Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  srhmsubclem3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem srhmsubclem3 46926
Description: Lemma 3 for srhmsubc 46927. (Contributed by AV, 19-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
srhmsubc.s βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑆 π‘Ÿ ∈ Ring
srhmsubc.c 𝐢 = (π‘ˆ ∩ 𝑆)
srhmsubc.j 𝐽 = (π‘Ÿ ∈ 𝐢, 𝑠 ∈ 𝐢 ↦ (π‘Ÿ RingHom 𝑠))
Assertion
Ref Expression
srhmsubclem3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ (π‘‹π½π‘Œ) = (𝑋(Hom β€˜(RingCatβ€˜π‘ˆ))π‘Œ))
Distinct variable groups:   𝑆,π‘Ÿ   𝑋,π‘Ÿ   𝐢,π‘Ÿ,𝑠   π‘ˆ,π‘Ÿ,𝑠   𝑉,π‘Ÿ,𝑠   𝑋,𝑠   π‘Œ,π‘Ÿ,𝑠
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑠)   𝐽(𝑠,π‘Ÿ)
Proof of Theorem srhmsubclem3
StepHypRef Expression
1 srhmsubc.j . . . 4 𝐽 = (π‘Ÿ ∈ 𝐢, 𝑠 ∈ 𝐢 ↦ (π‘Ÿ RingHom 𝑠))
21a1i 11 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ 𝐽 = (π‘Ÿ ∈ 𝐢, 𝑠 ∈ 𝐢 ↦ (π‘Ÿ RingHom 𝑠)))
3 oveq12 7414 . . . 4 ((π‘Ÿ = 𝑋 ∧ 𝑠 = π‘Œ) β†’ (π‘Ÿ RingHom 𝑠) = (𝑋 RingHom π‘Œ))
43adantl 482 . . 3 (((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) ∧ (π‘Ÿ = 𝑋 ∧ 𝑠 = π‘Œ)) β†’ (π‘Ÿ RingHom 𝑠) = (𝑋 RingHom π‘Œ))
5 simpl 483 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) β†’ 𝑋 ∈ 𝐢)
65adantl 482 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐢)
7 simpr 485 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) β†’ π‘Œ ∈ 𝐢)
87adantl 482 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐢)
9 ovexd 7440 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ (𝑋 RingHom π‘Œ) ∈ V)
102, 4, 6, 8, 9ovmpod 7556 . 2 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ (π‘‹π½π‘Œ) = (𝑋 RingHom π‘Œ))
11 eqid 2732 . . 3 (RingCatβ€˜π‘ˆ) = (RingCatβ€˜π‘ˆ)
12 eqid 2732 . . 3 (Baseβ€˜(RingCatβ€˜π‘ˆ)) = (Baseβ€˜(RingCatβ€˜π‘ˆ))
13 simpl 483 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
14 eqid 2732 . . 3 (Hom β€˜(RingCatβ€˜π‘ˆ)) = (Hom β€˜(RingCatβ€˜π‘ˆ))
15 srhmsubc.s . . . . 5 βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑆 π‘Ÿ ∈ Ring
16 srhmsubc.c . . . . 5 𝐢 = (π‘ˆ ∩ 𝑆)
1715, 16srhmsubclem2 46925 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜(RingCatβ€˜π‘ˆ)))
185, 17sylan2 593 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜(RingCatβ€˜π‘ˆ)))
1915, 16srhmsubclem2 46925 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜(RingCatβ€˜π‘ˆ)))
207, 19sylan2 593 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜(RingCatβ€˜π‘ˆ)))
2111, 12, 13, 14, 18, 20ringchom 46864 . 2 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ (𝑋(Hom β€˜(RingCatβ€˜π‘ˆ))π‘Œ) = (𝑋 RingHom π‘Œ))
2210, 21eqtr4d 2775 1 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ (π‘‹π½π‘Œ) = (𝑋(Hom β€˜(RingCatβ€˜π‘ˆ))π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   ∩ cin 3946  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  Basecbs 17140  Hom chom 17204  Ringcrg 20049   RingHom crh 20240  RingCatcringc 46854
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-resc 17754  df-estrc 18070  df-mhm 18667  df-ghm 19084  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-rnghom 20243  df-ringc 46856
This theorem is referenced by:  srhmsubc  46927
  Copyright terms: Public domain W3C validator