MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  caucvgrlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caucvgrlem2 15674
Description: Lemma for caucvgr 15675. (Contributed by NM, 4-Apr-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 8-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvgr.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
caucvgr.2 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
caucvgr.3 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
caucvgr.4 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝐴𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
caucvgrlem2.5 𝐻:ℂ⟶ℝ
caucvgrlem2.6 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) → (abs‘((𝐻‘(𝐹𝑘)) − (𝐻‘(𝐹𝑗)))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))))
Assertion
Ref Expression
caucvgrlem2 (𝜑 → (𝑛𝐴 ↦ (𝐻‘(𝐹𝑛))) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(𝐻𝐹)))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑛,𝑥,𝐴   𝑗,𝐹,𝑘,𝑛,𝑥   𝑗,𝐻,𝑘,𝑛,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑛,𝑥

Proof of Theorem caucvgrlem2
StepHypRef Expression
1 caucvgrlem2.5 . . 3 𝐻:ℂ⟶ℝ
2 caucvgr.2 . . 3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
3 fcompt 7139 . . 3 ((𝐻:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (𝐻𝐹) = (𝑛𝐴 ↦ (𝐻‘(𝐹𝑛))))
41, 2, 3sylancr 585 . 2 (𝜑 → (𝐻𝐹) = (𝑛𝐴 ↦ (𝐻‘(𝐹𝑛))))
5 caucvgr.1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
6 fco 6744 . . . . . 6 ((𝐻:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (𝐻𝐹):𝐴⟶ℝ)
71, 2, 6sylancr 585 . . . . 5 (𝜑 → (𝐻𝐹):𝐴⟶ℝ)
8 caucvgr.3 . . . . 5 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
9 caucvgr.4 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝐴𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
102ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
11 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → 𝑘𝐴)
1210, 11ffvelcdmd 7091 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
13 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → 𝑗𝐴)
1410, 13ffvelcdmd 7091 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → (𝐹𝑗) ∈ ℂ)
15 caucvgrlem2.6 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) → (abs‘((𝐻‘(𝐹𝑘)) − (𝐻‘(𝐹𝑗)))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))))
1612, 14, 15syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → (abs‘((𝐻‘(𝐹𝑘)) − (𝐻‘(𝐹𝑗)))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))))
171ffvelcdmi 7089 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝑘) ∈ ℂ → (𝐻‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
1812, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → (𝐻‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
191ffvelcdmi 7089 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝑗) ∈ ℂ → (𝐻‘(𝐹𝑗)) ∈ ℝ)
2014, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → (𝐻‘(𝐹𝑗)) ∈ ℝ)
2118, 20resubcld 11683 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → ((𝐻‘(𝐹𝑘)) − (𝐻‘(𝐹𝑗))) ∈ ℝ)
2221recnd 11283 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → ((𝐻‘(𝐹𝑘)) − (𝐻‘(𝐹𝑗))) ∈ ℂ)
2322abscld 15436 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → (abs‘((𝐻‘(𝐹𝑘)) − (𝐻‘(𝐹𝑗)))) ∈ ℝ)
2412, 14subcld 11612 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → ((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗)) ∈ ℂ)
2524abscld 15436 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) ∈ ℝ)
26 rpre 13030 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
2726ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ)
28 lelttr 11345 . . . . . . . . . . . . . 14 (((abs‘((𝐻‘(𝐹𝑘)) − (𝐻‘(𝐹𝑗)))) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((abs‘((𝐻‘(𝐹𝑘)) − (𝐻‘(𝐹𝑗)))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → (abs‘((𝐻‘(𝐹𝑘)) − (𝐻‘(𝐹𝑗)))) < 𝑥))
2923, 25, 27, 28syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → (((abs‘((𝐻‘(𝐹𝑘)) − (𝐻‘(𝐹𝑗)))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → (abs‘((𝐻‘(𝐹𝑘)) − (𝐻‘(𝐹𝑗)))) < 𝑥))
3016, 29mpand 693 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → ((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥 → (abs‘((𝐻‘(𝐹𝑘)) − (𝐻‘(𝐹𝑗)))) < 𝑥))
31 fvco3 6993 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑘𝐴) → ((𝐻𝐹)‘𝑘) = (𝐻‘(𝐹𝑘)))
3210, 11, 31syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → ((𝐻𝐹)‘𝑘) = (𝐻‘(𝐹𝑘)))
33 fvco3 6993 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑗𝐴) → ((𝐻𝐹)‘𝑗) = (𝐻‘(𝐹𝑗)))
3410, 13, 33syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → ((𝐻𝐹)‘𝑗) = (𝐻‘(𝐹𝑗)))
3532, 34oveq12d 7434 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → (((𝐻𝐹)‘𝑘) − ((𝐻𝐹)‘𝑗)) = ((𝐻‘(𝐹𝑘)) − (𝐻‘(𝐹𝑗))))
3635fveq2d 6897 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → (abs‘(((𝐻𝐹)‘𝑘) − ((𝐻𝐹)‘𝑗))) = (abs‘((𝐻‘(𝐹𝑘)) − (𝐻‘(𝐹𝑗)))))
3736breq1d 5155 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → ((abs‘(((𝐻𝐹)‘𝑘) − ((𝐻𝐹)‘𝑗))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐻‘(𝐹𝑘)) − (𝐻‘(𝐹𝑗)))) < 𝑥))
3830, 37sylibrd 258 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → ((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥 → (abs‘(((𝐻𝐹)‘𝑘) − ((𝐻𝐹)‘𝑗))) < 𝑥))
3938imim2d 57 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → ((𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → (𝑗𝑘 → (abs‘(((𝐻𝐹)‘𝑘) − ((𝐻𝐹)‘𝑗))) < 𝑥)))
4039anassrs 466 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝐴) → ((𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → (𝑗𝑘 → (abs‘(((𝐻𝐹)‘𝑘) − ((𝐻𝐹)‘𝑗))) < 𝑥)))
4140ralimdva 3157 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝐴) → (∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘(((𝐻𝐹)‘𝑘) − ((𝐻𝐹)‘𝑗))) < 𝑥)))
4241reximdva 3158 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗𝐴𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∃𝑗𝐴𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘(((𝐻𝐹)‘𝑘) − ((𝐻𝐹)‘𝑗))) < 𝑥)))
4342ralimdva 3157 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝐴𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝐴𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘(((𝐻𝐹)‘𝑘) − ((𝐻𝐹)‘𝑗))) < 𝑥)))
449, 43mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝐴𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘(((𝐻𝐹)‘𝑘) − ((𝐻𝐹)‘𝑗))) < 𝑥))
455, 7, 8, 44caurcvgr 15673 . . . 4 (𝜑 → (𝐻𝐹) ⇝𝑟 (lim sup‘(𝐻𝐹)))
46 rlimrel 15490 . . . . 5 Rel ⇝𝑟
4746releldmi 5946 . . . 4 ((𝐻𝐹) ⇝𝑟 (lim sup‘(𝐻𝐹)) → (𝐻𝐹) ∈ dom ⇝𝑟 )
4845, 47syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐻𝐹) ∈ dom ⇝𝑟 )
49 ax-resscn 11206 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
50 fss 6736 . . . . 5 (((𝐻𝐹):𝐴⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝐻𝐹):𝐴⟶ℂ)
517, 49, 50sylancl 584 . . . 4 (𝜑 → (𝐻𝐹):𝐴⟶ℂ)
5251, 8rlimdm 15548 . . 3 (𝜑 → ((𝐻𝐹) ∈ dom ⇝𝑟 ↔ (𝐻𝐹) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(𝐻𝐹))))
5348, 52mpbid 231 . 2 (𝜑 → (𝐻𝐹) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(𝐻𝐹)))
544, 53eqbrtrrd 5169 1 (𝜑 → (𝑛𝐴 ↦ (𝐻‘(𝐹𝑛))) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(𝐻𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3051  wrex 3060  wss 3946   class class class wbr 5145  cmpt 5228  dom cdm 5674  ccom 5678  wf 6542  cfv 6546  (class class class)co 7416  supcsup 9476  cc 11147  cr 11148  +∞cpnf 11286  *cxr 11288   < clt 11289  cle 11290  cmin 11485  +crp 13022  abscabs 15234  lim supclsp 15467  𝑟 crli 15482
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8726  df-pm 8850  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-sup 9478  df-inf 9479  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-div 11913  df-nn 12259  df-2 12321  df-3 12322  df-n0 12519  df-z 12605  df-uz 12869  df-rp 13023  df-ico 13378  df-seq 14016  df-exp 14076  df-cj 15099  df-re 15100  df-im 15101  df-sqrt 15235  df-abs 15236  df-limsup 15468  df-rlim 15486
This theorem is referenced by:  caucvgr  15675
  Copyright terms: Public domain W3C validator