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Theorem caucvgrlem2 14865
Description: Lemma for caucvgr 14866. (Contributed by NM, 4-Apr-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 8-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvgr.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
caucvgr.2 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
caucvgr.3 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
caucvgr.4 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝐴𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
caucvgrlem2.5 𝐻:ℂ⟶ℝ
caucvgrlem2.6 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) → (abs‘((𝐻‘(𝐹𝑘)) − (𝐻‘(𝐹𝑗)))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))))
Assertion
Ref Expression
caucvgrlem2 (𝜑 → (𝑛𝐴 ↦ (𝐻‘(𝐹𝑛))) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(𝐻𝐹)))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑛,𝑥,𝐴   𝑗,𝐹,𝑘,𝑛,𝑥   𝑗,𝐻,𝑘,𝑛,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑛,𝑥

Proof of Theorem caucvgrlem2
StepHypRef Expression
1 caucvgrlem2.5 . . 3 𝐻:ℂ⟶ℝ
2 caucvgr.2 . . 3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
3 fcompt 6758 . . 3 ((𝐻:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (𝐻𝐹) = (𝑛𝐴 ↦ (𝐻‘(𝐹𝑛))))
41, 2, 3sylancr 587 . 2 (𝜑 → (𝐻𝐹) = (𝑛𝐴 ↦ (𝐻‘(𝐹𝑛))))
5 caucvgr.1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
6 fco 6399 . . . . . 6 ((𝐻:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (𝐻𝐹):𝐴⟶ℝ)
71, 2, 6sylancr 587 . . . . 5 (𝜑 → (𝐻𝐹):𝐴⟶ℝ)
8 caucvgr.3 . . . . 5 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
9 caucvgr.4 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝐴𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
102ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
11 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → 𝑘𝐴)
1210, 11ffvelrnd 6717 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
13 simprl 767 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → 𝑗𝐴)
1410, 13ffvelrnd 6717 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → (𝐹𝑗) ∈ ℂ)
15 caucvgrlem2.6 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) → (abs‘((𝐻‘(𝐹𝑘)) − (𝐻‘(𝐹𝑗)))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))))
1612, 14, 15syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → (abs‘((𝐻‘(𝐹𝑘)) − (𝐻‘(𝐹𝑗)))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))))
171ffvelrni 6715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝑘) ∈ ℂ → (𝐻‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
1812, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → (𝐻‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
191ffvelrni 6715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝑗) ∈ ℂ → (𝐻‘(𝐹𝑗)) ∈ ℝ)
2014, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → (𝐻‘(𝐹𝑗)) ∈ ℝ)
2118, 20resubcld 10916 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → ((𝐻‘(𝐹𝑘)) − (𝐻‘(𝐹𝑗))) ∈ ℝ)
2221recnd 10515 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → ((𝐻‘(𝐹𝑘)) − (𝐻‘(𝐹𝑗))) ∈ ℂ)
2322abscld 14630 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → (abs‘((𝐻‘(𝐹𝑘)) − (𝐻‘(𝐹𝑗)))) ∈ ℝ)
2412, 14subcld 10845 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → ((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗)) ∈ ℂ)
2524abscld 14630 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) ∈ ℝ)
26 rpre 12247 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
2726ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ)
28 lelttr 10578 . . . . . . . . . . . . . 14 (((abs‘((𝐻‘(𝐹𝑘)) − (𝐻‘(𝐹𝑗)))) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((abs‘((𝐻‘(𝐹𝑘)) − (𝐻‘(𝐹𝑗)))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → (abs‘((𝐻‘(𝐹𝑘)) − (𝐻‘(𝐹𝑗)))) < 𝑥))
2923, 25, 27, 28syl3anc 1364 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → (((abs‘((𝐻‘(𝐹𝑘)) − (𝐻‘(𝐹𝑗)))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → (abs‘((𝐻‘(𝐹𝑘)) − (𝐻‘(𝐹𝑗)))) < 𝑥))
3016, 29mpand 691 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → ((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥 → (abs‘((𝐻‘(𝐹𝑘)) − (𝐻‘(𝐹𝑗)))) < 𝑥))
31 fvco3 6627 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑘𝐴) → ((𝐻𝐹)‘𝑘) = (𝐻‘(𝐹𝑘)))
3210, 11, 31syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → ((𝐻𝐹)‘𝑘) = (𝐻‘(𝐹𝑘)))
33 fvco3 6627 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑗𝐴) → ((𝐻𝐹)‘𝑗) = (𝐻‘(𝐹𝑗)))
3410, 13, 33syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → ((𝐻𝐹)‘𝑗) = (𝐻‘(𝐹𝑗)))
3532, 34oveq12d 7034 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → (((𝐻𝐹)‘𝑘) − ((𝐻𝐹)‘𝑗)) = ((𝐻‘(𝐹𝑘)) − (𝐻‘(𝐹𝑗))))
3635fveq2d 6542 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → (abs‘(((𝐻𝐹)‘𝑘) − ((𝐻𝐹)‘𝑗))) = (abs‘((𝐻‘(𝐹𝑘)) − (𝐻‘(𝐹𝑗)))))
3736breq1d 4972 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → ((abs‘(((𝐻𝐹)‘𝑘) − ((𝐻𝐹)‘𝑗))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐻‘(𝐹𝑘)) − (𝐻‘(𝐹𝑗)))) < 𝑥))
3830, 37sylibrd 260 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → ((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥 → (abs‘(((𝐻𝐹)‘𝑘) − ((𝐻𝐹)‘𝑗))) < 𝑥))
3938imim2d 57 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → ((𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → (𝑗𝑘 → (abs‘(((𝐻𝐹)‘𝑘) − ((𝐻𝐹)‘𝑗))) < 𝑥)))
4039anassrs 468 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝐴) → ((𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → (𝑗𝑘 → (abs‘(((𝐻𝐹)‘𝑘) − ((𝐻𝐹)‘𝑗))) < 𝑥)))
4140ralimdva 3144 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝐴) → (∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘(((𝐻𝐹)‘𝑘) − ((𝐻𝐹)‘𝑗))) < 𝑥)))
4241reximdva 3237 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗𝐴𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∃𝑗𝐴𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘(((𝐻𝐹)‘𝑘) − ((𝐻𝐹)‘𝑗))) < 𝑥)))
4342ralimdva 3144 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝐴𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝐴𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘(((𝐻𝐹)‘𝑘) − ((𝐻𝐹)‘𝑗))) < 𝑥)))
449, 43mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝐴𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘(((𝐻𝐹)‘𝑘) − ((𝐻𝐹)‘𝑗))) < 𝑥))
455, 7, 8, 44caurcvgr 14864 . . . 4 (𝜑 → (𝐻𝐹) ⇝𝑟 (lim sup‘(𝐻𝐹)))
46 rlimrel 14684 . . . . 5 Rel ⇝𝑟
4746releldmi 5700 . . . 4 ((𝐻𝐹) ⇝𝑟 (lim sup‘(𝐻𝐹)) → (𝐻𝐹) ∈ dom ⇝𝑟 )
4845, 47syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐻𝐹) ∈ dom ⇝𝑟 )
49 ax-resscn 10440 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
50 fss 6395 . . . . 5 (((𝐻𝐹):𝐴⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝐻𝐹):𝐴⟶ℂ)
517, 49, 50sylancl 586 . . . 4 (𝜑 → (𝐻𝐹):𝐴⟶ℂ)
5251, 8rlimdm 14742 . . 3 (𝜑 → ((𝐻𝐹) ∈ dom ⇝𝑟 ↔ (𝐻𝐹) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(𝐻𝐹))))
5348, 52mpbid 233 . 2 (𝜑 → (𝐻𝐹) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(𝐻𝐹)))
544, 53eqbrtrrd 4986 1 (𝜑 → (𝑛𝐴 ↦ (𝐻‘(𝐹𝑛))) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(𝐻𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1522  wcel 2081  wral 3105  wrex 3106  wss 3859   class class class wbr 4962  cmpt 5041  dom cdm 5443  ccom 5447  wf 6221  cfv 6225  (class class class)co 7016  supcsup 8750  cc 10381  cr 10382  +∞cpnf 10518  *cxr 10520   < clt 10521  cle 10522  cmin 10717  +crp 12239  abscabs 14427  lim supclsp 14661  𝑟 crli 14676
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-er 8139  df-pm 8259  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-sup 8752  df-inf 8753  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-rp 12240  df-ico 12594  df-seq 13220  df-exp 13280  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-limsup 14662  df-rlim 14680
This theorem is referenced by:  caucvgr  14866
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