Theorem sraassa 21923

Description: The subring algebra over a commutative ring is an associative algebra. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Proof shortened by SN, 21-Mar-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
sraassa.a	⊢ 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
sraassa	⊢ ((𝑊 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → 𝐴 ∈ AssAlg)

Proof of Theorem sraassa

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2764	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2	1	subrgss 20624	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
3	2	adantl 485	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
4		eqid 2764	. . . . 5 ⊢ (Cntr‘(mulGrp‘𝑊)) = (Cntr‘(mulGrp‘𝑊))
5	1, 4	crngbascntr 20308	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ CRing → (Base‘𝑊) = (Cntr‘(mulGrp‘𝑊)))
6	5	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → (Base‘𝑊) = (Cntr‘(mulGrp‘𝑊)))
7	3, 6	sseqtrd 3974	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → 𝑆 ⊆ (Cntr‘(mulGrp‘𝑊)))
8		sraassa.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆)
9		crngring 20297	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ CRing → 𝑊 ∈ Ring)
10	9	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → 𝑊 ∈ Ring)
11		simpr 488	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊))
12	8, 4, 10, 11	sraassab 21922	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → (𝐴 ∈ AssAlg ↔ 𝑆 ⊆ (Cntr‘(mulGrp‘𝑊))))
13	7, 12	mpbird 259	1 ⊢ ((𝑊 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → 𝐴 ∈ AssAlg)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1562   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3906  ‘cfv 6523  Basecbs 17247  Cntrccntr 19358  mulGrpcmgp 20188  Ringcrg 20285  CRingccrg 20286  SubRingcsubrg 20621  subringAlg csra 21240  AssAlgcasa 21904

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17248  df-ress 17269  df-plusg 17301  df-mulr 17302  df-sca 17304  df-vsca 17305  df-ip 17306  df-0g 17472  df-mgm 18676  df-sgrp 18755  df-mnd 18771  df-grp 18980  df-subg 19167  df-cntz 19359  df-cntr 19360  df-cmn 19824  df-mgp 20189  df-ur 20234  df-ring 20287  df-cring 20288  df-subrg 20622  df-lmod 20931  df-sra 21242  df-assa 21907

This theorem is referenced by:  rlmassa  21924  fldextrspunfld  33975