Theorem rlimdm 15507

Description: Two ways to express that a function has a limit. (The expression ( ⇝_𝑟 ‘𝐹) is sometimes useful as a shorthand for "the unique limit of the function 𝐹"). (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimuni.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
rlimuni.2	⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)

Assertion

Ref	Expression
rlimdm	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 ↔ 𝐹 ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘𝐹)))

Proof of Theorem rlimdm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldmg 5848	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 → (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 ↔ ∃𝑥 𝐹 ⇝𝑟 𝑥))
2	1	ibi 267	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 → ∃𝑥 𝐹 ⇝𝑟 𝑥)
3		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → 𝐹 ⇝𝑟 𝑥)
4		df-fv 6501	. . . . . . 7 ⊢ ( ⇝𝑟 ‘𝐹) = (℩𝑦𝐹 ⇝𝑟 𝑦)
5		rlimuni.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
6	5	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ⇝𝑟 𝑥 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑦)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
7		rlimuni.2	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
8	7	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ⇝𝑟 𝑥 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑦)) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
9		simprr 773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ⇝𝑟 𝑥 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑦)) → 𝐹 ⇝𝑟 𝑦)
10		simprl 771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ⇝𝑟 𝑥 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑦)) → 𝐹 ⇝𝑟 𝑥)
11	6, 8, 9, 10	rlimuni 15506	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ⇝𝑟 𝑥 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑦)) → 𝑦 = 𝑥)
12	11	expr 456	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → (𝐹 ⇝𝑟 𝑦 → 𝑦 = 𝑥))
13		breq2 5090	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐹 ⇝𝑟 𝑦 ↔ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥))
14	3, 13	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → (𝑦 = 𝑥 → 𝐹 ⇝𝑟 𝑦))
15	12, 14	impbid 212	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → (𝐹 ⇝𝑟 𝑦 ↔ 𝑦 = 𝑥))
16	15	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) ∧ 𝑥 ∈ V) → (𝐹 ⇝𝑟 𝑦 ↔ 𝑦 = 𝑥))
17	16	iota5 6476	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) ∧ 𝑥 ∈ V) → (℩𝑦𝐹 ⇝𝑟 𝑦) = 𝑥)
18	17	elvd 3436	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → (℩𝑦𝐹 ⇝𝑟 𝑦) = 𝑥)
19	4, 18	eqtrid 2784	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → ( ⇝𝑟 ‘𝐹) = 𝑥)
20	3, 19	breqtrrd 5114	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝𝑟 𝑥) → 𝐹 ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘𝐹))
21	20	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝𝑟 𝑥 → 𝐹 ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘𝐹)))
22	21	exlimdv 1935	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 𝐹 ⇝𝑟 𝑥 → 𝐹 ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘𝐹)))
23	2, 22	syl5 34	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 → 𝐹 ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘𝐹)))
24		rlimrel 15449	. . 3 ⊢ Rel ⇝𝑟
25	24	releldmi 5898	. 2 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘𝐹) → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 )
26	23, 25	impbid1 225	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 ↔ 𝐹 ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   class class class wbr 5086  dom cdm 5625  ℩cio 6447  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  supcsup 9347  ℂcc 11030  +∞cpnf 11170  ℝ^*cxr 11172   < clt 11173   ⇝_𝑟 crli 15441

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-pm 8770  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-rp 12937  df-seq 13958  df-exp 14018  df-cj 15055  df-re 15056  df-im 15057  df-sqrt 15191  df-abs 15192  df-rlim 15445

This theorem is referenced by:  caucvgrlem2  15631  caucvg  15635  dchrisum0lem3  27499