Theorem setc1ohomfval 49455

Description: Set of morphisms of the trivial category. (Contributed by Zhi Wang, 22-Oct-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
funcsetc1o.1	⊢ 1 = (SetCat‘1o)

Assertion

Ref	Expression
setc1ohomfval	⊢ {⟨∅, ∅, 1o⟩} = (Hom ‘ 1 )

Proof of Theorem setc1ohomfval

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ot 4594	. . 3 ⊢ ⟨∅, ∅, 1o⟩ = ⟨⟨∅, ∅⟩, 1o⟩
2	1	sneqi 4596	. 2 ⊢ {⟨∅, ∅, 1o⟩} = {⟨⟨∅, ∅⟩, 1o⟩}
3		0ex 5257	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
4		1oex 8421	. . 3 ⊢ 1o ∈ V
5		funcsetc1o.1	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (SetCat‘1o)
6		df1o2 8418	. . . . . . . 8 ⊢ 1o = {∅}
7	6	fveq2i 6843	. . . . . . 7 ⊢ (SetCat‘1o) = (SetCat‘{∅})
8	5, 7	eqtri 2752	. . . . . 6 ⊢ 1 = (SetCat‘{∅})
9		p0ex 5334	. . . . . . 7 ⊢ {∅} ∈ V
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → {∅} ∈ V)
11		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Hom ‘ 1 ) = (Hom ‘ 1 )
12	8, 10, 11	setchomfval 18017	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (Hom ‘ 1 ) = (𝑥 ∈ {∅}, 𝑦 ∈ {∅} ↦ (𝑦 ↑m 𝑥)))
13	12	mptru 1547	. . . 4 ⊢ (Hom ‘ 1 ) = (𝑥 ∈ {∅}, 𝑦 ∈ {∅} ↦ (𝑦 ↑m 𝑥))
14		oveq2 7377	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑦 ↑m 𝑥) = (𝑦 ↑m ∅))
15		oveq1 7376	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑦 ↑m ∅) = (∅ ↑m ∅))
16		0map0sn0 8835	. . . . . 6 ⊢ (∅ ↑m ∅) = {∅}
17	16, 6	eqtr4i 2755	. . . . 5 ⊢ (∅ ↑m ∅) = 1o
18	15, 17	eqtrdi 2780	. . . 4 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑦 ↑m ∅) = 1o)
19	13, 14, 18	mposn 8059	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ ∅ ∈ V ∧ 1o ∈ V) → (Hom ‘ 1 ) = {⟨⟨∅, ∅⟩, 1o⟩})
20	3, 3, 4, 19	mp3an 1463	. 2 ⊢ (Hom ‘ 1 ) = {⟨⟨∅, ∅⟩, 1o⟩}
21	2, 20	eqtr4i 2755	1 ⊢ {⟨∅, ∅, 1o⟩} = (Hom ‘ 1 )

Syntax hints:   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444  ∅c0 4292  {csn 4585  ⟨cop 4591  ⟨cotp 4593  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ∈ cmpo 7371  1_oc1o 8404   ↑_m cmap 8776  Hom chom 17207  SetCatcsetc 18013

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-ot 4594  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-fz 13445  df-struct 17093  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-hom 17220  df-cco 17221  df-setc 18014

This theorem is referenced by:  isinito2lem  49460  isinito3  49462  setc1onsubc  49564