Theorem ellcoellss 49247

Description: Every linear combination of a subset of a linear subspace is also contained in the linear subspace. (Contributed by AV, 20-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ellcoellss	⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)𝑥 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝑆   𝑥,𝑉

Proof of Theorem ellcoellss

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) → 𝑀 ∈ LMod)
2		eqid 2766	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
3		eqid 2766	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘𝑀) = (LSubSp‘𝑀)
4	2, 3	lssss 21072	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑀))
5	4	3ad2ant2 1152	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑀))
6		sstr 3948	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑀)) → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀))
7		fvex 6898	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑀) ∈ V
8	7	ssex 5294	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 ⊆ (Base‘𝑀) → 𝑉 ∈ V)
9		elpwg 4568	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑉 ∈ V → (𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ↔ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀)))
10	9	biimprd 251	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 ∈ V → (𝑉 ⊆ (Base‘𝑀) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)))
11	8, 10	mpcom 39	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ⊆ (Base‘𝑀) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
12	6, 11	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑀)) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
13	12	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝑆 → (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)))
14	13	3ad2ant3 1153	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) → (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)))
15	5, 14	mpd 16	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
16		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
17		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑀)) = (Base‘(Scalar‘𝑀))
18	2, 16, 17	lcoval 49224	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉)(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉)))))
19	1, 15, 18	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) → (𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉)(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉)))))
20		lincellss 49238	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) → ((𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ∧ 𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝑆))
21	20	imp 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ∧ 𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)))) → (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝑆)
22		eleq1 2854	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↔ (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝑆))
23	21, 22	imbitrrid 249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉) → (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ∧ 𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)))) → 𝑥 ∈ 𝑆))
24	23	expd 421	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉) → ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) → ((𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ∧ 𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → 𝑥 ∈ 𝑆)))
25	24	com12 33	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) → (𝑥 = (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉) → ((𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ∧ 𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → 𝑥 ∈ 𝑆)))
26	25	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑥 = (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉) → ((𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ∧ 𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → 𝑥 ∈ 𝑆)))
27	26	com13 89	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ∧ 𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → (𝑥 = (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉) → (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)) → 𝑥 ∈ 𝑆)))
28	27	impr 460	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ∧ (𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉))) → (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)) → 𝑥 ∈ 𝑆))
29	28	rexlimiva 3161	. . . . 5 ⊢ (∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉)(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉)) → (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)) → 𝑥 ∈ 𝑆))
30	29	com12 33	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)) → (∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉)(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉)) → 𝑥 ∈ 𝑆))
31	30	expimpd 459	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉)(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉))) → 𝑥 ∈ 𝑆))
32	19, 31	sylbid 243	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) → (𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉) → 𝑥 ∈ 𝑆))
33	32	ralrimiv 3159	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)𝑥 ∈ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3082  ∃wrex 3092  Vcvv 3458   ⊆ wss 3908  𝒫 cpw 4565   class class class wbr 5112  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416   ↑_m cmap 8826   finSupp cfsupp 9323  Basecbs 17279  Scalarcsca 17323  0_gc0g 17502  LModclmod 20996  LSubSpclss 21067   linC clinc 49216   LinCo clinco 49217

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5241  ax-sep 5260  ax-nul 5272  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7738  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4876  df-int 4916  df-iun 4961  df-br 5113  df-opab 5177  df-mpt 5196  df-tr 5222  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9324  df-oi 9474  df-card 9936  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12244  df-2 12313  df-n0 12515  df-z 12602  df-uz 12873  df-fz 13546  df-fzo 13694  df-seq 14049  df-hash 14378  df-sets 17234  df-slot 17252  df-ndx 17264  df-base 17280  df-ress 17301  df-plusg 17333  df-0g 17504  df-gsum 17505  df-mgm 18708  df-sgrp 18787  df-mnd 18803  df-submnd 18852  df-grp 19013  df-minusg 19014  df-sbg 19015  df-subg 19199  df-cntz 19397  df-cmn 19862  df-abl 19863  df-mgp 20227  df-ur 20274  df-ring 20327  df-lmod 20998  df-lss 21068  df-linc 49218  df-lco 49219

This theorem is used by:  lcosslsp  49250