Theorem caucvgrlem2 15708

Description: Lemma for caucvgr 15709. (Contributed by NM, 4-Apr-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 8-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgr.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
caucvgr.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
caucvgr.3	⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
caucvgr.4	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝐴 ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
caucvgrlem2.5	⊢ 𝐻:ℂ⟶ℝ
caucvgrlem2.6	⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) → (abs‘((𝐻‘(𝐹‘𝑘)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑗)))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))))

Assertion

Ref	Expression
caucvgrlem2	⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ (𝐻‘(𝐹‘𝑛))) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(𝐻 ∘ 𝐹)))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑛,𝑥,𝐴   𝑗,𝐹,𝑘,𝑛,𝑥   𝑗,𝐻,𝑘,𝑛,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑛,𝑥

Proof of Theorem caucvgrlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgrlem2.5	. . 3 ⊢ 𝐻:ℂ⟶ℝ
2		caucvgr.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
3		fcompt 7153	. . 3 ⊢ ((𝐻:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (𝐻 ∘ 𝐹) = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ (𝐻‘(𝐹‘𝑛))))
4	1, 2, 3	sylancr 587	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹) = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ (𝐻‘(𝐹‘𝑛))))
5		caucvgr.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
6		fco 6761	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (𝐻 ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
7	1, 2, 6	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
8		caucvgr.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
9		caucvgr.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝐴 ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
10	2	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
11		simprr 773	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → 𝑘 ∈ 𝐴)
12	10, 11	ffvelcdmd 7105	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
13		simprl 771	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → 𝑗 ∈ 𝐴)
14	10, 13	ffvelcdmd 7105	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ)
15		caucvgrlem2.6	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) → (abs‘((𝐻‘(𝐹‘𝑘)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑗)))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))))
16	12, 14, 15	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → (abs‘((𝐻‘(𝐹‘𝑘)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑗)))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))))
17	1	ffvelcdmi 7103	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ → (𝐻‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
18	12, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → (𝐻‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
19	1	ffvelcdmi 7103	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ → (𝐻‘(𝐹‘𝑗)) ∈ ℝ)
20	14, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → (𝐻‘(𝐹‘𝑗)) ∈ ℝ)
21	18, 20	resubcld 11689	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → ((𝐻‘(𝐹‘𝑘)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑗))) ∈ ℝ)
22	21	recnd 11287	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → ((𝐻‘(𝐹‘𝑘)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑗))) ∈ ℂ)
23	22	abscld 15472	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → (abs‘((𝐻‘(𝐹‘𝑘)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑗)))) ∈ ℝ)
24	12, 14	subcld 11618	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗)) ∈ ℂ)
25	24	abscld 15472	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) ∈ ℝ)
26		rpre 13041	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ)
27	26	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ)
28		lelttr 11349	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((abs‘((𝐻‘(𝐹‘𝑘)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑗)))) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((abs‘((𝐻‘(𝐹‘𝑘)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑗)))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → (abs‘((𝐻‘(𝐹‘𝑘)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑗)))) < 𝑥))
29	23, 25, 27, 28	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → (((abs‘((𝐻‘(𝐹‘𝑘)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑗)))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → (abs‘((𝐻‘(𝐹‘𝑘)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑗)))) < 𝑥))
30	16, 29	mpand 695	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥 → (abs‘((𝐻‘(𝐹‘𝑘)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑗)))) < 𝑥))
31		fvco3 7008	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑘) = (𝐻‘(𝐹‘𝑘)))
32	10, 11, 31	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑘) = (𝐻‘(𝐹‘𝑘)))
33		fvco3 7008	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑗) = (𝐻‘(𝐹‘𝑗)))
34	10, 13, 33	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑗) = (𝐻‘(𝐹‘𝑗)))
35	32, 34	oveq12d 7449	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → (((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑘) − ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑗)) = ((𝐻‘(𝐹‘𝑘)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑗))))
36	35	fveq2d 6911	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → (abs‘(((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑘) − ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑗))) = (abs‘((𝐻‘(𝐹‘𝑘)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑗)))))
37	36	breq1d 5158	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → ((abs‘(((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑘) − ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑗))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐻‘(𝐹‘𝑘)) − (𝐻‘(𝐹‘𝑗)))) < 𝑥))
38	30, 37	sylibrd 259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥 → (abs‘(((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑘) − ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑗))) < 𝑥))
39	38	imim2d 57	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)) → ((𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘(((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑘) − ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑗))) < 𝑥)))
40	39	anassrs 467	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘(((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑘) − ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑗))) < 𝑥)))
41	40	ralimdva 3165	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘(((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑘) − ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑗))) < 𝑥)))
42	41	reximdva 3166	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ 𝐴 ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → ∃𝑗 ∈ 𝐴 ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘(((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑘) − ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑗))) < 𝑥)))
43	42	ralimdva 3165	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝐴 ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝐴 ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘(((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑘) − ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑗))) < 𝑥)))
44	9, 43	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝐴 ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘(((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑘) − ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑗))) < 𝑥))
45	5, 7, 8, 44	caurcvgr 15707	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹) ⇝𝑟 (lim sup‘(𝐻 ∘ 𝐹)))
46		rlimrel 15526	. . . . 5 ⊢ Rel ⇝𝑟
47	46	releldmi 5962	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∘ 𝐹) ⇝𝑟 (lim sup‘(𝐻 ∘ 𝐹)) → (𝐻 ∘ 𝐹) ∈ dom ⇝𝑟 )
48	45, 47	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹) ∈ dom ⇝𝑟 )
49		ax-resscn 11210	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
50		fss 6753	. . . . 5 ⊢ (((𝐻 ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝐻 ∘ 𝐹):𝐴⟶ℂ)
51	7, 49, 50	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹):𝐴⟶ℂ)
52	51, 8	rlimdm 15584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 ∘ 𝐹) ∈ dom ⇝𝑟 ↔ (𝐻 ∘ 𝐹) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(𝐻 ∘ 𝐹))))
53	48, 52	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(𝐻 ∘ 𝐹)))
54	4, 53	eqbrtrrd 5172	1 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ (𝐻‘(𝐹‘𝑛))) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(𝐻 ∘ 𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  ∃wrex 3068   ⊆ wss 3963   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5689   ∘ ccom 5693  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  supcsup 9478  ℂcc 11151  ℝcr 11152  +∞cpnf 11290  ℝ^*cxr 11292   < clt 11293   ≤ cle 11294   − cmin 11490  ℝ⁺crp 13032  abscabs 15270  lim supclsp 15503   ⇝_𝑟 crli 15518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-ico 13390  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-rlim 15522

This theorem is referenced by:  caucvgr  15709