Theorem setc1ohomfval 50735

Description: Set of morphisms of the trivial category. (Contributed by Zhi Wang, 22-Oct-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
funcsetc1o.1	⊢ 1 = (SetCat‘1o)

Assertion

Ref	Expression
setc1ohomfval	⊢ {⟨∅, ∅, 1o⟩} = (Hom ‘ 1 )

Proof of Theorem setc1ohomfval

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ot 4858	. . 3 ⊢ ⟨∅, ∅, 1o⟩ = ⟨⟨∅, ∅⟩, 1o⟩
2	1	sneqi 4591	. 2 ⊢ {⟨∅, ∅, 1o⟩} = {⟨⟨∅, ∅⟩, 1o⟩}
3		0ex 5260	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
4		1oex 8491	. . 3 ⊢ 1o ∈ V
5		funcsetc1o.1	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (SetCat‘1o)
6		df1o2 8488	. . . . . . . 8 ⊢ 1o = {∅}
7	6	fveq2i 6891	. . . . . . 7 ⊢ (SetCat‘1o) = (SetCat‘{∅})
8	5, 7	eqtri 2783	. . . . . 6 ⊢ 1 = (SetCat‘{∅})
9		p0ex 5345	. . . . . . 7 ⊢ {∅} ∈ V
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → {∅} ∈ V)
11		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Hom ‘ 1 ) = (Hom ‘ 1 )
12	8, 10, 11	setchomfval 18261	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (Hom ‘ 1 ) = (𝑥 ∈ {∅}, 𝑦 ∈ {∅} ↦ (𝑦 ↑m 𝑥)))
13	12	mptru 1576	. . . 4 ⊢ (Hom ‘ 1 ) = (𝑥 ∈ {∅}, 𝑦 ∈ {∅} ↦ (𝑦 ↑m 𝑥))
14		oveq2 7430	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑦 ↑m 𝑥) = (𝑦 ↑m ∅))
15		oveq1 7429	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑦 ↑m ∅) = (∅ ↑m ∅))
16		0map0sn0 8918	. . . . . 6 ⊢ (∅ ↑m ∅) = {∅}
17	16, 6	eqtr4i 2786	. . . . 5 ⊢ (∅ ↑m ∅) = 1o
18	15, 17	eqtrdi 2811	. . . 4 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑦 ↑m ∅) = 1o)
19	13, 14, 18	mposn 8118	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ ∅ ∈ V ∧ 1o ∈ V) → (Hom ‘ 1 ) = {⟨⟨∅, ∅⟩, 1o⟩})
20	3, 3, 4, 19	mp3an 1490	. 2 ⊢ (Hom ‘ 1 ) = {⟨⟨∅, ∅⟩, 1o⟩}
21	2, 20	eqtr4i 2786	1 ⊢ {⟨∅, ∅, 1o⟩} = (Hom ‘ 1 )

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569  ⊤wtru 1570   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  ∅c0 4277  {csn 4584  ⟨cop 4834  ⟨cotp 4857  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422   ∈ cmpo 7424  1_oc1o 8474   ↑_m cmap 8852  Hom chom 17446  SetCatcsetc 18257

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-ot 4858  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-1o 8481  df-er 8722  df-map 8854  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-nn 12341  df-2 12410  df-3 12411  df-4 12412  df-5 12413  df-6 12414  df-7 12415  df-8 12416  df-9 12417  df-n0 12612  df-z 12699  df-dec 12820  df-uz 12971  df-fz 13645  df-struct 17332  df-slot 17367  df-ndx 17379  df-base 17395  df-hom 17459  df-cco 17460  df-setc 18258

This theorem is used by:  isinito2lem  50740  isinito3  50742  setc1onsubc  50847