑧)𝑓) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 ∀𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑓 ∈ (𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦(Hom ‘𝐷)𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐷)𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∙ 𝑧)𝑓)))
31	19, 30	bitr4d 284	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((compf‘𝐷) = (compf‘𝐸) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 ∀𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ · 𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∙ 𝑧)𝑓)))
32	13, 31	mpbird 259	. 2 ⊢ (𝜑 → (compf‘𝐷) = (compf‘𝐸))
33	1	ovexi 7431	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ V
34	33	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
35		resccat.e	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑉)
36	10, 32, 34, 35	catpropd 17742	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ Cat ↔ 𝐸 ∈ Cat))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  ∀wral 3077  Vcvv 3455   ⊆ wss 3905  ⟨cop 4589   × cxp 5646   Fn wfn 6517  ‘cfv 6522  (class class class)co 7397  Basecbs 17246  Hom chom 17298  compcco 17299  Catccat 17697  Hom_f chomf 17699  comp_fccomf 17700   ↾_cat cresc 17842

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6289  df-ord 6350  df-on 6351  df-lim 6352  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-om 7848  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8382  df-er 8679  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-xr 11221  df-ltxr 11222  df-le 11223  df-sub 11417  df-neg 11418  df-nn 12212  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-7 12286  df-8 12287  df-9 12288  df-n0 12483  df-z 12570  df-dec 12690  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17247  df-ress 17268  df-hom 17311  df-cco 17312  df-cat 17701  df-homf 17703  df-comf 17704  df-resc 17845

This theorem is referenced by:  resccat  49696