Theorem risefac0 15955

Description: The value of the rising factorial when 𝑁 = 0. (Contributed by Scott Fenton, 5-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
risefac0	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 RiseFac 0) = 1)

Proof of Theorem risefac0

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12471	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2		risefacval 15936	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐴 RiseFac 0) = ∏𝑘 ∈ (0...(0 − 1))(𝐴 + 𝑘))
3	1, 2	mpan2 689	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 RiseFac 0) = ∏𝑘 ∈ (0...(0 − 1))(𝐴 + 𝑘))
4		risefall0lem 15954	. . . 4 ⊢ (0...(0 − 1)) = ∅
5	4	prodeq1i 15846	. . 3 ⊢ ∏𝑘 ∈ (0...(0 − 1))(𝐴 + 𝑘) = ∏𝑘 ∈ ∅ (𝐴 + 𝑘)
6		prod0 15871	. . 3 ⊢ ∏𝑘 ∈ ∅ (𝐴 + 𝑘) = 1
7	5, 6	eqtri 2760	. 2 ⊢ ∏𝑘 ∈ (0...(0 − 1))(𝐴 + 𝑘) = 1
8	3, 7	eqtrdi 2788	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 RiseFac 0) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∅c0 4319  (class class class)co 7394  ℂcc 11092  0cc0 11094  1c1 11095   + caddc 11097   − cmin 11428  ℕ₀cn0 12456  ...cfz 13468  ∏cprod 15833   RiseFac crisefac 15933

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7709  ax-inf2 9620  ax-cnex 11150  ax-resscn 11151  ax-1cn 11152  ax-icn 11153  ax-addcl 11154  ax-addrcl 11155  ax-mulcl 11156  ax-mulrcl 11157  ax-mulcom 11158  ax-addass 11159  ax-mulass 11160  ax-distr 11161  ax-i2m1 11162  ax-1ne0 11163  ax-1rid 11164  ax-rnegex 11165  ax-rrecex 11166  ax-cnre 11167  ax-pre-lttri 11168  ax-pre-lttrn 11169  ax-pre-ltadd 11170  ax-pre-mulgt0 11171  ax-pre-sup 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-se 5626  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7350  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-om 7840  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8355  df-rdg 8394  df-1o 8450  df-er 8688  df-en 8925  df-dom 8926  df-sdom 8927  df-fin 8928  df-sup 9421  df-oi 9489  df-card 9918  df-pnf 11234  df-mnf 11235  df-xr 11236  df-ltxr 11237  df-le 11238  df-sub 11430  df-neg 11431  df-div 11856  df-nn 12197  df-2 12259  df-3 12260  df-n0 12457  df-z 12543  df-uz 12807  df-rp 12959  df-fz 13469  df-fzo 13612  df-seq 13951  df-exp 14012  df-hash 14275  df-cj 15030  df-re 15031  df-im 15032  df-sqrt 15166  df-abs 15167  df-clim 15416  df-prod 15834  df-risefac 15934

This theorem is referenced by:  fallfac0  15956  risefac1  15961