MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  srhmsubclem3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem srhmsubclem3 20614
Description: Lemma 3 for srhmsubc 20615. (Contributed by AV, 19-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
srhmsubc.s βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑆 π‘Ÿ ∈ Ring
srhmsubc.c 𝐢 = (π‘ˆ ∩ 𝑆)
srhmsubc.j 𝐽 = (π‘Ÿ ∈ 𝐢, 𝑠 ∈ 𝐢 ↦ (π‘Ÿ RingHom 𝑠))
Assertion
Ref Expression
srhmsubclem3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ (π‘‹π½π‘Œ) = (𝑋(Hom β€˜(RingCatβ€˜π‘ˆ))π‘Œ))
Distinct variable groups:   𝑆,π‘Ÿ   𝑋,π‘Ÿ   𝐢,π‘Ÿ,𝑠   π‘ˆ,π‘Ÿ,𝑠   𝑉,π‘Ÿ,𝑠   𝑋,𝑠   π‘Œ,π‘Ÿ,𝑠
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑠)   𝐽(𝑠,π‘Ÿ)
Proof of Theorem srhmsubclem3
StepHypRef Expression
1 srhmsubc.j . . . 4 𝐽 = (π‘Ÿ ∈ 𝐢, 𝑠 ∈ 𝐢 ↦ (π‘Ÿ RingHom 𝑠))
21a1i 11 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ 𝐽 = (π‘Ÿ ∈ 𝐢, 𝑠 ∈ 𝐢 ↦ (π‘Ÿ RingHom 𝑠)))
3 oveq12 7424 . . . 4 ((π‘Ÿ = 𝑋 ∧ 𝑠 = π‘Œ) β†’ (π‘Ÿ RingHom 𝑠) = (𝑋 RingHom π‘Œ))
43adantl 480 . . 3 (((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) ∧ (π‘Ÿ = 𝑋 ∧ 𝑠 = π‘Œ)) β†’ (π‘Ÿ RingHom 𝑠) = (𝑋 RingHom π‘Œ))
5 simpl 481 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) β†’ 𝑋 ∈ 𝐢)
65adantl 480 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐢)
7 simpr 483 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) β†’ π‘Œ ∈ 𝐢)
87adantl 480 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐢)
9 ovexd 7450 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ (𝑋 RingHom π‘Œ) ∈ V)
102, 4, 6, 8, 9ovmpod 7569 . 2 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ (π‘‹π½π‘Œ) = (𝑋 RingHom π‘Œ))
11 eqid 2725 . . 3 (RingCatβ€˜π‘ˆ) = (RingCatβ€˜π‘ˆ)
12 eqid 2725 . . 3 (Baseβ€˜(RingCatβ€˜π‘ˆ)) = (Baseβ€˜(RingCatβ€˜π‘ˆ))
13 simpl 481 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
14 eqid 2725 . . 3 (Hom β€˜(RingCatβ€˜π‘ˆ)) = (Hom β€˜(RingCatβ€˜π‘ˆ))
15 srhmsubc.s . . . . 5 βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑆 π‘Ÿ ∈ Ring
16 srhmsubc.c . . . . 5 𝐢 = (π‘ˆ ∩ 𝑆)
1715, 16srhmsubclem2 20613 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜(RingCatβ€˜π‘ˆ)))
185, 17sylan2 591 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜(RingCatβ€˜π‘ˆ)))
1915, 16srhmsubclem2 20613 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜(RingCatβ€˜π‘ˆ)))
207, 19sylan2 591 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜(RingCatβ€˜π‘ˆ)))
2111, 12, 13, 14, 18, 20ringchom 20587 . 2 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ (𝑋(Hom β€˜(RingCatβ€˜π‘ˆ))π‘Œ) = (𝑋 RingHom π‘Œ))
2210, 21eqtr4d 2768 1 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ (π‘‹π½π‘Œ) = (𝑋(Hom β€˜(RingCatβ€˜π‘ˆ))π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  Vcvv 3463   ∩ cin 3939  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415   ∈ cmpo 7417  Basecbs 17177  Hom chom 17241  Ringcrg 20175   RingHom crh 20410  RingCatcringc 20580
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-fz 13515  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-hom 17254  df-cco 17255  df-0g 17420  df-resc 17791  df-estrc 18110  df-mhm 18737  df-ghm 19170  df-mgp 20077  df-ur 20124  df-ring 20177  df-rhm 20413  df-ringc 20581
This theorem is referenced by:  srhmsubc  20615
  Copyright terms: Public domain W3C validator