Theorem setc1ohomfval 49498

Description: Set of morphisms of the trivial category. (Contributed by Zhi Wang, 22-Oct-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
funcsetc1o.1	⊢ 1 = (SetCat‘1o)

Assertion

Ref	Expression
setc1ohomfval	⊢ {⟨∅, ∅, 1o⟩} = (Hom ‘ 1 )

Proof of Theorem setc1ohomfval

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ot 4588	. . 3 ⊢ ⟨∅, ∅, 1o⟩ = ⟨⟨∅, ∅⟩, 1o⟩
2	1	sneqi 4590	. 2 ⊢ {⟨∅, ∅, 1o⟩} = {⟨⟨∅, ∅⟩, 1o⟩}
3		0ex 5249	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
4		1oex 8405	. . 3 ⊢ 1o ∈ V
5		funcsetc1o.1	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (SetCat‘1o)
6		df1o2 8402	. . . . . . . 8 ⊢ 1o = {∅}
7	6	fveq2i 6829	. . . . . . 7 ⊢ (SetCat‘1o) = (SetCat‘{∅})
8	5, 7	eqtri 2752	. . . . . 6 ⊢ 1 = (SetCat‘{∅})
9		p0ex 5326	. . . . . . 7 ⊢ {∅} ∈ V
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → {∅} ∈ V)
11		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Hom ‘ 1 ) = (Hom ‘ 1 )
12	8, 10, 11	setchomfval 18005	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (Hom ‘ 1 ) = (𝑥 ∈ {∅}, 𝑦 ∈ {∅} ↦ (𝑦 ↑m 𝑥)))
13	12	mptru 1547	. . . 4 ⊢ (Hom ‘ 1 ) = (𝑥 ∈ {∅}, 𝑦 ∈ {∅} ↦ (𝑦 ↑m 𝑥))
14		oveq2 7361	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑦 ↑m 𝑥) = (𝑦 ↑m ∅))
15		oveq1 7360	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑦 ↑m ∅) = (∅ ↑m ∅))
16		0map0sn0 8819	. . . . . 6 ⊢ (∅ ↑m ∅) = {∅}
17	16, 6	eqtr4i 2755	. . . . 5 ⊢ (∅ ↑m ∅) = 1o
18	15, 17	eqtrdi 2780	. . . 4 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑦 ↑m ∅) = 1o)
19	13, 14, 18	mposn 8043	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ ∅ ∈ V ∧ 1o ∈ V) → (Hom ‘ 1 ) = {⟨⟨∅, ∅⟩, 1o⟩})
20	3, 3, 4, 19	mp3an 1463	. 2 ⊢ (Hom ‘ 1 ) = {⟨⟨∅, ∅⟩, 1o⟩}
21	2, 20	eqtr4i 2755	1 ⊢ {⟨∅, ∅, 1o⟩} = (Hom ‘ 1 )

Syntax hints:   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2109  Vcvv 3438  ∅c0 4286  {csn 4579  ⟨cop 4585  ⟨cotp 4587  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353   ∈ cmpo 7355  1_oc1o 8388   ↑_m cmap 8760  Hom chom 17191  SetCatcsetc 18001

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-ot 4588  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-map 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12611  df-uz 12755  df-fz 13430  df-struct 17077  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17140  df-hom 17204  df-cco 17205  df-setc 18002

This theorem is referenced by:  isinito2lem  49503  isinito3  49505  setc1onsubc  49607