Theorem setc1ohomfval 49191

Description: Set of morphisms of the trivial category. (Contributed by Zhi Wang, 22-Oct-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
funcsetc1o.1	⊢ 1 = (SetCat‘1o)

Assertion

Ref	Expression
setc1ohomfval	⊢ {⟨∅, ∅, 1o⟩} = (Hom ‘ 1 )

Proof of Theorem setc1ohomfval

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ot 4615	. . 3 ⊢ ⟨∅, ∅, 1o⟩ = ⟨⟨∅, ∅⟩, 1o⟩
2	1	sneqi 4617	. 2 ⊢ {⟨∅, ∅, 1o⟩} = {⟨⟨∅, ∅⟩, 1o⟩}
3		0ex 5287	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
4		1oex 8498	. . 3 ⊢ 1o ∈ V
5		funcsetc1o.1	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (SetCat‘1o)
6		df1o2 8495	. . . . . . . 8 ⊢ 1o = {∅}
7	6	fveq2i 6889	. . . . . . 7 ⊢ (SetCat‘1o) = (SetCat‘{∅})
8	5, 7	eqtri 2757	. . . . . 6 ⊢ 1 = (SetCat‘{∅})
9		p0ex 5364	. . . . . . 7 ⊢ {∅} ∈ V
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → {∅} ∈ V)
11		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (Hom ‘ 1 ) = (Hom ‘ 1 )
12	8, 10, 11	setchomfval 18096	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (Hom ‘ 1 ) = (𝑥 ∈ {∅}, 𝑦 ∈ {∅} ↦ (𝑦 ↑m 𝑥)))
13	12	mptru 1546	. . . 4 ⊢ (Hom ‘ 1 ) = (𝑥 ∈ {∅}, 𝑦 ∈ {∅} ↦ (𝑦 ↑m 𝑥))
14		oveq2 7421	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑦 ↑m 𝑥) = (𝑦 ↑m ∅))
15		oveq1 7420	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑦 ↑m ∅) = (∅ ↑m ∅))
16		0map0sn0 8907	. . . . . 6 ⊢ (∅ ↑m ∅) = {∅}
17	16, 6	eqtr4i 2760	. . . . 5 ⊢ (∅ ↑m ∅) = 1o
18	15, 17	eqtrdi 2785	. . . 4 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑦 ↑m ∅) = 1o)
19	13, 14, 18	mposn 8110	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ ∅ ∈ V ∧ 1o ∈ V) → (Hom ‘ 1 ) = {⟨⟨∅, ∅⟩, 1o⟩})
20	3, 3, 4, 19	mp3an 1462	. 2 ⊢ (Hom ‘ 1 ) = {⟨⟨∅, ∅⟩, 1o⟩}
21	2, 20	eqtr4i 2760	1 ⊢ {⟨∅, ∅, 1o⟩} = (Hom ‘ 1 )

Syntax hints:   = wceq 1539  ⊤wtru 1540   ∈ wcel 2107  Vcvv 3463  ∅c0 4313  {csn 4606  ⟨cop 4612  ⟨cotp 4614  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413   ∈ cmpo 7415  1_oc1o 8481   ↑_m cmap 8848  Hom chom 17285  SetCatcsetc 18092

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-ot 4615  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-er 8727  df-map 8850  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-fin 8971  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12510  df-z 12597  df-dec 12717  df-uz 12861  df-fz 13530  df-struct 17167  df-slot 17202  df-ndx 17214  df-base 17231  df-hom 17298  df-cco 17299  df-setc 18093

This theorem is referenced by:  isinito2lem  49196  isinito3  49198