Theorem srhmsubclem3 20731

Description: Lemma 3 for srhmsubc 20732. (Contributed by AV, 19-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
srhmsubc.s	⊢ ∀𝑟 ∈ 𝑆 𝑟 ∈ Ring
srhmsubc.c	⊢ 𝐶 = (𝑈 ∩ 𝑆)
srhmsubc.j	⊢ 𝐽 = (𝑟 ∈ 𝐶, 𝑠 ∈ 𝐶 ↦ (𝑟 RingHom 𝑠))

Assertion

Ref	Expression
srhmsubclem3	⊢ ((𝑈 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑋𝐽𝑌) = (𝑋(Hom ‘(RingCat‘𝑈))𝑌))

Distinct variable groups:   𝑆,𝑟   𝑋,𝑟   𝐶,𝑟,𝑠   𝑈,𝑟,𝑠   𝑉,𝑟,𝑠   𝑋,𝑠   𝑌,𝑟,𝑠

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑠)   𝐽(𝑠,𝑟)

Proof of Theorem srhmsubclem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srhmsubc.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (𝑟 ∈ 𝐶, 𝑠 ∈ 𝐶 ↦ (𝑟 RingHom 𝑠))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → 𝐽 = (𝑟 ∈ 𝐶, 𝑠 ∈ 𝐶 ↦ (𝑟 RingHom 𝑠)))
3		oveq12 7407	. . . 4 ⊢ ((𝑟 = 𝑋 ∧ 𝑠 = 𝑌) → (𝑟 RingHom 𝑠) = (𝑋 RingHom 𝑌))
4	3	adantl 485	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) ∧ (𝑟 = 𝑋 ∧ 𝑠 = 𝑌)) → (𝑟 RingHom 𝑠) = (𝑋 RingHom 𝑌))
5		simpl 486	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → 𝑋 ∈ 𝐶)
6	5	adantl 485	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → 𝑋 ∈ 𝐶)
7		simpr 488	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → 𝑌 ∈ 𝐶)
8	7	adantl 485	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → 𝑌 ∈ 𝐶)
9		ovexd 7433	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑋 RingHom 𝑌) ∈ V)
10	2, 4, 6, 8, 9	ovmpod 7550	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑋𝐽𝑌) = (𝑋 RingHom 𝑌))
11		eqid 2764	. . 3 ⊢ (RingCat‘𝑈) = (RingCat‘𝑈)
12		eqid 2764	. . 3 ⊢ (Base‘(RingCat‘𝑈)) = (Base‘(RingCat‘𝑈))
13		simpl 486	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → 𝑈 ∈ 𝑉)
14		eqid 2764	. . 3 ⊢ (Hom ‘(RingCat‘𝑈)) = (Hom ‘(RingCat‘𝑈))
15		srhmsubc.s	. . . . 5 ⊢ ∀𝑟 ∈ 𝑆 𝑟 ∈ Ring
16		srhmsubc.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝑈 ∩ 𝑆)
17	15, 16	srhmsubclem2 20730	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝑋 ∈ (Base‘(RingCat‘𝑈)))
18	5, 17	sylan2 602	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → 𝑋 ∈ (Base‘(RingCat‘𝑈)))
19	15, 16	srhmsubclem2 20730	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → 𝑌 ∈ (Base‘(RingCat‘𝑈)))
20	7, 19	sylan2 602	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → 𝑌 ∈ (Base‘(RingCat‘𝑈)))
21	11, 12, 13, 14, 18, 20	ringchom 20704	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑋(Hom ‘(RingCat‘𝑈))𝑌) = (𝑋 RingHom 𝑌))
22	10, 21	eqtr4d 2802	1 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑋𝐽𝑌) = (𝑋(Hom ‘(RingCat‘𝑈))𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  ∀wral 3078  Vcvv 3456   ∩ cin 3905  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398   ∈ cmpo 7400  Basecbs 17247  Hom chom 17299  Ringcrg 20285   RingHom crh 20520  RingCatcringc 20697

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-er 8680  df-map 8812  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12484  df-z 12571  df-dec 12691  df-uz 12842  df-fz 13515  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17248  df-ress 17269  df-plusg 17301  df-hom 17312  df-cco 17313  df-0g 17472  df-resc 17846  df-estrc 18157  df-mhm 18819  df-ghm 19256  df-mgp 20189  df-ur 20234  df-ring 20287  df-rhm 20523  df-ringc 20698

This theorem is referenced by:  srhmsubc  20732