Theorem ringcco 46817

Description: Composition in the category of unital rings. (Contributed by AV, 14-Feb-2020.) (Revised by AV, 8-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringcco.c	⊢ 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
ringcco.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
ringcco.o	⊢ · = (comp‘𝐶)
ringcco.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
ringcco.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
ringcco.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
ringcco.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:(Base‘𝑋)⟶(Base‘𝑌))
ringcco.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:(Base‘𝑌)⟶(Base‘𝑍))

Assertion

Ref	Expression
ringcco	⊢ (𝜑 → (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑍)𝐹) = (𝐺 ∘ 𝐹))

Proof of Theorem ringcco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringcco.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
2		ringcco.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
3		ringcco.o	. . . . 5 ⊢ · = (comp‘𝐶)
4	1, 2, 3	ringccofval 46816	. . . 4 ⊢ (𝜑 → · = (comp‘(ExtStrCat‘𝑈)))
5	4	oveqd 7421	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑍) = (⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘(ExtStrCat‘𝑈))𝑍))
6	5	oveqd 7421	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑍)𝐹) = (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘(ExtStrCat‘𝑈))𝑍)𝐹))
7		eqid 2733	. . 3 ⊢ (ExtStrCat‘𝑈) = (ExtStrCat‘𝑈)
8		eqid 2733	. . 3 ⊢ (comp‘(ExtStrCat‘𝑈)) = (comp‘(ExtStrCat‘𝑈))
9		ringcco.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
10		ringcco.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
11		ringcco.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
12		eqid 2733	. . 3 ⊢ (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
13		eqid 2733	. . 3 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
14		eqid 2733	. . 3 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
15		ringcco.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(Base‘𝑋)⟶(Base‘𝑌))
16		ringcco.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(Base‘𝑌)⟶(Base‘𝑍))
17	7, 2, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16	estrcco 18077	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘(ExtStrCat‘𝑈))𝑍)𝐹) = (𝐺 ∘ 𝐹))
18	6, 17	eqtrd 2773	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑍)𝐹) = (𝐺 ∘ 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ⟨cop 4633   ∘ ccom 5679  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7404  Basecbs 17140  compcco 17205  ExtStrCatcestrc 18069  RingCatcringc 46803

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-resc 17754  df-estrc 18070  df-mhm 18667  df-ghm 19084  df-mgp 19980  df-ur 19997  df-ring 20049  df-rnghom 20240  df-ringc 46805

This theorem is referenced by:  ringcsect  46831  funcringcsetcALTV2lem9  46844