Theorem prod0 16139

Description: A product over the empty set is one. (Contributed by Scott Fenton, 5-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
prod0	⊢ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐴 = 1

Proof of Theorem prod0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12753	. 2 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		nnuz 13031	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
3		id 23	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℤ)
4		ax-1ne0 11296	. . . 4 ⊢ 1 ≠ 0
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ≠ 0)
6	2	prodfclim1 16091	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → seq1( · , (ℕ × {1})) ⇝ 1)
7		0ss 4353	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ ℕ
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → ∅ ⊆ ℕ)
9		fvconst2g 7231	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {1})‘𝑘) = 1)
10		noel 4286	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝑘 ∈ ∅
11	10	iffalsei 4495	. . . 4 ⊢ if(𝑘 ∈ ∅, 𝐴, 1) = 1
12	9, 11	eqtr4di 2816	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {1})‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ∅, 𝐴, 1))
13	10	pm2.21i 120	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ∅ → 𝐴 ∈ ℂ)
14	13	adantl 487	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ∅) → 𝐴 ∈ ℂ)
15	2, 3, 5, 6, 8, 12, 14	zprodn0 16135	. 2 ⊢ (1 ∈ ℤ → ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐴 = 1)
16	1, 15	ax-mp 5	1 ⊢ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐴 = 1

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281  ifcif 4485  {csn 4588   × cxp 5653  ‘cfv 6558  ℂcc 11225  0cc0 11227  1c1 11228  ℕcn 12362  ℤcz 12720  ∏cprod 16101

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-inf2 9669  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-sup 9461  df-oi 9531  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-rp 13148  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-seq 14172  df-exp 14232  df-hash 14502  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sqrt 15431  df-abs 15432  df-clim 15684  df-prod 16102

This theorem is used by:  prod1  16140  fprodf1o  16142  fprodcllem  16147  fprodmul  16156  fproddiv  16157  fprodfac  16169  fprodconst  16174  fprodn0  16175  fprod2d  16177  fprodmodd  16193  risefac0  16222  coprmprod  16865  coprmproddvds  16867  prmo0  17243  gausslemma2dlem4  27726  breprexp  35332  bcprod  36681  fprodexp  46811  fprodabs2  46812  mccl  46815  fprodcn  46817  fprodcncf  47115  dvmptfprod  47160  dvnprodlem3  47163