Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ellcoellss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ellcoellss 47203
Description: Every linear combination of a subset of a linear subspace is also contained in the linear subspace. (Contributed by AV, 20-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
ellcoellss ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€) ∧ 𝑉 βŠ† 𝑆) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)π‘₯ ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑀   π‘₯,𝑆   π‘₯,𝑉

Proof of Theorem ellcoellss
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1134 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€) ∧ 𝑉 βŠ† 𝑆) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
2 eqid 2730 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜π‘€)
3 eqid 2730 . . . . . . 7 (LSubSpβ€˜π‘€) = (LSubSpβ€˜π‘€)
42, 3lssss 20691 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€) β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
543ad2ant2 1132 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€) ∧ 𝑉 βŠ† 𝑆) β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
6 sstr 3989 . . . . . . . 8 ((𝑉 βŠ† 𝑆 ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) β†’ 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
7 fvex 6903 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘€) ∈ V
87ssex 5320 . . . . . . . . 9 (𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) β†’ 𝑉 ∈ V)
9 elpwg 4604 . . . . . . . . . 10 (𝑉 ∈ V β†’ (𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ↔ 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)))
109biimprd 247 . . . . . . . . 9 (𝑉 ∈ V β†’ (𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) β†’ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)))
118, 10mpcom 38 . . . . . . . 8 (𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) β†’ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
126, 11syl 17 . . . . . . 7 ((𝑉 βŠ† 𝑆 ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) β†’ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
1312ex 411 . . . . . 6 (𝑉 βŠ† 𝑆 β†’ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) β†’ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)))
14133ad2ant3 1133 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€) ∧ 𝑉 βŠ† 𝑆) β†’ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) β†’ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)))
155, 14mpd 15 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€) ∧ 𝑉 βŠ† 𝑆) β†’ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
16 eqid 2730 . . . . 5 (Scalarβ€˜π‘€) = (Scalarβ€˜π‘€)
17 eqid 2730 . . . . 5 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))
182, 16, 17lcoval 47180 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀 LinCo 𝑉) ↔ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆƒπ‘“ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉)(𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∧ π‘₯ = (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑉)))))
191, 15, 18syl2anc 582 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€) ∧ 𝑉 βŠ† 𝑆) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀 LinCo 𝑉) ↔ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆƒπ‘“ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉)(𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∧ π‘₯ = (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑉)))))
20 lincellss 47194 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€) ∧ 𝑉 βŠ† 𝑆) β†’ ((𝑓 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉) ∧ 𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))) β†’ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑉) ∈ 𝑆))
2120imp 405 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€) ∧ 𝑉 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉) ∧ 𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)))) β†’ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑉) ∈ 𝑆)
22 eleq1 2819 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑉) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↔ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑉) ∈ 𝑆))
2321, 22imbitrrid 245 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑉) β†’ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€) ∧ 𝑉 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉) ∧ 𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)))) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆))
2423expd 414 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑉) β†’ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€) ∧ 𝑉 βŠ† 𝑆) β†’ ((𝑓 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉) ∧ 𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)))
2524com12 32 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€) ∧ 𝑉 βŠ† 𝑆) β†’ (π‘₯ = (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑉) β†’ ((𝑓 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉) ∧ 𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)))
2625adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€) ∧ 𝑉 βŠ† 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (π‘₯ = (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑉) β†’ ((𝑓 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉) ∧ 𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)))
2726com13 88 . . . . . . 7 ((𝑓 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉) ∧ 𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))) β†’ (π‘₯ = (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑉) β†’ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€) ∧ 𝑉 βŠ† 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)))
2827impr 453 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉) ∧ (𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∧ π‘₯ = (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑉))) β†’ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€) ∧ 𝑉 βŠ† 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆))
2928rexlimiva 3145 . . . . 5 (βˆƒπ‘“ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉)(𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∧ π‘₯ = (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑉)) β†’ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€) ∧ 𝑉 βŠ† 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆))
3029com12 32 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€) ∧ 𝑉 βŠ† 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉)(𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∧ π‘₯ = (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑉)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆))
3130expimpd 452 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€) ∧ 𝑉 βŠ† 𝑆) β†’ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆƒπ‘“ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉)(𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∧ π‘₯ = (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑉))) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆))
3219, 31sylbid 239 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€) ∧ 𝑉 βŠ† 𝑆) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀 LinCo 𝑉) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆))
3332ralrimiv 3143 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€) ∧ 𝑉 βŠ† 𝑆) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)π‘₯ ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068  Vcvv 3472   βŠ† wss 3947  π’« cpw 4601   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ↑m cmap 8822   finSupp cfsupp 9363  Basecbs 17148  Scalarcsca 17204  0gc0g 17389  LModclmod 20614  LSubSpclss 20686   linC clinc 47172   LinCo clinco 47173
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-hash 14295  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-subg 19039  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-ur 20076  df-ring 20129  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-linc 47174  df-lco 47175
This theorem is referenced by:  lcosslsp  47206
  Copyright terms: Public domain W3C validator