Theorem ellcoellss 48411

Description: Every linear combination of a subset of a linear subspace is also contained in the linear subspace. (Contributed by AV, 20-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ellcoellss	⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)𝑥 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝑆   𝑥,𝑉

Proof of Theorem ellcoellss

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) → 𝑀 ∈ LMod)
2		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
3		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘𝑀) = (LSubSp‘𝑀)
4	2, 3	lssss 20893	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑀))
5	4	3ad2ant2 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑀))
6		sstr 3967	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑀)) → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀))
7		fvex 6889	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑀) ∈ V
8	7	ssex 5291	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 ⊆ (Base‘𝑀) → 𝑉 ∈ V)
9		elpwg 4578	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑉 ∈ V → (𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ↔ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀)))
10	9	biimprd 248	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 ∈ V → (𝑉 ⊆ (Base‘𝑀) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)))
11	8, 10	mpcom 38	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ⊆ (Base‘𝑀) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
12	6, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑀)) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
13	12	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝑆 → (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)))
14	13	3ad2ant3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) → (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)))
15	5, 14	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
16		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
17		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑀)) = (Base‘(Scalar‘𝑀))
18	2, 16, 17	lcoval 48388	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉)(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉)))))
19	1, 15, 18	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) → (𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉)(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉)))))
20		lincellss 48402	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) → ((𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ∧ 𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝑆))
21	20	imp 406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ∧ 𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)))) → (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝑆)
22		eleq1 2822	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↔ (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝑆))
23	21, 22	imbitrrid 246	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉) → (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ∧ 𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)))) → 𝑥 ∈ 𝑆))
24	23	expd 415	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉) → ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) → ((𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ∧ 𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → 𝑥 ∈ 𝑆)))
25	24	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) → (𝑥 = (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉) → ((𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ∧ 𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → 𝑥 ∈ 𝑆)))
26	25	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑥 = (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉) → ((𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ∧ 𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → 𝑥 ∈ 𝑆)))
27	26	com13 88	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ∧ 𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → (𝑥 = (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉) → (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)) → 𝑥 ∈ 𝑆)))
28	27	impr 454	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ∧ (𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉))) → (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)) → 𝑥 ∈ 𝑆))
29	28	rexlimiva 3133	. . . . 5 ⊢ (∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉)(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉)) → (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)) → 𝑥 ∈ 𝑆))
30	29	com12 32	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)) → (∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉)(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉)) → 𝑥 ∈ 𝑆))
31	30	expimpd 453	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉)(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉))) → 𝑥 ∈ 𝑆))
32	19, 31	sylbid 240	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) → (𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉) → 𝑥 ∈ 𝑆))
33	32	ralrimiv 3131	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)𝑥 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  Vcvv 3459   ⊆ wss 3926  𝒫 cpw 4575   class class class wbr 5119  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405   ↑_m cmap 8840   finSupp cfsupp 9373  Basecbs 17228  Scalarcsca 17274  0_gc0g 17453  LModclmod 20817  LSubSpclss 20888   linC clinc 48380   LinCo clinco 48381

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9374  df-oi 9524  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-seq 14020  df-hash 14349  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-0g 17455  df-gsum 17456  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-submnd 18762  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-sbg 18921  df-subg 19106  df-cntz 19300  df-cmn 19763  df-abl 19764  df-mgp 20101  df-ur 20142  df-ring 20195  df-lmod 20819  df-lss 20889  df-linc 48382  df-lco 48383

This theorem is referenced by:  lcosslsp  48414