Theorem ellcoellss 48926

Description: Every linear combination of a subset of a linear subspace is also contained in the linear subspace. (Contributed by AV, 20-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ellcoellss	⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)𝑥 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝑆   𝑥,𝑉

Proof of Theorem ellcoellss

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1142	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) → 𝑀 ∈ LMod)
2		eqid 2739	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
3		eqid 2739	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘𝑀) = (LSubSp‘𝑀)
4	2, 3	lssss 20926	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑀))
5	4	3ad2ant2 1140	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑀))
6		sstr 3923	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑀)) → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀))
7		fvex 6840	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑀) ∈ V
8	7	ssex 5249	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 ⊆ (Base‘𝑀) → 𝑉 ∈ V)
9		elpwg 4532	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑉 ∈ V → (𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ↔ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀)))
10	9	biimprd 249	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 ∈ V → (𝑉 ⊆ (Base‘𝑀) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)))
11	8, 10	mpcom 38	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ⊆ (Base‘𝑀) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
12	6, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑀)) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
13	12	ex 413	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝑆 → (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)))
14	13	3ad2ant3 1141	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) → (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)))
15	5, 14	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
16		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
17		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑀)) = (Base‘(Scalar‘𝑀))
18	2, 16, 17	lcoval 48903	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉)(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉)))))
19	1, 15, 18	syl2anc 590	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) → (𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉)(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉)))))
20		lincellss 48917	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) → ((𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ∧ 𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝑆))
21	20	imp 407	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ∧ 𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)))) → (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝑆)
22		eleq1 2827	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↔ (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝑆))
23	21, 22	imbitrrid 247	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉) → (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ∧ 𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)))) → 𝑥 ∈ 𝑆))
24	23	expd 416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉) → ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) → ((𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ∧ 𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → 𝑥 ∈ 𝑆)))
25	24	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) → (𝑥 = (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉) → ((𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ∧ 𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → 𝑥 ∈ 𝑆)))
26	25	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑥 = (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉) → ((𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ∧ 𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → 𝑥 ∈ 𝑆)))
27	26	com13 88	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ∧ 𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → (𝑥 = (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉) → (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)) → 𝑥 ∈ 𝑆)))
28	27	impr 455	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ∧ (𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉))) → (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)) → 𝑥 ∈ 𝑆))
29	28	rexlimiva 3132	. . . . 5 ⊢ (∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉)(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉)) → (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)) → 𝑥 ∈ 𝑆))
30	29	com12 32	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)) → (∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉)(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉)) → 𝑥 ∈ 𝑆))
31	30	expimpd 454	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉)(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉))) → 𝑥 ∈ 𝑆))
32	19, 31	sylbid 241	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) → (𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉) → 𝑥 ∈ 𝑆))
33	32	ralrimiv 3130	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)𝑥 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053  ∃wrex 3063  Vcvv 3431   ⊆ wss 3883  𝒫 cpw 4529   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356   ↑_m cmap 8763   finSupp cfsupp 9264  Basecbs 17170  Scalarcsca 17214  0_gc0g 17393  LModclmod 20850  LSubSpclss 20921   linC clinc 48895   LinCo clinco 48896

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-oi 9415  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-hash 14284  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-subg 19090  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-ur 20154  df-ring 20207  df-lmod 20852  df-lss 20922  df-linc 48897  df-lco 48898

This theorem is referenced by:  lcosslsp  48929