Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ellcoellss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ellcoellss 47204
Description: Every linear combination of a subset of a linear subspace is also contained in the linear subspace. (Contributed by AV, 20-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
ellcoellss ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€) ∧ 𝑉 βŠ† 𝑆) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)π‘₯ ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑀   π‘₯,𝑆   π‘₯,𝑉

Proof of Theorem ellcoellss
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1135 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€) ∧ 𝑉 βŠ† 𝑆) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
2 eqid 2731 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜π‘€)
3 eqid 2731 . . . . . . 7 (LSubSpβ€˜π‘€) = (LSubSpβ€˜π‘€)
42, 3lssss 20692 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€) β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
543ad2ant2 1133 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€) ∧ 𝑉 βŠ† 𝑆) β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
6 sstr 3990 . . . . . . . 8 ((𝑉 βŠ† 𝑆 ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) β†’ 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
7 fvex 6904 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘€) ∈ V
87ssex 5321 . . . . . . . . 9 (𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) β†’ 𝑉 ∈ V)
9 elpwg 4605 . . . . . . . . . 10 (𝑉 ∈ V β†’ (𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ↔ 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)))
109biimprd 247 . . . . . . . . 9 (𝑉 ∈ V β†’ (𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) β†’ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)))
118, 10mpcom 38 . . . . . . . 8 (𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) β†’ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
126, 11syl 17 . . . . . . 7 ((𝑉 βŠ† 𝑆 ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) β†’ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
1312ex 412 . . . . . 6 (𝑉 βŠ† 𝑆 β†’ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) β†’ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)))
14133ad2ant3 1134 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€) ∧ 𝑉 βŠ† 𝑆) β†’ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) β†’ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)))
155, 14mpd 15 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€) ∧ 𝑉 βŠ† 𝑆) β†’ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
16 eqid 2731 . . . . 5 (Scalarβ€˜π‘€) = (Scalarβ€˜π‘€)
17 eqid 2731 . . . . 5 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))
182, 16, 17lcoval 47181 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀 LinCo 𝑉) ↔ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆƒπ‘“ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉)(𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∧ π‘₯ = (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑉)))))
191, 15, 18syl2anc 583 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€) ∧ 𝑉 βŠ† 𝑆) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀 LinCo 𝑉) ↔ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆƒπ‘“ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉)(𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∧ π‘₯ = (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑉)))))
20 lincellss 47195 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€) ∧ 𝑉 βŠ† 𝑆) β†’ ((𝑓 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉) ∧ 𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))) β†’ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑉) ∈ 𝑆))
2120imp 406 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€) ∧ 𝑉 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉) ∧ 𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)))) β†’ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑉) ∈ 𝑆)
22 eleq1 2820 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑉) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↔ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑉) ∈ 𝑆))
2321, 22imbitrrid 245 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑉) β†’ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€) ∧ 𝑉 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉) ∧ 𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)))) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆))
2423expd 415 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑉) β†’ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€) ∧ 𝑉 βŠ† 𝑆) β†’ ((𝑓 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉) ∧ 𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)))
2524com12 32 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€) ∧ 𝑉 βŠ† 𝑆) β†’ (π‘₯ = (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑉) β†’ ((𝑓 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉) ∧ 𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)))
2625adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€) ∧ 𝑉 βŠ† 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (π‘₯ = (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑉) β†’ ((𝑓 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉) ∧ 𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)))
2726com13 88 . . . . . . 7 ((𝑓 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉) ∧ 𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))) β†’ (π‘₯ = (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑉) β†’ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€) ∧ 𝑉 βŠ† 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)))
2827impr 454 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉) ∧ (𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∧ π‘₯ = (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑉))) β†’ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€) ∧ 𝑉 βŠ† 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆))
2928rexlimiva 3146 . . . . 5 (βˆƒπ‘“ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉)(𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∧ π‘₯ = (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑉)) β†’ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€) ∧ 𝑉 βŠ† 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆))
3029com12 32 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€) ∧ 𝑉 βŠ† 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉)(𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∧ π‘₯ = (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑉)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆))
3130expimpd 453 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€) ∧ 𝑉 βŠ† 𝑆) β†’ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆƒπ‘“ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉)(𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∧ π‘₯ = (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑉))) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆))
3219, 31sylbid 239 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€) ∧ 𝑉 βŠ† 𝑆) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀 LinCo 𝑉) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆))
3332ralrimiv 3144 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€) ∧ 𝑉 βŠ† 𝑆) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)π‘₯ ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069  Vcvv 3473   βŠ† wss 3948  π’« cpw 4602   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   ↑m cmap 8824   finSupp cfsupp 9365  Basecbs 17149  Scalarcsca 17205  0gc0g 17390  LModclmod 20615  LSubSpclss 20687   linC clinc 47173   LinCo clinco 47174
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-hash 14296  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-subg 19040  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-ur 20077  df-ring 20130  df-lmod 20617  df-lss 20688  df-linc 47175  df-lco 47176
This theorem is referenced by:  lcosslsp  47207
  Copyright terms: Public domain W3C validator