Theorem caucvgrlem2 15631

Description: Lemma for caucvgr 15632. (Contributed by NM, 4-Apr-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 8-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgr.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
caucvgr.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
caucvgr.3	⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
caucvgr.4	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝐴 ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
caucvgrlem2.5	⊢ 𝐻:ℂ⟶ℝ
caucvgrlem2.6	⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) → (abs‘((𝐻‘(𝐹‘𝑘)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑗)))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))))

Assertion

Ref	Expression
caucvgrlem2	⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ (𝐻‘(𝐹‘𝑛))) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(𝐻 ∘ 𝐹)))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑛,𝑥,𝐴   𝑗,𝐹,𝑘,𝑛,𝑥   𝑗,𝐻,𝑘,𝑛,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑛,𝑥

Proof of Theorem caucvgrlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgrlem2.5	. . 3 ⊢ 𝐻:ℂ⟶ℝ
2		caucvgr.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
3		fcompt 7081	. . 3 ⊢ ((𝐻:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (𝐻 ∘ 𝐹) = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ (𝐻‘(𝐹‘𝑛))))
4	1, 2, 3	sylancr 588	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹) = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ (𝐻‘(𝐹‘𝑛))))
5		caucvgr.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
6		fco 6687	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (𝐻 ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
7	1, 2, 6	sylancr 588	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
8		caucvgr.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
9		caucvgr.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝐴 ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
10	2	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
11		simprr 773	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → 𝑘 ∈ 𝐴)
12	10, 11	ffvelcdmd 7032	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
13		simprl 771	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → 𝑗 ∈ 𝐴)
14	10, 13	ffvelcdmd 7032	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ)
15		caucvgrlem2.6	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) → (abs‘((𝐻‘(𝐹‘𝑘)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑗)))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))))
16	12, 14, 15	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → (abs‘((𝐻‘(𝐹‘𝑘)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑗)))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))))
17	1	ffvelcdmi 7030	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ → (𝐻‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
18	12, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → (𝐻‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
19	1	ffvelcdmi 7030	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ → (𝐻‘(𝐹‘𝑗)) ∈ ℝ)
20	14, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → (𝐻‘(𝐹‘𝑗)) ∈ ℝ)
21	18, 20	resubcld 11572	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → ((𝐻‘(𝐹‘𝑘)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑗))) ∈ ℝ)
22	21	recnd 11167	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → ((𝐻‘(𝐹‘𝑘)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑗))) ∈ ℂ)
23	22	abscld 15395	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → (abs‘((𝐻‘(𝐹‘𝑘)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑗)))) ∈ ℝ)
24	12, 14	subcld 11499	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗)) ∈ ℂ)
25	24	abscld 15395	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) ∈ ℝ)
26		rpre 12945	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ)
27	26	ad2antlr 728	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ)
28		lelttr 11230	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((abs‘((𝐻‘(𝐹‘𝑘)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑗)))) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((abs‘((𝐻‘(𝐹‘𝑘)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑗)))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → (abs‘((𝐻‘(𝐹‘𝑘)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑗)))) < 𝑥))
29	23, 25, 27, 28	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → (((abs‘((𝐻‘(𝐹‘𝑘)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑗)))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → (abs‘((𝐻‘(𝐹‘𝑘)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑗)))) < 𝑥))
30	16, 29	mpand 696	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥 → (abs‘((𝐻‘(𝐹‘𝑘)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑗)))) < 𝑥))
31		fvco3 6934	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑘) = (𝐻‘(𝐹‘𝑘)))
32	10, 11, 31	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑘) = (𝐻‘(𝐹‘𝑘)))
33		fvco3 6934	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑗) = (𝐻‘(𝐹‘𝑗)))
34	10, 13, 33	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑗) = (𝐻‘(𝐹‘𝑗)))
35	32, 34	oveq12d 7379	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → (((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑘) − ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑗)) = ((𝐻‘(𝐹‘𝑘)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑗))))
36	35	fveq2d 6839	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → (abs‘(((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑘) − ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑗))) = (abs‘((𝐻‘(𝐹‘𝑘)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑗)))))
37	36	breq1d 5096	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → ((abs‘(((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑘) − ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑗))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐻‘(𝐹‘𝑘)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑗)))) < 𝑥))
38	30, 37	sylibrd 259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥 → (abs‘(((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑘) − ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑗))) < 𝑥))
39	38	imim2d 57	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → ((𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘(((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑘) − ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑗))) < 𝑥)))
40	39	anassrs 467	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘(((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑘) − ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑗))) < 𝑥)))
41	40	ralimdva 3150	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘(((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑘) − ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑗))) < 𝑥)))
42	41	reximdva 3151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ 𝐴 ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → ∃𝑗 ∈ 𝐴 ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘(((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑘) − ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑗))) < 𝑥)))
43	42	ralimdva 3150	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝐴 ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝐴 ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘(((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑘) − ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑗))) < 𝑥)))
44	9, 43	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝐴 ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘(((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑘) − ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑗))) < 𝑥))
45	5, 7, 8, 44	caurcvgr 15630	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹) ⇝𝑟 (lim sup‘(𝐻 ∘ 𝐹)))
46		rlimrel 15449	. . . . 5 ⊢ Rel ⇝𝑟
47	46	releldmi 5898	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∘ 𝐹) ⇝𝑟 (lim sup‘(𝐻 ∘ 𝐹)) → (𝐻 ∘ 𝐹) ∈ dom ⇝𝑟 )
48	45, 47	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹) ∈ dom ⇝𝑟 )
49		ax-resscn 11089	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
50		fss 6679	. . . . 5 ⊢ (((𝐻 ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝐻 ∘ 𝐹):𝐴⟶ℂ)
51	7, 49, 50	sylancl 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹):𝐴⟶ℂ)
52	51, 8	rlimdm 15507	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 ∘ 𝐹) ∈ dom ⇝𝑟 ↔ (𝐻 ∘ 𝐹) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(𝐻 ∘ 𝐹))))
53	48, 52	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(𝐻 ∘ 𝐹)))
54	4, 53	eqbrtrrd 5110	1 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ (𝐻‘(𝐹‘𝑛))) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(𝐻 ∘ 𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  dom cdm 5625   ∘ ccom 5629  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  supcsup 9347  ℂcc 11030  ℝcr 11031  +∞cpnf 11170  ℝ^*cxr 11172   < clt 11173   ≤ cle 11174   − cmin 11371  ℝ⁺crp 12936  abscabs 15190  lim supclsp 15426   ⇝_𝑟 crli 15441

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-pm 8770  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-rp 12937  df-ico 13298  df-seq 13958  df-exp 14018  df-cj 15055  df-re 15056  df-im 15057  df-sqrt 15191  df-abs 15192  df-limsup 15427  df-rlim 15445

This theorem is referenced by:  caucvgr  15632