Theorem prod0 15505

Description: A product over the empty set is one. (Contributed by Scott Fenton, 5-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
prod0	⊢ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐴 = 1

Proof of Theorem prod0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12207	. 2 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		nnuz 12477	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
3		id 22	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℤ)
4		ax-1ne0 10798	. . . 4 ⊢ 1 ≠ 0
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ≠ 0)
6	2	prodfclim1 15457	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → seq1( · , (ℕ × {1})) ⇝ 1)
7		0ss 4311	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ ℕ
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → ∅ ⊆ ℕ)
9		fvconst2g 7017	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {1})‘𝑘) = 1)
10		noel 4245	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝑘 ∈ ∅
11	10	iffalsei 4449	. . . 4 ⊢ if(𝑘 ∈ ∅, 𝐴, 1) = 1
12	9, 11	eqtr4di 2796	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {1})‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ∅, 𝐴, 1))
13	10	pm2.21i 119	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ∅ → 𝐴 ∈ ℂ)
14	13	adantl 485	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ∅) → 𝐴 ∈ ℂ)
15	2, 3, 5, 6, 8, 12, 14	zprodn0 15501	. 2 ⊢ (1 ∈ ℤ → ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐴 = 1)
16	1, 15	ax-mp 5	1 ⊢ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐴 = 1

Syntax hints:   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2940   ⊆ wss 3866  ∅c0 4237  ifcif 4439  {csn 4541   × cxp 5549  ‘cfv 6380  ℂcc 10727  0cc0 10729  1c1 10730  ℕcn 11830  ℤcz 12176  ∏cprod 15467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-sup 9058  df-oi 9126  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-rp 12587  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-seq 13575  df-exp 13636  df-hash 13897  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-clim 15049  df-prod 15468

This theorem is referenced by:  prod1  15506  fprodf1o  15508  fprodcllem  15513  fprodmul  15522  fproddiv  15523  fprodfac  15535  fprodconst  15540  fprodn0  15541  fprod2d  15543  fprodmodd  15559  risefac0  15589  coprmprod  16218  coprmproddvds  16220  prmo0  16589  gausslemma2dlem4  26250  breprexp  32325  bcprod  33422  fprodexp  42810  fprodabs2  42811  mccl  42814  fprodcn  42816  fprodcncf  43116  dvmptfprod  43161  dvnprodlem3  43164