Theorem prod0 15868

Description: A product over the empty set is one. (Contributed by Scott Fenton, 5-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
prod0	⊢ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐴 = 1

Proof of Theorem prod0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12523	. 2 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		nnuz 12796	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
3		id 22	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℤ)
4		ax-1ne0 11097	. . . 4 ⊢ 1 ≠ 0
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ≠ 0)
6	2	prodfclim1 15818	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → seq1( · , (ℕ × {1})) ⇝ 1)
7		0ss 4353	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ ℕ
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → ∅ ⊆ ℕ)
9		fvconst2g 7142	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {1})‘𝑘) = 1)
10		noel 4291	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝑘 ∈ ∅
11	10	iffalsei 4488	. . . 4 ⊢ if(𝑘 ∈ ∅, 𝐴, 1) = 1
12	9, 11	eqtr4di 2782	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {1})‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ∅, 𝐴, 1))
13	10	pm2.21i 119	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ∅ → 𝐴 ∈ ℂ)
14	13	adantl 481	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ∅) → 𝐴 ∈ ℂ)
15	2, 3, 5, 6, 8, 12, 14	zprodn0 15864	. 2 ⊢ (1 ∈ ℤ → ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐴 = 1)
16	1, 15	ax-mp 5	1 ⊢ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐴 = 1

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  ifcif 4478  {csn 4579   × cxp 5621  ‘cfv 6486  ℂcc 11026  0cc0 11028  1c1 11029  ℕcn 12146  ℤcz 12489  ∏cprod 15828

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9351  df-oi 9421  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-rp 12912  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-seq 13927  df-exp 13987  df-hash 14256  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-clim 15413  df-prod 15829

This theorem is referenced by:  prod1  15869  fprodf1o  15871  fprodcllem  15876  fprodmul  15885  fproddiv  15886  fprodfac  15898  fprodconst  15903  fprodn0  15904  fprod2d  15906  fprodmodd  15922  risefac0  15952  coprmprod  16590  coprmproddvds  16592  prmo0  16966  gausslemma2dlem4  27296  breprexp  34603  bcprod  35713  fprodexp  45579  fprodabs2  45580  mccl  45583  fprodcn  45585  fprodcncf  45885  dvmptfprod  45930  dvnprodlem3  45933