Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  srhmsubclem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem srhmsubclem3 46447
Description: Lemma 3 for srhmsubc 46448. (Contributed by AV, 19-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
srhmsubc.s βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑆 π‘Ÿ ∈ Ring
srhmsubc.c 𝐢 = (π‘ˆ ∩ 𝑆)
srhmsubc.j 𝐽 = (π‘Ÿ ∈ 𝐢, 𝑠 ∈ 𝐢 ↦ (π‘Ÿ RingHom 𝑠))
Assertion
Ref Expression
srhmsubclem3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ (π‘‹π½π‘Œ) = (𝑋(Hom β€˜(RingCatβ€˜π‘ˆ))π‘Œ))
Distinct variable groups:   𝑆,π‘Ÿ   𝑋,π‘Ÿ   𝐢,π‘Ÿ,𝑠   π‘ˆ,π‘Ÿ,𝑠   𝑉,π‘Ÿ,𝑠   𝑋,𝑠   π‘Œ,π‘Ÿ,𝑠
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑠)   𝐽(𝑠,π‘Ÿ)

Proof of Theorem srhmsubclem3
StepHypRef Expression
1 srhmsubc.j . . . 4 𝐽 = (π‘Ÿ ∈ 𝐢, 𝑠 ∈ 𝐢 ↦ (π‘Ÿ RingHom 𝑠))
21a1i 11 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ 𝐽 = (π‘Ÿ ∈ 𝐢, 𝑠 ∈ 𝐢 ↦ (π‘Ÿ RingHom 𝑠)))
3 oveq12 7371 . . . 4 ((π‘Ÿ = 𝑋 ∧ 𝑠 = π‘Œ) β†’ (π‘Ÿ RingHom 𝑠) = (𝑋 RingHom π‘Œ))
43adantl 483 . . 3 (((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) ∧ (π‘Ÿ = 𝑋 ∧ 𝑠 = π‘Œ)) β†’ (π‘Ÿ RingHom 𝑠) = (𝑋 RingHom π‘Œ))
5 simpl 484 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) β†’ 𝑋 ∈ 𝐢)
65adantl 483 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐢)
7 simpr 486 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) β†’ π‘Œ ∈ 𝐢)
87adantl 483 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐢)
9 ovexd 7397 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ (𝑋 RingHom π‘Œ) ∈ V)
102, 4, 6, 8, 9ovmpod 7512 . 2 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ (π‘‹π½π‘Œ) = (𝑋 RingHom π‘Œ))
11 eqid 2737 . . 3 (RingCatβ€˜π‘ˆ) = (RingCatβ€˜π‘ˆ)
12 eqid 2737 . . 3 (Baseβ€˜(RingCatβ€˜π‘ˆ)) = (Baseβ€˜(RingCatβ€˜π‘ˆ))
13 simpl 484 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
14 eqid 2737 . . 3 (Hom β€˜(RingCatβ€˜π‘ˆ)) = (Hom β€˜(RingCatβ€˜π‘ˆ))
15 srhmsubc.s . . . . 5 βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑆 π‘Ÿ ∈ Ring
16 srhmsubc.c . . . . 5 𝐢 = (π‘ˆ ∩ 𝑆)
1715, 16srhmsubclem2 46446 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜(RingCatβ€˜π‘ˆ)))
185, 17sylan2 594 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜(RingCatβ€˜π‘ˆ)))
1915, 16srhmsubclem2 46446 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜(RingCatβ€˜π‘ˆ)))
207, 19sylan2 594 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜(RingCatβ€˜π‘ˆ)))
2111, 12, 13, 14, 18, 20ringchom 46385 . 2 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ (𝑋(Hom β€˜(RingCatβ€˜π‘ˆ))π‘Œ) = (𝑋 RingHom π‘Œ))
2210, 21eqtr4d 2780 1 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ (π‘‹π½π‘Œ) = (𝑋(Hom β€˜(RingCatβ€˜π‘ˆ))π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  Vcvv 3448   ∩ cin 3914  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ∈ cmpo 7364  Basecbs 17090  Hom chom 17151  Ringcrg 19971   RingHom crh 20152  RingCatcringc 46375
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-fz 13432  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-hom 17164  df-cco 17165  df-0g 17330  df-resc 17701  df-estrc 18017  df-mhm 18608  df-ghm 19013  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-rnghom 20155  df-ringc 46377
This theorem is referenced by:  srhmsubc  46448
  Copyright terms: Public domain W3C validator