Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ringcco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringcco 42816
Description: Composition in the category of unital rings. (Contributed by AV, 14-Feb-2020.) (Revised by AV, 8-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ringcco.c 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
ringcco.u (𝜑𝑈𝑉)
ringcco.o · = (comp‘𝐶)
ringcco.x (𝜑𝑋𝑈)
ringcco.y (𝜑𝑌𝑈)
ringcco.z (𝜑𝑍𝑈)
ringcco.f (𝜑𝐹:(Base‘𝑋)⟶(Base‘𝑌))
ringcco.g (𝜑𝐺:(Base‘𝑌)⟶(Base‘𝑍))
Assertion
Ref Expression
ringcco (𝜑 → (𝐺(⟨𝑋, 𝑌· 𝑍)𝐹) = (𝐺𝐹))

Proof of Theorem ringcco
StepHypRef Expression
1 ringcco.c . . . . 5 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
2 ringcco.u . . . . 5 (𝜑𝑈𝑉)
3 ringcco.o . . . . 5 · = (comp‘𝐶)
41, 2, 3ringccofval 42815 . . . 4 (𝜑· = (comp‘(ExtStrCat‘𝑈)))
54oveqd 6895 . . 3 (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑌· 𝑍) = (⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘(ExtStrCat‘𝑈))𝑍))
65oveqd 6895 . 2 (𝜑 → (𝐺(⟨𝑋, 𝑌· 𝑍)𝐹) = (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘(ExtStrCat‘𝑈))𝑍)𝐹))
7 eqid 2799 . . 3 (ExtStrCat‘𝑈) = (ExtStrCat‘𝑈)
8 eqid 2799 . . 3 (comp‘(ExtStrCat‘𝑈)) = (comp‘(ExtStrCat‘𝑈))
9 ringcco.x . . 3 (𝜑𝑋𝑈)
10 ringcco.y . . 3 (𝜑𝑌𝑈)
11 ringcco.z . . 3 (𝜑𝑍𝑈)
12 eqid 2799 . . 3 (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
13 eqid 2799 . . 3 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
14 eqid 2799 . . 3 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
15 ringcco.f . . 3 (𝜑𝐹:(Base‘𝑋)⟶(Base‘𝑌))
16 ringcco.g . . 3 (𝜑𝐺:(Base‘𝑌)⟶(Base‘𝑍))
177, 2, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16estrcco 17084 . 2 (𝜑 → (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘(ExtStrCat‘𝑈))𝑍)𝐹) = (𝐺𝐹))
186, 17eqtrd 2833 1 (𝜑 → (𝐺(⟨𝑋, 𝑌· 𝑍)𝐹) = (𝐺𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1653  wcel 2157  cop 4374  ccom 5316  wf 6097  cfv 6101  (class class class)co 6878  Basecbs 16184  compcco 16279  ExtStrCatcestrc 17076  RingCatcringc 42802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11581  df-z 11667  df-dec 11784  df-uz 11931  df-fz 12581  df-struct 16186  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-ress 16192  df-plusg 16280  df-hom 16291  df-cco 16292  df-0g 16417  df-resc 16785  df-estrc 17077  df-mhm 17650  df-ghm 17971  df-mgp 18806  df-ur 18818  df-ring 18865  df-rnghom 19033  df-ringc 42804
This theorem is referenced by:  ringcsect  42830  funcringcsetcALTV2lem9  42843
  Copyright terms: Public domain W3C validator