Theorem resccatlem 49260

Description: Lemma for resccat 49261. (Contributed by Zhi Wang, 6-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
resccat.d	⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐽)
resccat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
resccat.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝐸)
resccat.j	⊢ 𝐽 = (Homf ‘𝐸)
resccat.x	⊢ · = (comp‘𝐶)
resccat.xb	⊢ ∙ = (comp‘𝐸)
resccat.1	⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) → (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ · 𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∙ 𝑧)𝑓))
resccat.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑉)
resccat.ss	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
resccatlem.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
resccatlem	⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ Cat ↔ 𝐸 ∈ Cat))

Distinct variable groups:   ∙ ,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦   𝐷,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝐸,𝑔,𝑧   𝑔,𝐽   𝑆,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔)   ∙ (𝑧)   · (𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔)   𝐸(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔)

Proof of Theorem resccatlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resccat.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐽)
2		resccat.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
3		resccatlem.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)
4		resccat.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (Homf ‘𝐸)
5		resccat.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝐸)
6	4, 5	homffn 17614	. . . . 5 ⊢ 𝐽 Fn (𝑆 × 𝑆)
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 Fn (𝑆 × 𝑆))
8		resccat.ss	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
9	1, 2, 3, 7, 8	reschomf 17753	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = (Homf ‘𝐷))
10	9, 4	eqtr3di 2784	. 2 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐷) = (Homf ‘𝐸))
11		resccat.1	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧))) → (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ · 𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∙ 𝑧)𝑓))
12	11	ralrimivva 3177	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ · 𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∙ 𝑧)𝑓))
13	12	ralrimivvva 3180	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 ∀𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ · 𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∙ 𝑧)𝑓))
14		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (comp‘𝐷) = (comp‘𝐷)
15		resccat.xb	. . . . 5 ⊢ ∙ = (comp‘𝐸)
16		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
17	1, 2, 3, 7, 8	rescbas 17751	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘𝐷))
18	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘𝐸))
19	14, 15, 16, 17, 18, 10	comfeq 17627	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((compf‘𝐷) = (compf‘𝐸) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 ∀𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑓 ∈ (𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦(Hom ‘𝐷)𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐷)𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∙ 𝑧)𝑓)))
20	1, 2, 3, 7, 8	reschom 17752	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = (Hom ‘𝐷))
21	20	oveqd 7373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥𝐽𝑦) = (𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦))
22	20	oveqd 7373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦𝐽𝑧) = (𝑦(Hom ‘𝐷)𝑧))
23		resccat.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ · = (comp‘𝐶)
24	1, 2, 3, 7, 8, 23	rescco 17754	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → · = (comp‘𝐷))
25	24	oveqd 7373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑥, 𝑦⟩ · 𝑧) = (⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐷)𝑧))
26	25	oveqd 7373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ · 𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐷)𝑧)𝑓))
27	26	eqeq1d 2736	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ · 𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∙ 𝑧)𝑓) ↔ (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐷)𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∙ 𝑧)𝑓)))
28	22, 27	raleqbidv 3314	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ · 𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∙ 𝑧)𝑓) ↔ ∀𝑔 ∈ (𝑦(Hom ‘𝐷)𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐷)𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∙ 𝑧)𝑓)))
29	21, 28	raleqbidv 3314	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ · 𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∙ 𝑧)𝑓) ↔ ∀𝑓 ∈ (𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦(Hom ‘𝐷)𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐷)𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∙ 𝑧)𝑓)))
30	29	3ralbidv 3201	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 ∀𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ · 𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∙ 𝑧)𝑓) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 ∀𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑓 ∈ (𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦(Hom ‘𝐷)𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐷)𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∙ 𝑧)𝑓)))
31	19, 30	bitr4d 282	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((compf‘𝐷) = (compf‘𝐸) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 ∀𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ · 𝑧)𝑓) = (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∙ 𝑧)𝑓)))
32	13, 31	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → (compf‘𝐷) = (compf‘𝐸))
33	1	ovexi 7390	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ V
34	33	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
35		resccat.e	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑉)
36	10, 32, 34, 35	catpropd 17630	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ Cat ↔ 𝐸 ∈ Cat))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3049  Vcvv 3438   ⊆ wss 3899  ⟨cop 4584   × cxp 5620   Fn wfn 6485  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  Basecbs 17134  Hom chom 17186  compcco 17187  Catccat 17585  Hom_f chomf 17587  comp_fccomf 17588   ↾_cat cresc 17730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-dec 12606  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-hom 17199  df-cco 17200  df-cat 17589  df-homf 17591  df-comf 17592  df-resc 17733

This theorem is referenced by:  resccat  49261