Theorem rlimdm 15458

Description: Two ways to express that a function has a limit. (The expression ( ⇝_𝑟 ‘𝐹) is sometimes useful as a shorthand for "the unique limit of the function 𝐹"). (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimuni.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
rlimuni.2	⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)

Assertion

Ref	Expression
rlimdm	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 ↔ 𝐹 ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘𝐹)))

Proof of Theorem rlimdm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldmg 5841	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 → (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 ↔ ∃𝑥 𝐹 ⇝𝑟 𝑥))
2	1	ibi 267	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 → ∃𝑥 𝐹 ⇝𝑟 𝑥)
3		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → 𝐹 ⇝𝑟 𝑥)
4		df-fv 6490	. . . . . . 7 ⊢ ( ⇝𝑟 ‘𝐹) = (℩𝑦𝐹 ⇝𝑟 𝑦)
5		rlimuni.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
6	5	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ⇝𝑟 𝑥 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑦)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
7		rlimuni.2	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
8	7	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ⇝𝑟 𝑥 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑦)) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
9		simprr 772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ⇝𝑟 𝑥 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑦)) → 𝐹 ⇝𝑟 𝑦)
10		simprl 770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ⇝𝑟 𝑥 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑦)) → 𝐹 ⇝𝑟 𝑥)
11	6, 8, 9, 10	rlimuni 15457	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ⇝𝑟 𝑥 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑦)) → 𝑦 = 𝑥)
12	11	expr 456	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → (𝐹 ⇝𝑟 𝑦 → 𝑦 = 𝑥))
13		breq2 5096	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐹 ⇝𝑟 𝑦 ↔ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥))
14	3, 13	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → (𝑦 = 𝑥 → 𝐹 ⇝𝑟 𝑦))
15	12, 14	impbid 212	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → (𝐹 ⇝𝑟 𝑦 ↔ 𝑦 = 𝑥))
16	15	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) ∧ 𝑥 ∈ V) → (𝐹 ⇝𝑟 𝑦 ↔ 𝑦 = 𝑥))
17	16	iota5 6465	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) ∧ 𝑥 ∈ V) → (℩𝑦𝐹 ⇝𝑟 𝑦) = 𝑥)
18	17	elvd 3442	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → (℩𝑦𝐹 ⇝𝑟 𝑦) = 𝑥)
19	4, 18	eqtrid 2776	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → ( ⇝𝑟 ‘𝐹) = 𝑥)
20	3, 19	breqtrrd 5120	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → 𝐹 ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘𝐹))
21	20	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝𝑟 𝑥 → 𝐹 ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘𝐹)))
22	21	exlimdv 1933	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 𝐹 ⇝𝑟 𝑥 → 𝐹 ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘𝐹)))
23	2, 22	syl5 34	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 → 𝐹 ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘𝐹)))
24		rlimrel 15400	. . 3 ⊢ Rel ⇝𝑟
25	24	releldmi 5890	. 2 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘𝐹) → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 )
26	23, 25	impbid1 225	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 ↔ 𝐹 ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  Vcvv 3436   class class class wbr 5092  dom cdm 5619  ℩cio 6436  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  supcsup 9330  ℂcc 11007  +∞cpnf 11146  ℝ^*cxr 11148   < clt 11149   ⇝_𝑟 crli 15392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-pm 8756  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-sup 9332  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-rp 12894  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-rlim 15396

This theorem is referenced by:  caucvgrlem2  15582  caucvg  15586  dchrisum0lem3  27428