Theorem caucvgrlem2 15386

Description: Lemma for caucvgr 15387. (Contributed by NM, 4-Apr-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 8-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgr.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
caucvgr.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
caucvgr.3	⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
caucvgr.4	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝐴 ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
caucvgrlem2.5	⊢ 𝐻:ℂ⟶ℝ
caucvgrlem2.6	⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) → (abs‘((𝐻‘(𝐹‘𝑘)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑗)))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))))

Assertion

Ref	Expression
caucvgrlem2	⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ (𝐻‘(𝐹‘𝑛))) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(𝐻 ∘ 𝐹)))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑛,𝑥,𝐴   𝑗,𝐹,𝑘,𝑛,𝑥   𝑗,𝐻,𝑘,𝑛,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑛,𝑥

Proof of Theorem caucvgrlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgrlem2.5	. . 3 ⊢ 𝐻:ℂ⟶ℝ
2		caucvgr.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
3		fcompt 7005	. . 3 ⊢ ((𝐻:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (𝐻 ∘ 𝐹) = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ (𝐻‘(𝐹‘𝑛))))
4	1, 2, 3	sylancr 587	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹) = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ (𝐻‘(𝐹‘𝑛))))
5		caucvgr.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
6		fco 6624	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (𝐻 ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
7	1, 2, 6	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
8		caucvgr.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
9		caucvgr.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝐴 ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
10	2	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
11		simprr 770	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → 𝑘 ∈ 𝐴)
12	10, 11	ffvelrnd 6962	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
13		simprl 768	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → 𝑗 ∈ 𝐴)
14	10, 13	ffvelrnd 6962	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ)
15		caucvgrlem2.6	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) → (abs‘((𝐻‘(𝐹‘𝑘)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑗)))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))))
16	12, 14, 15	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → (abs‘((𝐻‘(𝐹‘𝑘)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑗)))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))))
17	1	ffvelrni 6960	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ → (𝐻‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
18	12, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → (𝐻‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
19	1	ffvelrni 6960	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ → (𝐻‘(𝐹‘𝑗)) ∈ ℝ)
20	14, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → (𝐻‘(𝐹‘𝑗)) ∈ ℝ)
21	18, 20	resubcld 11403	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → ((𝐻‘(𝐹‘𝑘)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑗))) ∈ ℝ)
22	21	recnd 11003	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → ((𝐻‘(𝐹‘𝑘)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑗))) ∈ ℂ)
23	22	abscld 15148	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → (abs‘((𝐻‘(𝐹‘𝑘)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑗)))) ∈ ℝ)
24	12, 14	subcld 11332	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗)) ∈ ℂ)
25	24	abscld 15148	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) ∈ ℝ)
26		rpre 12738	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ)
27	26	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ)
28		lelttr 11065	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((abs‘((𝐻‘(𝐹‘𝑘)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑗)))) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((abs‘((𝐻‘(𝐹‘𝑘)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑗)))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → (abs‘((𝐻‘(𝐹‘𝑘)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑗)))) < 𝑥))
29	23, 25, 27, 28	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → (((abs‘((𝐻‘(𝐹‘𝑘)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑗)))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → (abs‘((𝐻‘(𝐹‘𝑘)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑗)))) < 𝑥))
30	16, 29	mpand 692	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥 → (abs‘((𝐻‘(𝐹‘𝑘)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑗)))) < 𝑥))
31		fvco3 6867	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑘) = (𝐻‘(𝐹‘𝑘)))
32	10, 11, 31	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑘) = (𝐻‘(𝐹‘𝑘)))
33		fvco3 6867	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑗) = (𝐻‘(𝐹‘𝑗)))
34	10, 13, 33	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑗) = (𝐻‘(𝐹‘𝑗)))
35	32, 34	oveq12d 7293	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → (((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑘) − ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑗)) = ((𝐻‘(𝐹‘𝑘)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑗))))
36	35	fveq2d 6778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → (abs‘(((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑘) − ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑗))) = (abs‘((𝐻‘(𝐹‘𝑘)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑗)))))
37	36	breq1d 5084	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → ((abs‘(((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑘) − ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑗))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐻‘(𝐹‘𝑘)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑗)))) < 𝑥))
38	30, 37	sylibrd 258	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥 → (abs‘(((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑘) − ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑗))) < 𝑥))
39	38	imim2d 57	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → ((𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘(((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑘) − ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑗))) < 𝑥)))
40	39	anassrs 468	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘(((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑘) − ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑗))) < 𝑥)))
41	40	ralimdva 3108	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘(((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑘) − ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑗))) < 𝑥)))
42	41	reximdva 3203	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ 𝐴 ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → ∃𝑗 ∈ 𝐴 ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘(((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑘) − ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑗))) < 𝑥)))
43	42	ralimdva 3108	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝐴 ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝐴 ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘(((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑘) − ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑗))) < 𝑥)))
44	9, 43	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝐴 ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘(((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑘) − ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑗))) < 𝑥))
45	5, 7, 8, 44	caurcvgr 15385	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹) ⇝𝑟 (lim sup‘(𝐻 ∘ 𝐹)))
46		rlimrel 15202	. . . . 5 ⊢ Rel ⇝𝑟
47	46	releldmi 5857	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∘ 𝐹) ⇝𝑟 (lim sup‘(𝐻 ∘ 𝐹)) → (𝐻 ∘ 𝐹) ∈ dom ⇝𝑟 )
48	45, 47	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹) ∈ dom ⇝𝑟 )
49		ax-resscn 10928	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
50		fss 6617	. . . . 5 ⊢ (((𝐻 ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝐻 ∘ 𝐹):𝐴⟶ℂ)
51	7, 49, 50	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹):𝐴⟶ℂ)
52	51, 8	rlimdm 15260	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 ∘ 𝐹) ∈ dom ⇝𝑟 ↔ (𝐻 ∘ 𝐹) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(𝐻 ∘ 𝐹))))
53	48, 52	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(𝐻 ∘ 𝐹)))
54	4, 53	eqbrtrrd 5098	1 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ (𝐻‘(𝐹‘𝑛))) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(𝐻 ∘ 𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3065   ⊆ wss 3887   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  dom cdm 5589   ∘ ccom 5593  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  supcsup 9199  ℂcc 10869  ℝcr 10870  +∞cpnf 11006  ℝ^*cxr 11008   < clt 11009   ≤ cle 11010   − cmin 11205  ℝ⁺crp 12730  abscabs 14945  lim supclsp 15179   ⇝_𝑟 crli 15194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-ico 13085  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-limsup 15180  df-rlim 15198

This theorem is referenced by:  caucvgr  15387