Theorem ringcco 20819

Description: Composition in the category of unital rings. (Contributed by AV, 14-Feb-2020.) (Revised by AV, 8-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringcco.c	⊢ 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
ringcco.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
ringcco.o	⊢ · = (comp‘𝐶)
ringcco.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
ringcco.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
ringcco.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
ringcco.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:(Base‘𝑋)⟶(Base‘𝑌))
ringcco.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:(Base‘𝑌)⟶(Base‘𝑍))

Assertion

Ref	Expression
ringcco	⊢ (𝜑 → (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑍)𝐹) = (𝐺 ∘ 𝐹))

Proof of Theorem ringcco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringcco.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
2		ringcco.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
3		ringcco.o	. . . . 5 ⊢ · = (comp‘𝐶)
4	1, 2, 3	ringccofval 20818	. . . 4 ⊢ (𝜑 → · = (comp‘(ExtStrCat‘𝑈)))
5	4	oveqd 7433	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑍) = (⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘(ExtStrCat‘𝑈))𝑍))
6	5	oveqd 7433	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑍)𝐹) = (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘(ExtStrCat‘𝑈))𝑍)𝐹))
7		eqid 2762	. . 3 ⊢ (ExtStrCat‘𝑈) = (ExtStrCat‘𝑈)
8		eqid 2762	. . 3 ⊢ (comp‘(ExtStrCat‘𝑈)) = (comp‘(ExtStrCat‘𝑈))
9		ringcco.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
10		ringcco.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
11		ringcco.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
12		eqid 2762	. . 3 ⊢ (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
13		eqid 2762	. . 3 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
14		eqid 2762	. . 3 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
15		ringcco.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(Base‘𝑋)⟶(Base‘𝑌))
16		ringcco.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(Base‘𝑌)⟶(Base‘𝑍))
17	7, 2, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16	estrcco 18222	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘(ExtStrCat‘𝑈))𝑍)𝐹) = (𝐺 ∘ 𝐹))
18	6, 17	eqtrd 2797	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑍)𝐹) = (𝐺 ∘ 𝐹))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ⟨cop 4593   ∘ ccom 5663  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  Basecbs 17305  compcco 17358  ExtStrCatcestrc 18214  RingCatcringc 20808

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-fz 13564  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-hom 17370  df-cco 17371  df-0g 17530  df-resc 17904  df-estrc 18215  df-mhm 18892  df-ghm 19342  df-mgp 20275  df-ur 20322  df-ring 20375  df-rhm 20614  df-ringc 20809

This theorem is used by:  ringcsect  20833  funcringcsetcALTV2lem9  49200