MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  caucvgrlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caucvgrlem2 15559
Description: Lemma for caucvgr 15560. (Contributed by NM, 4-Apr-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 8-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvgr.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
caucvgr.2 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
caucvgr.3 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
caucvgr.4 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝐴𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
caucvgrlem2.5 𝐻:ℂ⟶ℝ
caucvgrlem2.6 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) → (abs‘((𝐻‘(𝐹𝑘)) − (𝐻‘(𝐹𝑗)))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))))
Assertion
Ref Expression
caucvgrlem2 (𝜑 → (𝑛𝐴 ↦ (𝐻‘(𝐹𝑛))) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(𝐻𝐹)))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑛,𝑥,𝐴   𝑗,𝐹,𝑘,𝑛,𝑥   𝑗,𝐻,𝑘,𝑛,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑛,𝑥

Proof of Theorem caucvgrlem2
StepHypRef Expression
1 caucvgrlem2.5 . . 3 𝐻:ℂ⟶ℝ
2 caucvgr.2 . . 3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
3 fcompt 7079 . . 3 ((𝐻:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (𝐻𝐹) = (𝑛𝐴 ↦ (𝐻‘(𝐹𝑛))))
41, 2, 3sylancr 587 . 2 (𝜑 → (𝐻𝐹) = (𝑛𝐴 ↦ (𝐻‘(𝐹𝑛))))
5 caucvgr.1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
6 fco 6692 . . . . . 6 ((𝐻:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (𝐻𝐹):𝐴⟶ℝ)
71, 2, 6sylancr 587 . . . . 5 (𝜑 → (𝐻𝐹):𝐴⟶ℝ)
8 caucvgr.3 . . . . 5 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
9 caucvgr.4 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝐴𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
102ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
11 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → 𝑘𝐴)
1210, 11ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
13 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → 𝑗𝐴)
1410, 13ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → (𝐹𝑗) ∈ ℂ)
15 caucvgrlem2.6 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) → (abs‘((𝐻‘(𝐹𝑘)) − (𝐻‘(𝐹𝑗)))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))))
1612, 14, 15syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → (abs‘((𝐻‘(𝐹𝑘)) − (𝐻‘(𝐹𝑗)))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))))
171ffvelcdmi 7034 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝑘) ∈ ℂ → (𝐻‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
1812, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → (𝐻‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
191ffvelcdmi 7034 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝑗) ∈ ℂ → (𝐻‘(𝐹𝑗)) ∈ ℝ)
2014, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → (𝐻‘(𝐹𝑗)) ∈ ℝ)
2118, 20resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → ((𝐻‘(𝐹𝑘)) − (𝐻‘(𝐹𝑗))) ∈ ℝ)
2221recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → ((𝐻‘(𝐹𝑘)) − (𝐻‘(𝐹𝑗))) ∈ ℂ)
2322abscld 15321 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → (abs‘((𝐻‘(𝐹𝑘)) − (𝐻‘(𝐹𝑗)))) ∈ ℝ)
2412, 14subcld 11512 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → ((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗)) ∈ ℂ)
2524abscld 15321 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) ∈ ℝ)
26 rpre 12923 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
2726ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ)
28 lelttr 11245 . . . . . . . . . . . . . 14 (((abs‘((𝐻‘(𝐹𝑘)) − (𝐻‘(𝐹𝑗)))) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((abs‘((𝐻‘(𝐹𝑘)) − (𝐻‘(𝐹𝑗)))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → (abs‘((𝐻‘(𝐹𝑘)) − (𝐻‘(𝐹𝑗)))) < 𝑥))
2923, 25, 27, 28syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → (((abs‘((𝐻‘(𝐹𝑘)) − (𝐻‘(𝐹𝑗)))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → (abs‘((𝐻‘(𝐹𝑘)) − (𝐻‘(𝐹𝑗)))) < 𝑥))
3016, 29mpand 693 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → ((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥 → (abs‘((𝐻‘(𝐹𝑘)) − (𝐻‘(𝐹𝑗)))) < 𝑥))
31 fvco3 6940 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑘𝐴) → ((𝐻𝐹)‘𝑘) = (𝐻‘(𝐹𝑘)))
3210, 11, 31syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → ((𝐻𝐹)‘𝑘) = (𝐻‘(𝐹𝑘)))
33 fvco3 6940 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑗𝐴) → ((𝐻𝐹)‘𝑗) = (𝐻‘(𝐹𝑗)))
3410, 13, 33syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → ((𝐻𝐹)‘𝑗) = (𝐻‘(𝐹𝑗)))
3532, 34oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → (((𝐻𝐹)‘𝑘) − ((𝐻𝐹)‘𝑗)) = ((𝐻‘(𝐹𝑘)) − (𝐻‘(𝐹𝑗))))
3635fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → (abs‘(((𝐻𝐹)‘𝑘) − ((𝐻𝐹)‘𝑗))) = (abs‘((𝐻‘(𝐹𝑘)) − (𝐻‘(𝐹𝑗)))))
3736breq1d 5115 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → ((abs‘(((𝐻𝐹)‘𝑘) − ((𝐻𝐹)‘𝑗))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐻‘(𝐹𝑘)) − (𝐻‘(𝐹𝑗)))) < 𝑥))
3830, 37sylibrd 258 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → ((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥 → (abs‘(((𝐻𝐹)‘𝑘) − ((𝐻𝐹)‘𝑗))) < 𝑥))
3938imim2d 57 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐴)) → ((𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → (𝑗𝑘 → (abs‘(((𝐻𝐹)‘𝑘) − ((𝐻𝐹)‘𝑗))) < 𝑥)))
4039anassrs 468 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝐴) → ((𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → (𝑗𝑘 → (abs‘(((𝐻𝐹)‘𝑘) − ((𝐻𝐹)‘𝑗))) < 𝑥)))
4140ralimdva 3164 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝐴) → (∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘(((𝐻𝐹)‘𝑘) − ((𝐻𝐹)‘𝑗))) < 𝑥)))
4241reximdva 3165 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗𝐴𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∃𝑗𝐴𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘(((𝐻𝐹)‘𝑘) − ((𝐻𝐹)‘𝑗))) < 𝑥)))
4342ralimdva 3164 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝐴𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝐴𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘(((𝐻𝐹)‘𝑘) − ((𝐻𝐹)‘𝑗))) < 𝑥)))
449, 43mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝐴𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘(((𝐻𝐹)‘𝑘) − ((𝐻𝐹)‘𝑗))) < 𝑥))
455, 7, 8, 44caurcvgr 15558 . . . 4 (𝜑 → (𝐻𝐹) ⇝𝑟 (lim sup‘(𝐻𝐹)))
46 rlimrel 15375 . . . . 5 Rel ⇝𝑟
4746releldmi 5903 . . . 4 ((𝐻𝐹) ⇝𝑟 (lim sup‘(𝐻𝐹)) → (𝐻𝐹) ∈ dom ⇝𝑟 )
4845, 47syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐻𝐹) ∈ dom ⇝𝑟 )
49 ax-resscn 11108 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
50 fss 6685 . . . . 5 (((𝐻𝐹):𝐴⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝐻𝐹):𝐴⟶ℂ)
517, 49, 50sylancl 586 . . . 4 (𝜑 → (𝐻𝐹):𝐴⟶ℂ)
5251, 8rlimdm 15433 . . 3 (𝜑 → ((𝐻𝐹) ∈ dom ⇝𝑟 ↔ (𝐻𝐹) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(𝐻𝐹))))
5348, 52mpbid 231 . 2 (𝜑 → (𝐻𝐹) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(𝐻𝐹)))
544, 53eqbrtrrd 5129 1 (𝜑 → (𝑛𝐴 ↦ (𝐻‘(𝐹𝑛))) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(𝐻𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  wrex 3073  wss 3910   class class class wbr 5105  cmpt 5188  dom cdm 5633  ccom 5637  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  supcsup 9376  cc 11049  cr 11050  +∞cpnf 11186  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  +crp 12915  abscabs 15119  lim supclsp 15352  𝑟 crli 15367
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-ico 13270  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-rlim 15371
This theorem is referenced by:  caucvgr  15560
  Copyright terms: Public domain W3C validator