MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimdm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimdm 15587
Description: Two ways to express that a function has a limit. (The expression ( ⇝𝑟𝐹) is sometimes useful as a shorthand for "the unique limit of the function 𝐹"). (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimuni.1 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
rlimuni.2 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
Assertion
Ref Expression
rlimdm (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟𝐹𝑟 ( ⇝𝑟𝐹)))

Proof of Theorem rlimdm
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldmg 5909 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 → (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 ↔ ∃𝑥 𝐹𝑟 𝑥))
21ibi 267 . . 3 (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 → ∃𝑥 𝐹𝑟 𝑥)
3 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → 𝐹𝑟 𝑥)
4 df-fv 6569 . . . . . . 7 ( ⇝𝑟𝐹) = (℩𝑦𝐹𝑟 𝑦)
5 rlimuni.1 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
65adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑟 𝑥𝐹𝑟 𝑦)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
7 rlimuni.2 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
87adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑟 𝑥𝐹𝑟 𝑦)) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
9 simprr 773 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑟 𝑥𝐹𝑟 𝑦)) → 𝐹𝑟 𝑦)
10 simprl 771 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑟 𝑥𝐹𝑟 𝑦)) → 𝐹𝑟 𝑥)
116, 8, 9, 10rlimuni 15586 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑟 𝑥𝐹𝑟 𝑦)) → 𝑦 = 𝑥)
1211expr 456 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → (𝐹𝑟 𝑦𝑦 = 𝑥))
13 breq2 5147 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑥 → (𝐹𝑟 𝑦𝐹𝑟 𝑥))
143, 13syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → (𝑦 = 𝑥𝐹𝑟 𝑦))
1512, 14impbid 212 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → (𝐹𝑟 𝑦𝑦 = 𝑥))
1615adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐹𝑟 𝑥) ∧ 𝑥 ∈ V) → (𝐹𝑟 𝑦𝑦 = 𝑥))
1716iota5 6544 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐹𝑟 𝑥) ∧ 𝑥 ∈ V) → (℩𝑦𝐹𝑟 𝑦) = 𝑥)
1817elvd 3486 . . . . . . 7 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → (℩𝑦𝐹𝑟 𝑦) = 𝑥)
194, 18eqtrid 2789 . . . . . 6 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → ( ⇝𝑟𝐹) = 𝑥)
203, 19breqtrrd 5171 . . . . 5 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → 𝐹𝑟 ( ⇝𝑟𝐹))
2120ex 412 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑟 𝑥𝐹𝑟 ( ⇝𝑟𝐹)))
2221exlimdv 1933 . . 3 (𝜑 → (∃𝑥 𝐹𝑟 𝑥𝐹𝑟 ( ⇝𝑟𝐹)))
232, 22syl5 34 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟𝐹𝑟 ( ⇝𝑟𝐹)))
24 rlimrel 15529 . . 3 Rel ⇝𝑟
2524releldmi 5959 . 2 (𝐹𝑟 ( ⇝𝑟𝐹) → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 )
2623, 25impbid1 225 1 (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟𝐹𝑟 ( ⇝𝑟𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  Vcvv 3480   class class class wbr 5143  dom cdm 5685  cio 6512  wf 6557  cfv 6561  supcsup 9480  cc 11153  +∞cpnf 11292  *cxr 11294   < clt 11295  𝑟 crli 15521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-rlim 15525
This theorem is referenced by:  caucvgrlem2  15711  caucvg  15715  dchrisum0lem3  27563
  Copyright terms: Public domain W3C validator