Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  srhmsubclem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem srhmsubclem3 46344
Description: Lemma 3 for srhmsubc 46345. (Contributed by AV, 19-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
srhmsubc.s 𝑟𝑆 𝑟 ∈ Ring
srhmsubc.c 𝐶 = (𝑈𝑆)
srhmsubc.j 𝐽 = (𝑟𝐶, 𝑠𝐶 ↦ (𝑟 RingHom 𝑠))
Assertion
Ref Expression
srhmsubclem3 ((𝑈𝑉 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → (𝑋𝐽𝑌) = (𝑋(Hom ‘(RingCat‘𝑈))𝑌))
Distinct variable groups:   𝑆,𝑟   𝑋,𝑟   𝐶,𝑟,𝑠   𝑈,𝑟,𝑠   𝑉,𝑟,𝑠   𝑋,𝑠   𝑌,𝑟,𝑠
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑠)   𝐽(𝑠,𝑟)

Proof of Theorem srhmsubclem3
StepHypRef Expression
1 srhmsubc.j . . . 4 𝐽 = (𝑟𝐶, 𝑠𝐶 ↦ (𝑟 RingHom 𝑠))
21a1i 11 . . 3 ((𝑈𝑉 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → 𝐽 = (𝑟𝐶, 𝑠𝐶 ↦ (𝑟 RingHom 𝑠)))
3 oveq12 7365 . . . 4 ((𝑟 = 𝑋𝑠 = 𝑌) → (𝑟 RingHom 𝑠) = (𝑋 RingHom 𝑌))
43adantl 482 . . 3 (((𝑈𝑉 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) ∧ (𝑟 = 𝑋𝑠 = 𝑌)) → (𝑟 RingHom 𝑠) = (𝑋 RingHom 𝑌))
5 simpl 483 . . . 4 ((𝑋𝐶𝑌𝐶) → 𝑋𝐶)
65adantl 482 . . 3 ((𝑈𝑉 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → 𝑋𝐶)
7 simpr 485 . . . 4 ((𝑋𝐶𝑌𝐶) → 𝑌𝐶)
87adantl 482 . . 3 ((𝑈𝑉 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → 𝑌𝐶)
9 ovexd 7391 . . 3 ((𝑈𝑉 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → (𝑋 RingHom 𝑌) ∈ V)
102, 4, 6, 8, 9ovmpod 7506 . 2 ((𝑈𝑉 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → (𝑋𝐽𝑌) = (𝑋 RingHom 𝑌))
11 eqid 2736 . . 3 (RingCat‘𝑈) = (RingCat‘𝑈)
12 eqid 2736 . . 3 (Base‘(RingCat‘𝑈)) = (Base‘(RingCat‘𝑈))
13 simpl 483 . . 3 ((𝑈𝑉 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → 𝑈𝑉)
14 eqid 2736 . . 3 (Hom ‘(RingCat‘𝑈)) = (Hom ‘(RingCat‘𝑈))
15 srhmsubc.s . . . . 5 𝑟𝑆 𝑟 ∈ Ring
16 srhmsubc.c . . . . 5 𝐶 = (𝑈𝑆)
1715, 16srhmsubclem2 46343 . . . 4 ((𝑈𝑉𝑋𝐶) → 𝑋 ∈ (Base‘(RingCat‘𝑈)))
185, 17sylan2 593 . . 3 ((𝑈𝑉 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → 𝑋 ∈ (Base‘(RingCat‘𝑈)))
1915, 16srhmsubclem2 46343 . . . 4 ((𝑈𝑉𝑌𝐶) → 𝑌 ∈ (Base‘(RingCat‘𝑈)))
207, 19sylan2 593 . . 3 ((𝑈𝑉 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → 𝑌 ∈ (Base‘(RingCat‘𝑈)))
2111, 12, 13, 14, 18, 20ringchom 46282 . 2 ((𝑈𝑉 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → (𝑋(Hom ‘(RingCat‘𝑈))𝑌) = (𝑋 RingHom 𝑌))
2210, 21eqtr4d 2779 1 ((𝑈𝑉 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → (𝑋𝐽𝑌) = (𝑋(Hom ‘(RingCat‘𝑈))𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  Vcvv 3445  cin 3909  cfv 6496  (class class class)co 7356  cmpo 7358  Basecbs 17082  Hom chom 17143  Ringcrg 19962   RingHom crh 20141  RingCatcringc 46272
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-cnex 11106  ax-resscn 11107  ax-1cn 11108  ax-icn 11109  ax-addcl 11110  ax-addrcl 11111  ax-mulcl 11112  ax-mulrcl 11113  ax-mulcom 11114  ax-addass 11115  ax-mulass 11116  ax-distr 11117  ax-i2m1 11118  ax-1ne0 11119  ax-1rid 11120  ax-rnegex 11121  ax-rrecex 11122  ax-cnre 11123  ax-pre-lttri 11124  ax-pre-lttrn 11125  ax-pre-ltadd 11126  ax-pre-mulgt0 11127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7312  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7802  df-1st 7920  df-2nd 7921  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8316  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8647  df-map 8766  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-pnf 11190  df-mnf 11191  df-xr 11192  df-ltxr 11193  df-le 11194  df-sub 11386  df-neg 11387  df-nn 12153  df-2 12215  df-3 12216  df-4 12217  df-5 12218  df-6 12219  df-7 12220  df-8 12221  df-9 12222  df-n0 12413  df-z 12499  df-dec 12618  df-uz 12763  df-fz 13424  df-struct 17018  df-sets 17035  df-slot 17053  df-ndx 17065  df-base 17083  df-ress 17112  df-plusg 17145  df-hom 17156  df-cco 17157  df-0g 17322  df-resc 17693  df-estrc 18009  df-mhm 18600  df-ghm 19004  df-mgp 19895  df-ur 19912  df-ring 19964  df-rnghom 20144  df-ringc 46274
This theorem is referenced by:  srhmsubc  46345
  Copyright terms: Public domain W3C validator