Theorem caucvgrlem2 15712

Description: Lemma for caucvgr 15713. (Contributed by NM, 4-Apr-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 8-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgr.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
caucvgr.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
caucvgr.3	⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
caucvgr.4	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝐴 ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
caucvgrlem2.5	⊢ 𝐻:ℂ⟶ℝ
caucvgrlem2.6	⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) → (abs‘((𝐻‘(𝐹‘𝑘)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑗)))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))))

Assertion

Ref	Expression
caucvgrlem2	⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ (𝐻‘(𝐹‘𝑛))) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(𝐻 ∘ 𝐹)))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑛,𝑥,𝐴   𝑗,𝐹,𝑘,𝑛,𝑥   𝑗,𝐻,𝑘,𝑛,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑛,𝑥

Proof of Theorem caucvgrlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgrlem2.5	. . 3 ⊢ 𝐻:ℂ⟶ℝ
2		caucvgr.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
3		fcompt 7152	. . 3 ⊢ ((𝐻:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (𝐻 ∘ 𝐹) = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ (𝐻‘(𝐹‘𝑛))))
4	1, 2, 3	sylancr 587	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹) = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ (𝐻‘(𝐹‘𝑛))))
5		caucvgr.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
6		fco 6759	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (𝐻 ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
7	1, 2, 6	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
8		caucvgr.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
9		caucvgr.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝐴 ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
10	2	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
11		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → 𝑘 ∈ 𝐴)
12	10, 11	ffvelcdmd 7104	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
13		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → 𝑗 ∈ 𝐴)
14	10, 13	ffvelcdmd 7104	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ)
15		caucvgrlem2.6	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) → (abs‘((𝐻‘(𝐹‘𝑘)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑗)))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))))
16	12, 14, 15	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → (abs‘((𝐻‘(𝐹‘𝑘)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑗)))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))))
17	1	ffvelcdmi 7102	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ → (𝐻‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
18	12, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → (𝐻‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
19	1	ffvelcdmi 7102	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ → (𝐻‘(𝐹‘𝑗)) ∈ ℝ)
20	14, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → (𝐻‘(𝐹‘𝑗)) ∈ ℝ)
21	18, 20	resubcld 11692	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → ((𝐻‘(𝐹‘𝑘)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑗))) ∈ ℝ)
22	21	recnd 11290	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → ((𝐻‘(𝐹‘𝑘)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑗))) ∈ ℂ)
23	22	abscld 15476	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → (abs‘((𝐻‘(𝐹‘𝑘)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑗)))) ∈ ℝ)
24	12, 14	subcld 11621	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗)) ∈ ℂ)
25	24	abscld 15476	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) ∈ ℝ)
26		rpre 13044	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ)
27	26	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ)
28		lelttr 11352	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((abs‘((𝐻‘(𝐹‘𝑘)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑗)))) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((abs‘((𝐻‘(𝐹‘𝑘)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑗)))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → (abs‘((𝐻‘(𝐹‘𝑘)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑗)))) < 𝑥))
29	23, 25, 27, 28	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → (((abs‘((𝐻‘(𝐹‘𝑘)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑗)))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → (abs‘((𝐻‘(𝐹‘𝑘)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑗)))) < 𝑥))
30	16, 29	mpand 695	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥 → (abs‘((𝐻‘(𝐹‘𝑘)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑗)))) < 𝑥))
31		fvco3 7007	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑘) = (𝐻‘(𝐹‘𝑘)))
32	10, 11, 31	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑘) = (𝐻‘(𝐹‘𝑘)))
33		fvco3 7007	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑗) = (𝐻‘(𝐹‘𝑗)))
34	10, 13, 33	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑗) = (𝐻‘(𝐹‘𝑗)))
35	32, 34	oveq12d 7450	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → (((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑘) − ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑗)) = ((𝐻‘(𝐹‘𝑘)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑗))))
36	35	fveq2d 6909	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → (abs‘(((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑘) − ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑗))) = (abs‘((𝐻‘(𝐹‘𝑘)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑗)))))
37	36	breq1d 5152	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → ((abs‘(((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑘) − ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑗))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐻‘(𝐹‘𝑘)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑗)))) < 𝑥))
38	30, 37	sylibrd 259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥 → (abs‘(((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑘) − ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑗))) < 𝑥))
39	38	imim2d 57	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → ((𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘(((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑘) − ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑗))) < 𝑥)))
40	39	anassrs 467	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘(((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑘) − ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑗))) < 𝑥)))
41	40	ralimdva 3166	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘(((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑘) − ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑗))) < 𝑥)))
42	41	reximdva 3167	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ 𝐴 ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → ∃𝑗 ∈ 𝐴 ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘(((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑘) − ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑗))) < 𝑥)))
43	42	ralimdva 3166	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝐴 ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝐴 ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘(((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑘) − ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑗))) < 𝑥)))
44	9, 43	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝐴 ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘(((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑘) − ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑗))) < 𝑥))
45	5, 7, 8, 44	caurcvgr 15711	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹) ⇝𝑟 (lim sup‘(𝐻 ∘ 𝐹)))
46		rlimrel 15530	. . . . 5 ⊢ Rel ⇝𝑟
47	46	releldmi 5958	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∘ 𝐹) ⇝𝑟 (lim sup‘(𝐻 ∘ 𝐹)) → (𝐻 ∘ 𝐹) ∈ dom ⇝𝑟 )
48	45, 47	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹) ∈ dom ⇝𝑟 )
49		ax-resscn 11213	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
50		fss 6751	. . . . 5 ⊢ (((𝐻 ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝐻 ∘ 𝐹):𝐴⟶ℂ)
51	7, 49, 50	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹):𝐴⟶ℂ)
52	51, 8	rlimdm 15588	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 ∘ 𝐹) ∈ dom ⇝𝑟 ↔ (𝐻 ∘ 𝐹) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(𝐻 ∘ 𝐹))))
53	48, 52	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(𝐻 ∘ 𝐹)))
54	4, 53	eqbrtrrd 5166	1 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ (𝐻‘(𝐹‘𝑛))) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(𝐻 ∘ 𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∀wral 3060  ∃wrex 3069   ⊆ wss 3950   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5224  dom cdm 5684   ∘ ccom 5688  ⟶wf 6556  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  supcsup 9481  ℂcc 11154  ℝcr 11155  +∞cpnf 11293  ℝ^*cxr 11295   < clt 11296   ≤ cle 11297   − cmin 11493  ℝ⁺crp 13035  abscabs 15274  lim supclsp 15507   ⇝_𝑟 crli 15522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-pm 8870  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-sup 9483  df-inf 9484  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-ico 13394  df-seq 14044  df-exp 14104  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-limsup 15508  df-rlim 15526

This theorem is referenced by:  caucvgr  15713